精品解析：上海市延安中学2023届高三上学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高三_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
2022 年延安中学高三年级上学期期中考
一、填空题（1-6每小题 4分，7-12 每小题 5分，共 54分）
 x 
Bx 0
A{1,0,1,2}  x2  A B
1. 已知集合 ， ，则  _________.
【答案】
1
【解析】
【分析】解不等式得出集合B，再求交集即可.
 x 
 
【详解】因为A{1,0,1,2}，Bx 0 x 0 x2 ，
 x2 
所以AB1
，
故答案为：
1
.
2.  x32 5 的二项展开式中，x9的系数为_________.
【答案】40
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项可得解.
【详解】  x32 5 的二项展开式通项为T Cr x35r 2r Cr 2r x153r ，
r1 5 5
令153r 9，解得r 2，
所以T C222x9 40x9，
3 5
所以x9的系数为40，
故答案为：40.
3. 随机变量X 服从正态分布N
 2,2
，若P(2 x3)0.33，则P(x3)_________.
【答案】0.17
【解析】
【分析】利用正态密度曲线的对称性求解即可.
【详解】因为随机变量X 服从正态分布N
 2,2
，
所以P(x2)0.5，所以P(x3) P(x2)P(2 x3)0.17.
故答案为：0.17.
第 1 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )

4. 已知扇形的圆心角为 ，其弧长为，则此扇形的面积为_________.（结果保留π）
3
3
3
【答案】 ##
2 2
【解析】
【分析】首先根据弧长公式求半径，再根据扇形面积公式，即可求解.
l 
r  3
【详解】根据条件可知扇形所在圆的半径   ，
3
1 1 3
此扇形的面积s  lr  3 .
2 2 2
3
故答案为： 
2
5. 已知log (a2 1)log (2a)，则实数a的取值范围是_________.
a a
【答案】
0,1
【解析】
【分析】对a进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得a的取值范围.
【详解】当0a1时，ylog x在 0, 上递减，
a
a2 12a,a2 2a1a12 0恒成立.
当a 1时，ylog x在 0, 上递增，
a
a2 12a,a2 2a1a12 0无解.
综上所述，a的取值范围是 0,1 .
故答案为：
0,1
6. 某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序，经智能检测为次品的芯片会被自动
淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检验；已知某批芯片智能自动检测显示合格率为90%，最
3
终的检测结果的次品率为 ，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合
10
格品的概率为_________.
7
【答案】
9
【解析】
【分析】根据已知条件，结合条件概率的公式，即可求解.
第 2 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【详解】设该芯片智能自动监测合格为事件A,人工监测一枚芯片恰好合格为事件B，
9 3 7
P(A) ,P(AB)1  ，则在智能自动检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰
10 10 10
7
P(AB) 10 7
好为合格品的概率P(B A)   .
P(A) 9 9
10
7
故答案为： .
9
7. 从放有6黑3白共9颗珠子的袋子中抓3颗珠子，则白珠颗数的期望为_________.
【答案】1
【解析】
【分析】设所取的三颗珠子中白珠的颗数为X ，由条件确定X 的分布列，再由期望公式求期望.
【详解】设所取的三颗珠子中白珠的颗数为X ，则X 的取值有0,1,2,3，
C3 5 C2C1 15 C1C2 3 C3 1
PX 0 6  ，PX 1 6 3  ，PX 2 6 3  ，PX 3 3  ，所
C3 21 C3 28 C3 14 C3 84
9 9 9 9
以随机变量的分布列为
X 0 1 2 3
5 15 3 1
P
21 28 14 14
5 15 3 1
随机变量X 的期望EX0 1 2 3 1，
21 28 14 84
所以白珠颗数的期望为1，
故答案为：1.
8 已知3cos28cos5，则_________.
.
2 2
【答案】arccos 2k,kZ或arccos 2k,kZ
3 3
【解析】
【分析】根据余弦二倍角公式将已知等式转换为关于cos的一元二次方程，解得cos的值，再利用反三
角函数求得角.
【详解】解：因为3cos28cos5
所以3  2cos21  8cos5，即6cos28cos80，
所以23cos2cos20，又因为cos1,1
第 3 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
2 2 2
所以cos ，所以arccos 2k,kZ或arccos 2k,kZ.
3 3 3
2 2
故答案为：arccos 2k,kZ或arccos 2k,kZ.
3 3
9. 命题 p：“xR，ax2 2ax40”为假命题，则a的取值范围是_________．
【答案】-4<a£0
【解析】
【分析】由“xR，ax2 2ax40”为假命题得到“xR ，ax2 2ax40”为真命题，然后分
类讨论a0和a0两种情况，列不等式求解即可.
【详解】“xR，ax2 2ax40”为假命题则“xR ，ax2 2ax40”为真命题，
①当a0时，4<0，成立；
a0
②当a0时， ，解得-4<a<0；
Δ0
综上所述，-4<a£0.
故答案为：-4<a£0.
10. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只
分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有_____．（用数字作答）
【答案】240
【解析】
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘
法原理求得．
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者
中任选2人，组成一个小组，有C2种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同
5
的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
C24!240种不同的分配方案
5
故答案为：240
11. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.
【答案】8.
【解析】
第 4 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
tanB+tanC
【详解】sinAsin(BC)2sinBsinC tanBtanC 2tanBtanC，又tanA= ，
tanBtanC1
因此
tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC2 2tanAtanBtanC tanAtanBtanC8,即最小值为
8.
【考点】三角恒等变换，切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破
口，斜三角形ABC中恒有tanAtanBtanC tanAtanBtanC，这类同于正、余弦定理，是一个关
于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题
的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．
12. 设集合A{1,2,3,,2022}，若B且BA，记G(B)为B中元素的最大值与最小值之和，则
对所有的B，G(B)的算术平均值为_________.
【答案】2023
【解析】
【分析】集合A有n个元素，满足条件的集合B有2n 1个，G（B）为B中元素的最大值与最小值之
和，列举出n1，2，3，  ，然后找规律可求出所求．
2
【详解】（1）当A{1}时，B{1}，G（B）112，所有的B，G（B）的平均值为 2，
1
（2）当A{1，2}时，B{1}，G（B）112，B {2}，G（B）224，B{1，2}，
234
G（B）123，所有的B，G（B）的平均值为 3，
3
（3）当A{1，2，3}时，B{1}，G（B）112，B {2}，G（B）224，B {3}，
G（B）336，B{1，2}，G（B）123，B{1，3}，G（B）134，B{2，
3}，G（B）235，B{1，2，3}，G（B）134，
2463454
所有的B，G（B）的平均值为 4，
7

依此类推
集合A{1，2，3，  ，n}，所有的B，G（B）的平均值为n1．
∴集合A{1,2,3,,2022}，所有的B，G（B）的平均值为2023．
第 5 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
故答案为：2023．
二、选择题（每小题 5分，共 20分）
13. 下列函数中，既是奇函数，又在(0,)上是严格增函数的是（ ）
1 3 2
A B. C. y  x3 D.
. y  x3 y  x2 y  x3
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断即可求解.
【详解】因为函数为奇函数，排除选项B,D，因为B为非奇非偶函数，D为偶函数；
又因为函数为增函数，排除选项C，因为C在(0,)上是减函数，所以选A，
故选：A.
14. 已知A,B是两个随机事件,0 P(A)1,0 P(B)1,则下列命题中错误的是（ ）
A. 若A包含于B,则P(B∣A)1
B. 若A,B是对立事件,则P(B∣A)P(A∣B)1
C. 若A,B是互斥事件,则P(B∣A)0
D. 若A,B相互独立,则P(B∣A) P(B)
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念,判断P(AB),P(A),P(B)之间的关系，进而判断选项的正误.
【详解】解:关于选项A,因为A包含于B,所以P(AB) P(A),
P(AB) P(A)
则P(B∣A)  1,
P(A) P(A)
故选项A正确,
关于选项B,因为A,B是对立事件,所以P(AB)0，P(A)P(B)1
P(AB) P(AB)
所以P(B∣A)P(A∣B)  0
P(A) P(B) ,
故选项B错误,
第 6 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
关于选项C,因为A,B是互斥事件,所以P(AB)0，
P(AB)
所以P(B∣A) 0,
P(A)
故选项C正确,
关于选项D,因为A,B相互独立,所以P(AB) P(A)P(B)，
P(AB) P(A)P(B)
所以P(B∣A)   P(B),
P(A) P(A)
故选项D正确.
故选:B
15. 若函数y lg[sinxsin(x)sin(2x)sin(3x)sin(4x)]的定义域与区间[0,1]的交集是n个开区间
的并集，则n的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得sinxsinxsin2xsin3xsin4x0，而当x(0,1)时，sin(x)0，当
1 1 1
0x ，sin(2x)0，当  x1时，sin(2x)0，问题就转换成了sin(3x)与sin(4x)在(0, )
2 2 2
1
上同号，( ,1)上异号，然后用三角函数的象限符号求解.
2
【详解】要使函数有意义， sinx·sinxsin2xsin3xsin4x0，当 x(0,1)时，
sinx·sinx0，即sin(2x)sin(3x)sin(4x)0，
1 1
若sin(2x)0，得2k2x2k,即k  x k ，取k 0，得0x .
2 2
1 1
若sin(2x)0，得2k2x22k即 k  x1k，取k 0，得  x1.
2 2
1 1
只需sin(3x)与sin(4x)在(0, )上同号，( ,1)上异号，
2 2
2 1 2 1
若sin(3x)0，得2k3x2k,即 k  x  k ，取k 0，得0 x
3 3 3 3
1 2 2 2 1 2
若sin(3x)0，得2k3x22k,即  k  x  k，取k 0，得  x .
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
若sin(4x)0，得2k4x2k,即 k  x  k ，取k 0，得0 x
2 4 2 4
第 7 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
1 1 1 1 1 1
若sin4x0，得2k4x22k,即  k  x  k，取k 0，得  x ，取k1
4 2 2 2 4 2
3
得  x1，
4
1 1 1 1 2 3
满足sin(x)sin(2x)sin(3x)sin(4x)0，且在区间 0,1 内的区间为(0, ),( , ),( , ),( ,1).
4 3 2 2 3 4
故选：C
【点睛】考查了分类讨论的数学思想，训练三角函数的象限符号.
π
16. 设D是含数1的有限实数集， f x 是定义在D上的函数，若 f x 的图象绕原点逆时针旋转 后与原
6
图象重合，则在以下各项中， f 1 的可能取值只能是（ ）
3 3
A. 3 B. C. D. 0
2 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的定义即可得到结果.

【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与下一个点会
6
重合．
3  
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）= 3， ，0时，此时得到的圆心角为 ， ，0，然而此时
3 3 6
x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只
3 
有当x= ，此时旋转 ，此时满足一个x只会对应一个y，
2 6
故选B．
【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A中的每一个值，在集合B中有唯一的元素与它对应”(不
允许一对多).
三、解答题（共 76分）
17. 为加强环境保护，治理空气污染，环境检测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的
PM2.5和SO 浓度（单位：μg/m3），得下表：
2
[0,50]
50,150 150,475
第 8 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5不超过75，且SO 浓度不超过150”的概率；
2
（2）根据所给数据，完成下面22列联表，并判断是否有95%的把握认为该市一天中的PM2.5浓度与
SO 浓度有关？
2
[0,150] (150,475] 合计
[0,75]
(75,115]
合计
附表：
 P(x2 k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）0.64
（2）列联表见解析，有95%的把握认为该市一天中的PM2.5浓度与SO 浓度有关
2
【解析】
【分析】（1）根据表中的数据用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5不超过75，且SO 浓度
2
不超过150”的概率，
（2）根据题意完成22列联表，然后利用公式计算K2，再利用临界值表可得答案.
【小问1详解】
根据表中的数据可知，该市100天空气中PM2.5不超过75，且SO 浓度不超过150”的天数为
2
32186864，
第 9 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
64
所以该市一天空气中PM2.5不超过75，且SO 浓度不超过150”的概率的估计值为 0.64，
2
100
【小问2详解】
22列联表如下：
[0,150] (150,475] 合计
[0,75] 64 16 80
(75,115] 10 10 20
合计 74 26 100
100(64101610)2
所以K2  7.484，
74262080
因为7.4843.841，
所以有95%的把握认为该市一天中的PM2.5浓度与SO 浓度有关.
2
7
18. ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bcsinA10sinB，且sinBcosB .

5
（1）求 ABC的面积；


（2）若B ,b 17，求 ABC的周长.

4
【答案】（1）3或4
（2）7 17
【解析】
7 3 4
【分析】（1）根据正弦定理得到ac10，解方程sinBcosB 得到sinB 或sinB ，得到面
5 5 5
积.
（2）根据余弦定理得到ac7，得到周长.
【小问1详解】
由bcsinA10sinB，得abc 10b，即ac10.
7 7  2
因为sinBcosB ，所以sin2 Bcos2 B sin2 B

sinB

1，
5 5 
第 10 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
3 4
整理得(5sinB3)(5sinB4)0，解得sinB 或sinB ，
5 5
1
故 ABC的面积S  acsinB 5sinB 3或4.

2
【小问2详解】
 4 3
为B  ，所以sinB ,cosB .
4 5 5
由余弦定理得b2 a2 c2 2accosB，
即17(ac)2 2ac(1cosB)(ac)2 32，
解得ac7，故 ABC的周长为7 17.

19. 投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或6时得2分，掷得的点数为2，3，4，5时得1分；独立
地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分；
（1）设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布与期望；
（2）设最终得分为n的概率为P ，证明： P P  为等比数列，并求数列 P 的通项公式；
n n n1 n
8
【答案】（1）X 的分布列见解析，EX ；
3
n1
3 1  1
（2）证明见解析；P n  4  12    3   ．
【解析】
【分析】（1）根据X 的取值求出相应的概率即可；
2 1
（2）先求出P  P  P n3，据此证得 P P  为等比数列，进而求得 P 的通项公式．
n 3 n1 3 n2 n n1 n
【小问1详解】
解：X 的可能取值为2,3,4，
2 2 4
Px2   ，
3 3 9
1 2 4
Px32   ，
3 3 9
1 1 1
Px4   ，
3 3 9
∴ X 的分布列为
X 2 3 4
第 11 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
4 4 1
P
9 9 9
，
4 4 1 8
数学期望EX2 3 4  ．
9 9 9 3
【小问2详解】
2 1
解：由题意知P  P  P n3，
n 3 n1 3 n2
1
P P  P P ，
n n1 3 n1 n2
1 2 2 7 2
P     ，P  ，
2 3 3 3 9 1 3
1
P P  ，
2 1 9
1 1
P P 是以 为首项， 为公比的等比数列，
n n1
9 3
n2
1  1
P n P n1  9    3   n2，
∴ 当n2时，P n  P 1 P 2 P 1 P 3 P 2   P n P n1 
2 1   1  1 2  1 n2
  1              
3 9   3  3  3 
n1
 1
1 
2 1  3
  
3 9 1
1
3
2 1   1 n1
  1  
3 12  3 
n1
3 1  1
    ，
4 12 3
当n1时，上式也成立，
n1
3 1  1
综上：P n  4  12    3   ．
mxn 1 |xm|
20. 已知 f(x) ，g(x)   ，其中m,nR，且函数y f(x)为奇函数；
3x2 27 3
（1）若函数y f(x)的图像过点A（1，1），求实数m和n的值；
（2）当m3时，不等式 f(x)g(x)af(x)g(x)对任意x[3,)恒成立，求实数a的取值范围；
第 12 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
 f x x3
（3）设函数hx ，若对任意x [3,)，总存在唯一的x (,3)使得
 9gx x3 1 2
h(x) =h(x )成立，求实数m的取值范围；
1 2
【答案】（1）m30，n0
（2）
,7
（3）(0,6)
【解析】
【分析】（1）运用奇函数的定义可得n0，再由 f(x)图象经过点(1,1)，解方程可得m；
1 1
（2）问题转化为  a在[3，)上恒成立．构造函数，研究单调性求最值即可；
f(x) g(x)
mx m
h(x) f(x)  1
（3）求得当x3时， 3x2 27 27 ；当x3时，h(x)9g(x)9( )|xm|．分别讨论
3x 3
x
m„ 0，0m3，m…3，运用基本不等式和单调性，求得m的范围．
【小问1详解】
mxn
函数 f(x) 为奇函数，
3x2 27
mxn mxn
可得 f(x)f(x)，即  ，mxnmxn，则n0，
3x2 27 3x2 27
mn
由 f(x)的图象过A(1,1)，可得 f （1）1，即 1，
30
解得m30，n0；
【小问2详解】
3x 1 |x3|
当m3时，x[3,)，易知 f(x) 0，g(x)
 
0，
3x2 27 3
1 1 1 1 9
∴  a，记x  x 3x3，则(x)在[3，)递增．
f(x) g(x) f(x) g(x) x
9 9
理由：设3 x  x ，则(x )(x )x  3x13 x  3x23
1 2 1 2 1 x 2 x
1 2
9xx
(x x ) 1 2 3x13 3x23，
2 1 xx
1 2
由3 x  x ，可得x x 0，x x 9，3x 1 3 3x 2 3 0，
1 2 2 1 1 2
第 13 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
则(x )(x )0，即(x )(x )，
1 2 1 2
可得(x)在[3，)递增；
∴x33317，
∴实数a的取值范围
,7
；
【小问3详解】
mx m
h(x) f(x) 
当x3时， 3x2 27 27 ；
3x
x
1
当x3时，h(x)9g(x)9( )|xm|．
3
m
h(x ) f(x ) 0
①m0时，x 3时， 1 1 27 ；
1 3x 
1 x
1
1
x 3时，h(x )9g(x )9( )|x2m|  0不满足条件，舍去；
2 2 2 3
m
h(x ) f(x ) (0 m
②当0m3时，x 3时， 1 1 27 ， ]，
1 3x  18
1 x
1
1
x 3时，|x m|0，h(x )9g(x )9( )|x2m|(0，9]，
2 2 2 2 3
m m
由题意可得(0， ](0，9]，可得 9，即m162；
18 18
综上可得0m3；
m
h(x ) f(x ) (0 m
③当m3时，x 3时， 1 1 27 ， ]，
1 3x  18
1 x
1
1 1
x 3时，|x m|m30，h(x )9g(x )9( )|x2m|(0，9( )m3)，
2 2 2 2 3 3
m 1
由题意可得(0， ](0，9( )m3)，
18 3
m x
可得 35m，可令H(x)35x  ，则H(x)在R上递减，H60，
18 18
m
35m，可得m6，即3m6，
18
综上可得0m6，
所以m的取值范围是(0,6)．
21. 已知y m(x)是定义在[p,q]上的函数，如果存在常数M 0，对区间[p,q]的任意划分：
第 14 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
n
p  x  x  x  x  x q(nN,n3)，  mx mx  M 恒 成 立 ， 则 称 函 数
0 1 2 n1 n i i1
i1
y m(x)为区间[p,q]上的“有界变差函数”；
 π
（1）试判断函数 f(x)sinxcosx是否为区间

0,

上的“有界变差函数”，若是，求出M的最小值；
 2
若不是，说明理由；
（2）若y  g(x)与y h(x)均为区间[p,q]上的“有界变差函数”，证明：F(x) g(x)h(x)是区间
[p,q]上的“有界变差函数”；
 π
xcos 0 x1
（3）证明：函数x 2x 不是[0,1]上的“有界变差函数”；
  0 x0
 π
【答案】（1）函数 f(x)sinxcosx是区间

0,

上的“有界变差函数”， M的最小值为2；
 2
（2）证明过程见解析；
（3）证明过程见解析；
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据题中定义，结合绝对值的性质进行证明即可；
（3）根据特殊角的余弦函数值，结合有界变差函数的定义进行证明即可.
【小问1详解】
π
f(x)sinxcosx 2sin(x )，
4
 π π  π π
因为x

0,

，所以x 

 ,

，
 2 4  4 4
 π
因此函数 f(x)sinxcosx是

0,

上的增函数，
 2
π
设0 x  x  x  x  x  (nN,n3)，
0 1 2 n1 n 2
第 15 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
n
 f x  f x 
i i1
i1
 f x  f x   f x  f x    f x  f x 
1 0 2 1  n n1
π
 f x  f 0 f x  f x   f  f x 
1 2 1   2   n1
π
 f  f 0
 
2
1(1)
2,
显然存在常数M 0，对区间[p,q]的任意划分：
n
p  x  x  x  x  x q(nN,n3)，  mx mx  M 恒成立，
0 1 2 n1 n i i1
i1
 π
所以函数 f(x)sinxcosx是区间

0,

上的“有界变差函数”， M的最小值为2；
 2
【小问2详解】
因为y  g(x)与y h(x)均为区间[p,q]上的“有界变差函数”，
所以存在常数M 0,N 0，对区间[p,q]的任意划分：
n n
p  x  x  x  x  x q(nN,n3)，  gx gx  M ，  hx hx   N
0 1 2 n1 n i i1 i i1
i1 i1
恒成立，
因此对区间[p,q]的任意划分：
p  x  x  x  x  x q(nN,n3)，
0 1 2 n1 n
n n
 Fx Fx   gx hx gx hx 
i i1 i i i1 i1
i1 i1
n n
 gx gx hx hx  (gx gx   hx hx )
i i1 i i1 i i1 i i1
i1 i1
n n
 gx gx   hx hx  M N ，
i i1 i i1
i1 i1
因此F(x) g(x)h(x)是区间[p,q]上的“有界变差函数”；
【小问3详解】
取区间[0,1]的一个划分：
第 16 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
1 1 1
0  

 1,n3，
2n 2n1 2
则有：
2n 1 2nπ 1 (2n1)π 1 2nπ π 1 2π
x x   cos 0  cos  cos   cos  cos
i i1 2n 2 2n1 2 2n 2  2 2 2
i1
n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1       

1   

i 2 4 4 8 8 8 8 2 2 2
i1
所以对任意常数M 0，只要n足够大，就有区间[0,1]的一个划分：
 π
1 1 1 n xcos 0 x1
0  L  1，满足 x x  M ，所以函数x 2x 不
2n 2n1 2 i i1
i1   0 x0
是[0,1]上的“有界变差函数”
【点睛】关键点睛：运用绝对值的性质，结合正弦型函数、余弦函数的性质是解题的关键.
第 17 页 共 17 页