精品解析：上海市延安初级中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2023 学年第一学期初三年级数学学科 10 月学习阶段性检测 （考试时间：100分钟，满分：100分） 班级______姓名______学号______成绩______ 一、选择题（每题 2分，共 12分） x: y 4:5 x y x y 1. 已知 ，则 ： 的值为（ ） A. 1:9 B. -9 C. 9 D. -1:9 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件，设x=4k，则y=5k，代入所求关系式，消掉未知数k，则可直接求得（x+y）：（x－ y）的值． 【详解】已知x:y＝4:5，设x=4k，则y=5k，根据题意有（x+y）：（x－y）=（4k+5k）：（4k－5k）=－9． 【点睛】考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用 所设的未知数表示出来，然后消掉所设的未知数，即可求得所给代数式的值，本题较为简单，属于基础题． 2. 如果两个相似多边形的面积比为9∶4，那么这两个相似多边形的相似比为( ) A. 9∶4 B. 2∶3 C. 3∶2 D. 81∶16 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个相似多边形的面积比为9：4，面积之比等于相似比的平方． 9 3 【详解】根据题意得： = ． 4 2 故选C． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相 似比的平方． 3. 若a  与b  的方向相反，且 a  3， b  2，则下列用b  表示a  的式子中，正确的是（ ）  2   3   2   3  A. a  b B. a  b C. a  b D. a  b 3 2 3 2 【答案】B 【解析】 【详解】由a  与b  的方向相反，且 a  3， b  2，即可求得b  与a  的关系，继而可求得答案． 解：∵a  与b  的方向相反，且 a  3， b  2， 第 1 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴用b  表示a  为：a  = 3 b  ． 2 故选B． 4. 如图，在 ABC中，点D、E分别在BA、CA的延长线上，下列比例式中不能判定  DE∥BC 的是（ ） AD AE AD AE BD CE AD DE A.  B.  C.  D.  AB AC BD CE AB AC AB BC 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，证明△ADE∽△ABC，进而得出DB，即可证明DE∥BC ，即可求解． AD AE 【详解】解：A. ∵  ，EADCAB AB AC ∴△ADE∽△ABC， ∴DB， ∴DE∥BC ，故A选项不符合题意； AD AE AD AE B. ∵  ，则  ，又EADCAB BD CE AB AC ∴△ADE∽△ABC， ∴DB， ∴DE∥BC ，故B选项不符合题意； BD CE AD AE C.  ，则  ，又EADCAB AB AC AB AC ∴△ADE∽△ABC， ∴DB， ∴DE∥BC ，故C选项不符合题意； AD DE D.  ，不能判断△ADE∽△ABC，则不能证明DE∥BC ，故D错误，符合题意； AB BC 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 5. 如图，在Y ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F ，下列各式中可能错误的是 （ ） 第 2 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AE FE AE AF AE AF BE CF A.  B.  C.  D.  AB FC AB DF BE AD BC FD 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到再利用平行线分线段成比例定理即可判断A和B选项，再利用平行线 分线段成比例定理和等量代换即可判断C选项，再证明，即可判断D选项 【详解】  四边形ABCD是平行四边形，  AD∥BC，AB∥CD， AE FE AF EF   ，  ， AB FC DF FC AE AF   ，故选项A和选项B正确，不符合题意； AB DF AB DF   AE AF AB AE AF DF   AE AF BE AD   AE AF AE AF   故选项C正确，不符合题意； BE AD  四边形ABCD是平行四边形， BD，AB∥CD， ∠E ∠FCD，  BEC∽ DCF   BE DC   ，故选项D错误，符合题意； BC DF 故选：D 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解 题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质． 6. 如图，在 ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，CD平分ACB，且CD2 CECB，下列说  第 3 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 法不正确的是（ ） S DE 2 CA AD A.  CDE∽  CBD B. △ADE    C. AD2  AEAC D.  S  CB  CB BD △ACB 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得DCE DCB，结合已知条件，即可证明 CDE∽ CBD，   △DAE∽△CAD进而根据相似三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵CD平分ACB， ∴DCE DCB， ∵CD2 CECB， CD CB ∴  ， CE CD ∴ CDE∽ CBD，故A选项正确；   如图所示， ∵ CDE∽ CBD，   ∴2DBC ， ∴3180BDC2180DEC21 又∵DAE CAD ∴△DAE∽△CAD DA AE ∴  ，即AD2  AEAC，故C正确； AC DA 第 4 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵△DAE∽△CAD，但是VADE与 ABC不相似，  2 S DE ∴不能得出 △ADE    ，故B选项不正确； S  CB  △ACB 如图所示，过点A作AF∥DC 交BC的延长线于点F ， ∵CD平分ACB ∴ACDBCD ∵AF∥CD ∴F BCD,CAF ACD ∴F CAF ∴CF  AC ∵AF∥CD DA CF ∴  BD CB CA AD ∴  ，故D正确； CB BD 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判 定，平行线分线段成比例是解题的关键． 二、填空题（每小题 3分，共 36分） 7. 在一张比例尺为1:20000的地图上，量得A、B两地的距离是7cm，则A、B两地的实际距离为_________ m． 【答案】1400 第 5 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】图上距离和比例尺已知,依据“图上距离比实际距离等于比例尺”即可求出A、 B 两地的实际距 离． 【详解】解:∵比例尺为1:20000，A，B两地的距离是7cm， 设A，B两地的实际距离为x cm， 1 7 ∴  , 20000 x ∴x140000， ∵140000cm1400m， ∴A，B两地的实际距离为1400米． 故答案为：1400． 【点睛】本题主要考查图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算． 8. 若点P为线段AB上一点，且AP2  BPAB,AB2，则AP的长为_________． 【答案】1 5 【解析】 【分析】设APx，可得BP2x，代入AP2  BPAB即可求解． 【详解】解：设APx， ∵点P为线段AB上一点，AB 2， 则BP2x， 代入AP2  BPAB得：x2 22x ，解得：x1 5（负值舍去）， ∴AP1 5， 故答案为：1 5 ． 【点睛】本题考查线段的和、差、倍、分，灵活运用线段的和、差、倍、分来转化线段之间的数量关系是 解题的关键． 9. 计算：( 1 ab  )( 3 a2b  ) =_____． 2 2   【答案】ab 【解析】 第 6 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】   1 ab      3 a2b   2  2  = 1 ab   3 a2b  2 2 =ab  故答案为: ab  . AB 1 10. 如图，AD∥BE∥CF,  , DE 5，则DF的长为_________． BC 2 【答案】15 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，得出EF 10，进而，即可求解． AB 1 【详解】解：∵AD∥BE∥CF,  , DE 5 BC 2 AB DE 1 ∴   BC EF 2 ∴EF 10， ∴DF  DEEF 51015， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 2 11. 如图，AD∥BC,AC与BD相交于点E,△ADE与 ABE的面积之比为 ,AC 7cm，则CE   3 _________cm． 21 【答案】 5 【解析】 第 7 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) DE 2 【 分 析 】 根 据 题 意 可 得 VADE与 ABE等 高 ， 进 而 求 得  ， 再 根 据 AD∥BC可 得  BE 3 ADE∽ CBE，即可求解．   2 【详解】解：∵VADE与 ABE等高，且面积之比为 ，  3 DE 2 ∴  ， BE 3 ∵AD∥BC， ∴ ADE∽ CBE，   AE DE 2 ∴   ， CE BE 3 2 ∴AE  CE， 3 ∵AC 7cm， 2 ∴AECE 7cm，即 CECE 7cm， 3 21 ∴CE  cm， 5 21 故答案为： ． 5 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，得到VADE与 ABE等高是解题关键．  12. 如图，在 ABC中，点D为AB上的点，AD3,AB5,CD2 3,ACDB，则BC   _________． 【答案】2 5 【解析】 【分析】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵DAC CAB，ACDB， ∴△ACD∽△ABC AC AD CD ∴   AB AC BC ∵AD3,AB5,CD2 3， 第 8 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AC 3 2 3 ∴   5 AC BC ∴AC  15，BC 2 5, 故答案为：2 5． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13. 如图，在 ABC中，ACB90，CD AB，垂足为点D，若AD2,BD3，则C :C   △ACD △ABC _________． 【答案】 10:5 【解析】 【分析】证明△ACD∽△ABC，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D， ∴ACB ADC 又∵CADBAC ∴△ACD∽△ABC， AC AD ∴  AB AC ∴AC2  ADAB22310 ∴AC  10 （负值舍去）， ∴C :C  AC:AB 10:5 △ACD △ABC 故答案为： 10:5． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14. 如图，ABC中，AB AC 13，BC 10，AD平分BAC，BE 是边AC上的中线，AD、 BE 交于点O，则OE长为_________． 第 9 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 41 【答案】 2 【解析】 1 【分析】过E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，BD=DC= BC=5，在Rt△ABD 2 中，由勾股定理AD AB2 BD2 12，由BE 是边AC上的中线，可得CE=AE=7.5，由EF⊥BC， 1 1 AD⊥BC，可证EF∥AD，利用中位线性质FE= AD=6，DF=FC= CD=2.5，在Rt△BFE中， 2 2 3 BO BD BF=BD+DF=7.5，由勾股定理： BF2+EF2= 41，可证△BOD∽△BEF，利用性质 = ，可求 2 BE BF BO= 41即可求出结论． 【详解】解：过E作EF⊥BC于F， ∵AB AC 13，AD平分BAC， 1 ∴AD⊥BC，BD=DC= BC=5， 2 在Rt△ABD中， 由勾股定理AD= AB2 BD2  132 52 12， ∵BE 是边AC上的中线， ∴CE=AE=7.5， ∵EF⊥BC，AD⊥BC， ∴EF∥AD， 1 1 ∴FE= AD=6，DF=FC= CD=2.5， 2 2 在Rt△BFE中，BF=BD+DF=5+2.5=7.5， 第 10 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 由勾股定理：BE  BF2+EF2= 7.52+62= 41， 2 ∵∠ODB=∠EFB=90°，∠OBD=∠EBF， ∴△BOD∽△BEF， BO 5 BO BD = ∴ = 即 3 7.5， BE BF 41 2 ∴BO= 41， 3 1 ∴OE=BE-BO= 41 41 41． 2 2 1 故答案为： 41． 2 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中线性质，中位线性质，勾股定理应用，相似三角形的判定与性 质，掌握等腰三角形的性质，中线性质，中位线性质，勾股定理应用，相似三角形的判定与性质是解题关 键． 15. 如图，在 ABC中，BAC 90，AB3，AC 4，正方形DEFG的顶点D、G在 ABC的边   BC上，顶点E、F分别在边AB、AC上，则这个正方形的边长是_________． 第 11 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 60 【答案】 37 【解析】 BD AB 3 GF AB 3 【分析】由勾股定理得BC 5，证明△BDE∽△BAC得到   ，同理可得   ， DE AC 4 CG AC 4 16 设DE  FG  DG 4x，则BD3x，CG  x，由BDDGCG  BC，可得 3 16 3x4x x5，求出x的值即可得到答案． 3 【详解】解：  在  ABC中，BAC 90，AB3，AC 4， BC  AB2  AC2  32 42 5，  四边形DEFG是正方形， DE  FG  DG，EDBFGC 90， BBED90， BC 90，  BEDC， BDE BAC 90，  △BDE∽△BAC， BD AB 3    ， DE AC 4 同理可得： CGF∽ CAB，   GF AB 3    ， CG AC 4 16 设DE  FG  DG 4x，则BD3x，CG  x， 3 BDDGCG  BC，  16 3x4x x5， 3 15 解得：x ， 37 15 60 DE 4x4  ， 37 37 60 故答案为： ． 37 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解 此题的关键． AE 1 16. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC,BC 3AD，点E在边AB上，且 = ，则 BEC的面积与  BE 3 第 12 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 四边形AECD的面积之比为_________． 【答案】9:7 【解析】 【分析】连接AC，则△AEC与 BEC的面积的比等于1：3，再根据BC 3AD得到 ABC与 ACD    的面积的比等于3：1，设△ACE的面积为a，则可以表示出 BEC与四边形AECD的面积，再求出比值  即可． 【详解】解：如图，连接AC，设△AEC的面积为a， AE 1  = ， BE 3 S 3a， BEC S a3a4a， ABC BC 3AD，  S 3S 4a， ABC ACD 4 S  a， ACD 3 4 16 四边形ABCD的面积S S 4a a  a， ABC ACD 3 3 16 7 ∴四边形AECD的面积为 a3a  a 3 3 7  BEC的面积：四边形AECD的面积3a： a 9:7．  3 故答案为：9:7． 【点睛】本题考查了几何图形的面积问题，根据梯形的性质得到面积的关系从 而得到三角形与四边形的面积的比是解决本题的主要思路． 第 13 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AC AD 17. 定义：如图1，对于线段AB的内分点C和外分点D，如果满足  ，那么称A、B、C、D是 CB DB “调和点列”．如图2，在 ABC中，点D在AB上，点E在AB的延长线上，联结CE，射线CD、CB  AF 与射线AM 交于点F、G,AG∥CE，若A、B、D、E 是调和点列，且AD2,BE 3，则 的值是 AG _________． 图1 图2 1 【答案】 ##0.5 2 【解析】 【分析】根据调和点列可得ADBD6，进而得出BD1，证明  DAF∽  DEC,  BAG∽  BEC，得出 AF,AG，进而即可求解． 【详解】解：∵A、B、D、E 是调和点列，且AD2,BE 3， AD AE ∴  BD BE ∴AEBD6 即 23BDBD6 解得：BD1（负值舍去） ∵AG∥CE, ∴  DAF∽  DEC,  BAG∽  BEC AF AD AG AB ∴  ,  EC DE EC BE ADEC ABEC ∴AF  ,AG  DE BE AF ADBE 23 1 ∴    ， AG DEAB 1321 2 1 故答案为： ． 2 【点睛】本题考查了几何新定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的 第 14 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 关键． 18. 如图，在Y ABCD中，点E在边BC上，将 ABE沿直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F 恰  好落在线段DE上，线段 AF 的延长线交边CD于点G，如果BE:EC 3:2，那么AF:FG的值等于 __________． 21 【答案】 4 【解析】 【分析】由轴对称的性质可得：BEAFEA，BE  FE，ABE AFE，结合平行四边形的性 质，结合BE:EC 3:2，设BE 3k,则EC 2k ，证明BC  AD DE 5k ，再证明 AD DG AG 5k 5 2 5 △ADG∽△DFG，可得：     ，求解：FG  DG,AG  DG，从而可得 DF FG DG 2k 2 5 2 答案． 【详解】解：   ABE≌  AFE BEAFEA，BE  FE，ABE AFE，  Y ABCD AD//BC，AD BC，BADC， BEADAE FEA AD DE BE:EC 3:2   设BE 3k,则EC 2k ， BC  AD DE 5k， DF 2k， DFG AFE，  DFG ADG， DGF AGD，  △ADG∽△DFG，  AD DG AG 5k 5      ， DF FG DG 2k 2 第 15 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 5 FG  DG,AG  DG， 5 2 AG 25   ， FG 4 AGFG 254   ， FG 4 AF 21   ， FG 4 21 故答案为： . 4 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性 质，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（19、20、21题每题 6分，22、23、24题每题 8分，25题 10分，共 52分） 19. 如图，点F 是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF 交BA的延长线于点E． AF 2 （1）若  ,AB4，求AE的长； FD 3 （2）联结BD，设  A  E  a  ,  B  C  b  ，用a 、b  表示  B  D  ． 8 【答案】（1） 3  3  （2）b  a 2 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，要求AE的长，结合平行四边形的性质，只需求得AE：CD的值，根据相似 三角形的性质与判定，可得AE：CD AF：DF，从而进行计算； 3  （2）根据（1）的结论得出CD a，进而根据三角形法则，即可求解． 2 【小问1详解】 解：  四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD，ABCD， △AFE∽△DFC， 第 16 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AE AF  = ， CD FD AF 2 又  = ，ABCD4， FD 3 AE 2  = ， 4 3 8 AE  ． 3 【小问2详解】 解：如图所示， ∵△AFE∽△DFC， AF AE 2 ∴   ， FD CD 3 3 ∴CD AE， 2 ∵  A  E  a  ,  B  C  b  ， 3  ∴CD a， 2     3  ∴BD BCCDb  a． 2 【点睛】本题综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理，向量的线性计算，熟练掌握以上 知识是解题的关系． AD AF 2 20. 如图，AD∥BC,AB、CD交于点E，点F 在AC边上，   ． BC FC 3 第 17 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求证：EF∥BC； （2）若四边形AFED的面积为16，求 ACD的面积．  【答案】（1）见解析 （2）S 25 ACD 【解析】 DE AF 【分析】（1）根据平行线分线段成比例结合已知得到  ，则可得EF∥AD，然后可得结论； EC FC （2）根据 CEF∽ CDA求出S 9，然后可得 ACD的面积．   CEF  【小问1详解】 解：∵AD∥BC， AD DE ∴  ， BC EC AD AF 2 ∵   ， BC FC 3 DE AF ∴  ， EC FC CE CF ∴  ， CD CA 又∵ECF DCA， ∴ CEF∽ CDA，   ∴CFE CAD， ∴EF∥AD， ∴EF∥BC； 【小问2详解】 解：由（1）知： CEF∽ CDA，   2 S CF  ∴ CEF    ， S  AC CDA AF 2 ∵  ， FC 3 CF 3 ∴  ， AC 5 S S 3 2 S 9 ∴ CEF  CEF    ，即 CEF  ， S S S 5 S 16 25 CDA CEF 四边形AFED CEF ∴S 9， CEF ∴S S S 91625． ACD CEF 四边形AFED 第 18 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理 是解题的关键． 9 21. 如图，D是 ABC内一点，且ADC BDA120，AD2,BD3,CD ，求ABC的度  2 数． 【答案】ABC  60 【解析】 【分析】首先由ADC BDABDC，得到ADC BDABDC 120，对应边成比例夹 角相等，证得△ABD∽△BCD，进而得到ABC 60． 9 【详解】解：∵AD2,BD3,CD 2 CD:BD BD:AD， ∵ADC BDA120， ∴ADBBDC 120 △ABD∽△BCD ABDDCB， ADC BDABDC 120，  DBCDCB180BDC 60， ABC ABDDBC 60 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 22. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB  DC，点E是AD边上一点，点G在边DC 上，射线EG交 BC的延长线于点F ，且BEF A． （1）求证：ABCG CFAE； 第 19 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 9 （2）若AB AD3,AE  ，求CF 的长． 5 19 【答案】（1）见解析 （2） 5 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出 AD， EDG∽ FCG，根据三角形的外角的性质，可得   GEDABE，证明 BAE∽ EDG，则 BAE∽ FCG，根据相似三角形的性质，即可得证；     （2）根据（1）的结论得出比例式，代入数据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC,AB  DC， ∴AD， EDG∽ FCG   又∵BEF A ∴BEDBEF GEDAABE ∴GEDABE， ∴ BAE∽ EDG   ∴ BAE∽ FCG   AB AE ∴  CF CG 即ABCG CFAE； 【小问2详解】 9 解：∵AB AD3,AE  5 9 6 ∴ED ADAE 3  5 5 ∵ BAE∽ EDG   AB AE ∴  ， ED DG 9 6  ∴ AEED 5 5 18 DG    AB 3 25 18 57 则CG CDDG  ABDG 3  25 25 ∵ EDG∽ FCG   第 20 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) FC CG ∴  ， ED DG 6 57  EDCG 5 25 19 ∴FC    DG 18 5 25 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，在 ABC中，ACB90，CD AB，垂足为点D,E是AC的中点，DE的延长线与BC  的延长线交于点F ． （1）求证：FD2  FCFB； DF2 AD （2）求证：  ． BF2 BD 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半得出ED EC，可得EDC ECD进而 证明FDBFCD，即可证明 FDC∽ FBD，根据相似三角形的性质，即可得证；   FD DC （2）证明△ADC∽△CDB可得CD2  BDAD，由（1）可得  ，进而即可得证． FB BD 【小问1详解】 证明：∵CD AB，E是AC的中点， ∴CDB90，ED EC， ∴EDC ECD， 又ACB90， ∴FDB90EDC，FCD90ECD， ∴FDBFCD， 又∵DFBCFD， ∴ FDC∽ FBD，   第 21 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) FD FC ∴  ， FB FD ∴FD2  FCFB； 【小问2详解】 证明：∵ACB90，CD AB ∴ADC CDB 又∵AB AACD 90， ∴BADB ∴△ADC∽△CDB CD AD ∴  BD CD ∴CD2  BDAD， ∵ FDC∽ FBD，   FD DC ∴  ， FB BD 2 2 FD DC ∴      ，  FB   BD  DF2 CD2 BDAD AD 即    ， BF2 BD2 BD2 BD DF2 AD ∴  ， BF2 BD 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24. 如图1，在直角坐标平面内，直线l : y 4x8交x轴于点A，交y轴于点B，线段AB的中点记作 1 点M ． 第 22 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求点A、点B、点M 的坐标； （2）如图2，过点M 的直线l 的截距为5，交x轴于点C，点E、F是直线l 上的动点（点E在点M 上 2 2 方，点F 在点M 下方），且总满足ME MF ，当△EAF 是直角三角形时，求点F 的坐标． 【答案】（1）A2,0 ，B0,8 ，M 1,4 7 3  34 34  （2）F  , 或F  1, 4  2 2  2 2  【解析】 【分析】（1）分别令x,y 0，即可得出A,B的坐标，进而得出M 的坐标； （2）分AFE 90，EAF 90，分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线l : y 4x8交x轴于点A，交y轴于点B， 1 当y0时，x2，x0时，y 8 ∴A2,0 ，B0,8 ， ∵M 是AB 的中点， ∴M 1,4 ； 【小问2详解】 解：依题意，设l 的解析式为y kx5，将 1,4 代入得， 2 4k5，解得：k 1 ∴直线l 的解析式为y x5 2 令y0，则x5， ∴C5,0 ， 依题意，设直线l 与y轴交于点D，则D0,5 ， 2 ∴CO DO，则△COD是等腰直角三角形， 当AFE 90时，如图所示，过点F 点作FQx轴于点Q， 第 23 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵CO DO5 ∴DCO45 ∵AF DC ∴△AFC是等腰直角三角形， 1 1 ∴FQ AC，AQ AC， 2 2 ∵A2,0 ，C5,0 1 3 ∴AQQF  AC  2 2 7 3 ∴F  , ； 2 2 当EAF 90，如图所示，过点F 点作FQx轴于点Q， 设Fm,m5 ，m 1 ∵ME MF ，EAF 90 第 24 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴MA MF 1 ∴ m12 m542   22 82 2 34 34 解得：m 1或m 1（舍去） 2 2  34 34  则F 1, 4，   2 2   7 3  34 34  综上所述，F  , 或F  1, 4  2 2  2 2  【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次 方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图，在 ABC中，ACB90，AC 1,BC 7，点D是边CA延长线上的一点，AE  BD，垂  足为点E,AE的延长线交CA的平行线BF 于点F ，连接CE交AB于点G． 备用图 （1）当点E是BD中点时，求AD的长； （2）设CE  x,AF  y，求y关于x的函数关系式及定义域； （3）当△BGE与△BAF 相似时，求线段 AF 的长． 【答案】（1）AD5 2 35 2 （2）y  1 x7 x 35 （3）AF  4 【解析】 第 25 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 【分析】（1）过点E作EH CD，可证EH  BC及 AHE∽ EHD，设AH  x，可得   2 2 7    x(x1)，即可求解； 2 （2）取AB中点O，连接OC,OE，根据OC OAOBOE，可得点A,C,B,E四点共圆，进而证明 BCE∽ FAB，即可求解；   （3）过点E作EH CD，作EM BC，结合点A,C,B,E四点共圆，可得四边形EMCH 为正方形， 进而得到Rt  BME ≌Rt  AHEHL ，设AH a，则MBa,CM 7a，CH 1a，利用三角函 数即可求解． 【小问1详解】 解：过点E作EH CD，如图， 则EHAEHD90， ∵ACB90，点E是BD中点， CE  DE， ∴CH  DH ， 1 7 EH  BC  ， 2 2 设AH  x， ∵AC 1， 则DH CH  x1， ∵AE  BD， AEH DEH AED90， ∵ AEH EAH 90， EAH DEH ，  AHE∽ EHD，   EH2  AHDH ， 第 26 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 7 5 21     x(x1)，解得：x （负根舍）， 2 2 5 21 5 21 ∴AH  ，DH  ， 2 2 ∴AD AH DH 5 2； 【小问2详解】 解：取AB中点O，连接OC,OE，如图， BCABEA90，  OC OAOBOE， ∴点A,C,B,E四点共圆， BCE BAF， CBECAE 180， BF∥CD，  BFACAE 180， CBE BFA，  BCE∽ FAB，   BC CE   ， FA AB CEFA BCAB，  BCA90,BC 7,AC 1， AB5 2， CEAF 75 2 35 2 ， 由CE  x,AF  y， 第 27 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 35 2 y  1 x7； x 【小问3详解】 解：过点E作EH CD，作EM BC，如图， EMC MCH CHE 90， ∴四边形EMCH 为矩形， 由（2）知， BCE∽ FAB，    BCE∽ BGE，   ECG EBG， ∵点A,C,B,E四点共圆， ECAEBG， ECBECA， EM  EH ， ∴四边形EMCH 为正方形， CM CH ， 1  ECBECA BCA45， 2 EBAEAB45， EBEA， Rt  BME ≌Rt  AHEHL ， BM  AH ， 设AH a，则MBa,CM 7a，CH 1a， 7a 1a, a3, CH 4， 第 28 页 共 29 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) CH 4 2 在Rt△CHE中，cosECH    ， CE CE 2 CE 4 2， 由（2）得：CEAF 75 2 35 2， 35 2 35 ∴AF   ； 4 2 4 【点睛】本题考查几何问题，涉及到全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等，正确作出辅助线是关 键． 第 29 页 共 29 页