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第1 章 反比例函数 单元自测卷
【新教材，苏科版】
（考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分）
考前须知：
1．本卷试题共26 题，单选8 题，填空8 题，解答10 题，满分100 分，限时90 分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。）
1．下列函数是反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案．即反比例函数的定义为：形如
（
是不为
的常数）的函数是反比例函数．
【详解】解： A、
是正比例函数，不符合反比例函数定义；
B、
是一次函数，不符合反比例函数定义；
C、
中
，符合反比例函数定义；
D、
是正比例函数，不符合反比例函数定义．
2．在反比例函数
中，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据反比例函数系数的符号判断
时
的增减性，再代入
的端点值得到
的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数
中，
，
∴当
时，
随
的增大而减小，
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当
时，
，
当
时，
，
∴当
时，
的取值范围为
．
3．已知点
，
，
在反比例函数
的图像上，则
，
，
的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应
值后比较大小，即可得出结果．
【详解】解：∵点
，
，
在反比例函数
的图象上
∴将各点横坐标分别代入解析式计算：
当
时，
当
时，
当
时，
∵
∴
．
4．如图，已知点A 在反比例函数
图象上，垂足为点B，
轴，若矩形
的面积为2，则k
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
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【答案】B
【分析】直接根据
值的几何意义，即可得出结果.
【详解】解：由题意，矩形
的面积为
，
∵反比例函数过二，四象限，
∴
，
∴
.
5．下列图象与函数
图象相符的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分
和
两种情况讨论，分别得到表达式即可求解．
【详解】解：当
时，
，图象在第四象限；
当
时，
，图象在第三象限；
∴与函数
图象相符的是：
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．
6．一次函数
和反比例函数
的图象如图所示，若
，则x 的取值范围是
（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，与不等式的关系，解题的关键是正确运
用数形结合的思想．
的解集即为直线在双曲线上方时对应交点的横坐标的取值范围，据此结合图象即可求解．
【详解】解：由函数图象可得，当
时，则
或
，
故选：D．
7．如图，四边形
是边长为2 的正方形，以点
为原点，直线
为
轴建立平面直角坐标系，反比
例函数
的图象经过边
的中点
，则下列结论：①
；②
；③点
的坐标为
；④
的面积为
，其中正确的是（ ）
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A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数和坐标系求点坐标，面积等．利用
可以求出
和
点坐标，进而求出
面积．
【详解】①
，因为
经过点
，把点
代入函数解得
，所以①正确；
②
，
，无法得出
和
两角之和是
，也无法得出
，所以②错误；
③点
的坐标为
，由①
，点
的纵坐标为2，横坐标为
，所以③正确；
④
的面积为
，
，所以④正确．
8．如图，线段
两端点分别在
轴负半轴、
轴负半轴上，
的面积为2，将线段
绕平面内一点
旋转
，点
的对应点
在反比例函数
的图象上，点
的对应点
在反比例函数
的图象上．若点
的横坐标是点
的横坐标的
倍，则
的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
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【分析】根据题意，设点
，则
，由旋转得到，
，
，结
合图形面积的计算列式求解即可．
【详解】解：将线段
绕平面内一点旋转
，点
的对应点
在反比例函数
的图象
上，点
的对应点
在反比例函数
的图象上，点
的横坐标是点
的横坐标的
倍，
∴设点
，则
，
如图所示，过点F 作
轴，过点E 作
轴交于点D，
∴
，
，
根据旋转得到，
，
，
∵
的面积为2，
∴
，
解得，
．
二、填空题（本题共8 小题，每小题2 分，共16 分）
9．已知反比例函数
的图象经过点
，则k 的值为________．
【答案】
【详解】解：将点
代入反比例函数
得：
，
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解得：
．
10．反比例函数
图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据
的图像位于第二、四象限，比例系数
，计算即可求出k 的取值范围．
【详解】∵
位于第二、四象限，
∴
即
．
11．函数
和函数
的图象相交于
、
两点，如果点
的坐标是
，那么点
的坐标是________．
【答案】
【分析】两个函数的图象均关于原点中心对称，则两交点关于原点中心对称，再利用关于原点对称的点的
坐标特征即可求解．
【详解】解：
正比例函数
与反比例函数
的图象都关于原点中心对称，
两函数图象的交点
、
关于原点中心对称，
关于原点中心对称的点的横、纵坐标互为相反数，点
的坐标为
，
点
的坐标为
．
12．如图，反比例函数
经过矩形
的边
中点
，则矩形
面积为________．
【答案】
【分析】设点
的坐标为
，因为
在反比例函数
上，根据反比例函数性质可得
．因为
是矩形
边
的中点，所以矩形的
，
．根据矩形面积公式计算面积即可．
【详解】 解：设点
的坐标为
，
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∵
在反比例函数
上，
∴
．
∵
是矩形
边
的中点，
∴
，
．
∵矩形面积
，
∴代入
，得
．
13．某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间（单位：小时）与充电功率P（单位：
）成反比例函数关系，已知用
功率充电，需2 小时充满；若使用
的快充桩，充满电需要
_______小时．
【答案】
【分析】根据与
成反比例关系设出函数解析式，利用已知条件求出待定系数得到完整函数解析式，再
代入所求充电功率计算得到对应充电时间．
【详解】解：设与
的函数解析式为
把
，
代入解析式得，
解得
因此函数解析式为
把
代入解析式得
．
14．如图，一次函数
为常数，
的图象与反比例函数
为常数，
的图象交于
点
和
，已知点
的坐标是
，点
的坐标是
．根据函数图象直接写出关于
的不等式
的解集为__________．
【答案】
或
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【分析】结合函数图象，可以得到当
在
的左边或者在
和
之间时，满足不等式
，求解即可．
【详解】解：
一次函数
与反比例函数
的图象交于点
和
，
又∵点
的坐标是
，点
的坐标是
，
∴根据函数的图象得：关于
的不等式
的解集为
或
．
15．如图，菱形
的对角线
，
交于点
，且
过原点
，
轴，点
的坐标为
，反
比例函数
的图像经过
，
两点，则
的值是___________．
【答案】
【分析】先求出直线
的解析式，再设点
的坐标，由菱形性质可得点
为线段
的中点，从而表示
出点
的坐标，根据反比例函数的性质可列方程求出点
的坐标，进而求出
的值．
【详解】解：∵
过原点
，
∴设直线
的解析式为
，将点
代入
得，
，
解得
，
∴ 直线
的解析式为
，
设点
的坐标为
，
∵ 四边形
是菱形，
∴ 点
为线段
的中点，
∴ 点
的坐标为
，
∵ 反比例函数
的图象经过
，
两点，
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∴
，
整理得1
3 a
2= (a+3)
2
12
， 即4 a
2=(a+3)
2，
解得
或
（与点
重合，舍去），
∴ 点
的坐标为
， 将点
代入
得，
，
解得
．
16．如图，点
在
轴正半轴上，点
的坐标为
，点
在第一象限，若反比例函数
的图
像经过点
，
，
平分
．当
最小时，
的值为_____________．
【答案】8
【分析】如图，过点C 作
轴于点D，延长
交x 轴于点E，首先求出
，证明
，得到
，然后证明
，得到
，求出点C 的纵
坐标是4，点C 在第一象限内的直线
上运动，然后求出
，代入
求解即可．
【详解】解：如图，过点C 作
轴于点D，延长
交x 轴于点E，
∵点
的坐标为
，
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∴
∵
平分
∴
又∵
，
∴
∴
∵
轴
∴
又∵
∴
∴
∴
，即
∵
轴
∴点C 的纵坐标是4，
∴点C 在第一象限内的直线
上运动，
当
轴时，
最小，如图，
∴
∵
平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴将
代入
得，
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解得
．
三、解答题（共68 分）
17．已知
与x 成反比例，且当
时，
．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)当
时，
，求代数式
的值．
【答案】(1)
(2)23
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
（1）根据
与x 成反比例，设
，再代入
，
进行计算，即可作答．
（2）由（1）得
，整理得
，再代入
进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵
与x 成反比例，
∴设
，
∵当
时，
∴
，
解得
；
∴
；
（2）解：由（1）得
，
∴当
时，
，
则
，
∴
，
则
，
∴
，
18．已知：如图，反比例函数
的图像与一次函数
的图像交于点
，求反比例函数
的解析式．
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【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关
系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
把点A 代入一次函数解析式，可得点A 坐标，把点A 代入反比例函数可求得k 的值．
【详解】解：
点
在一次函数
图象上，
，即
．
反比例函数
的图象与一次函数
的图象交于点
，即
反比例函数解析式为
19．已知反比例函数
的图象经过点
．
(1)求k 的值；
(2)若
，
是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值
，
的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了反比例函数的图象．
（1）将点
代入
，求出k 的值即可；
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：将点
代入
，得：
，
解得
；
（2）解：∵
，
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∴反比例函数
的图象在一、三象限，
当
，y 随x 的增大而减小，
∵
，
是该反比例函数图象上的两点，
，
∴
．
20．已知一次函数
与反比例函数
，其中x 与y 的对应值如下表：
x
1
2
3
4
3
m
0
1
2
n
(1)求表格中m，n 的值；
(2)当
时，直接写出x 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，与不等式的关系，待定系数法求解函数解析
式．
（1）把
代入
，即可求解
；再由待定系数法求解反比例函数解析式，然后把
代入反
比例函数解析式即可求解
；
（2）画出
，
大致函数图象，即可由图象求解．
【详解】（1）解：把
代入
，则
，
把
代入
，则
，
∴反比例函数解析式为
，
把
代入
，则
；
（2）解：画出
，
大致函数图象如图：
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由图象可得，当
时，
或
．
21．直线
与反比例函数
的图像分别交于点
和点
，与坐标轴分别交于点
和点
．
(1)求直线
的函数表达式；
(2)观察图像，当
时，直接写出
的解集，
(3)若点
是
轴上一动点，当
的面积是8 时，求出
点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数结合，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与坐标轴围成的
面积问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据反比例函数上的点的特点求得
的值进而求得点
的坐标，待定系数法求直线解析式即可；
（2）根据反比例函数和直线在第一象限的图象直接求得直线在双曲线上方时，
的取值范围即可；
（3）根据（1）的解析式求得点
的坐标，设P 点坐标为
，则
，根据三角形面积公式求
解即可，进而解绝对值方程求得
的值，即可求得点
的坐标．
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【详解】（1）
点
和点
在
图象上，
，
，
即
，
把
，
两点代入
中得
，
解得
，
∴直线
的解析式为：
；
（2）解：∵由（1）得点
，点
，
∴由图象可得当
时，
的解集为
（3）解：由（1）得直线
的解析式为
，
当
时，
，
点坐标为
设P 点坐标为
，则
的面积是8
，
，
，
解得
或
，
P 的坐标为
或
，
∴点P 的坐标为
或
时，
的面积是8．
22．如图，直线
与双曲线
交于点
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(1)求双曲线对应的函数表达式；
(2)把直线向上平移3 个单位长度，与双曲线交于点B，连接
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
（1）利用待定系数法求出双曲线对应的函数表达式即可；
（2）先求出点B 的坐标，再求出铅锤高，利用面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵直线
与双曲线
交于点
，
，
，
，
∴双曲线对应的函数表达式为
；
（2）解：根据平移特征可知，平移后直线解析式为
，联立方程组得：
，解得
，
∴
，
如图，过点
作
轴的垂线交
于点
，
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在直线
中，当
时，
，
∴
，
∴
∴
．
23．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在
一定条件下进行了一系列的测试．
【数据收集】下表是测试所得的数据：
行车速度
（
）
视野角度
（度）
(1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点．
【数学表达】
(2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度
（度）与行车速度（
）之间关系的函数表
达式．
【问题解决】
(3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80 度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？
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【答案】(1)
(2)
(3)车辆的行驶速度应控制在不超过
，即
【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点
即可；
（2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值
，判断为反比例函数，写出近似函数表达式
并标注自变量取值范围即可；
（3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的
控制范围．
【详解】（1）略
（2）解：观察表格数据，每组行车速度v 与视野角度
的乘积近似等于
，符合反比例函数的特征，
因此近似函数表达式为：
；
（3）解：由题意，要求视野角度不小于
度，即
，代入函数表达式得：
，
因为行车速度
，不等式两边同时乘，不等号方向不变：
，
解得
，
结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过
，即
．
24．为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮
水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升
，加热到
时停止加热；随后水温自然回落，
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此阶段水温
与通电时间
成反比例关系．当水温降至
时，饮水机再自动加热，开始下一
轮循环．若初始水温在
时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象
（如图所示），请结合图象解答下列问题．
(1)图象中停止加热后水温自然回落至
的过程中，水温
与通电时间x（min）之间的函数关系式
是______，自变量x 的取值范围是_____；
(2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至
为止，求这一过程中水温不低于
时长为多少分钟？
(3)早晨7：40 接通电源启动加热（此时水温为
），当天上午9：20 下课时同学们______（填“能”或
“不能”）接到
的温开水，此时水温为______
．
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)能；40
【分析】(1) 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求
水温降至
时的总时间确定自变量范围．
(2) 分加热和回落两个阶段分别求出水温为
时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于
的时长并求和．
(3) 先求一个完整周期时长，再计算
内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进
而求出水温和是否在
～
范围内．
【详解】（1）解：∵ 初始水温为
，每分钟上升
，
∴ 加热到
所需时间为
，
即停止加热时
，
．
设停止加热后水温
与通电时间
的函数关系式为
，
∵ 图象过点
，
∴
，
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解得
，
∴ 函数关系式为
．
当水温降至
时，
，
解得
，
∴ 自变量
的取值范围是
．
（2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升
，
加热阶段水温
与通电时间
的关系为
(
)，
当
时，
，
解得
，
∴ 加热阶段水温不低于
的时长为
．
回落阶段水温
与通电时间
的关系为
(
)，
当
时，
，
解得
，
∴ 回落阶段水温不低于
的时长为
．
∴ 这一过程中水温不低于
的总时长为
．
（3）解：∵ 加热需
，回落需
，
∴一个完整周期为
．
∵ 早晨7:40 到上午9:20 共
，
，
∴ 经过
个完整周期后，第个周期又进行了
．
第个周期中，前
加热，后
回落，
∵
，
∴ 此时处于第个周期的回落阶段，
故可知，第1 个周期
的温度，第个周期开始后第
的温度一样，
此时的温度为：
∵
，
∴ 同学们能接到
～
的温开水，
此时水温为
．
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25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
与反比例函数
的图象交于A，B 两点，其中点
A、点B 的横坐标分别是
和3．
(1)当
时，自变量x 的取值范围为______；
(2)求出一次函数和反比例函数的表达式；
(3)将直线
向上平移后，与反比例函数图象交于C，D 两点，与两坐标轴分别相交于E，F 两点．若
，求直线
的函数表达式．
【答案】(1)
或
(2)一次函数的表达式为：
，反比例函数的表达式为
(3)直线CD 的表达式为
【分析】（1）直接由图象法求解即可；
（2）把点
、
代入一次函数
得：
，解得：
，即可求解；
（3）根据直线
，得
，设直线
与y 轴交于点G，再由
，
即
，求得
，则
，把
代入
，得
即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数
与反比例函数
的图象交于A，B 两点，且点A、点B 的横坐标
分别是
和3．
∴由图象可得：当
时，自变量x 的取值范围为
或
；
（2）解：∵点
、点
的横坐标分别是
和3，
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∴点
、
，
将点
、
代入一次函数
得：
，解得：
，
∴一次函数的表达式为：
，反比例函数的表达式为
；
（3）解：∵直线
，
，
设直线
与y 轴交于点G，
令
，则
，
∴
，
又
，
，
即
，
解得
，
∴
，
∴
把
代入
，得
，
直线CD 的表达式为
．
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26．如图1，已知点
，
，且
、
满足
，平行四边形
的边
与
轴交于点
，且
为
中点，双曲线
经过
、
两点．
(1)
________，
________；
(2)求反比例函数表达式；
(3)点
在双曲线
上，点
在
轴上，若以点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形，直接写
出满足要求的所有点
的坐标．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
；
；
；
【分析】（1）根据二次根式的非负性、平方数的非负性求解即可；
（2）
为
中点，且点E 的横坐标为0，设点D 的横坐标为
，设
，根据中点坐标公式可用含t
的式子表示出点D 的坐标，根据平行四边形的性质可表示出点C 的坐标，将点
代入反比例函数解析
式求解即可；
（3）设
，
，①当
为边时：分
为平行四边形和
为平行四边形两种情形画出
图形，再根据平行四边形的性质求解即可；②当
为对角线时：利用平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
，
∴
，解得，
，
∴
，
．
（2）解：由（1）可知，
，
，
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∴
，
，
∴
∵
为
中点，且点E 的横坐标为0，设点D 的横坐标为
，
∴
，
∴
，设
，
如图，过点D 作
轴于点F，过点C 作
于点G，
∴
轴，
∴
，
∴
，且
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∵点
，
都在双曲线
的图像上，
∴
，
∴
，解得：
，
∴
，
∵
在双曲线
上，
∴
，
∴反比例函数的解析式为
．
（3）解：设
，
，
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①当
为边时：
第一种情况：如图所示，若
为平行四边形，则
，
，即
轴
，
∴点P 的纵坐标为
，即
，解得：
，
∴
，即
，
∴
，解得：
，
∴
；
第二种情况：如图所示，若
为平行四边形，
∴
，解得：
，
∴
；
②当
为对角线时：如图所示，
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∵
，
∴点P、B 的横坐标相同，即
，解得：
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，解得：
，
∴
．
综上，
；
；
．
