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第 07 讲 正多边形与圆、扇形的弧长与面积
课程标准 学习目标
1. 理解正多边形与圆的相关概念。
2. 理解并掌握正多边形的半径与边长，边心距，中心
①正多边形与圆的相关概念及其关系
角之间关系。
②正多边形的画法
3. 学会利用等分圆的方法画正多边形。
③扇形的弧长与面积的计算公式
4. 掌握并利用扇形的周长与面积计算公式进行相应的
计算。
知识点01 正多边形与圆
1. 正多边形的概念：
各条边 ，各个角也 的多边形叫做正多边。
2. 圆的内接正多边形：
把一个圆 分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各 所得的多边形是这个圆
的 ，这个圆叫做这个正多边形的 。
3. 圆的内接正多边形的相关概念：
（1）中心：正多边形的 的圆心叫做正多边形的中心。即O既是圆心也是正多边形的中心。
（2）正多边形的半径： 的半径叫做正多边形的半径。
即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。
（3）中心角：正多边形每一边所对的 叫做正多边形
的中心角。正多边形的中心角度数为 。
即∠BOC是正多边形的一个中心角。
（4）边心距： 到正多边形的 的距离叫做正多边形的边心距。
即过O做边BC的垂线即为边心距。
题型考点：①概念的理解。②有关的计算。
【即学即练1】
1．下列说法不正确的是（ ）
A．圆内正n边形的中心角为
B．各边相等的，各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的多边形是正多边形
【即学即练2】
2．如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
⊙
A．60° B．36° C．76° D．72°
【即学即练3】
3．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线
段GH的长为（ ）
A． 厘米 B．5 厘米 C．3 厘米 D．10 厘米
【即学即练4】
4．如图， O的周长等于4 cm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
⊙ πA． B． C． D．
【即学即练5】
5．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为（﹣2，0），
则点F的坐标为 ．
知识点02 正多边形的画法
1. 正多边形的画法：
利用等分圆的方法画等多边形。
题型考点：①根据要求作图。
【即学即练1】
6．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．
知识点03 扇形的弧长
1. 扇形弧长的定义：
扇形的弧长就是扇形两条 间的 的长度。2. 扇形弧长的计算公式：
在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧的长度为 。
题型考点：①弧长的计算。
【即学即练1】
7．如图，AB 是 O 的直径，C 是 O 上一点，连接 AC，OC，若 AB＝6，∠A＝30°，则 的长为
（ ）
⊙ ⊙
A．6 B．2 C． D．
【即学即练2】
π π π π
8．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好
落在 上，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
知识点04 扇形的面积
1. 扇形的面积计算公式：
方法1：已知扇形的圆心角为n°，半径为r，则扇形的面积为： 。
方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。
题型考点：①扇形面积的计算。②面积公式的应用。
【即学即练1】
9．已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则这个扇形的面积为 cm2．
【即学即练2】
10．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为 2的“等边扇形”的面
积为 ．
【即学即练3】11．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，
∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．
【即学即练4】
12．扇形的弧长为20 cm，面积为240 cm2，则扇形的半径为 cm．
π π
题型01 正多边形与圆的相关计算
【典例1】
如图， O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则∠APC的度数为 ．
⊙
【典例2】
如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则
∠FDC的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．40°
【典例3】
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则△ACE的周长为 ．【典例4】
如图，正六边形内接于 O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ．
⊙
题型02 扇形的弧长计算
【典例1】
若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 ．
【典例2】
如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若 与 所在圆的圆心都为点O，则 与
的长度之比为 ．
【典例3】
如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点 A
位置变化为A→A →A ，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成 30°角，则点A翻滚
1 2
到A 位置时共走过的路径长为（ ）
2
A．10cm B．4 cm C． D．
【典例4】
π
一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A
点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm．
题型03 阴影部分的面积计算
【典例1】
如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴
影部分的面积为（ ）
A． ﹣ B． ﹣2 C． ﹣4 D． ﹣2
【典例2】
π π π π
如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E．则图中阴影部分的面积为（
）
A．8﹣ B．4+ C．6﹣ D．3+
【典例3】
π π π π
如图，以矩形ABCD的对角线AC为直径画圆，点D、B在该圆上，再以点A为圆心，AB的长为半径画弧，
交AC于点E．若AC＝2，∠BAC＝30°．则图中影部分的面积和为 （结果保留根号和
）．
π
【典例4】如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心、2为半径的 A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，
点P是 A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ）．
⊙
⊙ π
1．若 O的内接正n边形的边长与 O的半径相等，则n的值为（ ）
⊙ ⊙A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB交 O于点D，则劣弧AD
的长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A． B． C．2 D．
4．道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线
π π π π
的长为（单位：m）（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，其圆心角度数之比为2：3：4．若圆的半径为3，则扇形乙
的面积为（ ）
A． B． C．3 D．4
6．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经
π π
过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
7．如图，在边长为 的正八边形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分别是边AH，BC，DE，FG上的动
点，且满足IA＝JC＝KE＝LG，则四边形IJKL面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在半径为6cm的 O中，点A是劣弧 的中点，点D是优弧 上一点，且∠D＝30°，下列四个
结论：①OA⊥BC；②⊙BC＝3 cm；③扇形OCAB的面积为12 ；④四边形ABOC是菱形．其中正
确结论的序号是（ ）
π
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
9．如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点， 交AC于点E，若AB＝2，则 的长为 ．
10．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB
＝12，则图中阴影部分的面积为 ．11．如图，正五边形ABCDE的边长为4，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为 ．
12．以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形 A'B'CD'E'的顶点D'落在
直线BC上，则正五边形ABCDE旋转的度数至少为 °．
13．如图，AB是 O的直径，AB＝6，AC是 O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝
CD．
⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 ．
⊙
14．如图，在 O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
⊙（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AB＝4cm，求劣弧 的长．
15．如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．
（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；
（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．
