文档文本内容
1 / 28
学科网（北京）股份有限公司
第13 讲正多边形与圆
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求正多边形的中心角
题型2 已知正多边形的中心角求边数
题型3 尺规作图—正多边形
题型4 利用正多边形和圆的关系求半径
题型5 利用正多边形和圆的关系求面积
题型6 正多边形与圆的规律问题
题型7 正多边形与圆的综合
题型8 正多边形与圆的新定义问题
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
中心角
尺规作正多边形
正多边形与圆综合
1. 认识正多边形与圆的关系，掌握正多边形相关基本概念。
2. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的定义。
3. 掌握正多边形中心角、内角的计算公式并熟练运算。
4. 学会利用半径、边心距构造直角三角形求解边长。
5. 体会数形结合思想，提升正多边形几何解题能力。
学习重点：掌握正多边形与圆的相关概念，熟练计算中心角、边长及边心距。
学习难点：借助直角三角形模型，灵活解决正多边形的综合计算问题。
2 / 28
学科网（北京）股份有限公司
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 正多边形的相关概念
正多边形的相关概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形
的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关要素
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是
；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是
；
3 / 28
学科网（北京）股份有限公司
(3)正ｎ边形每个外角的度数是
.
要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
即时即练
1．下列说法正确的是（
）
A．三点确定一个圆
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．各边都相等的多边形是正多边形
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
2．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O 旋转至和原图形重合，至少需
要旋转（
）
A．360
B．180
C．120
D．60
3．下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形
的外心到三角形各边的距离相等，其中真命题的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
知识点02 正多边形的性质
正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n 边形的中心；当边
数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似
比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆
的外切正多边形.
即时即练
4 / 28
学科网（北京）股份有限公司
知识点03 正多边形的画法
正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等
分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n 边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形.
在⊙O 中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4 等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所
对的弧(即作∠AOB 的平分线交
于E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O 中，任画一条直径AB，分别以A、B
为圆心，以⊙O 的半径为半径画弧与⊙O 相交于C、D 和E、F，则A、C、E、B、F、D 是⊙O 的6 等分点.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O 的3 等分点.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12 等分…….
要点：画正n 边形的方法：（1）将一个圆n 等份，（2）顺次连结各等分点.
即时即练
7．按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程）
5 / 28
学科网（北京）股份有限公司
(1)在图①中作正方形ABCD，且顶点都在圆上．
(2)在图②中将圆的面积6 等分．
8．已知正五边形ABCDE ，请仅用无刻度直尺作图．
（1）在图1 中作点P，使得BDP 是等腰三角形：
（2）在图2 中作点O，使点O称为正五边形ABCDE 的中心．
9．如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作
图痕迹）
（1）作△ABC 的外接圆圆心O；
（2）设D 是AB 边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H 分别在边BC 和AC 上；
（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．
6 / 28
学科网（北京）股份有限公司
题型1 求正多边形的中心角
1．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（
）
A．36
B．72
C．90
D．180
2．青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000 年，如图所示，它的正面图形可近似
地看作是将圆五等分得到的，则图中
的度数为（
）
A．60
B．70
C．72
D．75
3．古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1 角硬币采用
了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．
4．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，连接
,
,
,
,
AD EH AE DH AE与DH 交于点O，则
DAO
的度数是______．
5．如图，AB ，AC 分别为
O 的内接正三角形、正四边形的一边，BC 是圆内接正n 边形的一边
AC
BC
，
则n 的值为___________．
7 / 28
学科网（北京）股份有限公司
【易错警示】
计算正多边形中心角时，易记错公式误用内角公式替代。常看错边数导致计算出错，混淆中心角、内角、
外角概念。未掌握周角均分原理，解题不理解公式由来，数值计算失误频发。
题型2 已知正多边形的中心角求边数
6．已知AB 是
O 的内接正十边形的一条边，AC 是
O 的内接正十五边形的一条边，那么以BC 为边的正
多边形的边数为___．
7．如图，AB 是
O 的内接正多边形的一条边，连接OA、OB ，
45
AOB
，则这个正多边形的边数为
___________．
8．如图，A
B
C
D
、、、
为一个正多边形的相邻四个顶点，O是正多边形的中心，若
15
ADB
，则这个正
多边形的边数为______．
9．如果正n 边形的中心角等于24，求这个正多边形的边数．
10．如图，正六边形ABCDEF 内接于
，
O
P 为DE 上一点，连接
，
AP
FP ．
8 / 28
学科网（北京）股份有限公司
(1)求
APF
的度数；
(2)当点P 为DE 的中点时，PE 是
O 的内接正n 边形的一边，求n 的值．
题型3 尺规作图—正多边形
11．如图，已知AC 为
O 的直径．请用尺规作图法，作出
O 的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不
写作法）
12．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：
(1)在图1 中，画出CD 的中点G；
(2)在图2 中，点G 为CD 中点以G 为顶点画出一个菱形．
13．已经学习了将已知半径R 的圆五等分，进而画正五边形、正六边形的作法，但这都是在已知半径为R
的圆内作出的．实际应用中往往要画出给定边长的正五边形、正六边形．如图，在Rt ABC 中，
90
ABC
，
2
AB
BC
，下面给出以AB 为边利用圆规和无刻度直尺画出的正五边形的方法：
①以C 为圆心，BC 的长为半径画圆，与AC 的延长线交于点D；
②再分别以A，B 为圆心，AD 的长为半径画弧，两弧在AB 下方交点记为点E；
③再分别以A，B 为圆心，AB 的长为半径画弧，各交②中所作两弧的一条于点F，G；
④连接BG ，GE ，EF ，FA ，得正五边形ABGEF ．
9 / 28
学科网（北京）股份有限公司
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出正五边形（保留作图痕迹，不写作法）．
14．如图，在正五边形ABCDE 中，请仅用无刻度
．．．．．直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1 中作一条与边AB 平行的线段．
(2)在图2 中作出线段AP ，使得AP
CD
．
15．在等边ABC 中，按如下步骤作图：
①延长
,
BA BC ；
②以A 为圆心，以AB 为半径作圆，交BM 于点D ；
③以D 为圆心，以AB 为半径作圆，交BM 于点E ；
④以E 为圆心，以AB 为半径作圆，交
D于点F ；
⑤连接DF ．
(1)求证：
120
ADF
．
(2)尺规作图完成正六边形ADFGHC ．（不写作法，保留作图痕迹）
【易错警示】
正多边形尺规作图时，易出现等分圆弧不均匀、作图痕迹不保留的问题。容易误将任意等分圆当作正多边
形，作图步骤不规范，混淆边长、半径关系，导致画出的图形不对称、不符合标准，造成作图失分。
题型4 利用正多边形和圆的关系求半径
16．如图，边长为4 的正六边形ABCDEF 内接于
O ，则它的内切圆半径为（
）
10 / 28
学科网（北京）股份有限公司
A．1
B．2
C．
2
D．2 3
17．如图，正六边形ABCDEF 内接于
O ，若四边形AOCB 的面积为8 3 ，则
O 的半径为（
）
A．2
B．2 2
C．2 3
D．4
18．如图，正方形ABCD的边长为2 ，以AB 边上的动点O为圆心，OB 为半径作圆，将AOD 沿OD 翻折
至A OD
，若
O 过A OD
一边上的中点，则
O 的半径为____________________．
19．如图，面积为8 的正方形ABCD内接于
O ，则
O 的半径为__________．
20．如图，正方形ABCD内接于
O ，M 为AD 上的一点，连接BM
CM
，
．
(1)若BM
CM
，求证：M 为AD 的中点．
11 / 28
学科网（北京）股份有限公司
(2)若正方形的面积为4，请直接写出
O 的半径．
题型5 利用正多边形和圆的关系求面积
21．如图，边长相等的正六边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是4，那么非阴影部分面积
是（
）
A．8
B．6 3
4
C．4
D．3 3
22．如图所示正六边形ABCDEF 的面积为6，点M 是边EF 的中点，连接AE
CM
、
相交于N ，若四边形
AFMN 的面积记作a ，四边形CDEN 的面积记作b ，则b
a
的值是（
）
A．
3
2
B．1
C．3
D．2
23．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆的内接正多边形的
面积无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法．如图，
O 的半径为2，若用
O 的内接正六边形的面积
来估计
O 的面积，则
O 的面积与其内接正六边形的面积的差值为_________．
24．南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面
积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若
O 的半径为1，则圆的面积与其内接正十二
边形面积的差为_____．
12 / 28
学科网（北京）股份有限公司
25．如图，
O 的半径为4，正六边形ABCDEF 内接于
O ，求OAB的面积．
题型6 正多边形与圆的规律问题
26．如图1，图2，图3⋯，M、N 分别是
O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD，正五边形ABCDE ，…
的边AB
BC
、
上的点，且BM
CN
，连接OM
ON
、
，图1 中
120
MON
，图2 中
90
MON
，图3 中
72
MON
…，根据这样的规律，图n 中
MON
的度数是______．
27．如图，正六边形
1
1
1
1
1
1
A B C D E F 的边长为2，正六边形
2
2
2
2
2
2
A B C D E F 的外接圆与正六边形
1
1
1
1
1
1
A B C D E F 的各
边相切，正六边形
3
3
3
3
3
3
A B C D E F 的外接圆与正六边形
2
2
2
2
2
2
A B C D E F 的各边相切……按这样的规律进行下去，
10
10
10
10
10
10
A B C D E F 的边长为___________．
28．如图，
60
MON
，作边长为1 的正六边形
1
1
1
1
1
1
A B C D E F ，边
1
1
A B 、
1
1
F E 分别在射线OM、ON 上，边
1
1
C D 所在的直线分别交OM、ON 于点
2
A 、
2
F ，以
2
2
A F 为边作正六边形
2
2
2
2
2
2
A B C D E F ，边
2
2
C D 所在的直线
分别交OM、ON 于点
3
A 、
3
F ，再以
3
3
A F 为边作正六边形
3
3
3
3
3
3
A B C D E F ，…，依此规律，经第n 次作图后，
点
n
B 到ON 的距离是______．
13 / 28
学科网（北京）股份有限公司
29．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义．
(1)[定义]我们将正n 边形的周长L 与正多边形对应的内切圆的周长C 的比值，称作这个正n 边形的“正圆
度”
nk ．如图，正三角形ABC 的边长为1，求得其内切圆的半径为
3
6
，因此
3k ___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”
4
6
k
k
、
；
(3)[总结]随着n 的增大，
nk 具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
30．[阅读与思考]如图①，在正三角形ABC 中，点M
，N 是AB ，BC 上的点，且AM
BN
，则AN
CM
，
NOC
＝
；
如图②，在正方形ABCD 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM
BN
，则AN
DM
，NOD
；
如图③，在正五边形ABCDE 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM
BN
，则AN
EM
，NOE
；
[理解与运用]在正六边形ABCDEF 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM
BN
，则AN
FM
，
NOF
；
在正十边形ABCDEFGHIJ
中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM
BN
，则AN
JM
，NOJ
；
[归纳与总结]根据以上规律，在正n 边形
n
A A A A
A
1
2
3
4
中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M ，
N 是
1
2
A A
，
2
3
A A 上的点，且AM
A N
1
2
＝
，
1A N
与
n
A M
相交于O；也会有类似的结论，你的结论是
．
14 / 28
学科网（北京）股份有限公司
题型7 正多边形与圆的综合
31．阅读与思考
尺规作图
一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千
图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案．
正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套
了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个
正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1 或图2 中正方形的内嵌正八边形吗？
初步分析：从整体特征与元素特征两个角
度回顾正八边形的性质．
（1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性．
（2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于135．
深入分析：以图2 正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接AC ，EG ，EF ，FG ，发现
的结论如下：
（1）E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD各边的中点；
15 / 28
学科网（北京）股份有限公司
（2）IEF 是顶角为135，底角为22.5的等腰三角形；
（3）
I
OE 中，
I
OE
O
；
（4）___________________________．
动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图
（1）如图4，作边AD ，DC 的垂直平分线，分别交AD ，BC ，AB ，CD于点E ，G ，
F ，H ；
（2）分别作
AFE
和
AEF
的角平分线，交于点I ；利用旋转
对称性作出点J ，K ，L ；
（3）顺次连接这八个点．
∴八边形I
E FJGKHL 为正方形ABCD的内嵌正八边形．
任务：
(1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________．
(2)类比研究图2 正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接AC ，BD ，交于点O．线段AK 是否与线段AO
相等，请说明理由．
(3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形ABCD中作出其内嵌正八边形（不写作图步
骤，保留作图痕迹）．
32．如图1，在Rt ABC 中，
90
C
，锐角
A
所对的直角边BC 与
A
相邻的直角边AC 的比值称为
A
的
坡度，记为“(
)
A
”，即(
)
BC
A
AC
，同样地，(
)
AC
B
BC
．对于锐角A 的每一个确定的值，(
)
A
都有唯一
确定的值与它对应．
16 / 28
学科网（北京）股份有限公司
请回答以下问题：
(1)(
)
A
______
A
的函数（填“是”或“不是”）
(2)在Rt ABC 中，
90
C
，
45
A
，则(
)
A
______；
(3)在Rt ABC 中，
90
C
，
30
A
，则(
)
A
______；
(4)在ABC 中，AB
BC
，
15
A
，则(
)
A
______；
(5)如图2，在Rt ABC 中，
90
ABC
，D 是AC 的中点，过D 点作AC 的垂线交BC 于点E ，
6
AB
，
3
(
)
4
C
，则DE ______；
(6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为BD ，点A ，B ，C 在同一直线上，点M ，N 分别为两个
正六边形的中心，则(
)
NAB
______；
33．正多边形可以由等分圆周得到，请探究下列问题：
(1)已知正方形ABCD的外接圆半径为
2 ，则正方形ABCD的面积为_________．
(2)如图，正六边形与正十二边形内接于同一个圆中，已知圆的半径为3，记圆的面积为
1S ，正六边形的面
积为
2S ，正十二边形的面积为
3
S ．令
1
2
x
S
S
，
1
3
y
S
S
，求x
y
的值．
(3)由（2）可知，将圆等分后围成的正多边形边数越大，与圆的面积就越接近．设正n 边形（
3
n
且为整
数）的外接圆半径为r，面积为S．试用含n，r 的式子表示S．
34．有一个边长为6 的等边ABC ．
【概念理解】
如果这个等边ABC 的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边
ABC ．
例如：用1 个圆覆盖这个等边ABC ，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________．
【活动探究一】
小明想用2 个等圆
1
O ，
2
O （可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边ABC ，思考后，
17 / 28
学科网（北京）股份有限公司
小明先以BC 为直径作了
1
O ．请你继续探究：
（1）请用圆规在图1 中作出1 个符合题意的
2
O ；
（2）如图2，设该三角形未被
1
O 覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点
2
O 的距离为d ，则d 的取值
范围是_________；
（3）满足题意的点
2
O 的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2 中将它表示出来．
【活动探究二】小聪以这个等边三角形ABC 的一边BC 为直径作了
1
O ，如图3，他想到可以用3个等圆
3
O ，
4
O ，
5
O
e
（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边ABC ，并且这三个等圆的半径最
小．请你在图3 中作出其中的两个圆的圆心．
要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法．
35．如图1，正五边形ABCDE 内接于
O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法：如图2．
1．作直径AF ．
2．以点F 为圆心，FO为半径作圆弧，与
O 交于点M ，N ．
3．连接AM ，MN ，NA．
(1) AMN 是正三角形吗？请说明理由．
(2)从点A 开始，以DN 的长为边长，在
O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值．
题型8 正多边形与圆的新定义问题
36．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n 边形与圆的形状有差异，我们将正n 边形与圆的接近程度
称为“接近度”．
18 / 28
学科网（北京）股份有限公司
(1)角的“接近度”定义：设正n 边形的每个内角的度数为m，将正n 边形的“接近度”定义为180
m
．于是
180
m
越小，该正n 边形就越接近于圆，
①若
3
n
，则该正n 边形的“接近度”等于．
②若
20
n
，则该正n 边形的“接近度”等于______．
③当“接近度”等于______．时，正n 边形就成了圆．
(2)边的“接近度”定义：设一个正n 边形的外接圆的半径为R，正n 边形的中心到各边的距离为d，将正n 边
形的“接近度”定义为
1
d
R
．分别计算
3,
6
n
n
时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n
边形就成了圆？
37．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相
邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正
方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF 是等边半正六边形，那么
AB
BC
CD
DE
EF
FA
，
A
C
E
，
B
D
F
，且
A
B
．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
19 / 28
学科网（北京）股份有限公司
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：．
(2)如图3，六边形ABCDEF 是等边半正六边形．连接对角线AD ，猜想
BAD
与
FAD
的数量关系，并说
明理由；
(3)如图4，已知ACE 是正三角形，
O 是它的外接圆．请在图4 中作一个等边半正六边形ABCDEF （要
求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
38．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形ABCD是圆美四边形，则美角
A
______度．
（2）在（1）的条件下，若
O 的半径为10．
①求BD 的长．
②如图2，在四边形ABCD中，若CA 平分
BCD
，求证：BC
CD
AC
．
（3）在（1）的条件下，如图3，若AC 是
O 的直径，用等式直接写出线段AB ，BC ，CD之间的数量关
系．
39．定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最
小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
例如：如图1，线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆；
【初步思考】
20 / 28
学科网（北京）股份有限公司
（1）边长为1cm 的正方形的最小覆盖圆的半径是______cm ；
（2）如图2，边长为1cm 的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______cm ；
【深入研究】
（1）请分别作出图3 中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）如图4，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，ABC 的顶点A 位于坐标原点，顶点B 、C 的坐
标分别为
4,0 、
3,3 ．则ABC 的最小覆盖圆的圆心坐标为______，半径长为______；如图5，钝角MNP
中，
5
MN
，
123
MPN
，则MNP 的最小覆盖圆的半径为______．
【生活应用】
某地有四个村庄A ，B ，C ，D（其位置如图6 所示），现拟建一个5G 网络信号中转站，为了使这四个村
庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测
量得到
8km
CD
及图中相关各角度等数据，四边形ABCD区域最小覆盖圆的半径为______．
40．定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”
（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．
21 / 28
学科网（北京）股份有限公司
（2）如图1，在△ABC 中，AB=2，BC= 5
2 ，AC=3，D 为平面内一点，以A、B、C、D 四点为顶点构成的
四边形为“完美四边形”，若DA，DC 的长是关于x 的一元二次方程x2-(m+3)x+ 1
4 (5m2-2m+13)=0(其中m 为
常数)的两个根，求线段BD 的长度．
（3）如图2，在“完美四边形”EFGH 中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH 面积的最大值．
1．如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（
）
A．4
B．6
C．8
D．9
2．如图，正五边形ABCDE 内接于
O ，点Q 是优弧AB 上一点，连接AQ ，BQ ，则
AQB
的度数为（
）
A．40
B．36
C．30
D．25
3．如图，点
,
,
,
,
A B C D E 是以点O为中心的正多边形的顶点，若
18
ADB
，则该正多边形的边数为（
）
A．7
B．8
C．10
D．11
4．张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若
O 的半径为
2 ，则这个
圆内接正八边形的面积为（
）
22 / 28
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．2
C．4 2
D．8 2
5．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，连接AD ，EH ，AE ，DH ，AE 与DH 交于点O，则
DAO
的度
数是（
）
A．20
B．22.5
C．25
D．30
6．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆
的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割
圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，O 的半径为1，运用“割
圆术”，以圆内接正方形周长近似估计
O 的周长，可得π的估计值为2 2 ，若用圆内接正六边形作近似估
计，可得π的估计值为（
）．
A．5
B．2 2
C．3
D．2 3
7．如图，正五边形ABCDE 内接于
O ，点F 是弧DE 上的动点，则
AFC
的度数为（
）
A．144
B．108
C．72
D．随着点F 的变化而变化
8．我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的穹窿状装饰，称为藻井．北京故宫博
物院内的太和殿上方即有藻井( 图1) ，全称为龙凤角蝉云龙随瓣枋套方八角浑金蟠龙藻井．它展示出精美的
装饰空间和造型艺术．从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为方井，中层为八角井，内层
23 / 28
学科网（北京）股份有限公司
为圆井．图2 是由图1 抽象出的平面图形．若内层圆井的面积为π
8 ，则最外层方井ABCD的边长是（
）
A．
2
2
B．1
C．
2
D．2
9．如图，
O 的半径等于6，其内接正六边形ABCDEF 中，AE
BF
、
交于点
,
G BD
CE
、
交于点H ，则四边
形BGEH 的面积是（
）
A．36
B．18 3
C．24 3
D．24
10．如图，正六边形ABCDEF 内作正方形ABHG ，连接AD ，交GH 于点O，则DO
AO 的值为（）
A．
2
2
B．
2
1
C．
3
1
D．2
3
11．高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边长为2，其内切圆的面积
为______．（结果保留π）
12．如图，A，B，C，D 为一个正多边形的顶点，点O 为该正多边形外接圆的圆心，连接AD 、BD ，
20
ADB
，
则这个正多边形是边数为____________．
24 / 28
学科网（北京）股份有限公司
13．第四套人民币中1 角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为
尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°．
14．太极八卦图蕴含着丰富的传统文化与数学奥秘，其外围的卦象排布可近似看作一个正八边形（如图）．则
这个正八边形的中心角度数为________．
15．某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已
摆放3 个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完
整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片．
16．如图，正六边形ABCDEF 内接于
O ，点P 是弧FD 上任意一点，连接BP ，CP ，则
BPC
的度数为
______．
25 / 28
学科网（北京）股份有限公司
17．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子
正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中OCD是由OAB 绕着点O按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋
转角的度数为________．
18．如图，AB ，CD分别是
O 的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接BC ．若
35
ABC
，则
BCD
的度数为___________．
19．我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割
圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形ABCDEF 是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作
出一个圆内接正十二边形，连接AG ，CF ，AG 交CF 于点P ，若
3 2
AP
，则半径的长为______．
20．如图，圆心O恰好为正六边形ABCDEF 的中心，已知
12,
AB
O
的半径为3 ，现将
O 在正六边形
内部沿某一方向平移，当它与正六边形ABCDEF 的某条边相切时停止平移，设此时平移的距离为d ，则d 的
取值范围是__________．
21．一个多边形的所有内角与它的外角和的和是1260．
(1)求该多边形的边数；
(2)若该多边形为正多边形，求中心角的度数．
26 / 28
学科网（北京）股份有限公司
22．如图，正方形ABCD的外接圆为
O ，点P 在劣弧CD 上（不与点C 重合）．
(1)求
BPC
的度数；
(2)若
O 的半径为8，求正方形ABCD的边长．
23．正六边形ABCDEF 的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．
24．如图，正方形ABCD内接于
O ，E 是AD 的中点，连接BE
CE
，
．
(1)求∠E 的度数．
(2)求证：BE
CE
．
(3)若
2
AB
，则点E 到BC 的距离为．
25．根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图．
(1)作
O 的一个内接等边三角形；
(2)作
M 的一个外切直角三角形．
26．如图，
O 的半径为4 ．
27 / 28
学科网（北京）股份有限公司
(1)求作它的内接正方形ABCD；
(2)求正方形ABCD的边长．
27．如图，AB 是
O 的直径，
6
AB
，AC 是
O 的弦，
30
BAC
，延长AB 到D，连接CD，AC
CD
．
(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)以BC 为边的圆内接正多边形的周长等于
．
28．如图，
O 的半径为R ，六边形ABCDEF 是圆内接正六边形，四边形EFGH 是正方形．
(1)求
OGF
的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比．
29．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相
邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正
方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
28 / 28
学科网（北京）股份有限公司
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF 是等边半正六边形，那么
AB
BC
CD
DE
EF
FA
，
A
C
E
，
B
D
F
，且
A
B
．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：．
(2)如图3，六边形ABCDEF 是等边半正六边形．连接对角线AD ，猜想
BAD
与
FAD
的数量关系，并说
明理由；
(3)如图4，已知ACE 是正三角形，
O 是它的外接圆．请在图4 中作一个等边半正六边形ABCDEF （要
求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
30．解决以下问题
(1)如图1，等腰ABC 内接于
O ，AB
AC
，
60
B
，连接AO 并延长交
O 于点D，交BC 于点H．请
你仅使用无刻度的直尺在图1 中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实
线表示）；
(2)如图2，
O 是ABC 的外接圆，AB
AC
，P 是⊙O 上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O 上画一点
D，使得PD 平分
BPC
；
(3)如图3，在5×5 的网格中，ABC 的三个顶点都在格点上，圆是ABC 的外接圆，只用无刻度的直尺在图
3 中AB 上画出点F（点F 不与点C 重合），使得AF
AC
．
