精品解析：上海市建平中学2023届高三上学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高三_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 建平中学 2022 学年第一学期高三年级数学期中 2022.11 一、填空题（本大题共 12题，1—6每题 4分，7—12每题 5分，共 54分） x 0 1. 不等式 x1 的解集为________ 【答案】(0,1) 【解析】 x 【详解】因为 0，所以x(x1)0 x(0,1)， x1 x 即不等式 0的解集为 0,1 . x1 2. 复数i1i （i是虚数单位）的虚部为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先将复数化简，再求虚部即可 【详解】i1i1i，所以复数的虚部为：1 故答案为1 【点睛】本题考查复数的基本概念，在复数z abi中，实部为a，虚部为b，属于基础题 3. 12x5 的展开式中x2项的系数是________．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得展开式x2的系数. 【详解】在12x5 的展开式中，x2的系数为C222 40， 5 故答案为：40 4. 已知函数y f(x) 是奇函数，当x0时， f(x)2x，则 f(2)=________. 【答案】4 【解析】 【分析】由函数y f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)恒成立，再将求 f(2)的问题转化为求 f(2)即可. 【详解】解：因为函数y f(x)是奇函数， 所以 f(x)f(x)， 第 1 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 又当x0时， f(x)2x， 所以 f(2)f(2)22 4， 故答案为-4. 【点睛】本题考查了由函数的奇偶性求函数值，重点考查了函数的性质，属基础题. 5. 已知数列{a }的前n项和为S n2 n，则{a }的通项公式为a __________． n n n n 【答案】2n 【解析】 S ,n1 【分析】利用a  1 求得a . n S S ,n2 n  n n1 【详解】当n1时，a S 2， 1 1 当n2时，a S S n2 nn12 n1 2n， n n n1   当n1时上式也符合，所以a 2n. n 故答案为：2n 2 6. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则此圆锥的母线长为______． 3 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆锥底面圆的半径为1得到侧面展开图扇形的弧长为2，然后根据侧面展开图扇形的圆心 2 角为 列方程，解方程即可得到圆锥的母线长. 3 【详解】因为圆锥底面圆的半径为1，所以侧面展开图扇形的弧长为2， 2 2 设圆锥的母线长为l，因为侧面展开图扇形的圆心角为 ，所以 3 ，解得l 3，所以此圆 3 2 2l 2 锥的母线长为3. 故答案为：3.     7. 在平行四边形ABCD中，BDBC  BDAC 4，则线段BD的长为______． 【答案】2 【解析】   【分析】根据数量积的运算律可得BD BA，进而根据数量积的几何意义即可求解. 第 2 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )          【详解】由BDBC  BDAC  BD BCAC =0 BD BA，       2  又BDBC 4 BD  BC cosCBD 4 BD 4 BD 2. 故答案为：2 8. 记a，b，c，d，e， f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则使得(ab)(cd)(e f)为奇数的 排列共有___________个. 【答案】288 【解析】 【分析】由题设分析知：ab,cd,e f 都为奇数，则每个式子在{1,3,5}、{2,4,6}中各取一个数即可， 再利用分步计数法及组合数求排列的个数. 【详解】由(ab)(cd)(e f)为奇数：ab,cd,e f 均为奇数， ∴三个代数式在{1,3,5}、{2,4,6}中各取一个， ∴共有2C1C12C1C12288个排列. 3 3 2 2 故答案为：288 1 2 9. 若正数x，y满足2log x1log ylog 2x y ，则  的值为______． 2 3 6 x y 【答案】12 【解析】 【分析】根据对数运算法则得log 4xlog 3ylog 2x y ，设为k，即可得x2k2， y 3k1， 2 3 6 1 2 2x y 6k 2x y，则   ，结合指数幂运算法则即可求值. x y xy 【详解】解：因为2log x1log ylog 2x y ，则log 4xlog 3ylog 2x y 2 3 6 2 3 6 设log 4xlog 3ylog 2x yk ， 2 3 6 可得2k 4x x2k2，3k 3y y 3k1，6k 2x y 1 2 2x y 6k 2k 3k 所以     2231 12. x y xy 2k23k1 2k23k1 故答案为：12. 10. 已知函数 f(x) ex 1,x 0,x 0，函数 f(x)的图象在点A  x , f x  和点B  x , f x  的两条 1 2 1 1 2 2 第 3 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) | AM | 切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______． |BN | 【答案】 (0,1) 【解析】 【分析】结合导数的几何意义可得x x 0，结合直线方程及两点间距离公式可得 1 2 AM  1e2x 1  x ， BN  1e2x 2  x ，化简即可得解. 1 2 1ex,x0 ex,x0 【详解】由题意， f x ex 1  ，则 fx ， ex 1,x0 ex,x0 所以点A  x ,1ex 1  和点B  x ,ex 2 1  ，k ex 1,k ex 2, 1 2 AM BN 所以ex 1 ex 2 1,x x 0， 1 2 所以AM : y1ex 1 ex 1 xx ,M  0,ex 1x ex 1 1  ， 1 1 所以 AM  x2   ex 1x 2  1e2x 1  x ， 1 1 1 同理 BN  1e2x 2  x , 2 AM 1e2x 1  x 1e2x 1 1e2x 1 所以  1   ex 1 0,1 . BN 1e2x 2  x 1e2x 2 1e2x 1 2 故答案为： (0,1) 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件x x 0，消去一个变量后，运算即可得解. 1 2 x 1 1 11. 已知函数 f xsin2  sinx 0，xR，若 f x 在区间(π,2π)内恰有一个零点， 2 2 2 则的取值范围是______． 1 1 5 9 5 13 【答案】 ,    ,    ,  ； 8 4 8 8 4 8  【解析】 2 π 2 【 分 析 】 应 用 三 角 恒 等 变 换 有 f(x) sin(x )， 换 元 法 化 为 g(t) sint在 2 4 2 π π t(π ,2π )上恰有一个零点，结合正弦函数性质列不等式求参数范围即可. 4 4 第 4 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 x 1 2 π 【详解】由 f(x) sinx (12sin2 ) (sinxcosx) sin(x )， 2 2 2 2 2 4 π π π 所以，x(π,2π)，则t x (π ,2π )且0， 4 4 4 2 π π π π 故g(t) sint在t(π ,2π )上恰有一个零点，而π  ， 2 4 4 4 4  π π 0   4 1 1 若 ，可得  ； π 8 4  02π π  4  π 0π π   4 5 9 若 ，可得  ； π 8 8  π2π 2π  4  π ππ 2π   4 5 13 若 ，可得  ； π 4 8  2π2π 3π  4  π 3ππ 4π   4 若 ，此时无解，后续其它情况均无解； π  4π2π 5π  4 1 1 5 9 5 13 综上，的取值范围 ,    ,    , . 8 4 8 8 4 8  1 1 5 9 5 13 故答案为： ,    ,    ,  8 4 8 8 4 8  12. 如图，三棱锥ABCD的顶点A在平面上，侧棱AB平面，底面BCD是以B为直角的等腰直 角三角形，且平面BCD与平面平行．AB BC 1， E是CD中点，M是线段AE上的动点，过点M 作平面ACD的垂线交平面于点N，则点N到点C的距离的取值范围为______． 第 5 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  6 14 【答案】 , ； 2 2   【解析】 【分析】由题设可证则△ABC、△ABD都为等腰直角三角形，结合△BCD是以B为直角的等腰直角三角 形，将几何体补全为正方体且一个底面在上，进而确定 AE与所成角为 EAN ，并有 AM AN  ，应用余弦定理、勾股定理求CN 的范围即可. cosEAN 【详解】由AB平面，//面BCD，则AB面BCD，BC,BD面BCD， 所以AB BC,AB BD，又AB BC 1且△BCD是以B为直角的等腰直角三角形， 故AB BC  BD1，则△ABC、△ABD都为等腰直角三角形， 将ABCD补全为正方体如下图示，其中一个面在上且棱长为1， 6 所以AC  ADCD 2 ，在等边△ACD中E是CD中点，故AE ， 2 过M作面ACD垂线交面于N，且MN 面ACD，AE 面ACD，则MN  AE， 因为BG CD，AB面BCGD，CD面BCGD，故ABCD， 又BG  AB B，BG,AB面ABGH ，故CD面ABGH ，CD面ACD， 所以，面ABGH 面ACD，面ABGH  面ACD AE，且MAE， 易知：过M作面ACD垂线在面ABGH 内，即MN面ABGH ，而面ABGH   AH ， AB 6 综上，点N 必在对角线AH 上，且AE与所成角为EAN ，sinEAN   ，则 AE 3 3 cosEAN  ， 3 6 AM 在Rt MAN 中，令AM  x[0, ]，由AN   3x，  2 cosEAN 第 6 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故FN2  AF2  AN2 2AFANcos4513x2  6x， 6 3 3 7 所以CN2  FN2 FC2 3x2  6x23(x )2  ，则CN2[ , ]， 6 2 2 2 6 14 所以CN[ , ]. 2 2 6 14 故答案为：[ , ] 2 2 二、选择题（本大题共 4题，每题 5分，共 20分）  π π 13. 将函数 y sin  2x 的图象上所有点向右平移 个单位长度，可得图象的函数解析为（ ）  6 4  π  2  A. y sin  2x  B. y sin  2x π   3  3   π   5π C. y sin  2x  D. y sin  2x   12  12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移过程写出解析式即可. π π π 2π 【详解】由题设，平移后的解析式为 f(x )sin[2(x ) ]sin(2x ). 4 4 6 3 故选：B 14. 新冠疫情期间，某校贯彻“停课不停学”号召，安排小组展开多向互动型合作学习，如图的茎叶图是两 组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是（ ） 甲 乙 5 7 7 7 3 2 8 3 4 5 3 9 1 A. 甲组学生得分的平均数小于乙组学生的平均数 第 7 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) B. 甲组学生得分的中位数大于乙组学生的中位数 C. 甲组学生得分的极差小于乙组学生的极差 D. 甲组学生得分的方差大于乙组学生的方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，极差和方差的定义分别计算判断即可 7582838793 【详解】对于A，甲组学生得分的平均数为 84，乙组学生的平均数为 5 7783848591 84，则甲组学生得分的平均数等于乙组学生的平均数，所以A错误， 5 对于B, 甲组学生得分的中位数为83，乙组学生的中位数为84，则甲组学生得分的中位数小于乙组学生的 中位数，所以B错误， 对于C，甲组学生得分的极差为937518，乙组学生的极差917714，所以甲组学生得分的极差大 于乙组学生的极差，所以C错误， 对于D，甲组学生得分的方差为 1 (7584)2 (8284)2 (8384)2 (8784)2 (9384)2 35.2，   5 1 乙组学生的方差为 (7784)2 (8384)2 (8484)2 (8584)2 (9184)2 20，   5 所以甲组学生得分的方差大于乙组学生的方差，所以D正确， 故选：D 15. 设 a  是等差数列，且公差不为零，其前n项和为S ．则“nN*，S S ”是“ a  为递增数 n n n1 n n 列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等差数列的前n项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】  a n  是等差数列，且公差d不为零，其前n项和为S n ， 充分性： S n1 S n ，则a n1 0对任意的nN恒成立，则a 2 0， d 0，若d 0，则数列 a  为单调递减数列，则必存在kN，使得当nk 时，a 0，则  n n1 第 8 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) S S ，不合乎题意； n1 n 若d 0，由a 0且数列 a  为单调递增数列，则对任意的nN，a 0，合乎题意. 2 n n1 所以，“nN*，S S ”“ a  为递增数列”； n1 n n 必要性：设a n10，当n8时，a n90，此时，S S ，但数列 a  是递增数列. n n1 n1 n n 所以，“nN*，S S ” “ a  为递增数列”. n1 n n 因此，“nN*，S S ”是“ a  为递增数列”的充分而不必要条件. n1 n n 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n项和公式是解决本题的关键，属 于中等题． x2 y2 16. 已知双曲线:  1a,b0的左、右焦点分别是F ，F ，点C是双曲线右支上异于顶点的 a2 b2 1 2      CF CF     点，点D在直线xa上，且满足CD  1   2  ，R．若7OD5DCOF 0，则双曲线  CF CF  1  1 2  的离心率为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】      CF CF 【分析】根据CD  C  F  1  C  F  2   得D在F 1 CF 2 的角平分线上，进而根据双曲线的定义以及切线长  1 2  性质可判断D为 F 1 CF 2 的内心，结合重心的向量表示以及重心的性质，即可得 CF : CF : FF 4:3:5，进而由离心率公式即可求解. 1 2 1 2      CF CF 【详解】由于点D在直线xa上，且满足CD  C  F  1  C  F  2   ，可知D在F 1 CF 2 的角平分线上，  1 2  设 F 1 CF 2 的内切圆分别与边F 1 C，F 1 F 2 ，CF 2 相切于点M,N,Q,（如图1）则有切线长定理可得 CM = CQ ,MF = NF , NF = CQ , 1 1 2 第 9 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 结合双曲线的定义可得 CF 1 - CF 2 = NF 1 - NF 2 =2 ON =2aÞ ON =a,所以 F 1 CF 2 的内心在直线 xa上，故D为 F 1 CF 2 的内心，           1  由7OD5DCOF 0得5DC7ODOF 05DC7DO F F 0, 由于O是FF 的中点, 1 1 2 2 1 1 2  1 ( ) 所以DO= DF +DF , 2 1 2  7  1       因此5DC DF DF  DF DF 05DC4DF 3DF 0, 2 1 2 2 1 2 2 1 分别延长DC,DF ,DF至C¢,F¢,F¢ ,使得  D  C  ¢=5  D  C  ,  D  F  ¢=4  D  F  ,  D  F  ¢=3  D  F  ,如图2 2 1 2 1 2 2 1 1 故  D  C  ¢+  D  F  2  ¢+  D  F  1  ¢=0  ，因此D是  C¢F 1 ¢F 2 ¢的重心， 设S =m,S =n,S = p,由D是 C¢F¢F¢的重心，所以 CDF 1 CDF 2 DF 2 F 1  1 2 1 S =S =S = S ， DC¢F 1 ¢ DC¢F 2 ¢ DF 2 ¢F 1 ¢ 3 F 2 ¢C¢F 1 ¢ 1 11 1 1 1 又S = DC×DF sinÐCPF = DC¢× DF¢sinÐCPF = ´ DC¢×DF¢sinÐCPF CDF 1 2 1 1 25 3 1 1 15 2 1 1 = 15 ´ S DC¢F 1 ¢ =m,Þ S DC¢F 1 ¢ =15m，同理S DC¢F 2 ¢ =20n,S DF 1 ¢F 2 ¢ =12p,即15m20n12p，故 m:n:p4:3:5 由于D为 F 1 CF 2 的内心，故D到 F 1 CF 2 三条边的距离相等，可得 CF 1 : CF 2 : F 1 F 2 4:3:5, 因此 F 1 CF 2 为直角三角形，所以 CF 1 - CF 2 =2a,F 1 F 2 =2c， 2c FF 5 因此离心率e= = 1 2 = =5, 2a CF - CF 4- 3 1 2 故选：C 第 10 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了双曲线的定义和性质，以及三角形内心，重心的性质，综合性较强.对于离心率问题， 要充分挖掘几何性质和图形中体现的等量关系，建立出a,b,c的关系系，从而求解离心率. 三、解答题（本大题共 5题，共 14+14+14+16+18 分）  17. 如图，在直棱柱 ABC- ABC 中， AA  AB AC 2，BAC  ，D，E，F 分别是 AB ， 1 1 1 1 2 1 1 CC ，BC的中点． 1 （1）求证：AE DF ； （2）求AE与平面DEF所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 70 （2）arcsin 14 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直证明线线垂直， 第 11 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）利用空间向量的夹角即可求解线面角. 【小问1详解】 π 由于三棱柱ABC- ABC 是直三棱柱，且BAC  ，故AA,AC,AB两两垂直，故建立如图所示的空 1 1 1 2 1 间直角坐标系， 则A(0,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0),D(0,1,2) ,   故AE =(2,0,1),DF =(1,0,-2) ,   AE×DF =(2,0,1)×(1,0,-2) =2+0- 2=0,   所以AEDF，故AE DF 【小问2详解】    AE =(2,0,1),DF =(1,0,-2) ,DE =(2,-1,-1) ,  设平面DEF 的法向量为mx,y,z，则   DFm  0 x2z 0    ，取z 1，则m2,3,1，  DEm  0 2x yz 0 设AE与平面DEF所成角为，   AE×m   5 70 则sinθ= cos AE,m =   = = ， AE m 5´ 14 14  π 70 由于  0,  ，所以θ=arcsin  2 14 18. 某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，现欲在边界BC上选择一点 P，修建观赏小径 PM，PN，其中 M，N 分别在边界 AB，AC 上，小径 PM，PN 与边界 BC 的夹角都是 60，区域PMB和区域PNC内部种郁金香，区域AMPN内种植月季花． 第 12 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）探究：观赏小径PM， PN的长度之和是否为定值？请说明理由； （2）为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径MN，当点P在何处时，三条小径（PM，PN， MN）的长度之和最少？ 【答案】（1）为定值，理由见解析 （2）P为BC中点，600( 31) 【解析】 【分析】(1)在△BPM 和△CPN 中分别利用正弦定理即可求得PM与PN的长度之和； (2)在 PMN 中利用MN边的余弦定理，再根据两边的积与和的基本不等式求解即可；  【小问1详解】 在△BPM 中，BMP＝180°－60°－45°＝75°， PM PB 由正弦定理可得：  ， sinB sinBMP 2 sin45PB 2 即PM  ＝ PB＝( 31)PB， sin75 2 6 4 同理可得PN ( 31)PC， 所以PM PN ( 31)(PCPB)＝( 31)BC 400( 31) 为定值； 【小问2详解】 解：在 PMN 中，由余弦定理可得：  MN2  PM2 PN2 2PM PNcos60， (PM PN)2 即MN2 (PM PN)2 3PM PN (PM PN)2 3 ， 4 (PM PN)2 PM PN 所以MN2  ，MN  ， 4 2 又由（1）有PM PN ＝400( 31)， 故MN 200( 31)，当且仅当PM  PN 200( 31)时等号成立. 故当P点是MN的中点时，三条小径（PM，PN，MN）的长度之和最小，最小为600( 31) 第 13 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x2 y2 19. 已知椭圆的方程为   1，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴正半轴相交于A,B两点， 8 4 且 AB 3，如图． （1）求圆C的方程； （2）如图，过点(0,1)的直线l与椭圆相交于P,Q 两点，求证：射线AO平分PAQ． 5 25 【答案】（1）(x2)2 (y )2  2 4 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直线被圆截得的弦长公式求出圆心和半径即可求解；（2）将问题转化为证明k k 0, AP AQ 利用韦达定理可证明. 【小问1详解】 依题意，设圆心C(2,b)，r b， 5 AB 2 r2 22 3，解得r  ， 2 5 25 所以所求圆方程为：(x2)2 (y )2  . 2 4 【小问2详解】 x0代入圆C方程，得y 1或y 4， 所以B(0,1),A(0,4), 若过B点的直线斜率不存在，此时A,P,Q在y轴上， ÐPAB= ÐQAB= 0,射线AO平分PAQ; 若过B(0,1)的直线l斜率存在，设其方程为y kx1， 第 14 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x2 2y2 8 联立 整理得(2k2 1)x2 4kx60, y kx1 16k2 24(2k2 1)8(8k2 3)0, 设P(x ,y ),Q(x ,y ), 1 1 2 2 4k 6 x x  ,x x  , 1 2 2k2 1 1 2 2k2 1 y 4 y 4 kx 3 kx 3 k k  1  2  1  2 AP AQ x x x x 1 2 1 2 1 1 3(x x ) 34k 2k3(  )2k 1 2 2k 0， x x x x 6 1 2 1 2 PABQAB. 所以射线AO平分PAQ． 综上，射线AO平分PAQ. 20. 已知无穷数列 a  （a Z）的前n项和为S ，记S ，S ，…，S 中奇数的个数为b ． n n n 1 2 n n （1）若a  n2 ，请写出数列 b  的前5项； n n （2）求证：“a 为奇数，a (i 2，3，4，)为偶数”是“数列 b  是严格增数列的充分不必要条件； 1 i n （3）若a b ，i 2，3，  ，求数列 a  的通项公式． i i n 【答案】（1）1，2，2，2，3 2kkZ,n1 （2）证明见解析 （3）a  n 0,n2 【解析】 1,n1 1,n1  【分析】（1）推导出a  n2  ，S 1 3 ．由此能写出数列{b }的前 n n2,n2 n  n2  n2,n2 n 2 2 5项． （2）先证充分性，推导出b n，从而数列{b }是单调递增数列；再证不必要性，当数列{a }中只有a n n n 2 是奇数，其余项都是偶数时，S 为偶数，S (i 2，3，4)均为奇数，b n1，数列{b }是单调递 1 i n n 增数列，由此能证明：“a 为奇数，a (i 2，3，4，)为偶数”是“数列{b }是单调递增数列”的充 1 i n 第 15 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 分不必要条件． （3）当a 为奇数时，推导出S 不能为偶数；当a 为偶数，推导出S 不能是奇数，从而a 与S 同奇 k k k k k k 偶，由此得到a ． n 【小问1详解】 1,n1 解：因为a  n2  ，故当n2时，a a n1n21，则 a  是第二项起的 n n2,n2 n1 n n 等差数列， 1,n1  所以S  0n2n1 1 3 n 1  n2  n2,n2  2 2 2 所以S 1,S 1,S 2,S 4,S 7 1 2 3 4 5 则b 1,b 2,b 2,b 2,b 3，即数列 b  的前5项为：1，2，2，2，3； 1 2 3 4 5 n 【小问2详解】 证明：（充分性）  a 1 是奇数，a i (i 2，3，4)为偶数， 对于任意iN*，S 都是奇数， i b n， n 数列{b }是单调递增数列． n （不必要性） 当数列{a }中只有a 是奇数，其余项都是偶数时，S 为偶数，S (i 2，3，4)均为奇数， n 2 1 i b n1，数列{b }是单调递增数列， n n  “a 为奇数，a (i 2，3，4，)为偶数”是“数列{b }是单调递增数列”的不必要条件． 1 i n 综上，：“a 为奇数，a (i 2，3，4，)为偶数”是“数列{b }是单调递增数列”的充分不必要条 1 i n 件． 【小问3详解】 解：①当a 为奇数时，若S 为偶数， k k 第 16 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 若a 是奇数，则S 为奇数，b b 1a 1为偶数，与a b 矛盾； k1 k1 k1 k k k1 k1 若a 为偶数，则S 为偶数，b b a 为奇数，与a b 矛盾． k1 k1 k1 k k k1 k1 当a 为奇数时，S 不能为偶数； k k ②当a 为偶数，若S 为奇数， k k 若a 为奇数，则S 为偶数，b b a 为偶数，与a b 矛盾， k1 k1 k1 k k k1 k1 若a 为偶数，则S 为奇数，b b 1a 1为奇数，与a b 矛盾， k1 k1 k1 k k k1 k1 当a 为偶数时，S 不能是奇数． k k 综上，a 与S 同奇偶， k k 若a S 为奇数，则b 1，若a 与S 同为奇数，则此时b 2a ，与a 为奇数矛盾， 1 1 1 2 2 2 2 2 若a 与S 同为偶数，则此时b 1a ，与a 为偶数矛盾， 2 2 2 2 2 所以a S 为偶数，则b 0，若a 与S 同为奇数，则此时b 1a ， 1 1 1 2 2 2 2 若a 与S 同为奇数，则此时b 2a ，与a 为奇数矛盾，若a 与S 同为偶数，则此时b 1a ，与 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a 为偶数矛盾， 3 所以a 与S 同为偶数，则b 0a ， 2 2 2 2 以此类推，a b 0，i 2，3，... i i 得到当n2时，a 0，当n1时，a 为偶数即可满足. n 1 2kkZ,n1 所以a  . n 0,n2 21. 已知函数 f xax3bx2 cx的导函数为 f x ， f x 的图像在点  2, f 2 处的切线方程为 3x y80，且 f01，函数gxkxex． （1）求函数 f x 的解析式． （2）令tx gxe2x exx12 ，讨论函数y tx 在1,2的零点个数． （3）若函数gx 与函数ylnx1的图像在原点处有相同的切线．若 f x gxmx1对于任 第 17 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1  意x   , 恒成立，求m的取值范围．  2  【答案】（1） f(x)ax3bx2 cx  1   1  e2 1   e2+1 （2）k   4,e ，0个，k  , 4  e ,，1个，ke, ，2个  e   e   2   2  （3） ,1 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，以及切线方程，建立方程关系，即可求出a，b，c的取值， ex x12 （2）构造函数m(x) ，问题转化成直线y k与函数mx 的图象的交点情况，求导，利用 x 导数研究mx 的单调性，即可分类讨论求解零点 （3）将不等式2f(x)„ g(x)mx1对于任意x[0，)恒成立，进行参数分离，利用导数求函数最值， 即可求实数m的取值范围． 【小问1详解】 f(x)ax3 bx2 cx，   f(x)3ax2 2bxc， f0c1，  f(x)的图象在点(2， f(2))处的切线方程为3x y80， 当x2时， f(2)2，且切线斜率 f(2)3， 则 f(2)8a4b2c2，②， f(2)12a4bc3，③， 联立②③解得a 1，b2，c1， f(x)x3 2x2 x； 【小问2详解】 令tx gxe2x exx12 kxex e2x exx12 =0，则 第 18 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ex x12 kxex x12 =0k  x0， x ex x12 记m(x) x 问题转化成直线y k与函数mx 的图象的交点情况， x1 ex x1  则m(x) ， x2 y =ex +x+1在R 单调递增，故当1 x2时，ex +x+1>0， 故令mx0，解得x1，mx0，解得0 x1或x 0， e2 +1 1 故mx 在 1，2 单调递增，在 1，0，0，1 单调递减，又m(1) =e,m(2) = ，m(-1) =- - 4，且 2 e 当x 0且趋近于0时，mx 趋向，且当x 0时mx0, 当x0时，mx0， 1 æ1ö 1 9 9 当x= ,mç ç ÷ ÷ =4e4 + >4+ >m(2)，结合mx 在0，1单调递减，故 4 è4ø 4 4 e2 +1 可知当k > 时，y k与函数mx 只有一个交点， 2  e2+1 当ke, 时，y k与函数mx 有2个交点，  2  当k e时，y k与函数mx 一个交点，  1  当k   4,e ，y k与函数mx 没有交点，  e   1  当k  , 4  ，y k与函数mx 一个交点，  e  【小问3详解】 1  函数yln(x1)，y x1 函数在原点处的切线斜率为1， g(x)k(ex xex)，g(0)k 1．  第 19 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1  若 f(x)g(x)mx1对于任意x   , 恒成立，  2   1  则等价为x3 2x2 xxex mx1对于任意x   , 恒成立，  2  即mx3 2x2 2xxex 1x(ex x2 2x2)1恒成立，  1  则只需要求出x(ex x2 2x2)1在x   , 上的最小值即可，  2  设n(x)x(ex x2 2x2)， x2 2x2 1 4x2 (x) x ，求导可得，(x) ， ex  2 ex  1  (x)在  ,2 上单调递增，在(2,)上单调递减，  2  6 x2 2x2 (x)2  1，故(x)1恒成立，即 1， e2 ex  1   1  ex x2 2x20在x   , 上恒成立，即n(x)0在x   , 上恒成立，  2   2  又n(0)0， 故n(x)n(0)0，即m£1， 故m的取值范围为(，1]． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，求函数的导数，将不等式恒成立转 化为求函数最值问题是解决本题的关键．运算量大，综合性较强．求解函数有零点常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 第 20 页 共 20 页