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第 08 讲 正多边形和圆
课程标准 学习目标
1. 掌握正多边形及其相关概念并能够熟练的判断各部分。
①正多边形及有关概念
2. 掌握与正多边形的有关计算，并能够把相关的计算公式在题目中熟
②正多边形的有关计算
练的应用。
③正多边形的画法
3. 掌握正多边形的画法，能够熟练的画出正多边形。
知识点01 正多边形及相关概念
1. 正多边形的概念：
各条边 相等 ，各个角也 相等 的多边形叫做正多边。
2. 圆的内接正多边形：
把一个圆 平均 分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各 分点 所得的多边形是这个圆
的 内接正多边形 ，这个圆叫做这个正多边形的 外接圆 。
3. 圆的内接正多边形的相关概念：
（1）中心：正多边形的 外接圆 的圆心叫做正多边形的中心。
即O既是圆心也是正多边形的中心。
（2）正多边形的半径： 外接圆 的半径叫做正多边形的半径。
即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。
（3）中心角：正多边形每一边所对的 圆心角 叫做正多边形的中心角。如∠BOC为正多边形的中心角。正多边形的中心角度数为 。
（4）边心距： 中心 到正多边形的 边 的距离叫做正多边形的边心距。即过O做边BC的垂
线即为边心距。
知识点02 正多边形的有关计算
1. 正多边形的内角计算：
正n边形的每个内角计算公式为 。
2. 正多边形的中心角：
正n边形的中心角度数为 。
3. 正多边形的外角：
正n边形的外角度数为 。
4. 正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系：
正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h，则它们的关系为 。
5. 正多边形的周长和面积：
边长为a的正n边形的周长为 ；面积为 。
【即学即练1】
1．如图，正五边形 ABCDE内接于 O，点 P是劣弧 上一点（点 P不与点 C重合），则∠CPD＝
（ ）
⊙
A．45° B．36° C．35° D．30°
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝ ＝72°，∴∠CPD＝ ∠COD＝36°，
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，正六边形ABCDEF内接于 O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 3 ．
⊙
【分析】连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OC、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM＝60°，
∴OM＝OBsin∠OBM＝6× ＝3 ，
故答案为：3 ．
【即学即练3】
3．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（ ）A．16． B．12 C．8 D．6
【分析】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，
∵△BCD的面积为4，
∴△BCF的面积为：8．
故选：C．
【即学即练4】
4．如图，A、B、C、D为一个正多边形相邻的4个顶点，∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为 12
．
【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝15°，再根据正多边形的一条边所
对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为 O，连接OA，OB，
∵∠ADB＝15°，
⊙
∴∠AOB＝2∠ADB＝30°，
而360°÷30°＝12，
∴这个正多边形为正十二边形，
故答案为：12．
【即学即练5】
5．已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r 、面积S ．
6 6【分析】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等边三角形，继而可得正六边形的外接
圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形 ＝6S△ABO 求得答案．
【解答】解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝6cm，即R＝6cm，
∵OA＝OB＝6，OG⊥AB，
∴AG＝ AB＝ ×6＝3cm，
∴在Rt△AOG中，r ＝OG＝ ＝3 cm，
6
∴S ＝ ×6×6×3 ＝54 cm2．
6
知识点03 正多边形的画法
6. 正多边形的画法：
利用等分圆的方法画正多边形。算出正多边形的中心角，用量角器等分圆周，然后依次连接圆上的等
分点即可。
【即学即练1】
6．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．
【分析】根据圆内接正多边形的性质分别画出圆内接正方形、正八边形、正六边形及正三角形即可．
【解答】解：如图所示：题型01 利用正多边形与圆求角
【典例1】如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 O，则∠BED（ ）
⊙
A．45° B．30° C．20° D．15°
【分析】等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 O，由此即可求出 ， 的度数，得到 的度数，
即可求出∠BED的度数．
⊙
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴A，B，C把 O三等分，
⊙
∴ 的度数＝ ×360°＝120°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A，B，C，D把 O四等分，
⊙
∴ 的度数＝ ×360°＝90°，
∴ 的度数＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BED＝ ×30°＝15°，
故选：D．
【变式1】如图，已知正五边形ABCDE内接于 O，连结BD，则∠CDB的度数是（ ）
⊙A．72° B．54° C．36° D．30°
【分析】先由正五边形ABCDE内接于 O，求得∠COB＝72°，再由圆周角定理求得∠CDB＝ ∠COB
＝36°，于是得到问题的答案．
⊙
【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于 O，
⊙
∴∠COB＝ ×360°＝72°，
∴∠CDB＝ ∠COB＝ ×72°＝36°，
∴∠CDB的度数是36°，
故选：C．
【变式2】如图，正六边形ABCDEF内接于 O，点M在 上，则∠CME的度数为（ ）
⊙
A．36° B．45° C．60° D．75°
【分析】连接OC，OD，OE，由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理即可求解．
【解答】解：如图：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴ ，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴ ．
故选：C．【变式3】如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点
P，则∠APN的度数为（ ）
A．60° B．120° C．72° D．108°
【分析】由五边形的性质得出AB＝BC，∠ABM＝∠C，证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，
由∠BAM+∠ABP＝∠APN，即可得出∠APN＝∠ABC，即可得出结果．
【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
在△ABM和△BCN中
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝ ＝108°，
∴∠APN的度数为108°；
故选：D．
【变式4】如图，∠1是正九边形两条对角线的夹角，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．54° C．60° D．72°【分析】根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．
【解答】解：如图，设这个正九边形的外接圆为 O，
⊙
则∠AOB＝ ＝40°，∠COD＝2∠AOB＝80°，
∴∠ADB＝ ∠AOB＝20°，∠CBD＝ ∠COD＝40°，
∴∠1＝∠ADB+∠CBD＝20°+40°＝60°，
故选：C．
题型02 根据直线与圆的位置关系求值
【典例1】如图，正六边形ABCDEF内接于 O，若 O的周长等于6 ，则正六边形的边长为（ ）
⊙ ⊙ π
A． B． C．3 D．2
【分析】连接OB、OC，根据 O的周长等于6 ，可得 O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF是
⊙ π ⊙
正六边形，即知∠BOC＝ ＝60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3．
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵ O的周长等于6 ，
⊙ π∴ O的半径OB＝OC＝ ＝3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
⊙
∴∠BOC＝ ＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
即正六边形的边长为3，
故选：C．
【变式1】正六边形的边长为6，则它的边心距为（ ）
A．3 B．3 C．4 D．2
【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三
角形，通过解直角三角形求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OB、过点O作OG⊥AB．
则∠AOB＝60°；
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵OG⊥AB，
∴∠AOG＝30°，
∴OG＝OA•cos30°＝6× ＝3 ．
故选：B．
【变式2】若点O是正六边形ABCDEF的中心，∠MON＝120°且角的两边分别交六边形的边AB、EF于
M、N两点．若多边形AMONF的面积为 ，则正六边形ABCDEF的边长是 2 ．
【分析】连接OF、OA，作OG⊥AF于点G，证明△FON≌△BOM，面积相等转化
多边形AMONF
＝S四边形
ABOF
＝2S△OAF ，进行求解．【解答】解：连接OF、OA，作OG⊥AF于点G，如图
正六边形中心角∠AOB＝ ＝60°，
∴∠BOF＝60°×2＝120°，∠OFE＝∠OBA＝60°，OF＝AF＝OA，
∴∠MON﹣∠MOF＝∠BOF﹣∠MOF，
即∠FON＝∠BOM，
在△FON和△BOM中
，
∴△FON≌△BOM（AAS），
∴S△FON ＝S△BOM ，
∴S多边形AMONF ＝S四边形ABOF ＝2S△OAF ，
在Rt△OFG中，∠OFG＝60°，
sin60°＝ ，
∴OG＝ OF＝ AF，
∴S△OAF ＝ AF•OG＝ AF2，
即2× AF2＝2 ，
解得AF＝2，
故答案为2．
【变式3】如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于 O，则AD：AB＝（ ）
⊙A．2 ： B． ： C． ： D． ：2
【分析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH＝BH＝ AB，证出△AOD是
等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝60°，AH＝BH＝ AB，得出AD＝ OA，AH＝ OA，则AB＝
2AH＝ OA，进而得出答案．
【解答】解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH＝BH＝ AB，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF，都内接于 O，
∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，
⊙
∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝ ×120°＝60°，
∴AD＝ OA，AH＝OA•sin60°＝ OA，
∴AB＝2AH＝2× OA＝ OA，
∴ ＝ ＝ ，
故选：B．
【变式4】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘
米，则线段GH的长为（ ）A． 厘米 B．5 厘米 C．3 厘米 D．10 厘米
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝ OA＝ （cm），
∴AC＝2AN＝15 （cm），
∴GH＝ AC＝5 （cm），
故选：B．
题型03 周长与面积的计算
【典例1】一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是 1 6 ．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，
根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，求得
多边形的边数，即可得到结论．
【解答】解：∵正多边形的每个内角为135°，
∴每个外角是180°﹣135°＝45°，
∵多边形的边数为：360÷45＝8，则这个多边形是八边形，
∴这个多边形的周长＝2×8＝16，
故答案为：16．
【变式1】已知 O的内接正六边形的边心距为 ，则 O的周长为 4 ．
【分析】连接OA、OB，证出△AOB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径，然后求得
⊙ ⊙ π
周长即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAM＝60°，
∴OM＝OA•sin∠OAM，
∴OA＝ ＝ ＝2，
∴ O的周长为4 ，
故答案为：4 ．
⊙ π
π
【变式2】如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（ ）
A． B． C．24 D．
【分析】根据正六边形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于C，
根据图形可知：∠OCB＝90°，∠OBA＝30°，圆的半径OB＝4，
∴OC＝2，
∴BC＝2 ，
∴AB＝2BC＝4 ，
∴图中阴影部分的周长＝6×4 ＝24 ．
故选：D．
【典例1】如图， O的周长等于4 cm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
⊙ π
A． B． C． D．
【分析】根据 O的周长等于4 cm，可得 O的半径为2，可以求出三角形AOB的面积，进而根据圆
内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答．
⊙ π ⊙
【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵ O的周长等于4 cm，
⊙ π
∴ O的半径为： ＝2，
∵ABCDEF是 O的内接正六边形，
⊙
∴OA＝OB＝AB＝2，
⊙
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1，
∴OG＝ ，
∴S△AOB ＝ AB•OG
＝ 2×
＝ ．
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB ＝6 （cm2）．
故选：C．【变式1】如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则 ＝ 5 ．
【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．
【解答】解法一：如图，
∵三角形的斜边长为a，
∴两条直角边长为 a， a，
∴S空白 ＝ a• a＝ a2，
∵AB＝a，
∴OC＝ a，
∴S正六边形 ＝6× a• a＝ a2，
∴S阴影 ＝S正六边形 ﹣S空白 ＝ a2﹣ a2＝ a2，
∴ ＝ ＝5，
解法二：割补（如图）
，则可以很直观的看出S阴影/S空白 ＝5
故答案为5．
【变式2】以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的
面积是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距，利用勾股定理的逆定理可证明它们构建的三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算此三角形的面积．
【解答】解：如图1，△ABC为 O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，
⊙
∵∠OBC＝ ∠ABC＝30°，
∴OM＝ OB＝2；
如图2，四边形ABCD为 O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，
⊙
∵∠ODC＝ ∠ADC＝45°，
∴ON＝DN＝ OD＝2 ；
如图3，六边形ABCDEF为 O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，
⊙
∵∠OED＝ ∠FED＝60°，
∴EH＝ OE＝2，OH＝ EH＝2 ，
∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2 ，2 ，
∵22+（2 ）2＝（2 ）2，
∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积＝ ×2×2 ＝2 ．
故选：D．
1．若一个正多边形的一个内角的度数为144°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
（n﹣2）•180°＝144°n，解得n＝10，
故选：D．
2．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（
）
A．（2，2 ） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2 ） D．（﹣1， ）
【分析】连接OF，由于正六边形的中心角是60°，则△AOF是等边三角形，OF＝4，设EF交y轴于
G，那么∠GOF＝30°，然后解Rt△GOF，求出GF与OG的值，进而得到点F的坐标．
【解答】解：连接OF．
∵∠AOF＝ ＝60°，OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA＝OF＝4．
设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．
在Rt△GOF中，
∵∠GOF＝30°，OF＝4，
∴GF＝2，OG＝2 ．
∴F（﹣2，2 ）．
故选：C．
3．如图，正五边形ABCDE内接于 O，连接AC，则∠BAC的度数是（ ）
⊙A．30° B．36° C．38° D．45°
【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度数，即可解决问题．
【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠B＝ ×（5﹣2）×180°＝108°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝ （180°﹣108°）＝36°，
故选：B．
4．如图，正五边形ABCDE内接于 O，P为 上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（
）
⊙
A．72° B．60° C．36° D．30°
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝ ＝72°，
∴∠CPD＝ ∠COD＝36°，
故选：C．
5．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．40°
【分析】证明四边形AEDF是菱形，推出∠EDF＝∠EAF＝72°可得结论．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∴∠EAC＝72°，
∴∠AED+∠EAC＝180°，
∴DE∥AF，
∵AE＝AF＝DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴∠EDF＝∠EAF＝72°，
∵∠EDC＝108°，
∴∠FDC＝36°，
故选：C．
6．若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作a ，a ，则a ：a 等于（ ）
3 6 3 6
A．1： B．1：3 C．3：1 D． ：1
【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
【解答】解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
如图1，则内接正三角形的边长a ＝2rsin60°＝ r，
3
如图2，正六边形的边长是a ＝r，
6因而半径相等的圆的内接正三角形、正六边形的边长之比a ：a ＝ ：1．
3 6
故选：D．
7．如图， O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的
大小为（ ）
⊙
A．108° B．118° C．144° D．120°
【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠A，根据切线的性质可求出∠OBA、∠ODE，从而可
求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣ ＝108°．
∵AB、DE与 O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
⊙
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故选：C．
8．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸
片的半径是（ ）
A． B．2cm C．2 cm D．4cm
【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠BOC的度数，最后根据等腰三角形
及直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，连接 OB、OC，过点 O 作 OG⊥BC 于点 G，正六边形的边长为 2cm，
OG⊥BC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∵OB＝OC，OG⊥BC，
∴∠BOG＝ ∠BOC＝ ×60°＝30°，
∵OG⊥BC，OB＝OC，BC＝2cm，
∴BG＝ BC＝ ×2＝1cm，
∴OB＝ ＝2cm，
∴OG＝ ＝ ＝ ，
∴圆形纸片的半径为 cm，
故选：A．
9．如图，正六边形ABCDEF内接于 O，若 O的半径为6，则△ADE的周长是（ ）
⊙ ⊙
A．9+3 B．12+6 C．18+3 D．18+6
【分析】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角形，然后根据半径求得
斜边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长．
【解答】解：连接OE，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴∠DOE＝ ＝60°，
∴∠DAE＝ ∠DOE＝ ×60°＝30°，∠AED＝90°，
∵ O的半径为6，
∴AD＝2OD＝12，
⊙
∴DE＝ AD＝ ×12＝6，AE＝ DE＝6 ，∴△ADE的周长为6+12+6 ＝18+6 ，
故选：D．
10．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形
ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（ ）
A．12° B．16° C．20° D．24°
【分析】设点E第一次落在圆上时的对应点为E′，连接OA、OB、OE′，如图，利用正多边形的性质
计算出∠EAB＝108°，再证明△OAE′、△OAB都为等边三角形，所以∠OAB＝∠OAE′＝60°，则
∠EAE′＝12°，然后根据旋转的性质得到点C转过的度数．
【解答】解：设点E第一次落在圆上时的对应点为E′，连接OA、OB、OE′，如图，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB＝108°，
∵正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，点E第一次落在圆上E′点，
∴AE＝AE′＝3，
∵OA＝AB＝OB＝OE′＝3，
∴△OAE′、△OAB都为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OAE′＝60°，
∴∠E′AB＝120°，
∴∠EAE′＝12°，
∴当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为12°．
故选：A．11．正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于 14 4 度．
【分析】根据正多边形的中心角为36°，求出正多边形的边数，再求出其每个外角，即可根据内角和外
角的和为180度求出每个内角的度数．
【解答】解：由于正多边形的中心角等于36°，360÷36°＝10，
所以正多边形为正10边形，
又因为其外角和为360°，
所以其外角为360÷10＝36°，
其每个内角为180°﹣36°＝144°．
故答案为144．
12．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形
的边数是 1 2 ．
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝15°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝30°，
∴这个正多边形的边数＝ ＝12，
故答案为：12．
13．如图，点A，B，C，D是一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠AOD的度
数为 120 ° ．【分析】连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边
形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：连接OB、OC，
正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为： ＝9，
∴∠AOB＝ ＝40°，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．
故答案为：120°
14．如图，正六边形内接于 O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 4 ﹣ 6 ．
⊙ π
【分析】此题是考查圆与正多边形结合的基本运算．阴影面积＝总体面积﹣空白面积．
【解答】解：已知圆的半径为2，则面积为4 ，空白正六边形为六个边长为2的正三角形，每个三角形
面积为 ，则正六边形面积为6 ，所以阴π影面积为4 ﹣6
15．如图，正六边形A A A A A A 内部有一个正五边形B B B B B ，且A A ∥B B ，直线l经过B 、B ，
1 2 3 4 5 6 1π2 3 4 5 3 4 3 4 2 3
则直线l与A A 的夹角 ＝ 4 8 °．
1 2
α【分析】设l交A A 于E、交A A 于D，由正六边形的性质得出∠A A A ＝∠A A A ＝120°，由正五边
1 2 4 3 1 2 3 2 3 4
形的性质得出∠B B B ＝108°，则∠B B D＝72°，由平行线的性质得出∠EDA ＝∠B B D＝72°，再由四
2 3 4 4 3 3 4 3
边形内角和即可得出答案．
【解答】解：设l交A A 于E、交A A 于D，如图所示：
1 2 4 3
∵六边形A A A A A A 是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
1 2 3 4 5 6
∴∠A A A ＝∠A A A ＝ ＝120°，
1 2 3 2 3 4
∵五边形B B B B B 是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
1 2 3 4 5
∴∠B B B ＝ ＝108°，
2 3 4
∴∠B B D＝180°﹣108°＝72°，
4 3
∵A A ∥B B ，
3 4 3 4
∴∠EDA ＝∠B B D＝72°，
3 4 3
∴ ＝∠A ED＝360°﹣∠A A A ﹣∠A A A ﹣∠EDA ＝360°﹣120°﹣120°﹣72°＝48°，
2 1 2 3 2 3 4 3
故答案为：48．
α
16．如图， O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长和PB
的长．
⊙【分析】连接AC，作AE⊥PB于E，由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝
90°，∠ACB＝45°，由圆周角定理得出AC是 O的直径，△ABC是等腰直角三角形，得出∠APC＝
90°，AC＝ AB，由勾股定理得出 AC＝ ⊙ ＝ ，得出 AB＝ ，由圆周角定理得出
∠APB＝∠ACB＝45°，证出△APE是等腰直角三角形，得出PE＝AE＝ AP＝ ，再由勾股定理得
出BE＝ ，即可得出PB的长．
【解答】解：连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC是 O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠APC⊙＝90°，AC＝ AB，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝ ＝ ，
∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝ AP＝ ，
∴BE＝ ＝ ＝ ，
∴PB＝PE+BE＝ + ＝2 ．
17．如图，M，N分别是正五边形ABCD的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．
【分析】（1）由正五边形的性质得出AB＝BC，∠ABM＝∠C，证明△ABM≌△BCN，可得AM＝BN，
（2）由全等三角形的性质可得∠BAM＝∠CBN，由∠BAM+∠ABP＝∠APN，即可得出∠APN＝
∠ABC，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）．
（2）解：∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝ ＝108°，
∴∠APN的度数为108°，
18．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿
AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．【分析】（1）证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP＝EQ，同理PE＝BQ，由此即可证明；
（2）求出t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，求出矩形面积和正六边形面积，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，
同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB为平行四边形．
（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝ ＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，
当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：
则∠EAF＝∠AEF＝30°，
∴∠BAE＝∠BAF﹣∠FAE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．
当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：
同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，
∴AE＝ ＝6 ，
∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6 ＝36 ；
∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6× 矩形ABDE的面积＝6× ×36 ＝54 ，
∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝ ．19．如图，A，P，B，C是 O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
⊙
（2）若 O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
⊙
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以
∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在 O中，
∵∠BAC与∠CPB是 对⊙的圆周角，∠ABC与∠APC是 所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
20．如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆
圆心O处．
（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接写出答案）；
（3）根据前面探索和图3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，（n为大于2的偶数）若能，写
出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
【分析】可先根据两个图形的特殊位置得到结果，然后证明一般的情况下结果相同，把问题转化为证明
图形全等．
【解答】解：（1）方法一：
连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M．
∵点O是正方形ABCD外接圆圆心，
∴OA＝OB．
∵正方形ABCD，
∴OM＝ AB，
∴S△ABO ＝ S正方形ABCD ．（1分）
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAF＝∠OBE＝45度．（2分）又∵∠A'OC'＝90°，∠AOF+∠A'OB＝∠A'OB+∠BOE＝90°，
∴∠AOF＝∠BOE．
∴△AOF≌△BOE．（3分）
∴S△AOF ＝S△BOE ．
∴重叠部分面积＝S△BOF +S△BOE ＝S△BOF +S△AOF ＝S△ABO ＝ S正方形ABCD ．
∴S阴影 ＝ S正方形ABCD ．
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3．（4分）
方法二：过正方形ABCD的外接圆圆心O分别作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M，N．
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∴OM＝ON＝ AB．（1分）
∵∠ABC＝90°，
∴四边形MBNO为矩形．
∵OM＝ON，
∴四边形MBNO为正方形．
∴S正方形MBNO ＝ S正方形ABCD ．（2分）
∵∠FOE＝90°，
∴∠FOM+∠MOE＝∠MOE+∠EON＝90度．
∴∠FOM＝∠EON．
∴△FOM≌△EON．（3分）
∴S△FOM ＝S△EON ．
∴重叠部分面积＝S△FOM +S四边形MBEO ＝S四边形MBEO +S△EON ＝S正方形MBNO ＝ S正方形ABCD ．
∴S阴影 ＝ S正方形ABCD ．
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：3．（4分）
（2）1：2；（5分）
（3）n 边形的每一个内角度数＝ ，阴影部分对应的中心角＝360°﹣ ＝
，
两个相同正 n 边形重叠部分面积与阴影部分面积之比＝ ： ＝（n﹣2）：
（n+2）．但当边数超过六以后，正多边形的边长小于半径，因而结论不适合推广．（7分）
