精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_下学期

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 华二附中高二月考数学试卷 2022．03 一、填空题（本大题满分 40分，本大题共有 10题，只要求直接写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分） 1. 已知数列 a  为等差数列，其前n项和为S . 若S 36，则a a a ______． n n 9 3 4 8 【答案】12 【解析】 9 【分析】由S  a a 9a 36，得a 4，再由a a a 3a 12d 3a ，能求出结果． 9 2 1 9 5 5 3 4 8 1 5 【详解】解：  数列 a n  为等差数列，其前n项和为S n .S 9 36， 9 S  a a 9a 36， 9 2 1 9 5 解得a 4， 5 a a a 3a 12d 3a 12． 3 4 8 1 5 【点睛】本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题． 2. 已知数列 a 的前n项和S n2 n1，则数列 a  的通项公式为_________ n n n 3,n1 【答案】a  n 2n,n2,nN* 【解析】 【分析】利用a ,S 关系求 a  的通项公式. n n n 【详解】由题设，a S 3， 1 1 当n2时，S (n1)2 (n1)1n2 n1， n1 所以a S S 2n，显然a 3不符合该式 n n n1 1 . 3,n1 综上，a  . n 2n,n2,nN* 3,n1 故答案为：a  . n 2n,n2,nN* 第 1 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3. “a a a a ”是“数列a 、a 、a 、a 依次成等差数列”的_________条件. 1 4 2 3 1 2 3 4 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据特殊值法结合等差数列的性质判断可得出结论. 【详解】取a 1，a 2，a 4，a 5，则a a a a ，但数列a 、a 、a 、a 不成等差数 1 2 3 4 1 4 2 3 1 2 3 4 列， 即“a a a a ” “数列a 、a 、a 、a 依次成等差数列”； 1 4 2 3 1 2 3 4 若数列a 、a 、a 、a 依次成等差数列，由等差数列的性质可得a a a a ， 1 2 3 4 1 4 2 3 即“a a a a ”“数列a 、a 、a 、a 依次成等差数列”. 1 4 2 3 1 2 3 4 因此，“a a a a ”是“数列a 、a 、a 、a 依次成等差数列”的必要不充分条件. 1 4 2 3 1 2 3 4 故答案为：必要不充分. 4. 等差数列 a  的前n项和为S ，若S S ，则S _________ n n 10 20 30 【答案】0 【解析】 29 【分析】设等差数列的公差为d，由已知求出a =  d ，即得解. 1 2 109 2019 【详解】解：设等差数列的公差为d,10a  d 20a  d， 1 2 1 2 29 所以a =  d . 1 2 3029 29 3029 所以S 30a  d 30( d) d 0. 30 1 2 2 2 故答案为：0 5. 若数列 a  的通项公式为a n2 7n6，则当n=_________时， a  的前n项和S 最小 n n n n 【答案】5或6 【解析】 【分析】由题设可得a (n1)(n6)，结合二次函数的性质，讨论n判断a 的符号，即可确定n为何 n n 值时S 最小. n 【详解】由题设，a (n1)(n6)且nN*， n 第 2 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所以，当1n6时a 0；当n1或n6时a 0；当n6时a 0； n n n 综上，当n5或n6时S 最小. n 故答案为：5或6. (a a )2 6. 已知实数x,a,a ,y等成等差数列，x,b,b ,y成等比数列，则 1 2 的取值范围是__________. 1 2 1 2 bb 1 2 【答案】(,0][4,) 【解析】 (a a )2 【详解】试题分析：由等差数列的性质得a a  x y，由等比数列的性质得bb  xy，所以 1 2 1 2 1 2 bb 1 2 (x y)2 y x y y x y y x = =  2，当 0时，  2224，当 0，(  )2220，所 xy x y x x y x x y y x 以  2 0， x y (a a )2 故 1 2 的取值范围是 ，04， ． bb 1 2 考点：本题主要考查等差、等比数列的性质，均值定理的应用，综合法的定义及方法． 点评：综合性较强，在理解掌握综合法的基础上，运用等差、等比数列的知识及均值定理完成解答． a a a  a 7. 在共有2009项的等比数列 a  中，有等式 1 3 5  2009 a 成立，类比上述性质，在共有 n a a a  a 1005 2 4 6  2008 2019项的等差数列 b  中，相应的有等式_________成立 n 【答案】(b 1 b 3 b 5   b 2019 )(b 2 b 4 b 6   b 2018 )b 1010 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列与等比数列的类比性，写出类比等式作答. 【详解】等差数列 b  中的b b 可与等比数列 a  中的a a 类比，等差数列 b  中的b b 可与 n n m n n m n n m a 等比数列 a  中的 n 类比， n a m 所以，在共有2019项的等差数列 b n  中，有(b 1 b 3 b 5   b 2019 )(b 2 b 4 b 6   b 2018 )b 1010 故答案为：(b 1 b 3 b 5   b 2019 )(b 2 b 4 b 6   b 2018 )b 1010 第 3 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 8. 设a 、a 、…、a 是各项不为零的等差数列，n4，且公差d 0，若将此数列删去某一项后，得 1 2 n  a  到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对 n, 1 所组成的集合为_________  d  【答案】 4,4,4,1 ## 4,1,4,4 【解析】 【分析】设出公差，依次列出各项，分类讨论去掉第一项、第二项、第三项、第四项及以后项即可. 【详解】设公差为d，则各项为：a 1 ,a 1 d,a 1 2d,  a 1 (n1)d，若去掉第一项， a 2d2 a da 3d，解得d  0 ，不合题意；若去掉第二项，a 2d2 a a 3d，化 1 1 1 1 1 1 a 简得da 4d0，解得d  1 ，等比数列不能出现0，a 4d 0不出现等比数列中，即 1 4 1 n4，数对为 4,4 ；若去掉第三项，a d2 a a 3d，化简得dd a 0，解得d a ， 1 1 1 1 1 此时数列为a ,2a ,3a ,4a ，即n4，数对为 4,1 ；若去掉第四项或以后项， 1 1 1 1 a d2 a a 2d，解得d  0 ，不合题意；故满足题意的数对只有 4,4 ， 4,1 . 1 1 1 故答案为： 4,4,4,1 . 9. 若数列 a  满足:对任意的nN*，只有有限个正整数k使得a n成立，记这样的k的个数为 n k a * ，则得到一个新数列  a * ，例如，若数列a n，则数列  a * 是0、1、2、…、n1、…， n n n n 若a n2，则  a ** _________ n n 【答案】n2 【解析】 【分析】根据题意寻找规律，从而求出当2n12 1m2n2 时，a * 2n1，再求出 m  a ** 1357 2n1n2. n  【详解】由a 1，a 4，a 9，a 16，……，得：a * 0，a * a * a * 1， 1 2 3 4 1 2 3 4 a * a * a * a * a * 2， 5 6 7 8 9 当10m16时，a * 3，……，当2n12 1m2n2 时，a * 2n1， m m 所以  a ** 1，  a ** 134，  a ** 1359，……， 1 2 3 第 4 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  a ** 1357 2n1n2， n  故答案为：n2 【点睛】对于定义新数列题目，要能正确理解题干中的信息，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，寻找规 律进行求解. 1 10. 已知数列 a  的前n项和S ，对任意nN*，S (1)na  n3且(a  p)(a  p)<0恒成 n n n n 2n n1 n 立，则实数 p的取值范围是__________. 3 11 【答案】( , ) 4 4 【解析】 1 【 详 解 】 试 题 分 析 ： 由 S (1)na  n3， 得 ； 当 时 ， n n 2n ，若 为 偶 数 ， 则 ， ∴ （ 为 正 奇 数 ）； 若 为 奇 数 ， 则 ，∴ （ 为正偶数）．函数 （ 为正奇数）为减函数，最大值为 ，函数 （ 为正偶数）为增函数，最小值为 3 11 ．若(a -p)(a -p)<0恒成立，则 ，即 ．故答案为( , )． n1 n 4 4 二、选择题（本大题满分 16分，本大题共有 4题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得 4分，否则一律得零分．） 11. 无穷等差数列 a  的首项a 0，公差d 0， a  的前n项的和为S ，则（ ） n 1 n n A. S 单调递减 B. S 单调递增 n n C. S 有最大值 D. S 有最小值 n n 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列{a }的公差d 0得数列为递减数列，且先正值，后负值，从而判断出S 有最大值． n n 【详解】 无穷等差数列{a }的首项a 0，公差d 0，  n 1 {a }是递减数列，且先正值，后负值； n 第 5 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) {a }的前n项和为S 先增加，后减小； n n S 有最大值； n 故选C. 【点睛】本题考查等差数列的单调性，求解时要从a ,d 两个量，判断等差数列的性质.事实上，等差数列 1 的前几项都大于或等于0，从某项起开始小于0，则此类等差数列存在前几项和达到最大值. 12. 设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k)k2成立时，总可推出 f(k1)(k1)2成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） A. 若 f(1)1成立，则 f(10)100成立 B. 若 f(2)4成立，则 f(1)1成立 C. 若 f(3)9成立，则当k³ 1时，均有 f(k)k2成立 D. 若 f(4)25成立，则当k 4时，均有 f(k)k2成立 【答案】D 【解析】 【详解】解：利用互为逆否命题真值相同，可知，由已知的条件满足当 f(k)k2成立时，总可以推出 f(k1)(k1)2成立，则能推断若 f(4)25成立，则当k 4时，均有 f(k)k2成立．其余不成立． 13. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做 出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个 单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 .若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A. 3 2f B. 3 22 f C. 1225 f D. 1227 f 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122 ， 所以a 122a (n2,nN )， n n1  第 6 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 又a  f ，则a aq7  f(122)7 1227 f 1 8 1 故选D. 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法 主要有如下两种： a a （1）定义法，若 n1 q（q0,nN*）或 n q（q 0,n2,nN*）， 数列{a }是等比数列； a a n n n1 （2）等比中项公式法，若数列{a }中，a 0且a2 a a （n3,nN*），则数列{a }是等比数 n n n1 n n2 n 列. 14. 以下有四个命题：①一个等差数列 a  中，若存在a a 0  kN* ，则对于任意自然数 n k1 k nk ，都有a 0；②一个等比数列 a  中，若存在a 0，a 0  kN ，则对于任意nN， n n k k1 都有a 0；③一个等差数列 a  中，若存在a 0，a 0  kN ，则对于任意nN，都有 n n k k1 a 0；④一个等比数列 a  中，若存在自然数k，使a a 0则对于任意nN，都有 n n k k1 a a 0．其中正确命题的个数是（ ） n n1 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】在等差数列中，由d a a 0可知数列为递增数列，知①正确；等比数列中，由公比 k1 k a q  k1 知数列各项符号相同或为摆动数列，从而得到②④正误；利用反例可知③错误. a k 【详解】对于①，由a a 0知：公差d a a 0，自第k项起，数列 a  为递增数列， k1 k k1 k n 又a 0，对于任意自然数nk ，都有a 0，①正确； k n a 对于②，由a 0，a 0知：公比q k1 0，数列 a  各项符号相同， k k1 a n k 即对于任意nN，都有a 0，②正确； n 对于③，若等差数列 a  中，a 1，a 3，则公差d  2，a 10，③错误； n 2 3 1 a 对于④，由a a 0知：公比q k1 0， k k1 a k 第 7 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 等比数列 a  为摆动数列，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同，且奇数项与偶数项异号， n 对于任意nN，都有a a 0，④正确； n n1 综上所述：正确的命题的个数为3个. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列的单调性和各项的符号特征；解题关键是能够根据相邻两 项之间的关系确定等差或等比数列的公差或公比的正负，进而得到等差数列的单调性和等比数列各项的符 号特征. 三．解答题（本大题满分 44分，本大题共有 4题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 6n5,n2k1 15. 已知数列 a  通项公式a   kN* ，求数列 a  的前n项和S n n 2n,n2k n n 3 5 2n2 4 n2  n  ,n2k  【答案】S    2 2 3 3  kN* n 3 1 2n1 7 n2  n  ,n2k1 2 2 3 3 【解析】 【分析】利用分组求和法即可求出S . n 【详解】当n为偶数时，S n a 1 a 2 a 3 a 4   a n1 a n a 1 a 3   +a n1 a 2 a 4   a n  113  +6n11  22 24   2n  n  n 2 1+6n11 22   12 2 2   n6n10 4  12n 3 5 2n2 4      n2  n  2 122 4 14 2 2 3 3 当n为奇数时， 3 5 2n1 4 3 1 2n1 7 S S a  n12  n1  6n5 n2  n  n n1 n 2 2 3 3 2 2 3 3 3 5 2n2 4 n2  n  ,n2k  所以S    2 2 3 3  kN* n 3 1 2n1 7 n2  n  ,n2k1 2 2 3 3 第 8 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 31a  21a  16. 数列 a  满足a  , n1  n ，数列b 1a2，数列c a2 a2 nN* n 1 2 1a 1a n n n n1 n n n1 （1）求证:数列 b  是等比数列； n （2）求数列 c  的通项公式． n 【答案】（1）证明见解析； 3 2 （2）c  ( )n，nN*. n 8 3 【解析】 【分析】（1）由题设可得3(1a2 )2(1a2)，结合题设即可证结论. n1 n 3 2 （2）由（1）可得a2 1 ( )n1，结合c a2 a2 nN* 写出 c  的通项公式. n 4 3 n n1 n n 【小问1详解】 3 由题设，3(1a2 )2(1a2)且a 1，即3b 2b 且b 0，而b 1a2  ， n1 n n n1 n n 1 1 4 b 2 3 3 2 所以 n1  且b  ，则 b  是首项为 ，公比为 的等比数列，得证. b 3 1 4 n 4 3 n 【小问2详解】 3 2 3 2 3 2 由（1）可得：b  ( )n1，故a2 1 ( )n1，则a2 1 ( )n， n 4 3 n 4 3 n1 4 3 9 2 3 2 3 2 所以c a2 a2  ( )n  ( )n  ( )n. n n1 n 8 3 4 3 8 3 3 2 则 c  的通项公式为c  ( )n. n n 8 3 17. 数列 a  满足a 1，a 2，a    1cos2 n  a sin2 n  nN* . n 1 2 n2  2  n 2 （1）分别求数列 a  和 a  的通项公式； 2n1 2n a （2）设b n  a 2n1 ，S n b 1 b 2   b n ，若对任意正整数n，不等式6S n  log 2 3m 9恒成立，求 2n 满足条件的整数m的集合D； 第 9 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4n6c 4n10 c 2 （3）若c D ，c  n  nN* ，判断 n 是否为等比数列？若不是，请说明 1 n1 2n1 2n1 理由；若是，试求出通项c ． n 【答案】（1）a n，a 2n 2n1 2n （2）D 2,1,0 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）推导出数列 a  为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得a ，推导出数列 a  2n1 2n1 2n 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得a ； 2n （2）分析数列 S  的单调性，求出数列 S  的最小项的值，可得出关于m的不等式，即可解得集合 n n D； c 2 （3）令d  n ，可得出d 2d ，对c 的取值进行分类讨论，结合等比数列的定义可得出结论， n 2n1 n1 n 1 结合等比数列的通项公式可得结果. 【小问1详解】  2n1 2n1 解：  a 2n1  1cos2 2 a 2n1 sin2 2  a 2n1 1，   故数列 a  是以1为首项，以1为公差的等差数列，则a 1n1n， 2n1 2n1 a   1cos2n  a sin2n2a ，且a 2， 2n2 2n 2n 2 故数列 a  是以a 2为首项，以2为公比的等比数列，故a  22n1  2n. 2n 2 2n 综上所述，a n，a 2n. 2n1 2n 【小问2详解】 a n 解：b  2n1  ，则S S b 0，故数列 S  为单调递增数列， n a 2n n1 n n1 n 2n 1 1 故S  S  ，由题意可得log 3m 9 3，可得0  3m  9  8，解得3 m  ， n min 1 2 2 3 因此，D 2,1,0 . 【小问3详解】 第 10 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) c 2 4n6c 4n10 解：设d  n ，则c 2n1d 2，代入c  n  nN* ， n 2n1 n n n1 2n1 4n62n1d 24n10 得2n3d 2  n  ， n1 2n1 即 2n32n1d 4n222n32n1d 8n124n10，可得d 2d ， n1 n n1 n c 2 c 2 因为d  1 ，故当c 2时，数列 n 不为等比数列； 1 3 1 2n1 c 2 1 c 2 2n1 2n12n16 当c 1时，d  1  ，数列 n 为等比数列，则d  ，c  ； 1 1 3 3 2n1 n 3 n 3 2 c 2 2n 2n12n 6 当c 0时，d  ，数列 n 为等比数列，则d  ，c  . 1 1 3 2n1 n 3 n 3 18. 已知数列{a }的各项均为整数，其前n项和为S ．规定：若数列{a }满足前r项依次成公差为1的等差 n n n 数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a }为“r关联数列”． n （1）若数列{a }为“6关联数列”，求数列{a }的通项公式； n n （2）在（1）的条件下，求出S ，并证明：对任意n∈N*，a S ≥a S ； n n n 6 6 （3）已知数列{a }为“r关联数列”，且a =﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得 n 1 a +a +…+a +a =a +a +…+a +a ？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由． 1 2 k﹣1 k 1 2 m﹣1 m 【答案】（1） （或 ） （2）见解析；（3）存在 或 或 或 ． 【解析】 【详解】试题分析：（1）若数列{a }为“6关联数列”，{a }前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，可 n n 得a =a +5，a =a +4，且 ，即 ，解得a ，即可求数列{a }的通项公式； 6 1 5 1 1 n （2）由（1）得 （或 ，可见数列 {a S }的最小项为a S =﹣6，即可证明：对任意n∈N*，a S ≥a S ； n n 6 6 n n 6 6 （3） ，分类讨论，求出所有的k，m值． 第 11 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 解：（1）∵数列{a }为“6关联数列”， n ∴{a }前6项为等差数列，从第5项起为等比数列， n ∴a =a +5，a =a +4，且 ，即 ，解得a =﹣3 6 1 5 1 1 ∴ （或 ） （2）由（1）得 （或 ） ， {S }：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{a S }：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72， n n n 400，…， 可见数列{a S }的最小项为a S =﹣6， n n 6 6 证明： ， 列举法知当n≤5时，（a S ） =a S =﹣5； n n min 5 5 当n≥6时， ，设t=2n﹣5，则 ． （3）数列{a }为“r关联数列”，且a =﹣10，∵ n 1 ∴ ①当k＜m≤12时，由 得（k+m）（k﹣m）=21（k﹣m）k+m=21，k，m≤12，m＞ k，∴ 或 ． ②当m＞k＞12时，由2k﹣11﹣56=2m﹣11﹣56得m=k，不存在 ③当k≤12，m＞12时，由 ，2m﹣10=k2﹣21k+112 当k=1时，2m﹣10=92，m∉N*；当k=2时，2m﹣10=74，m∉N*； 第 12 页 共 13 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 当k=3时，2m﹣10=58，m∉N*；当k=4时，2m﹣10=44，m∉N*； 第 13 页 共 13 页