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上海市位育中学 2022－2023 学年第一学期高一期末考试数学试卷
2023.01
一.填空题（每题 5分）
f xlog x1
1. 函数 2 的定义域是______.
x2 2x30
2. 不等式 的解集是________________.
xy 1 3x2 2y2
的
3. 若实数x、y满足 ，则 最小值为______.
f xax11(a 0
a 1
4. 函数 且 ）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.
5. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应
假设的内容是_______．
log 3a,4b 5 log 45
6. 若 2 ，则 4 ______（用a、b表示）
2 1

f x x3 x 3 f x0
7. 若 ，则满足 的x的取值范围______.
8. 已知偶函数 f(x)在 [0,) 上是严格减函数， f 31 .则不等式 f x11 的 解集为______.
x6,x2
f x
9. 若函数 
3log
a
x,x2
（ a0 且 a 1 ）的值域是
4,
，则实数a的取值范围是
__________．
1

a 1 yx 2
10. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（0，a）、C（a，0）（ ），OABC是正方形.函数
与线段 BC 交于点P，函数 y 2x2 与线段AB交于点 Q .当 AQ |CP| 最小时，a的取值为______.
a2
y  f x f x4x 6 f xa1
11. 设a为实常数， 是定义在R上的奇函数，当x 0时， x ，若
对一切x 0成立，则a的取值范围为______.
At1,t2t5,t10
12. 已知集合 ， 0A ，如果存在正数，使得对任意 aA ，都满足
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
A
a
，则实数t＝______.
二.选择题（每题 5分）
13. 下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
1
A. y  B. y 2x
x
1
C. D. y lnx
y  x3
14. “ab0”是“ ab  a  b ”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C 充要 D. 既不充分也不必要
.
1 x 1
15. 若x 0 是函数 f x 2   x3的零点，则x 0 属于区间（ ）．
2  1 2 1 1  1
A  ,1  B.  ,  C.  ,  D.  0, 
. 3  2 3 3 2  3
x,x y
16. 记maxx,y ，已知 f x ，gx 均是定义在实数集R上的函数，设
y,y  x
hxmax  f x,gx ，有下列两个命题：
①若函数 f x ，gx 都是奇函数，则hx 也是奇函数；
②若函数 f x ，gx 都是严格减函数，则hx 也是严格减函数.
则关于两个命题判断正确的是（ ）
A. ①②都正确 B. ①正确②错误
C. ①错误②正确 D. ①②都错误
三.解答题（17题 10分，其余每题 15分）
 3 
 
17. 已知全集为R，集合Ax| 1,B x| 2x1 3 ，求A B.

 x1 
alog ablog b alog bblog a
18. 对于正实数a、b，试比较 1 1 与 1 1 的大小.
2 2 2 2
a
19. 若函数 f x3x  .
3x
（1）讨论函数 f x 的奇偶性，说明理由；
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（2）若函数 f x 在x,2 上为减函数，求实数a的取值范围.
20. 某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空
气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当0 x4时，
16 1
y  1；当4 x10时，y 5 x，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的
8x 2
消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它
才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（1a4）个单位的消毒剂，要使接下来的4
小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值，
21. 若函数 f x 的定义域为R，且对x ,x R，都有 f x x  f x  f x  ，则称 f x 为“J
1 2 1 2 1 2
形函数”
（1）当 f x x1时，判断 f x 是否为“J形函数”，并说明理由；
（2）当 f x x2 2时，证明： f x 是“J形函数”；
（3）如果函数 f x 2x a为“J形函数”，求实数a的取值范围.
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