文档内容
２０２５—２０２６学年度第一学期期末学业水平监测
高一数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答 案 Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ
二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。
题 号 ９ １０ １１
答 案 ＡＣ ＡＢＣ ＢＣＤ
注：有两个正确选项的，选出一个正确选项且未选错误选项的给３分，两个正确选项均选出且
未选错误选项的给６分；有三个正确选项的，选出一个正确选项且未选错误选项的给２分，仅选出
２个正确选项且未选错误选项的给４分，三个正确选项全部选出且未选错误选项的给６分。
三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分。
９
１２５ １３１５ １４
４
四解答题：
１５（１３分）
１
解：（１）由 ≤３ｘ－２≤９３－１≤３ｘ－２≤３２，解得１≤ｘ≤４，所以Ａ＝{ｘ１≤ｘ≤４}，……… ３分
３
由ｌｏｇ（３ｘ－１）＞３３ｘ－１＞２３，解得ｘ＞３，所以Ｂ＝{ｘｘ＞３}， …………… ６分
２
所以Ａ∪Ｂ＝{ｘｘ≥１} ………………………………………………………… ７分
（２）由ｘ∈Ｃ是ｘ∈Ａ的必要不充分条件，得Ａ是Ｃ的真子集，…………………… ８分
{ｍ－１＜１， {ｍ－１≤１，
所以 或 ……………………………………………… １１分
３ｍ＋１≥４， ３ｍ＋１＞４，
解得１≤ｍ≤２ ………………………………………………………………… １３分
１６（１５分）
解：（１）由ｇ（ｘ）＝９ｘ－３ｘ＋１＋５＝（３ｘ）２－３·３ｘ＋５＜３，
得（３ｘ）２－３·３ｘ＋２＜０，所以（３ｘ－１）（３ｘ－２）＜０，…………………………… ４分
即１＜３ｘ＜２，故０＜ｘ＜ｌｏｇ２，
３
高一数学参考答案第１页（共４页）
{#{QQABIYaUogigQpAAARhCEQXKCAOYkAEACKgGRBAcMAAAQRNABAA=}#}所以不等式ｇ（ｘ）＜３的解集为（０，ｌｏｇ２） …………………………………… ７分
３
（２）定义域为（０，＋∞），ｆ（ｘ）＝(ｌｏｇ１
３
９－ｌｏｇ１
３
ｘ)·(ｌｏｇ
９
９＋ｌｏｇ
９
ｘ２)
＝（－２＋ｌｏｇｘ）·（１＋ｌｏｇｘ），…………………… １１分
３ ３
令ｔ＝ｌｏｇｘ，则ｔ∈Ｒ，
３
( １)２ ９
记ｆ（ｘ）＝φ（ｔ）＝（ｔ－２）（ｔ＋１）＝ｔ２－ｔ－２＝ ｔ－ － ，………………… １３分
２ ４
９ [ ９ )
由φ（ｔ）≥－ 知，函数ｆ（ｘ）的值域为 － ，＋∞ ………………………… １５分
４ ４
１７（１５分）
解：（１）从 ６人中随机抽取 ３人的所有可能组合为：（ＨＨＡ），（ＨＨＡ），（ＨＨＤ），
１ ２ １ １ ２ ２ １ ２ １
（ＨＨＤ），（ＨＡＡ），（ＨＡＤ），（ＨＡＤ），（ＨＡＤ），（ＨＡＤ），（ＨＤＤ），
１ ２ ２ １ １ ２ １ １ １ １ １ ２ １ ２ １ １ ２ ２ １ １ ２
（ＨＡＡ），（ＨＡＤ），（ＨＡＤ），（ＨＡＤ），（ＨＡＤ），（ＨＤＤ），（ＡＡＤ），
２ １ ２ ２ １ １ ２ １ ２ ２ ２ １ ２ ２ ２ ２ １ ２ １ ２ １
（ＡＡＤ），（ＡＤＤ），（ＡＤＤ），共２０种…………………………………… ４分
１ ２ ２ １ １ ２ ２ １ ２
记“硬件组的Ｈ 和算法组的Ａ同时被抽中”为事件Ｘ，则事件Ｘ包含：（ＨＨＡ），
１ １ １ ２ １
４ １
（ＨＡＡ），（ＨＡＤ），（ＨＡＤ），共４种，所以Ｐ（Ｘ）＝ ＝ …………… ７分
１ １ ２ １ １ １ １ １ ２ ２０ ５
（２）记“硬件组恰有 １人被抽中”为事件 Ｙ，则事件 Ｙ包含：（ＨＡＡ），（ＨＡＤ），
１ １ ２ １ １ １
（ＨＡＤ），（ＨＡＤ），（ＨＡＤ），（ＨＤＤ），（ＨＡＡ），（ＨＡＤ），（ＨＡＤ），
１ １ ２ １ ２ １ １ ２ ２ １ １ ２ ２ １ ２ ２ １ １ ２ １ ２
１２ ３
（ＨＡＤ），（ＨＡＤ），（ＨＤＤ），共１２种，所以Ｐ（Ｙ）＝ ＝ ………… １０分
２ ２ １ ２ ２ ２ ２ １ ２ ２０ ５
１ ２ ３
（３）记Ｈ，Ａ，Ｄ 答辩通过分别为事件 Ｈ，Ａ，Ｄ，则 Ｐ（Ｈ）＝ ，Ｐ（Ａ）＝ ，Ｐ（Ｄ）＝ ，
１ １ １ ２ ３ ４
— — —
记“该团队答辩通过”为事件Ｚ，则Ｚ＝ＨＡＤ＋ＨＡＤ＋ＨＡＤ＋ＨＡＤ，………… １２分
— — —
Ｐ（Ｚ）＝Ｐ（ＨＡＤ＋ＨＡＤ＋ＨＡＤ＋ＨＡＤ）
— — —
＝Ｐ（ＨＡＤ）＋Ｐ（ＨＡＤ）＋Ｐ（ＨＡＤ）＋Ｐ（ＨＡＤ）
１ ２ ３ １ ２ ３ １ １ ３ １ ２ １ １７
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＋ × × ＝ …… １５分
２ ３ ４ ２ ３ ４ ２ ３ ４ ２ ３ ４ ２４
１８（１７分）
ｘ２＋（ｍ＋２）ｘ＋１ １
解：（１）记ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ－１）＋２＝ ＝ｘ＋ ＋ｍ＋２，
ｘ ｘ
由条件知ｇ（ｘ）＋ｇ（－ｘ）＝０对任意ｘ≠０成立，
１ １
ｘ＋ ＋ｍ＋２－ｘ－ ＋ｍ＋２＝０，解得ｍ＝－２，…………………………………… ３分
ｘ ｘ
ｘ２－２ｘ＋１ （ｘ－１）２
ｆ（ｘ－１）＝ ＝ ，
ｘ （ｘ－１）＋１
高一数学参考答案第２页（共４页）
{#{QQABIYaUogigQpAAARhCEQXKCAOYkAEACKgGRBAcMAAAQRNABAA=}#}ｘ２
所以ｆ（ｘ）＝ ，定义域为｛ｘ｜ｘ≠－１｝…………………………………………… ５分
ｘ＋１
（２）ｆ（ｘ）在（０，＋∞）单调递增，证明如下：
任取ｘ，ｘ∈（０，＋∞），且ｘ＜ｘ，则
１ ２ １ ２
ｘ２ ｘ２ ｘ２（ｘ＋１）－ｘ２（ｘ＋１） （ｘ－ｘ）（ｘｘ＋ｘ＋ｘ）
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ ２ － １ ＝２ １ １ ２ ＝ ２ １ １２ １ ２ ，
２ １ ｘ＋１ ｘ＋１ （ｘ＋１）（ｘ＋１） （ｘ＋１）（ｘ＋１）
２ １ １ ２ １ ２
………………………………………………………………………………………… ９分
因为０＜ｘ＜ｘ，所以ｘ－ｘ＞０，ｘ＋１＞ｘ＋１＞０，ｘｘ＋ｘ＋ｘ＞０，
１ ２ ２ １ ２ １ １２ １ ２
所以ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＞０，即ｆ（ｘ）＞ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）在区间（０，＋∞）上单调递增
２ １ ２ １
……………………………………………… １１分
{ａ－１≠－１，
（３）由 解得ａ≠０，
ａ２－１≠－１，
（ａ－１）２ （ａ２－１）２ －（ａ－１）２（ａ２＋ａ＋１）
ｆ（ａ－１）－ｆ（ａ２－１）＝ － ＝ ，…………… １４分
ａ ａ２ ａ２
( １)２ ３
而ａ２＋ａ＋１＝ ａ＋ ＋ ＞０，ａ２＞０，
２ ４
所以ｆ（ａ－１）－ｆ（ａ２－１）＜０等价于（ａ－１）２≠０，
所以实数ａ的取值范围是（－∞，０）∪（０，１）∪（１，＋∞） ……………………… １７分
１９（１７分）
１
解：（１）由条件，ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋２，ｘ∈［１，＋∞），对称轴为ｘ＝－ ，
２
所以ｆ（ｘ）在［１，＋∞）单调递增，ｆ（ｘ）≥ｆ（１）＝４，…………………………… ２分
( １)ｆ（ｘ） ( １)４ １ ( １]
０＜ ≤ ≤ ，即ｈ（ｘ）的值域为 ０， ………………………… ４分
２ ２ １６ １６
（２）令ｔ＝２ｘ２，ｘ∈［１，３］，则ｔ∈［２，８］，
２
ｇ（ｔ）＝ｔ２＋２ｔ－１，对称轴为ｔ＝－１，ｇ（ｔ）在区间［２，８］上单调递增，
ｇ（２ｘ２）的最小值为ｇ（２）＝７…………………………………………………… ６分
因为ｂ＝２，所以ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ａｘ＋２，问题转化为ｘ∈［１，２］，ｆ（ｘ）≥７恒成立，
ａ
对称轴为ｘ＝－ ，图象开口向上
２
ａ
当－ ＜１ａ＞－２时，ｆ（１）＝ａ＋３≥７，解得ａ≥４；
２
ａ ( ａ) ａ２
当１≤－ ≤２－４≤ａ≤－２时，ｆ － ＝－ ＋２≥７，无解；
２ ２ ４
ａ １
当－ ＞２ａ＜－４时，ｆ（２）＝２ａ＋６≥７，得ａ≥ 矛盾
２ ２
高一数学参考答案第３页（共４页）
{#{QQABIYaUogigQpAAARhCEQXKCAOYkAEACKgGRBAcMAAAQRNABAA=}#}综上，实数ａ的取值范围是［４，＋∞）………………………………………… ９分
（３）ｆ（ｇ（ｘ））＝０［ｇ（ｘ）］２＋ａｇ（ｘ）＋ｂ＝０，
令ｚ＝ｇ（ｘ）＝ｘ２＋２ｘ－１，则方程化为ｚ２＋ａｚ＋ｂ＝０，Δ＝ａ２－４ｂ＞０，
０
设其两根为ｚ，ｚ（ｚ≠ｚ），则ｚ＋ｚ＝－ａ，ｚｚ＝ｂ＞０，
１ ２ １ ２ １ ２ １２
由条件，对于每个ｚ（ｉ＝１，２），方程ｇ（ｘ）＝ｚ有两个不等实根，
ｉ ｉ
故Δ＝４＋４（１＋ｚ）＞０，即ｚ＞－２，
ｉ ｉ ｉ
设方程ｘ２＋２ｘ－１－ｚ＝０的两根为ｘ，ｘ，则ｘ＋ｘ＝－２，ｘｘ＝－１－ｚ，
１ １ ２ １ ２ １２ １
设方程ｘ２＋２ｘ－１－ｚ＝０的两根为ｘ，ｘ，则ｘ＋ｘ＝－２，ｘｘ＝－１－ｚ，
２ ３ ４ ３ ４ ３４ ２
１ １ １ １ ｘ＋ｘ ｘ＋ｘ ２ ２
＋ ＋ ＋ ＝１ ２＋３ ４＝ ＋ ＝４，
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘｘ ｘｘ １＋ｚ １＋ｚ
１ ２ ３ ４ １２ ３４ １ ２
１ １ １＋ｚ＋１＋ｚ ２＋ｚ＋ｚ ２－ａ
＋ ＝ １ ２ ＝ １ ２ ＝ ＝２，解得ａ＝２ｂ
１＋ｚ １＋ｚ （１＋ｚ）（１＋ｚ） １＋ｚ＋ｚ＋ｚｚ １－ａ＋ｂ
１ ２ １ ２ １ ２ １２
………………………………………… １３分
方程ｚ２＋２ｂｚ＋ｂ＝０有２个大于－２的不等实根，
ｂ＞０，
４ｂ２－４ｂ＞０，
４
所以 解得１＜ｂ＜ ………………………………………… １５分
３
－ｂ＞－２，
４－４ｂ＋ｂ＞０，
３６ ３６
故 ＋４ｂ＝ ＋（４ｂ＋１）－１≥２槡３６－１＝１１，
２ａ＋１ （４ｂ＋１）
５
当且仅当４ｂ＋１＝６ｂ＝ 时等号成立
４
３６
所以 ＋４ｂ的最小值为１１ ……………………………………………… １７分
２ａ＋１
（以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
高一数学参考答案第４页（共４页）
{#{QQABIYaUogigQpAAARhCEQXKCAOYkAEACKgGRBAcMAAAQRNABAA=}#}
