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第10 讲圆的对称性
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 垂径定理的概念辨析
题型2 利用垂径定理求值（半径、弦长）
题型3 利用垂径定理求平行弦问题
题型4 利用垂径定理求同心圆问题
题型5 利用垂径定理求解其他问题
题型6 垂径定理的推论
题型7 垂径定理的实际应用
题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解
题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证
题型10 利用垂径定理求最值（压轴）
题型11 垂径定理求半径综合（压轴）
题型12 利用垂径定理解决翻折圆问题（压轴）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
垂径定理
垂径定理的推论
1. 理解垂径定理的推导过程，熟记定理核心内容与几何表述。
2. 掌握垂直于弦的直径平分弦及对应两条弧的核心性质。
3. 能够熟练运用垂径定理进行线段、弧长的计算与求解。
4. 学会构造直角三角形，结合勾股定理解决圆的计算问题。
5. 培养几何识图建模能力，提升圆的几何推理应用素养。
学习重点：掌握垂径定理内容及几何语言，运用定理进行线段和弧的相关计算。
学习难点：构造直角三角形结合勾股定理解题，灵活运用定理解决变式问题。
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AD
BD
AC
BC
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧；
如图，几何语言为：
CD 是直径
推论
定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
要点：
（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
CD⊥AB
AE=BE
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即时即练
1．垂径定理垂直于弦的直径_____这条弦，并且平分弦所对的_____．
2．下列语句中，不正确的是（
）
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．大小不相等的两个圆中不存在等弧
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．垂直于弦的直径也必平分弦
3．如图A，B，C，E 四点在
O 上，OC
AB
，
8
AB
，
2
CD
，则
O 的直径AE 为__．
知识点02 垂径定理拓展
垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（3）圆的两条平行弦所夹的弧相等．
注意：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这
五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦
不能是直径）
即时即练
4．下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直
线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是______．
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5．如图，OA
OB
OC
，
，
都是
O 的半径，AC
OB
，
交于点D．若
8
6
AD
CD
OD
，
，则BD 的长为
_______________
6．如图，已知圆O 的直径AB 垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD 于点F，且CF
AD
．
(1)证明：E 是OB 的中点；
(2)若
6
AB
，求CD的长．
知识点03 垂径定理常见辅助线
常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
即时即练
7．如图，在ABC 中，
90
C
，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D，交AC 于点E．
(1)若
35
A
，求DE 的度数；
(2)若
6,
8
BC
AC
，求BD 的长．
8．如图，AB 为
O 的直径，弦CD
AB
于E，已知
12
CD
，
3
BE
．求
O 的直径．
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9．如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
于点E ，连接AD ，若
3
OE
，
8
CD
，则AD 的长为___________．
题型1 垂径定理的概念辨析
1．已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，
正确的是（
）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①和②都是真命题
D．①和②都是假命题
2．下列关于圆的说法中，正确的是（
）
A．半圆是弧
B．弦是直径
C．长度相等的两条弧是等弧
D．平分弦的直径垂直这条弦
3．如图，AB 是
O 的直径，CD是弦但不是直径，AB
CD
于点E ，连接OC ，则下列结论不一定正确的
是（
）
A．CE
ED
B．AO
CO
C．OE
BE
D．AC
AD
4．如图，AB 是
O 的直径，CD 为弦，CD
AB
于点E，则下列结论不一定正确的是（
）
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A．CE
DE
B．OE
BE
C．BC
BD
D．
COE
DOE
5．下列命题正确的是（
）
A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦
B．垂直于弦的直线平分弦
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
题型2 利用垂径定理求值（半径、弦长）
6．如图，在
O 中，
O 的半径长为4 2 ，圆心O到AB 的距离
4
OE
，则弦AB 的长为（
）
A．8
B．8 2
C．4
D．4 2
7．如图，CD为
O 的直径，弦AB
CD
，垂足为点E ，连接OA，OB ，若
1
DE ，
6
AB
，则
O 的半
径长为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
8．如图，AB 是
O 的直径，且
8
AB
，C 为
O 上一点，过C 作CD
AB
，交AB 于点D ，交
O 于点E ．若
D 为OB 中点，则CE 的长为____________．
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9．如图，AB 是
O
☉
的直径，AB
CD
，
4 3
CD
，
60
ACD
，则
O
☉
的半径长为___________．
10．如图，AB 是
O 的弦，半径OD
AB
，垂足为H，BC
AB
，交AD 延长线于点C．
(1)求证：D 是AC 的中点；
(2)若
12
AB
，
4 13
AC
，求
O 的半径．
【易错警示】
运用垂径定理计算弦长、半径时，常忽略作垂直辅助线构造直角三角形。部分学生直接套用公式，记错半
弦、弦心距与半径的勾股关系，混淆线段对应关系。解题漏解、不分类讨论，忽略题意隐含条件，最终导
致计算结果出错。
题型3 利用垂径定理求平行弦问题
11．已知
O 的半径为13cm，弦AB
CD ，
24
AB
cm
，
10cm
CD
，则AB ，CD之间的距离为（
）
A．17cm
B．7cm
C．12cm
D．17cm 或7cm
12．已知
O 的半径为13，弦
10
AB
，弦
24
CD
，AB
CD ，则这两条平行弦AB ，CD 之间的距离为
________．
13．已知AB、CD 是⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为17cm，
30
AB
cm
，
16
CD
cm
，则AB、CD 间的
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距离为________．
14．如图，已知点A ，B ，C 均在
O 上，请用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，若点D 是AC 的中点，试画出
B
的平分线；
(2)如图2，若BD
AC ，试画出
ABC
的平分线．
15．如图，在
O 中，AB 是直径，弦EF
AB ．
(1)在图1 中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF 的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在（1）的条件下连接OP 、PF ，若OP 交弦EF 于点Q ，PQF 的面积6，且
12
EF
，求
O
的半径；
题型4 利用垂径定理求同心圆问题
16．已知
O 的直径为34cm，AB ，CD是
O 的两条弦，AB
CD ，
30
AB
cm
，
16
CD
cm
，则AB 和CD
之间的距离是（
）
A．7cm 或23cm
B．14cm 或46cm
C．7cm
D．23cm
17．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，
已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB 的宽度是（
）cm.
A．6
B．4 2
C．4 3
D．4 5
18．如图，半径为3 5 和5 的两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB 交小圆于C
D
、
两点，若
8
CD
，则AB ____．
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19．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，
8,
6
AB
CD
．
(1)直接写出BD 的长为___________；
(2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长．
20．如图，在以点O 为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦AB 交小圆于点C，D．
(1) 求证：AC
BD
．
(2) 若大圆的半径
10
R
，小圆的半径
6
r
，且圆心O 到直线AB 的距离为3，求AC 的长．
题型5 利用垂径定理求解其他问题
21．如图，BC 是
O 的弦，OA
BC
于H，连接OB 、OC ，则下列结论中错误的是（
）
A．BH
CH
B．OH
AH
C．AB
AC
D．
AOB
AOC
22．如图，A
B
，为球门边框的两端点，M 为ABC 的外接圆，CP
AB
．当运动员带球沿C
N
M
Q
运动时，射门角的变化情况是（
）
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A．越来越大
B．越来越小
C．不变
D．无法确定
23．如图，⊙P 与y 轴相切于点
0 3
C
，，与x 轴相交于点
10
A ，，
9 0
B
，．直线
3
y
kx
恰好平分
P 的面
积，那么k 的值是__________________．
24．如图，
1
O 和
2
O 相交于A 和B ，过点A 作
1
2
O O 的平行线交两圆于C
D
、
，已知
1
2
20cm
O O
，则
CD ________cm ．
25．在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文
物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知
弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法找出BAC 所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设ABC 是等腰三角形，底边
8
BC
cm
，腰
5
AB
cm
，求圆片的半径R．
题型6 垂径定理的推论
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26．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，则这条圆弧所在圆的半径
长为（
）
A．
2
B．5
C．2
D．3
27．如图，AB 是
O 的直径，CD为弦，CD
AB
于点E ，连接AC ，AD ，则下列结论一定正确的是（
）
A．AC
BC
B．BC
BD
C．OE
BE
D．
CAD
CDA
28．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果D 是
O 中弦AB 的中点，CD
经过圆心交
O 于点C ，并且
12
AB
米，
9
CD
米．则
O 的半径为（
）
A．6 米
B．13
2 米
C．7 米
D．15
2 米
29．如图，
O 的半径为5，弦AB 的长为8，点C 是
O 上一点，且AC
BC
，连接CO并延长，交AB 于
点D，交
O 于点E，则DE 的长为________．
30．如图，OA
OB
，AB 交
O 于点C，D，OE 是半径，且OE
AB
于点F．
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(1)求证：AC
BD
；
(2)若
12
CD
，
4
EF
，求
O 的半径．
【易错警示】
运用垂径定理推论时，极易忽略“弦不为直径”这一前提条件，盲目套用结论。不能正确区分定理与推论
的适用场景，误判垂直、平分弦、平分弧的对应关系，缺少分类讨论，造成几何判断和解题推理出现错误。
题型7 垂径定理的实际应用
31．如图，有一个圆弧形的门洞，
8 m
AB
，AB 上的最高点C 到水平地面AB 的距离CD为͵ m，则AB 所
在圆的半径为（
）
A．ͷ m
B．13 m
6
C．25 m
6
D．4 m
在Rt OAD 中，由勾股定理得：
2
2
2
OA
AD
OD
，
32．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，
展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可
以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的
O 与长方形的边BC 相切于点M ，点E 为拱
门的最高点，经测量，
0.2 m
AB
，
1.4 m
BC
，则拱门最高点E 到地面BC 的距离是（
）
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A．1.325 m
B．1.525 m
C．2.45 m
D．2.65 m
33．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如
下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D 四点，利用刻度
尺量得该纸条宽为7cm ，
6
AB
cm
，
8cm
CD
，则该水杯杯口的直径为________cm ．
34．项目学习
项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场的一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一
圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，
形成了如下活动报告．
项目主题
景物的测量与计算
驱动问题
如何对音乐喷泉进行测量和规划
活动内容
利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
示意图如图所示，点O为喷泉中心，AB 是喷泉边
缘的一条弦，
8
AB
米，D 是弦AB 的中点，连
接OD 并延长，交劣弧AB 于点C ，
2
CD
米．
已知防护栏要距离喷泉边缘1 米，以点O为圆心，
R 为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）．
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数据
8
AB
米，
2
CD
米．图中防护栏的厚度忽略不
计．
计算
…
交流展示
…
根据上述数据，若要在防护栏上至少每隔1.5 米安装一盏景观灯，最多需要安装多少盏景观灯？（结果取整
数，π取3.14）
35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的
一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心O为圆心的
O ，且圆心在水面
上方．在某一时刻，
O 被水面截得的弦AB 长为60 分米，过点O作OC
AB
，交
O 于点C ，交AB 于点
D ，水面下盛水筒的最大深度为10 分米（即
10
CD
分米）．
(1)求
O 的半径；
(2)若水面上涨，导致
O 被水面截得的弦AB 从原来的60 分米变为80 分米，且圆心O仍在水面上方时，求
水面上涨了多少分米？
【易错警示】
垂径定理实际应用中，常忘记作垂线构造直角三角形解题。容易混淆弦长、半弦、弦心距与半径的关系，
误用勾股定理。部分题目存在双解，学生常遗漏分类讨论，忽略图形位置变化，导致答案不完整而出错。
题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解
36．如图，
,
AO CO 是
O 的半径，B 是AC 的中点，连接
,
AB BC ，点D 在BC 的延长线上．若
130
OCD
，
则
AOC
的度数为（
）
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A．160
B．130
C．100
D．80
37．如图，A ，B 是
O 上的两点，C 为劣弧AB 的中点，
120
ACB
，若
2
OA
，则四边形OACB 的面
积为（
）
A．3
B．2 3
C．3 3
D．4 3
38．如图，AB 是
O 的直径，CB ，CD是
O 的弦，且CB
CD
，CD 与AB 交于点E，连接OD ．若
40
AOD
，
则
D
的度数是_____
39．如图，四边形ABCD内接于
O ，AC 是
O 的直径，点D 是AC 的中点，
140
BOD
，则
BAC
的
度数为________．
40．如图，已知AB 是
O 的直径，弦AC 与弦BD 交于点E，且OD
AC
，垂足为点F．若点C 是BD 的中
点．
(1)求
AOD
的度数；
(2)若
8
AB
，求DF 的值；
题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证
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41．如图，在
O 中，BD
CA
下列结论不正确的是（
）
A．AB
CD
B．
BOC
BOD
C．AB
CD
D．
AOB
COD
S
S
42．如图，在
O 中，BC 是直径，AB
DC
．下列结论不一定成立的是（
）
A．OA
OB
AB
B．
AOB
COD
C．AB
DC
=
D．O 到
,
AB CD 的距离相等
43．如图，在
O 中，弦AB 的长度是弦CD长度的两倍，连接OA，OB ，OC ，OD ，则
AOB
_______2 COD
．（填“ ”“”或“ ”）
44．如图，点A ，B ，C ，D ，E 在
O 上，且BC
CD
DE
EA
．
(1)求证：AD
CE
；
(2)若
2
AB
，
3
CE
，求
O 的半径．
45．如图，AB 是
O 的直径，CD是
O 的弦，CD
AB
于点E ，C 是AF 的中点，连接AF ．
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(1)求证：AF
CD
．
(2)若
2
AE
，
10
AF
，求
O 的半径．
题型10 利用垂径定理求最值（压轴）
46．如图，MN 是
O 的直径，
1
3
AN
MN
，点B 是AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点．连接AB ，AP ，
BP ．若
2 2
MN
，则PA
PB
的最小值是（
）
A．1
B．
2
C．2
D．2 2
47．如图，ABC 内接于
O
AC
，
为
O 的直径，点D，E 分别为
O 上的动点（不与点A，点B，点C 重
合），且DE
BC
，F 为DE 的中点，分别连接OF
AF
，
，若
3
4
AB
BC
，
，则AF 的最大值为（
）
A．3
B．4
C．4.5
D．5
48．如图，在平面直角坐标系中，以点
01
G
，为圆心，半径为2 的圆与x 轴交于A
B
，两点，与y 轴交于C
D
，
两点，E 为
G 上一动点，CF
AE
于点F ，则点E 在
G 上运动的过程中，线段FG 的长的最小值为（
）
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A．
5
2
B．1
C．
3
1
D．
2
1
49．如图，在平面直角坐标系中，
6,0
A
、
0,8
B
，点C 在y 轴正半轴上，点D 在x 轴正半轴上，且
6
CD
，
以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB 于E 、F ，则线段EF 的最大值为_____．
50．如图，在半圆O中，直径
6
AB
，C 是半圆上一点，将弧AC 沿弦AC 折叠交AB 于D ，点E 是弧AD 的
中点．连接OE ，则OE 的最小值为_______．
题型11 垂径定理求半径综合（压轴）
51．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形ABCD内接于
O ，
2
AB
CD
．若
6
AB
，
13
CD
，则
O 的半径是（
）
A．13
4
B．7
2
C．9
2
D．5
52．如图，⊙O 中，弦
8
AB
CD
cm
，若AB
CD
于点P，且
3 2
OP
cm
，则
O 的半径为（
）
A．4 2 cm
B．5 2 cm
C．5cm
D．6cm
53．如图，矩形ABCD是长方体玻璃片的截面，已知
2,
6
AB
BC
．现将长方体玻璃片打磨成一个凸透镜
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（截面如图中的阴影部分所示），透镜的边缘经过矩形各边的中点E，F，G，H，若点E，F，G 在以点O
为圆心的圆上，则
O 的半径为________．
54．如图，ABC 内接于
O ，
2
AB
BC
，若
6
AB
，
13
BC
，则
O 的半径是______．
55．如图，在
O 中，AB 、AC 为弦，CD为直径，AB
CD
于点E，BF
AC
于点F，BF 与CD相交于
点G．
(1)求证：ED
EG
；
(2)若
2 5
AB
，
1
OG ，求
O 的半径．
题型12 利用垂径定理解决翻折圆问题（压轴）
56．如图，在
O 中将弧AB 沿弦AB 翻折经过圆心O交弦BE 于点
2
2 7
F
BF
EF
AB
，
，
，则BE 长为
_____．
57．如图，在
O 中，点C 为AB 的中点，将弦AB 下方的部分沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O重合．点D 为
优弧AB 上一点，连接BD 、CD、BC ．若
45
BCD
，
2
AB
，则CD ________．
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58．如图，AB 是
O 的直径，
2
AB
，点C 在线段AB 上运动，过点C 的弦DE
AB
，将DBE 沿DE 翻
折交直线AB 于点F，当DE 的长为正整数时，线段FB 的长为______．
59．如图，四边形ABCD内接于
O ，AB
AD
，
3
BC ．劣弧BC 沿弦BC 翻折，刚好经过圆心O．当对
角线BD 最大时，则弦AB 的长为（
）
A．
6
B．2 3
C．3
2
D．2 2
60．如图，将⊙O 上的BC 沿弦BC 翻折交半径OA 于点D，再将BD沿BD 翻折交BC 于点E，连结DE．若
AB＝10，OD＝1，则线段DE 的长为（
）
A．5
B．2 5
C．2 3
D．4
3
3
+1
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1．如图，AB 是
O 的弦，半径OC
AB
，垂足为点E ，设
O 的半径为4,
2
CE
，则AB 的长为（
）
A．2
B．4
C．4 3
D．2 5
2．如图，AB 是
O 的弦，若
O 的半径
10
OA
，圆心O 到弦AB 的距离
6
OC
，则弦AB 的长为（
）
A．8
B．12
C．16
D．20
3．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，
深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为
O 的直径，CD
AB
，
垂足为E，
1
CE 寸，
10
AB
寸，则直径CD长度是（
）
A．12 寸
B．13 寸
C．24 寸
D．26 寸
4．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A、B 两点，点P 的坐标为(6,3)，点B 的坐标为(9,0) ，则点A
的坐标为（
）
A．(1,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(4,0)
5．如图，
O 的半径OC 长为4，将
O 沿AB 折叠，AB 恰好经过OC 的中点D ，且OC
AB
，则折痕AB
长为（
）
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A．3 15
2
B．2 15
C．4
D．2 3
6．如图，在扇形OAB 中，点C 在AB 上，连接OC ，AC ，BC ，
132
ACB
．若
2
BOC
AOC
，则AC
的度数为（）
A．16
B．24
C．32
D．36
7．如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
于点E ，连接AD ．若
2
BE
，
4 5
AD
，则CD长为（
）
A．4
B．4 2
C．8
D．9
8．如图，将半径为6 的
O 沿AB 折叠，AB 与AB 垂直的半径OC 交于点D 且
2
CD
OD
，则折痕AB 的长
为（
）
A．4 2
B．8 2
C．6
D．6 3
9．水车是中国古代重要的灌溉工具，图1 是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮
盘，它的边缘平均分布了12 个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的
1 个水斗在点A 处放空水，同时有1 个水斗刚好在点B 处接触水面，中间还有2 个水斗，已知外围轮盘半径
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OA为5m，点A 到水面的距离为7m ，则水面宽度CB 为（
）
A．6m
B．7m
C．7m 或9m
D．6m 或8m
10．如图，AB 是
O 的直径，点D 是AC 的中点，过点D 作DF
AB
于点E，交
O 于另一点F．若
12
AC
，
3
AE
，则
O 的半径是（
）
A．15
2
B．13
2
C．6
D．10
11．如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
于点E ，
10
AB
，
6
CD
，连接OC ．则BE 的长为______．
12．如图，AB 为
O 的弦，
8,
AB
OD
AB
，交
O 于点D ，垂足为C ，
2
CD
，则
O 的半径长为_____．
13．如图，拱桥可以近似的看作直径为260 m 的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路
面AB 长度为100m ，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________ m ．
14．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图，这枚古钱币的半径为
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____________ mm．
15．往直径为10m的圆柱形容器内装入一些水后，截面如图所示．若水面宽
6
AB
m
，则水的最大深度为
____________．
16．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，
某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m ，地面入口宽为1m，则该门洞的半径是_____ m ．
17．如图，AB ，CD为
O 的直径，点E 为AD 的中点，连接DE ，BC ，若
36
B
，则
CDE
的度数为
_________．
18．如图，将一块等腰Rt ABC 的直角顶点C 放在
O 上，绕点C 旋转三角形，使边AC 经过圆心O，某一
时刻，斜边AB 在
O 上截得的线段
4
DE
，且
14
BC
，则OC 的长为_____．
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19．某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下
方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A
B
C
D
，，，
四点，然后利用刻度
尺量得该纸条的宽为3.5cm ，
3
AB
cm
，
4
CD
cm
．则纸杯杯底的半径为___________cm ．
20．如图，在半圆ACB 中，
5
AB
，将半圆ACB 沿弦BC 所在的直线折叠，若弧BC 恰好过圆心O，则弦BC
的长是________．
21．如图，AB 是
O 的直径，AC
CD
DE
，
40
AOC
．求
BOE
的度数．
22．如图，
O 的直径
10cm
CD
，AB 是
O 的弦，AB
CD
，垂足为E，
:
3:5
OE OC
．
(1)线段CE 的长为多少？
(2)弦AB 的长为多少？
23．如图，在
O 中，BD
AC
．
求证：
(1) AB
CD
；
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(2)
B
C
．
24．如图，在ABC 中，
70
A
；
55
B
，以BC 为直径作
O ，分别交AB 、AC 于E 、F ．
(1)求BF 的度数；
(2)求证：BE
CF
．
25．如图，点A ，B ，C ，D ，E 在
O 上，且BC
CD
DE
EA
．
(1)求证：AD
CE
；
(2)若
2
AB
，
3
CE
，求
O 的半径．
26．如图，
O 的直径AB 垂直于弦CD，垂足为E，
2
AE
，
8
CD
．
(1)求
O 的半径长；
(2)连接BC ，作OF
BC
于点F，求OF 的长．
27．如图，在平行四边形ABCD中，过A，B，C 三点的
O 交CD于点E，且与AD 相切．
(1)求证：AB
AC
；
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(2)若
8,
4 5
BC
BE
，求
O 的半径．
28．如图，在ABC 中，
90
C
，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ．
(1)若
20
A
，求BD的度数．
(2)若
5
BC
，
12
AC
，求BD 的长．
29．如图，AB 是
O 的直径，CD是
O 的弦，CD
AB
于点E，点F 在
O 上且CF
CA
，连接AF ．
(1)求证：AF
CD
；
(2)连接BD ，若
2,
8
AE
AF
，求BD 的长．
30．如图，AB 是半圆O 的直径，
10
AB
，点C 在半圆O 上，D 为AC 的中点，连接OD 并延长交半圆O
于点E．
(1)如图1，若
1
AD
OD
，求AC 的长；
(2)如图2，过点E 作EF
AB
，垂足为F，若
8
AC
，求AF 的长．
