精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_上学期

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 华师大二附中 2022 学年第一学期期末考试试卷 高一数学 一、填空题（本题满分 40分，每题 4分，共 10题） 2 y  x1 1. 函数 的定义域是_________ ． 【答案】 1, 【解析】 【详解】试题分析：函数满足x10，即函数定义域为 1, 考点：求函数定义域 2. 已知幂函数y  f x 的图象过点  2, 2  ，则 f 3______. 【答案】 3 【解析】 【分析】先根据待定系数法求得函数y  f x 的解析式，然后可得 f 3 的值． 【详解】由题意设y  f x x，   ∵函数y  f x 的图象过点 2, 2 ， 1 ∴ 2 2 22 ， 1 ∴ ， 2 1 ∴ f x x2 ， 1 ∴ f 332  3． 故答案为 3． 【点睛】本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析式，属于基础题． 3. 已知函数 f x x2 x1的两个零点分别为x,x ，则x2x x x 2 ___________. 1 2 1 2 1 2 【答案】1 【解析】 【分析】依题意方程x2 x10有两个不相等实数根x、x ，利用韦达定理计算可得； 1 2 第 1 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：依题意令 f x0，即x2 x10， 所以方程x2 x10有两个不相等实数根x、x ， 1 2 所以x x 1，x x  1， 1 2 1 2 所以x2x x x 2  x x x x 111； 1 2 1 2 1 2 1 2 故答案为：1 4. 已知函数 f xax2 2x是奇函数，则实数a______． 【答案】0 【解析】 【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果． 【详解】∵函数 f x 为奇函数， ∴ f xf x ， 即ax2 2xax2 2x， 整理得ax2 0在R上恒成立， ∴a0． 故答案为0． 【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解 也是解决此类问题的良好方法，属于基础题． 5. 若二次函数 f xax2 2a1x2在区间 ,4 上为严格减函数，则实数a的取值范围是________．  1 【答案】 0,   5 【解析】 a0  【分析】由题知 2(a1) ，再解不等式组即可得答案.  4   2a 【详解】解：因为二次函数 f xax2 2a1x2在区间 ,4 上为严格减函数， a0 a 0   1 所以 2(a1) ，即 1，解得0a ,  4 0a 5    2a  5 第 2 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1 所以，实数a的取值范围是 0,   5  1 故答案为： 0,   5 6. 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所 示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm，则该扇形 的中心角的弧度数为____________． 20 【答案】 9 【解析】 【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得OC 9cm，进而可得该扇形的中心 角的弧度数. 【详解】解：如图， 依题意可得弧AB的长为60cm，弧CD的长为20cm，设扇形的中心角的弧度数为 OA 60 则ABOA,CDOC，则  3，即OA3OC ． OC 20 CD 20 因为AC 18cm，所以OC 9cm，所以该扇形的中心角的弧度数  ． OC 9 20 故答案为： . 9 1 7. 已知函数 f(x) ax3 bx5，且 f(2)2，那么 f(2)=_________. x3 【答案】-12 【解析】 第 3 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】代入x2,x2，整体代换求值即可. 1 1 【详解】由题意， f(2) a(2)3 b(2)52，即 a23b27， (2)3 23 1 故 f(2) a23 2b57512 23 , 故答案为：-12 1 1  8. 已知函数 f x x 4 ，关于x的不等式 f xm2 m2在区间  ,3  上总有解，则实数m的 x 6  取值范围为________． 3 15 3 15 【答案】 ,  6 6   【解析】 【分析】由题知 f x m2 m2，进而根据对勾函数性质求解最值，解不等式即可. max 1  1 【详解】解：当x  ,3  时，y  x 2，当且仅当x1时取得等号， 6  x 1 1 1 37 因为当x 时，y  x 6  ； 6 x 6 6 1 1 10 当x3时，y  x 3  ； x 3 3 1  1  13 所以，根据对勾函数性质，当x  ,3  时，y  x 4  2,  ， 6  x  6  1  1  13 所以，当x  ,3  时， f x x 4   0,  ， 6  x  6  1  因为关于x的不等式 f xm2 m2在区间  ,3  上总有解， 6  13 3 15 3 15 所以，m2 m2 ，解得 m ， 6 6 6 3 15 3 15 所以，实数m的取值范围为 ,  6 6   3 15 3 15 故答案为： ,  6 6   第 4 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 x ,x2  9. 已知函数 f(x) ，函数g(x)b f(2x)，如果y  f(x)g(x)恰好有两个零点，  x22 ,x2 则实数b 的取值范围是________． 7 【答案】  (2,) 4 【解析】 【分析】求出函数y  f(x)g(x)的表达式，构造函数h(x) f(x) f(2x)，作出函数h(x)的图象， 利用数形结合进行求解即可. 【详解】  g(x)b f(2x)， y  f(x)g(x) f(x)b f(2x)， 由 f(x)b f(2x)0， 得b f(x) f(2x)， 设h(x) f(x) f(2x)， 若x0，则x0，2x≥2， 则h(x) f(x) f(2x)2xx2， 若0 x2，则2x0，02x2， 则h(x) f(x) f(2x)2x2 2x 2x22x2， 若x2，则x2，2x0， 则h(x) f(x) f(2x)(x2)2 2 2x  x2 5x8， x2 x2,x0  即h(x)2,0 x2 ，  x2 5x8,x2  作出h(x)的图象如图， 第 5 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 7 7 当x0时，h(x)2xx2 (x )2   ， 2 4 4 5 7 7 当x2时，h(x) x2 5x8(x )2   ， 2 4 4 由图象知要使y  f(x)g(x)有两个零点，即h(x)b有四个根， 7 则满足b 或b2， 4 7 故答案为：  (2,) 4 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合 函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同 的值，就有几个不同的零点． 4 1 10. 设 f(x)=x-1，g(x) ，若存在x ,x ,,x [ ,4]，使得 f(x ) f(x ) x 1 2 n 4 1 2 f(x )g(x ) g(x )g(x )g(x ) f(x )成立，则正整数n的最大值为________ n1 n 1 2 n1 n 【答案】6 【解析】 【分析】 1 65 1 由题设 f(x )g(x )3且x [ ,4]上有 f(x )g(x )[3, ]，所以x ,x ,,x [ ,4]，使得 n n n 4 n n 4 1 2 n 4 f(x )g(x )... f(x )g(x ) f(x )g(x )成立，只需[f(x )g(x )] 3(n1)即可，进 1 1 n1 n1 n n n n max 而求得正整数n的最大值. 第 6 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 【详解】由题意知：x ,x ,,x [ ,4]，使 f(x )g(x )... f(x )g(x ) f(x )g(x )成 1 2 n 4 1 1 n1 n1 n n 立， 4 4 1 而 f(x )g(x ) x 1 2 x  13当且仅当x 2[ ,4]时等号成立， n n n x n x n 4 n n 1 65 ∴ f(x )g(x )3(n1)，而x [ ,4]，即 f(x )g(x )[3, ]， n n n 4 n n 4 65 77 ∴仅需3(n1) 成立即可，有n ，故正整数n的最大值为6. 4 12 故答案为：6. 【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有 f(x )g(x )... f(x )g(x )3(n1)，即 1 1 n1 n1 f(x )g(x )3(n1)，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要 n n [f(x )g(x )] 3(n1)即可求最值. n n max 二、选择题（本题满分 16分，每题 4分，共 4题） 11. 已知a､b为实数，若:ab0,:a2  b 0，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可． 【详解】当ab0时，若a1,b0，不能推出a2  b 0，不满足充分性； 当a2  b 0，则a =b=0，有ab0，满足必要性； 所以是的必要不充分条件． 故选:B． 1 19 12. 已知实数，a,b0,a19b1，则  的最小值为（ ） a b A 100 B. 300 C. 800 D. 400 . 【答案】D 【解析】 第 7 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 19b 19a 【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为362  ，再利用基本不等式求最小值即可，注意等 a b 号成立的条件. 【详解】由a,b0,a19b1， 1 19 1 19 19b 19a 19b 19a ∴  (  )(a19b)362  3622  400，当且仅当a b时等号成 a b a b a b a b 立. 1 19 ∴  的最小值为400. a b 故选：D 13. 设函数 f x 的定义域为R ，对于下列命题： ①若存在常数M ，使得对任意xR，有 f xM ，则M 是函数 f x 的最小值； ②若函数 f x 有最小值，则存在唯一的x R，使得对任意xR，有 f x f x  ； 0 0 ③若函数 f x 有最小值，则至少存在一个x R，使得对任意xR，有 f x f x  ； 0 0 ④若 f x  是函数 f x 的最小值，则存在xR，使得 f x f x  ． 0 0 则下列为真命题的选项是（ ） A. ①②都正确 B. ①③都错误 C. ③正确④错误 D. ②错误④正确 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数最小值的定义依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于①，M 不一定是函数 f x 的函数值，所以可能 f x 的最小值大于M ，故错误； 对于②，函数 f x 有最小值，则可能存在若干个x R，使得对任意xR，有 f x f x  ，故错 0 0 误； 对于③，函数 f x 有最小值，则由最小值的定义，至少存在一个x R，使得对任意xR，有 0 f x f x  ，故正确； 0 对于④，若 f x  是函数 f x 的最小值，则存在xR，使得 f x f x  ，故错误；. 0 0 故真命题的选项是②错误④正确. 故选：D 第 8 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 14. 设x，x 分别是函数 f x xax和gx xlog x1的零点（其中a 1），则x 9x 的取值 1 2 a 1 2 范围是（ ） A. 6, B. 6, C. 10, D. 10, 【答案】D 【解析】 【分析】 1 1 根据零点定义,可得x,x 分别是ax  和log x 的解.结合函数与方程的关系可知x,x 分别是函数 1 2 x a x 1 2 1 y 与函数y ax和函数ylog x交点的横坐标,所以可得0 x 1,x 1.而y ax与ylog x互为 x a 1 2 a 反函数,则由反函数定义可得 x x 1.再根据基本不等式,即可求得 x x 的最小值,将 x 9x 化为 1 2 1 2 1 2 x x 8x ,即可得解. 1 2 2 【详解】因为x,x 分别是函数 f x xax和gx xlog x1的零点 1 2 a 1 1 则x,x 分别是ax  和log x 的解 1 2 x a x 1 所以x,x 分别是函数y 与函数y ax和函数ylog x交点的横坐标 1 2 x a  1   1  所以交点分别为Ax , ,Bx ,  1 x 2 x     1 2 因为a 1 所以0 x 1,x 1 1 2 1 由于函数y 与函数y ax和函数ylog x都关于y  x对称 x a 所以点A与点B关于y  x对称  1   1  因为Ax , 关于y  x对称的点坐标为 ,x  1 x x 1     1 1 1 所以x  1 x 2 即x x 1,且x  x 1 2 1 2 所以x 9x 1 2  x x 8x 1 2 2 第 9 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 x x 8x 1 2 2 28x ,由于x  x ,所以不能取等号 2 1 2 因为 x 1 2 所以28x 2810 2 即x 9x 10, 1 2 故选:D 【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属 于难题. 三、解答题（本题满分 44分，共 4题） 15. 已知sin2cos．  π （1）求tan 的值；  4 2sin21 （2）求 的值． sinπcos 【答案】（1）3 13 （2） 2 【解析】 【分析】（1）由题知tan2，再根据正切的和角公式求解即可； （2）根据诱导公式，结合齐次式求解即可. 【小问1详解】 解：由sin2cos知tan2，  π tan1 21 所以tan      3，  4 1tan 12 【小问2详解】 解：由sin2cos知tan2； 2sin21 3sin2cos2 3tan21 13 所以    . sinπcos sincos tan 2 16. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的 第 10 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企 业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产 k 品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元(m0)满足x4 （k为常数），如果 m1 不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件 该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品 816x 年平均成本按 元来计算） x （1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 16 【答案】（1）y 36 m(m0) m1 （2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程即可. 16 16 （2）根据基本不等式，可求出 (m1)的最小值，从而可求出36 m的最大值. m1 m1 【小问1详解】 由题意知，当m0时，x2（万件）， 2 则24k，解得k 2，∴x4 ． m1 816x 所以每件产品的销售价格为1.5 （元）， x 816x 16 ∴2020年的利润y 1.5x 816xm36 m(m0)． x m1 【小问2详解】 ∵当m0时，m10， 16 ∴ (m1)2 16 8， m1 16 当且仅当 (m1)即m3时等号成立． m1 ∴y83729， 即m3万元时， y 29（万元）． max 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元． 17. 已知函数 f(x)log (2x3)1(a0,a1). a 第 11 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）当a2时，求不等式 f(x)3的解集； （2）当a10时，设g(x) f(x)1，且g(3)m,g(4)n，求log 45（用m,n表示）； 6 （3）在（2）的条件下，是否存在正整数k，使得不等式2g(x1)lg(kx2)在区间 3,5 上有解，若存 在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由. 3 7 2mn 【答案】（1） , ；（2） ；（3）存在，3. 2 2 mn1 【解析】 【分析】（1）a2时，不等式即log (2x3)2，解不等式可得结果； 2 （2）依题意得mlg3,nlg5，进而由换底公式和对数的运算性质可得结果； 2x12 2x12 （3）依题意得k  在区间 3,5 上有解； 令hx ,x3,5，则k hx ，因此 x2 x2 max 求得h(x)的最大值即可求得结果. 【详解】（1）当a2时， f xlog 2x313 2 3 7 故02x34 ，所以不等式 f(x)3的解集为 , ； 2 2 （2）当a10时，gx f x1lg2x3 ， m g3lg3,n g4lg5， lg45 lg9lg5 2mn log 45   . 6 lg6 lg3lg2 mn1 （3）在（2）的条件下，不等式2gx1lg  kx2 化为lg2x12 lg  kx2 ， 2x12 2x12 即k  在区间 3,5 上有解. 令hx ,x3,5，则k hx ， x2 x2 max 2x12 1  2 1 1 1  hx   2  ，   ,  ， x2  x  x 5 3 81 k hx h5 ，又k是正整数，故k的最大值为3. max 25 1 18. 若函数 f x 对定义域内的任意x都满足 f x f  ，则称 f x 具有性质M ．  x 第 12 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 （1）判断 f x x 是否具有性质M，并证明 f x 在 0,1 上是严格减函数； x （2）已知函数gx lnx ，点A(1,0)，直线y tt 0 与gx 的图象相交于B、C两点（B在左 边），验证函数gx 具有性质M 并证明 AB  AC ； 1 （3）已知函数hx x ，是否存在正数m，n，k，当hx 的定义域为 m,n 时，其值域为 x km,kn ，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）具有，证明见解析； （2）证明见解析； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据具有性质M 的定义判断即可，结合单调性的定义证明即可； （2）根据具有性质M 的定义判断即可，再根据|lnx|t得x et,x et，进而根据两点间的距离公式 B C 作差法比较即可； （3）根据题意，分0mn1或1mn，结合函数单调性讨论求解即可. 【小问1详解】 1 1 1 1 f    x  f x 解：因为   x   x 1 x ，所以函数 f x 具有性质M ， x 任取0