精品解析：上海市华东师范大学第三附属中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高二_下学期

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 华师大三附中高二下期末考试 一、填空题（第 1－6题每题 4分，第 7－12题每题 5分，满分 54分） l:x2y1 1. 已知直线 ，则直线l的斜率k ______． 1 【答案】 ##0.5 2 【解析】 【分析】将直线l的方程化为斜截式，即可得出直线l的斜率. 1 1 【详解】将直线l的方程化为斜截式方程可得y  x ， 2 2 1 因此，直线l的斜率为k  . 2 1 故答案为： . 2 1 1 2. 已知PA ，PAB ，则P  B A  ______． 4 8 1 【答案】 ##0.5 2 【解析】   【分析】利用条件概率公式可求得P B A 的值. 1 PAB 1 1 【详解】因为PAB PA  B 8 ，由条件概率公式可得P  B A   PA  8 4 2 . 1 故答案为： . 2 3. 函数 f x x在区间 2,4 上的平均变化率为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】 y 根据平均变化率的概念，得到 ，简单计算，可得结果. x f(4) f(2) 42 【详解】  1 42 2 故答案为：1 【点睛】本题考查平均变化率的概念，属基础题. y2 x2 4. 已知双曲线C：  1，则双曲线C的离心率e＝______． 4 5 第 1 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 【答案】 2 【解析】 【分析】求出c3，从而得到离心率. 【详解】由题意得c 2 a 2 b 2 459，故c3， c 3 所以离心率为e  . a 2 3 故答案为： 2 x2 y2 5. 已知M 1,2,3 ，且mM ，nM ，方程  1表示的曲线是双曲线，则有______条不同的 m n 双曲线． 【答案】9 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】因为M 1,2,3 ，且mM ，nM ，则m、n的取值各有3种， x2 y2 方程  1表示的曲线是双曲线，则不同的双曲线的条数为32 9. m n 故答案为：9. 6. 掷一颗骰子，则掷得点数的期望是______． 7 【答案】 2 【解析】 【分析】掷一颗骰子，设掷得点数为 X ，则 X 的可能取值有：1、2、3、4、5、6，分析可得出 1 PX k k 1,2,3,4,5,6，进而可求得EX 的值. 6 【详解】掷一颗骰子，设掷得点数为X ，则X 的可能取值有：1、2、3、4、5、6， 1 则PX k k 1,2,3,4,5,6， 6 1 7 因此，EX 123456 . 6 2 7 故答案为： . 2 第 2 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x2 y2 7. 已知P：1m3，Q：  1表示椭圆，则P是Q的______条件． m1 3m 【答案】必要不充分 【解析】 x2 y2 【分析】先求出方程  1表示椭圆时m的范围，再利用充分条件与必要条件的定义判定即 m1 3m 可． x2 y2 【详解】若方程  1表示椭圆， m1 3m m10  则3m0 ,1m3且m2，  m13m   {m∣1m3且m2}{m∣1m3}， x2 y2 1m3是方程  1表示椭圆的必要不充分条件， m1 3m 即P是Q的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分． ex 8. 函数 f x 在 0,2 上的最小值为__________. x 【答案】e 【解析】 【分析】对 f x 求导，从而得到 f x 在 0,2 上的单调性，进而求出 f x 在 0,2 上的最小值. exx1 【详解】 fx ,x0,2，由 f¢(x)>0得1 x2，由 fx0得0 x1， x2 所以 f x 在 0,1 上单调递减，在 1,2 上单调递增， 所以 f(x)  f 1e. min 故答案为：e. 9. 定义：如果三位数abc满足ac且ab，则称这样的三位数为“V ”型三位数，试求由0，1，2，3，4 这5个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“V ”型三位数的概率是___________. 第 3 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 【答案】 ##0.15 20 【解析】 【分析】根据分步乘法原理，计算所有三位数的个数，利用列举法，求得符合题意个数，根据古典概型计 算公式，可得答案. 【详解】由0，1，2，3，4这5个数字组成三位数，百位不能为零，则有4种情况，十位与个位各自有5 种情况，则所组成的所有三位数个数为455100， 其中“V ”型三位数的有101，202，212，303，313，323，404，414，424，434，505，515， 525，535，545，共15个， 15 3 则概率为  . 100 20 3 故答案为： . 20 10. 2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们 选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格： A区 B区 C区 D区 E区 外来务工人员数 5000 4000 3500 3000 2500 留在当地的人数占 80% 90% 80% 80% 84% 比 根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为 yˆ 0.8135xaˆ. 该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴2000元，该市F 区有10000名外来务工人员，根据线性 回归方程估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为__________万元（参考数据： 取0.81353629.29). 【答案】1637.2 【解析】 【分析】求出x,y，利用中心点求得a，然后令x10000代入可得估计值，求得留在当地过年的人员数， 可得补贴总额． 50004000350030002500 【详解】解：由已知x 3600， 5 50000.840000.935000.830000.825000.84 y  2980， 5 所以29800.81353600a，则a 51，即yˆ 0.8135x51， 第 4 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x10000时，yˆ 0.813510000518186， 估计应补贴81860.21637.2（万元）． 故答案为：1637.2． 11. 若方程 x2 1a(x1)恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是______． 2 【答案】(1, ) 2 【解析】 【分析】转化为图象交点问题，由直线与双曲线性质求解 【详解】y  x2 1即y2 x2 1(y1)，表示双曲线的一支， y a(x1)表示过点(1,0)斜率为a的直线， 由题意得y  x2 1与y a(x1)的图象恰有两个交点，即直线与双曲线的两个交点都在x轴上方， y a(x1) 2 2 当直线与双曲线相切时， ，联立后由Δ0解得a ，当a 时，切点在x轴下 y2 x2 1 2 2 方，舍去， 当a1时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点， 2 当直线与双曲线的两个交点都在x轴上方时，a(1, ) 2 2 故答案为：(1, ) 2 12. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点Fa,0、 1 第 5 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) Fa,0距离之积等于a2a 0 的点的轨迹称为双纽线C．已知点P  x,y  是双纽线C上一点，下列说 2 0 0 法中正确的是______．（填上你认为所有正确的序号） ①双纽线C关于原点O中心对称； ②双纽线C上满足 PF  PF 的点P只有1个； 1 2 ③a y a； 0 ④ PO 的最大值为 2a． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将(x,y)替换方程中的(x,y)进行判断，对于 ②，由题意得 PF  PF ，从而可得点P在y轴上，进行可判断，对于③，根据三角形的等面积法分析判 1 2 断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断. 【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F(a,0),F (a,0)距离之积等于 1 2 a2(a 0)的点的轨迹称为双纽线C，所以 (xa)2  y2 (xa)2  y2 a2， 用(x,y)替换方程中的(x,y)，原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，所以①正确， 对于②，若双纽线C上的点P满足 PF  PF ，则点P在y轴上，即x0， 1 2 所以 a2  y2 a2  y2 a2，得y0，所以这样的点P只有一个，所以②正确， 1 1 对于③，根据三角形的等面积法可知 PF PF sinFPF  2a y ， 2 1 2 1 2 2 0 a a a a 即 y  sinFPF  ，所以  y  ，所以③错误， 0 2 1 2 2 2 0 2  1   对于④，因为PO (PF PF )，所以 2 1 2 第 6 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 1 2   2  1 2   2  PO  PF 2PF PF  PF  PF 2 PF  PF cosFPF  PF ， 4 1 1 2 2 4 1 1 2 1 2 2 2   2 由余弦定理得4a2  PF 2 PF  PF cosFPF  PF ， 1 1 2 1 2 2 2   所以 PO a2  PF  PF cosFPF a2 a2cosFPF 2a2， 1 2 1 2 1 2 所以|PO|的最大值为 2a，所以④正确， 故答案为：①②④ 二、选择题（本大题共 4题，满分 20分） 13. 已知An 109876，则n的值为（ ） 10 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用排列数公式计算作答. 10! 10! 10! 10! 【详解】因为An  ，而109876 ，即有  ，于是10n5， 10 (10n)! 5! (10n)! 5! 所以n的值为5. 故选：C k 14. 设随机变量X的分布列P(X i) (i 1,2,3)，则PX 2 的值为（ ） 2i 3 4 5 A. 1 B. C. D. 7 7 7 【答案】B 【解析】 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出k，然后求解PX 2 即可. k 【详解】因为随机变量X的分布列P(X i) (i 1,2,3)， 2i k k k 8 所以   1，解得：k  ， 21 22 23 7 8 8 PX 2 PX 2PX 3 7  7  2  1  3 . 4 8 7 7 7 故选：B. 15. 如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） 第 7 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C. 两种证券的收益有同向变动的倾向 D. 两种证券的收益有反向变动的倾向 【答案】C 【解析】 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，C对，ABD错. 故选：C. x2 y2 16. 已知椭圆C:  1(ab0)的左、右焦点分别是F(c,0) ，F (c,0)，若离心率 a2 b2 1 2 51 e (e0.618)，则称椭圆C为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的个数是（ ） 2 ①在黄金椭圆C中，b2 ac； ②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E，B，则FEB90o； 1 ③在黄金椭圆C中，以A(a,0)，B(a,0)，D(0,b)，E(0,b)为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点 F ，F ． 1 2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金椭圆的概念及b2 a2 c2可判断①，根据条件及勾股定理可判断②，根据条件可求内 切圆的半径进而可判断③. c 51 51 【详解】对①，因为  ，所以a c，则 a 2 2 3 1   51 b2 a2 c2   + 5  c2 c2     c2 ac ，故①正确； 2 2   2  对②，因为在 F 1 EB中， F 1 E a, F 1 B ac, EB 2 a2 b2，由①知，b2 ac， 所以 FB 2 ac2 a2 c2 2aca2 2b2 c2 2a2 b2  FE 2  EB 2 ， 1 1 第 8 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 即FEB90o，故②正确； 1 对③，由题可知以A(a,0),B(a,0),D(0,b),E(0,b)为顶点的菱形ADBE的内切圆是以原点为圆心，设 圆心的半径为r， ab a a c a c a r     所以 a2 b2 a2 ac ac 1 ， 1 e 51 代入离心率得到r  a c，所以圆过焦点F,F ，故③正确． 1 2 2 故选：D． 三、解答题（本大题共有 5题，满分 76分） 17. 已知函数 f x x3ax2 ba,bR 的图象过点 1,0 ，且 f24． （1）求a，b的值； （2）求曲线y  f x 在点  1, f 1 处的切线方程． 【答案】（1）a2，b3； （2）x y30 【解析】 【分析】（1）根据点 1,0 以及 f24列方程，从而求得a,b的值. （2）利用切点和斜率求得切线方程. 【小问1详解】 因为函数 f x x3 ax2 b的图象过点 1,0 ，所以1ab0①． 又 fx3x2 2ax， f24， 所以 f2322 22a 124a 4②， 由①②解得：a2，b3． 【小问2详解】 由（1）知 f x x3 2x2 3， 又因为 f 12， f1341， 所以曲线y  f x 在  1, f 1 处的切线方程为y2x1 ， 第 9 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 即x y30． n  1  18. 已知二项式  ax  的第三项和第八项的二项式系数相等.  x  （1）求n的值； （2）若展开式的常数项为84，求a. 【答案】（1）n9；（2）a 1. 【解析】 【分析】 （1）由已知可得出C2 C7，进而可求得n的值； n n （2）写出二项展开式的通项，令x的指数为零，可求得参数的值，再将参数的值代入通项可得出关于a的 等式，由此可解得实数a的值. 【详解】（1）由第3项和第8项的二项式系数相等可得C2 C7，解得n279； n n （2）由（1）知，展开式的第r1项为：T Cr ax9r    1   r a9rCrx 9 3 2 r ； r1 9 9  x  3 令9 r 0，得r 6，此时展开式的常数项为a93C6 84a 384，解得a 1. 2 9 19. 一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球． （1）从中有放回地依次摸出2个球，求两球颜色不同的概率； （2）从中不放回地依次摸出2个球，记两球中白球的个数为X ，求X 的期望与方差． 12 【答案】（1） 25 4 9 （2）EX ，DX 5 25 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知随机变量X 的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，即可计算出 EX 和DX 的值. 【小问1详解】 2 3 解：从这5个球中任意抽取一个球，抽到白球的概率为 ，抽到红球的概率为 ， 5 5 第 10 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 3 12 因此，从中有放回地依次摸出2个球，则两球颜色不同的概率为2   . 5 5 25 【小问2详解】 解：由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2， A2 3 2C1C1 3 A2 1 则PX 0 3  ，PX 1 2 3  ，PX 2 2  ， A2 10 A2 5 A2 10 5 5 5 3 3 1 4 所以，EX0 1 2  ， 10 5 10 5 2 2 2  4 3  4 3  4 1 9 DX  0     1     2    .  5 10  5 5  5 10 25 a 20. 已知函数 f x2lnx ． x2 （1）若 f x 在  1, f 1 处的切线与x轴平行，求a的值； （2）若y  f x 在区间 2,3 上是严格增函数，求a的取值范围； （3） f x 是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）a 1 （2） ,4 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出 f x ，由导数的几何意义可得出 f10，即可求得实数a的值； 2 2a （2）由题意可得出x2,3 ， fx  0，利用参变量分离法可得出a  x2，求出x2的取值范 x x3 围，即可得出实数a的取值范围； （3）分a0、a0两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数 f x 的极值点的情况. 【小问1详解】 a 2 2a 解：因为 f x2lnx ，则 fx  ， x2 x x3 因为 f x 在  1, f 1 处的切线与x轴平行，则 f122a0，解得a 1. 【小问2详解】 第 11 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 解：因为y  f x 在区间 2,3 上是严格增函数， 2 2a 则x2,3 ， fx  0，可得a  x2， x x3 当2 x3时，则4 x2 9，所以，a4， 因此，实数a的取值范围是 ,4 . 【小问3详解】 解：函数 f x 的定义域为 0, ， fx 2  2a  2  x2 a  . x x3 x3 当a0时，对任意的x0， f¢(x)>0，此时函数 f x 无极值点； 当a0时，令 fx0可得x a， 由 fx0可得0 x a ，由 f¢(x)>0可得x a. 此时，函数 f x 的减区间为  0, a  ，增区间为  a,  . 所以，函数 f x 在x a处取得极小值. 综上所述，当a0时，函数 f x 无极值点； 当a0时，函数 f x 的极小值点为x a. x2 y2 21. 如图，已知椭圆 :  1的两个焦点为F,F ，且F,F 为双曲线Γ 的顶点，双曲线Γ 的离 1 8 4 1 2 1 2 2 2 心率e 2，设P为该双曲线Γ 上异于顶点的任意一点，直线PF,PF 的斜率分别为k ,k ，且直线 2 1 2 1 2 PF 和PF 与椭圆Γ 的交点分别为A,B和C,D. 1 2 1 （1）求双曲线Γ 的标准方程； 2 （2）证明：直线PF,PF 的斜率之积k k 为定值； 1 2 1 2 第 12 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AB （3）求 的取值范围. CD x2 y2 【答案】（1）  1 4 4 1  （2）证明见解析 （3） ,1  1,2 2  【解析】 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的标准方程求解即可； y y （2）设点P  x,y  ，由斜率的定义可知k k  0  0 ，再将P  x,y  代入双曲线方程即可求 0 0 1 2 x 2 x 2 0 0 0 0 解； 1 （3）利用（2）中结论设直线AB的方程为 y kx2 ，CD的方程为 y  x2，分别代入椭圆方 k 程求得 AB , CD 即可求解. 【小问1详解】 x2 y2 设双曲线Γ 的标准方程为  1(a0,b0)， 2 a2 b2 c 由题意知a2，且  2，所以ab2， a x2 y2 所以双曲线Γ 的标准方程为：  1； 2 4 4 【小问2详解】 设点P  x,y  ，由题可知F 2,0,F 2,0 ， 0 0 1 2 y y 则k  0 ,k  0 ， 1 x 2 2 x 2 0 0 y y y2 所以k k  0  0  0 ， 1 2 x 2 x 2 x2 4 0 0 0 x2 y2 由点P在双曲线上，可知 0  0 1，即有x2 4 y2， 0 0 4 4 y2 所以 0 1，故k k 1； x2 4 1 2 0 第 13 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【小问3详解】 由（2）可知k k 1，且k k ,k ,k 0， 1 2 1 2 1 2 所以可设直线AB的方程为y kx2 ， 1 则直线CD的方程为y  x2， k x2 y2 把直线AB的方程y kx2 代入椭圆方程   1， 8 4 整理得  12k2 x2 8k2x8  k2 1  0， 设Ax ,y ,Bx ,y  ，则有x x  8k2 ,x x  8  k2 1  ， 1 1 2 2 1 2 12k2 1 2 12k2 因此 AB  1k2 x x 2 4x x   1 2 1 2   8k2  2 8  k2 1  4 2  1k2   1k2    4   ，  12k2  12k2  12k2   1 x2 y2 把直线CD的方程y  x2代入椭圆方程   1， k 8 4  2  8  1  整理得 1  x2  x8  1  0，  k2  k2 k2  8 88k2 设Cx ,y  ，Dx ,y  ，则有x x  ，x x  ， 3 3 4 4 3 4 2k2 3 4 2k2  1  因此 CD   1  x x 2 4x x   k2   3 4 3 4  1    8  2 88k2 4 2  k2 1    1   4   ，  k2  2k2  2k2  2k2 第 14 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4 2  1k2 AB 12k2 2k2 1 2 所以     ,又k 0,1,1， CD 4 2  k2 1  12k2 2 12k2 2k2 所以k20,1  1, ， 3 3 所以 2   0, 1  1 , 3 , 1  2  1 ,1  1,2 ，       12k2  2 2 2 2 12k2 2  AB 1  所以 的取值范围为 ,1  1,2 . CD 2  【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为 Ax ,y  ，Bx ,y  ， 1 1 2 2 （2）联立直线与曲线方程，得到关于x或y的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为x x ,x x 形式； 1 2 1 2 （5）代入韦达定理求解. 第 15 页 共 15 页