精品解析：上海市位育中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_上学期_3：期末

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 上海市位育中学 2022－2023 学年第一学期高一期末考试数学试卷 2023.01 一.填空题（每题 5分） f xlog x1 1. 函数 2 的定义域是______. 【答案】(,1) 【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于零即可求解. 【详解】由x10解得x1， 故答案为: (,1). 2. 不等式x2 2x30的解集是________________. 【答案】 1,3 【解析】 【详解】试题分析：x2 2x30x2 2x30x1x301 x3,不等式的解集为 1,3 考点：一元二次不等式解法 3. 若实数x、y满足xy 1，则3x2 2y2的最小值为______. 【答案】2 6 【解析】 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为xy 1，  2  2 所以由3x2 2y2  3x  2y 2 3x 2y 2 6，当且仅当 3x 2y时取等号， 1 1 1 1 34 24 34 24 即当y  ,x 或y  ,x 时取等号，         2 3 2 3 故答案为：2 6 4. 函数 f xax11(a 0且a 1）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______. 【答案】(1,0) 第 1 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】根据指数函数图象恒过点(0,1)，再根据图象的平移变换即可求解. 【详解】因为指数函数y ax恒过定点(0,1)， 将图象向左平移一个单位可得y ax1，此时恒过定点(1,1)， 再将函数向下平移一个单位可得y ax11，此时恒过定点(1,0)， 所以这个定点的坐标为(1,0)， 故答案为：(1,0). 5. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应 假设的内容是_______． 【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【解析】 【分析】从命题的否定入手可解. 【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出 矛盾，从而肯定命题. 6. 若log 3a,4b 5，则log 45______（用a、b表示） 2 4 【答案】ab##ba 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 1 【详解】4b 5blog 5 log 52blog 5， 4 2 2 2 1 1 1 1 log 4 45 2 log 2 45 2   log 2 59   2  log 2 5log 2 32  2 log 2 52log 2 3 1  2b2aab， 2 故答案为：ab 2 1 7. 若 f x x3 x  3，则满足 f x0的x的取值范围______. 【答案】(0,1) 【解析】 第 2 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 【分析】由题设有0 3 x2  ，可得x0，进而求解即可. 3 x 1 【详解】由题意 x 2 3 x  1 3 0 ，则 3 x2  3 x 且x0，而3 x2 0， 1 所以 0，即x0，故x3 1，可得0 x1. 3 x 故答案为：(0,1) 8. 已知偶函数 f(x)在[0,)上是严格减函数， f 31.则不等式 f x11的解集为______. 【答案】[2,4] 【解析】 【分析】利用函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】因为函数 f(x)为偶函数，且 f 31，所以 f(3)1， 又因为函数 f(x)在[0,)上单调递减，且 f 31， x10 所以不等式 f x11可化为 ，解得：1 x4； x13 因为函数 f(x)为偶函数，且函数 f(x)在[0,)上单调递减， 所以函数 f(x)在(,0)上单调递增， x10 当x 0时，不等式 f x11可化为 ，解得：- 2£ x<1， x13 综上：原不等式的解集为：[2,4]， 故答案为：[2,4]. x6,x2 9. 若函数 f x （a0且a 1）的值域是 4, ，则实数a的取值范围是 3log x,x2  a __________． 【答案】 1,2 【解析】 x6,x2 【详解】试题分析：由于函数 f x{ a0,a1 的值域是 4, ，故当x2时，满 3log x,x2 a 第 3 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 足 f x6x4， 当 x2时 ， 由 f x3log x4， 所 以 log x1， 所 以 a a log 211a2，所以实数a的取值范围1a2. a 考点：对数函数的性质及函数的值域. 【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数 的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应 用，本题的解答中，当x2时，由 f x4，得log x1，即log 21，即可求解实数a的取值范围. a a 1 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（0，a）、C（a，0）（a 1），OABC是正方形.函数  yx 2 与线段BC交于点P，函数y 2x2与线段AB交于点Q.当 AQ |CP|最小时，a的取值为______. 【答案】 2 【解析】 【分析】根据题意，表示出 AQ , CP ，利用基本不等式求出最值，即可求解. 【详解】因为A0，a 、Ca，0 （a 1），OABC是正方形，函数  1 与线段BC交于点P， yx 2 1 所以 CP a  2. a 因为函数y 2x2与线段AB交于点Q，所以 AQ  x  . Q 2 a 1 a 1 a 1 因为a 1，所以 AQ |CP|=  2   2 2 （当且仅当  ，即a  2时 2 a 2 a 2 a “=”成立）. 所以当a  2时 AQ |CP|最小. 故答案为： 2 . a2 11. 设a为实常数，y  f x 是定义在R上的奇函数，当x 0时， f x4x 6，若 f xa1 x 第 4 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 对一切x 0成立，则a的取值范围为______. 7 【答案】(, ] 5 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式分类讨论进行求解即可.  a2  a2 【详解】当x0时， f xf x4x 64x 6， x x   a2 由 f xa14x 6a1， x a2 a2 a2 当x0时，4x 62 4x 64 a 6，当且仅当4x 时取等号，即 x x x a x 时取等号， 2 a0 a0 要想 f xa1恒成立，只需4 a 6a1成立，则有 ，或 ，解得 4a6a1 4a6a1 7 7 a  ，或a ， 3 5 当x0时，由奇函数的性质可知 f 00，所以要想 f 0a1a10a1， 7 综上所述：a的取值范围为(, ]， 5 7 故答案为：(, ] 5 12. 已知集合 At1,t2t5,t10 ，0A，如果存在正数，使得对任意aA，都满足  A，则实数t＝______. a 【答案】－4或0 【解析】 【分析】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可.  【详解】当t1时，当at1,t2 时，则 t5,t10 ， a  当at5,t10 时，则 t1,t2 ， a   即当at1时， t10；当a t10时， t1；所以t10t1 ， a a 第 5 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   当at2时， t5；当a t5时， t2，所以t5t2 ， a a 因此有t10t1t5t2t 0；  当t20t5时，当at1,t2 时，则 t1,t2 ， a  当at5,t10 时，则 t5,t10 ， a   即当at1时， t2；当a t10时， t1；所以t2t1 ， a a   当a t5时， t10；当a t10时， t5，所以t5t10 ， a a 因此有t2t1t5t10t 4， 当t100时，同理可得无解， 综上所述：实数t的值为－4或0， 故答案为：－4或0 【点睛】关键点睛：根据区间取特殊值分类讨论进行求解是解题的关键. 二.选择题（每题 5分） 13. 下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） 1 A. y  B. y 2x x 1 C. D. y lnx y  x3 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质，对四个选项一一判断. 1 【详解】对于A：y  的定义域为 ,0U0, ，为奇函数；增区间为 ,0,0, .故A错 x 误； 对于B：y 2x的定义域为R ，为非奇非偶函数.故B错误； 1 1 1 1 1 1 对于C： y  x3 的定义域为R .因为x 3 x3，所以 y  x3 为奇函数；因为 0，所以 y  x3 为增 3 函数.故C正确； 对于D：y lnx的定义域为 0, ，为非奇非偶函数.故D错误. 故选：C 14. “ab0”是“ ab  a  b ”的（ ）条件 第 6 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】分别从充分性和必要性进行论证即可求解. 【详解】若ab0，则a,b同号，所以 ab  a  b 成立，充分性成立； 若 ab  a  b 成立，两边同时平方可得：a2 b2 2aba2 b2 2 ab ， 所以 ab ab，则ab0，所以必要性不成立， 所以“ab0”是“ ab  a  b ”的充分不必要条件， 故选：A. 1 x 1 15. 若x 0 是函数 f x 2   x3的零点，则x 0 属于区间（ ）． 2  1 2 1 1  1 A.  ,1  B.  ,  C.  ,  D.  0,  3  2 3 3 2  3 【答案】C 【解析】 1 x 1 【分析】由题意x 0 是函数 f x 2   x3=0的解，根据指数函数和幂函数的增减性进行解答即可. 1 1 1 1 13 13 12 13 【详解】由题意，根据指数函数和幂函数的性质，可得  ,  ，         2 3 2 2 1 1 1 1 所以 f 1  13  13 0, f 1  12  13 0，即 f   1   f   1  0．  3    2    3    2    2    2   3 2 1 x 1 又 f x  x3为R上的减函数， 2 1 x 1 1 1 由零点存在定理，可得函数 f x 2   x3有且只有一个零点且零点x 0   3 , 2   ． 故选：C． x,x y 16. 记maxx,y ，已知 f x ，gx 均是定义在实数集R上的函数，设 y,y  x 第 7 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) hxmax  f x,gx ，有下列两个命题： ①若函数 f x ，gx 都是奇函数，则hx 也是奇函数； ②若函数 f x ，gx 都是严格减函数，则hx 也是严格减函数. 则关于两个命题判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】取特例可说明①；根据单调递减函数的定义可得x ,x R，且x  x 时，有 1 2 1 2 f x  f x  ，gx  gx  .然后结合函数hx 的定义可推出hx hx  ，即可判断②. 1 2 1 2 1 2 2x,x0 【详解】对于①，设 f x2x，gxx，则函数 f x ，gx 都是奇函数，hx ，显 x,x0 然hx 不是奇函数，故①错误； 对于②，因为函数 f x ，gx 都是严格减函数，则对于x ,x R，且x  x 时，有 1 2 1 2 f x  f x  ，gx  gx  . 1 2 1 2 又hxmax  f x,gx ，所以有hx max  f x ,gx  ，所以必有hx  f x  且 1 1 1 1 2 hx  gx  . 1 2 又hx max  f x ,gx  ，所以有hx hx  ， 2 2 2 1 2 所以hx 也是严格减函数，故②正确. 故选：C. 三.解答题（17题 10分，其余每题 15分）  3    17. 已知全集为R，集合Ax| 1,B x| 2x1 3 ，求A B.   x1  【答案】[－2，－1） 【解析】 【分析】分别求出集合A,B,进而求出A B.  第 8 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】因为A  x| 3 1  x|x2或x1 ，B  x 2x1 3  x|x2或x1 .  x1  所以B x|2 x1 ， 所以A  B x|2 x1 . alog ablog b alog bblog a 18. 对于正实数a、b，试比较 1 1 与 1 1 的大小. 2 2 2 2 alog ablog balog bblog a 【答案】 1 1 1 1 2 2 2 2 【解析】     【分析】作差化简可得alog ablog balog bblog aab log alog b.对a、b的 1 1 1 1 1 1     2 2 2 2 2 2   大小关系讨论，结合对数函数的单调性得到 ab log alog b与0之间的关系，即可得出结果. 1 1   2 2     【详解】解：alog ablog balog bblog aab log alog b. 1 1 1 1 1 1     2 2 2 2 2 2 ①当a b  0时，有ab0，又 y log 1 x 在 0, 上单调递减，所以 log 1 alog 1 b ，所以 2 2 2   log 1 alog 1 b0 ，所以 ab log alog b0； 1 1 2 2   2 2 ②当ba0时，有ab0，又 y log 1 x 在 0, 上单调递减，所以 log 1 a log 1 b ，所以 2 2 2   log 1 alog 1 b0 ，所以 ab log alog b0； 1 1 2 2   2 2   ③当ab0时，有ab0，此时 ab log alog b0. 1 1   2 2 alog ablog balog bblog a 综上所述， 1 1 1 1 . 2 2 2 2 a 19. 若函数 f x3x  . 3x （1）讨论函数 f x 的奇偶性，说明理由； （2）若函数 f x 在x,2 上为减函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析，理由见解析； （2）81,. 第 9 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 1 【分析】（1） f xa3x  .根据 f x f x0，可得当a1时， f x 为奇函数；根据 3x f x f x0，可得当a 1时， f x 为偶函数； （2）x ,x 2，且x  x .由已知可得 f x  f x 0，进而可推出a3x 1 x 2 ，根据x,x 的范围可 1 2 1 2 1 2 1 2 得a81. 【小问1详解】 a 解：由已知可得，函数 f x3x  的定义域为R， 3x a 1 对于xR，有 f x3x  a3x  ， 3x 3x  1  因为 f x f xa1  3x  ，  3x  当a1时，有 f x f x0，即 f xf x ，此时函数 f x 为R上的奇函数； 当a1时， f x f x0，即 f xf x ，此时函数 f x 不是奇函数，  1  因为 f x f x1a  3x  ，  3x  当a 1时，有 f x f x0，即 f x f x，此时函数 f x 为R上的偶函数； 当a1时， f x f x0，即 f x f x ，此时函数 f x 不是偶函数. 综上所述，当a1时， f x 为R上的奇函数；当a 1时， f x 为R上的偶函数；当a1时， f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 【小问2详解】 解：x ,x 2，且x  x 1 2 1 2. 因为函数 f x 在x,2 上为减函数，所以 f x  f x  ，即 f x  f x 0， 1 2 1 2 因为 f x  f x 3x 1  a    3x 2  a     3x 1 3x 2   1 a  ， 1 2 3x 1  3x 2   3x 13x 2  因为x  x ，所以3x 1 3x 2 ，所以3x 1 3x 2 0， 1 2 a 则由 f x  f x 0可得1 0，即a3x 1 x 2 ， 1 2 3x 13x 2 第 10 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 因为x 2，x 2，且x  x ，所以x x 4，则3x 1 x 2 34 81， 1 2 1 2 1 2 所以a81， 所以实数a的取值范围为81,. 20. 某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空 气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当0 x4时， 16 1 y  1；当4 x10时，y 5 x，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的 8x 2 消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它 才能起到杀灭空气中的病毒的作用． （1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ （2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（1a4）个单位的消毒剂，要使接下来的4 小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值， 【答案】（1）8 （2）2416 2 【解析】 【分析】（1）将给定的数值代入相应的公式即可； （2）列出方程后，利用基本不等式求最小值即可. 【小问1详解】  一次喷洒4个单位的净化剂，  64  4,0 x4 浓度 f x4y 8x  202x,4 x10 64 则当0 x4时，由 44， 8x 解得x 0，此时0 x4. 当4 x10时，由202x4， 解得4 x8， 综合得0 x8. 所以，若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时. 【小问2详解】 设从第一次喷洒起，经x6 x10 时， 第 11 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1   16  浓度gx2  5 x  a 1  2   8x6  16a 10x a 14x 16a 14x a4 14x  14x4,8 ，而1a4， 4 a4,8 ， 故当且仅当14x4 a 时，y有最小值为8 a a4. 令8 a a44， 解得2416 2 a4， a的最小值为2416 2. 21. 若函数 f x 的定义域为R，且对x ,x R，都有 f x x  f x  f x  ，则称 f x 为“J 1 2 1 2 1 2 形函数” （1）当 f x x1时，判断 f x 是否为“J形函数”，并说明理由； （2）当 f x x2 2时，证明： f x 是“J形函数”； （3）如果函数 f x 2x a为“J形函数”，求实数a的取值范围. 【答案】（1）否，理由见解析； （2）证明见解析； （3）a1或a0. 【解析】 【分析】（1）作差可得 f x x  f x  f x x x ，根据x,x 的任意性，无法判断该式符号，即 1 2 1 2 1 2 1 2 可说明； （2）作差可得 f x x  f x  f x  x x 2 x2x2 2，即可证明得出结论； 1 2 1 2 1 2 1 2 （3）代入化简可得 f x x  2x 1 x 2 a， f x x  2x 1 x 2 a  2x 1 2x 2  a2 .由“J形函数” 1 2 1 2 的概念整理化简可得，a1  2x 1 2x 2  ，进而即可得出实数a的取值范围. 【小问1详解】 解： f x 不是“J形函数”，理由如下： 第 12 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 当 f x x1时，有 f x  x 1， f x  x 1， f x x  x x 1， 1 1 2 2 1 2 1 2 则 f x x  f x  f x   x x 1x 1x 1 x x . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因为x ,x R，所以x x 与0的关系不确定， 1 2 1 2 不能得出 f x x  f x  f x 0，所以 f x 不是“J形函数”. 1 2 1 2 【小问2详解】 证明：当 f x x2 2时，有 f x  x2 2， f x  x2 2， 1 1 2 2 f x x x x 2 2 x2 x2 2x x 2， 1 2 1 2 1 2 1 2 则 f x  f x   x2 2  x2 2   x2x2 2x2 2x2 4， 1 2 1 2 1 2 1 2 所以 f x x  f x  f x  2x x x2x2 x2 x2 2 x x 2 x2x2 2， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 显然有 f x x  f x  f x 20对x ,x R恒成立， 1 2 1 2 1 2 所以有 f x x  f x  f x  对x ,x R恒成立， 1 2 1 2 1 2 所以 f x 是“J形函数”. 【小问3详解】 解：由已知可得 f x  2x 1 a ， f x  2x 2 a ， f x x  2x 1 x 2 a， 1 2 1 2 所以 f x  f x  2x 1 a 2x 2 a  2x 1 x 2 a  2x 1 2x 2  a2 . 1 2 因为函数 f x 2x a为“J形函数”， 所以有 2x 1 x 2 a  2x 1 x 2 a  2x 1 2x 2  a2 ， 即02x 1 x 2 a2x 1 x 2 a  2x 1 2x 2  a2. 由2x 1 x 2 a0，可得a0； 由2x 1 x 2 a2x 1 x 2 a  2x 1 2x 2  a2可得，aa  2x 1 2x 2  a2. 当a0时，该式恒成立，满足； 当a0时，有a1  2x 1 2x 2  恒成立. 因为2x 1 2x 2 0，所以a1. 综上可得，a1或a0. 第 13 页 共 14 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“J形函数”的本质是函 数值的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简 f x x  f x  f x  .只要得出 1 2 1 2 f x x  f x  f x 0恒成立，即可说明 f x 是“J形函数”. 1 2 1 2 第 14 页 共 14 页