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2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】
专题6.2立方根专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021秋•石家庄期末）﹣8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．8
【分析】根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是√3−8=−2．
故选：B．
2．（2022春•宾阳县期中）下列计算正确的是（ ）
√ 7 7
A．√4=±2 B．√(−3) 2=−3 C． 1 = D．√3−8=−2
9 9
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．
【解答】解：A．根据算术平方根的定义，√4=2，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据乘方以及算术平方根的定义， 3，那么B错误，故B不符合题意．
√(−3) 2=
√ 7 √16 4
C．根据算术平方根的定义， 1 = = ，那么C错误，故C不符合题意．
9 9 3
D．根据立方根的定义，√3−8=−2，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
3．（2022春•海安市期中）下列说法，其中错误的有（ ）
① 的平方根是4；② 是2的算术平方根；③﹣8的立方根为±2；④ ．
√16 √2 √a2=|a|
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根和绝对值的定义逐个判断．
【解答】解：①∵√16=4，
∴√16的平方根是±2，原说法错误；
②√2是2的算术平方根，原说法正确；③﹣8的立方根为﹣2，原说法错误；
④ ，原说法正确．
√a2=|a|
∴错误的说法有2个．
故选：B．
4．（2022春•交城县期中）体积为5的正方体棱长为（ ）
5
A．√5 B．√35 C．±√5 D．
2
【分析】根据正方体体积公式，利用立方根定义表示出棱长即可．
【解答】解：体积为5的立方体棱长为√35．
故选：B．
5．（2022春•宜州区期中）立方根与它本身相同的数是（ ）
A．0或±1 B．0或1 C．0或﹣1 D．0
【分析】根据立方根的意义，进行计算即可解答．
【解答】解：立方根与它本身相同的数是0或±1，
故选：A．
6．（2022春•顺德区校级期中）若0＜x＜1，则x2、x、√x、√3 x这四个数中（ ）
A．√3 x最大，x2最小 B．x最大，√3 x最小
C．x2最大，√3 x最小 D．x最大，x2最小
【分析】利用实数的大小比较来计算即可．
【解答】解：∵0＜x＜1，
∴x2＜x＜√x＜√3 x，
故选：A．
7．（2022秋•苍南县期中）若a2＝49，√3 b=−2，则a+b的值是（ ）
A．1或15 B．﹣1或﹣15 C．1或﹣15 D．﹣1或15
【分析】根据平方根、立方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵a2＝49，
∴a＝±7，
又∵√3 b=−2，
∴b＝﹣8，
当a＝7，b＝﹣8时，a+b＝7﹣8＝﹣1，
当a＝﹣7，b＝﹣8时，a+b＝﹣7﹣8＝﹣15，故选：B．
8．（2022春•西山区期末）如果a+1的算术平方根是2，27的立方根是1﹣2b，则ba＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【分析】利用算术平方根和立方根的定义得到a+1＝4，，1﹣2b＝3，分别计算出a、b的值即可．
【解答】解：∵a+1的算术平方根是2，27的立方根是1﹣2b，
∴a+1＝4，1﹣2b＝3，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴ba＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：A．
9．（2022春•定远县期末）如果√32.37≈1.333，√323.7≈2.872，那么√32370约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
【分析】根据立方根，即可解答．
【解答】解：∵√32.37≈1.333，
∴√32370=√32.37×1000≈1.333×10＝13.33．
故选：C．
10．（2022秋•沈丘县校级月考）已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是﹣45.6，x的平方根是±1.23，y
的立方根是456，则x和y分别是（ ）
a a
A．x= ，y＝1000b B．x＝100a，y=−
100 1000
a a a
C．x= ，y=− D．x= ，y＝﹣1000b
100 1000 100
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．
【解答】解：∵a的算术平方根是12.3，x的平方根是±1.23，
∴√a=12.3，±√x=±1.23．
∴√a=10√x=√100x．
∴a＝100x．
a
∴x= ．
100
∵b的立方根是﹣45.6，y的立方根是456，
∴√3 b=−45.6，√3 y=456．
∴√3−b=45.6．
∴√3 y=10√3−b．∴y＝﹣1000b．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•陕州区期中）如果√a=3，则√3 a−17= ﹣ 2 ．
【分析】先根据算术平方根的定义得出a的值，再代入依据立方根的定义计算可得．
【解答】解：∵√a=3，
∴a＝9，
则√3 a−17=√3 9−17=√3−8=−2，
故答案为：﹣2．
12．（2022春•同安区期中）已知a2=81，√3 b=−2，则√b−a= 1 ．
【分析】利用平方根和立方根的意义求得a，b的值，将a，b的值代入利用算术平方根的意义计算即可．
【解答】解：∵a2＝81，
∴a＝±9．
∵√3 b=−2，
∴b＝﹣8．
∵b﹣a≥0，
∴a＝﹣9，b＝﹣8．
∴√b−a=√1=1．
故答案为：1．
13．（2022春•长葛市期末）已知5x﹣2的立方根是﹣3，则x+69的算术平方根是 8 ．
【分析】根据立方根的定义先求出x的值，再根据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵5x﹣2的立方根是﹣3，
∴5x﹣2＝﹣27，
解得：x＝﹣5，
∴x+69＝﹣5+69＝64，
∴x+69的算术平方根是8；
故答案为：8．
14．（2022春•武威期末）已知实数a的立方根是4，则√a的平方根是 ± 2√2 ．
【分析】根据立方根的定义求出a，再根据算术平方根求出√a，然后根据平方根的定义解答．
【解答】解：∵a的立方根是4，
∴a＝64，∴√a=√64=8，
∴√a的平方根是±√8，
即±2√2．
故答案为：±2√2．
15．（2022春•河北区校级期中）若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是 ± 5 ．
【分析】首先利用立方根的定义可以得到关于x的方程，解方程即可求出x，然后利用平方根的定义即
可求解．
【解答】解：∵5x+19的立方根是4，
∴5x+19＝64，
解得x＝9
则2x+7＝2×9+7＝25，
∴25的平方根是±5
故答案±5．
16．（2022春•康巴什期末）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是 √2 ．
【分析】依据运算程序进行计算即可．
【解答】解：√64=8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是√2．
故答案为：√2．
17．（2021春•安丘市月考）若一个正数的平方根是m+3和2m﹣15，n的立方根是﹣2，则﹣n+2m的算术
平方根是 4 ．
【分析】首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入﹣n+2m求值后，再求
出这个值的算术平方根即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m﹣15，
∴（m+3）+（2m﹣15）＝0，
解得：m＝4，
∵n的立方根是﹣2，
∴n＝﹣8，把m＝4，n＝﹣8代入﹣n+2m＝8+8＝16，
∵42＝16，
∴16的算术平方根是4，
即﹣n+2m的算术平方根是4．
故答案为：4．
18．（2021春•浦东新区校级期末）已知一个长方体，它的长：宽：高＝5：4：3，先在这个长方体上切去
一个尽可能大的正方体，再从剩下的立体图形上再切去一个尽可能大的长方体（只允许沿着与原长方体
的某个面平行的方向切）．如果最后剩下的立体图形的体积为72cm3，那么原长方体的表面积是 37 6
cm2．
【分析】根据题意逐步列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：设原长方体长、宽、高分别为5xcm，4xcm，3xcm，
∵在这个长方体上切去一个尽可能大的正方体，
∴正方体棱长为3xcm，
∵从剩下的立方体上再切去一个尽可能大的长方体，
∴长方体长为4xcm，宽为2xcm，高为3xcm，
∴剩下长方体长为3xcm，宽为xcm，高为3xcm，
根据题意：3x⋅x⋅3x＝72，
9x3＝72，
x3＝8，
解得：x＝2，
∴原长方体的长、宽、高分别为10cm，8cm，6cm，
∴原长方体的表面积为：2×（10×8+10×6+8×6）＝2×（80+60+48）＝376（cm2），
故答案为：376．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋•南岸区校级期中）解方程：（1）9x2﹣729＝0；
（2）64（x﹣1）3+8＝0．
【分析】（1）利用方程思想，平方根的定义计算即可；
（2）利用方程思想，立方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）9x2﹣729＝0，
9x2＝729，
x2＝81，x＝±9；
（2）64（x﹣1）3+8＝0，
1
（x﹣1）3=− ，
8
1
x﹣1=− ，
2
1
x= ．
2
20．（2022春•静海区校级期中）已知5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算术平方根是4．求：
（1）x、y的值；
（2）3x﹣2y﹣2的平方根．
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题．
（2）根据平方根的定义解决此题．
【解答】解：（1）由题意得，√35x+2=3，√3x+ y−1=4．
∴5x+2＝27，3x+y﹣1＝16．
∴x＝5，y＝2．
（2）由（1）得，x＝5，y＝2．
∴3x﹣2y﹣2＝15﹣4﹣2＝9．
∴3x﹣2y﹣2的平方根是±√9=±3．
21．（2021秋•兴化市期末）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：√0.0001=0.01，
√0.01=0.1，√1=1，√100=10，√10000=100，……
（1）已知√20≈4.47，求√2000的值；
（2）已知√3.68≈1.918，√a≈191.8，求a的值；
（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知√3 n≈1.26，√3 m≈12.6，用含n的代数式表示m．
【分析】（1）先变形，再求值．
（2）先变形，再求值．
（3）先变形，再求值．
【解答】解：（1）∵√20≈4.47，
∴√2000=√20×√100≈4.47×10＝44.7．
（2）∵191.8＝1.918×100，
∴√a=√3.68×100=√3.68×√10000=√3.68×10000=√36800．
∴a＝36800．（3）∵1.26×10＝12.6，
∴√3 n×10=√3 m．
∴√3 n×√31000=√31000n=√3 m．
∴1000n＝m，即m＝1000n．
22．（2022春•绥棱县期末）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的
立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若√31−2x与√33x−5互为相反数，求1−√x的值．
【分析】1、用2与﹣2来验证即可．
2、根据题的结论计算．
【解答】解：（1）∵2+（﹣2）＝0，
而且23＝8，（﹣2）3＝﹣8，有8﹣8＝0，
∴结论成立；
∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．
（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5＝0，
∴x＝4，
∴1−√x=1﹣2＝﹣1．
23．（2018春•永定县校级月考）（1）已知2x﹣1的平方根是±6，2x+y﹣1的算术平方根是5，求2x﹣
3y+11的立方根．
（2）已知x是1的平方根，求代数式（x2017﹣1）（x2018﹣712）（x2019+1）（x2020+712）+1000x的立方
根．
【分析】（1）根据平方根、算术平方根的定义，构建方程组即可解决问题；
（2）求出x的值，即可解决问题；
{ 2x−1=36
【解答】解：（1）由题意 ，解得2x＝37，y＝﹣11，
2x+ y−1=25
∴2x﹣3y+11＝37+33+11＝81，
∴2x﹣3y+11的立方根为：3√33．
（2）∵x是1的平方根，
∴x＝±1，
当x＝1时，原式＝1000，1000的立方根为10，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1000，﹣1000的立方根为﹣10．24．（2022 春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为 2：2：4，其体积为 16
000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
1
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的 ，求该小球
60
的半径为多少（ 取3，结果精确到0.01cm）？
π
【分析】（1）直接利用已知假设出长方体的水池长、宽、高，进而利用长方体体积求出即可；
（2）利用球的体积公式，进而开立方求出即可．
【解答】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3，
∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，
∴2x•2x•4x＝16000，
∴16x3＝16000，
∴x3＝1000，
解得：x＝10，
∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；
（2）设该小球的半径为rcm，则：
4 1
r3= ×16 000，
3 60
π
1 1
∴r3= ×16 000× ，
60 4
∴r≈4.05，
答：该小球的半径为4.05cm．
