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专题 24.4 圆周角定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】.....................................................................2
【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】.................................................................................................5
【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】...........................................................................................................9
【题型4 翻折中的圆周角的运用】........................................................................................................................13
【题型5 利用圆周角求最值】................................................................................................................................18
【题型6 圆周角中的证明】....................................................................................................................................22
【题型7 圆周角中的多结论问题】........................................................................................................................28
【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】...........................................................................32
【题型9 圆周角与量角器的综合运用】................................................................................................................37
【题型10 利用圆周角求取值范围】........................................................................................................................40
【知识点1 圆周角定理及其推论】
C
是 所对的圆心角，
定理：圆周角的度数等于它
是 所对的圆周角，
所对的弧的圆心角度
B O
数的一半
A
D C
和 都是 所对的圆周
角
推论1：同弧或等弧所对的圆
圆
周 周角相等
B O
角
定
A
理
是 的直径
C
是 所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是
直角， 的圆周
角所对的弦是直径 B A 是 所对的圆周角
O
是 的直径【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】
【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，
且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（ ）
A．12° B．22° C．24° D．44°
【变式1-1】（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结
OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．130°
【变式1-2】（2022•蓝山县一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（ ）
A．100° B．70° C．55° D．65°
【变式1-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB，CD为⊙O的两条弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，
CD＝4，则⊙O的半径为（ ）2√15 2√21
A．2√5 B．2√7 C． D．
3 3
【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】
【例2】（2022•保亭县二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，
则∠1＝（ ）
A．42° B．45° C．48° D．52°
【变式2-1】（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，
则∠AOD为（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
【变式2-2】（2022•十堰二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交
AB于点D．E是⊙O上一点，且C^E=C^D，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则
∠F的度数为（ ）
A．92° B．108° C．112° D．124°
【变式2-3】（2022•本溪模拟）如图，在⊙O中，^AB=^BC，直径CD⊥AB于点N，P是^AC上一点，则∠BPD的度数是 ．
【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】
【例3】（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（ ）
A．4 B．5 C．√3 D．2√3
【变式3-1】（2022•潍坊二模）如图，已知以△ABC的边AB为直径的⊙O经过点C，OD⊥AC交⊙O于点
D，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠ODB的度数为（ ）
A．32° B．27° C．24° D．18°
【变式3-2】（2022•江夏区校级开学）如图，⊙O的直径AB为8，D为^AC上的一点，DE⊥AC于点E，
若CE＝3AE，∠BAC＝30°，则DE的长是（ ）
8 3
A． B．√13-2 C．√3 D．
5 2
【变式3-3】（2022秋•如皋市校级期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．
【题型4 翻折中的圆周角的运用】
【例4】（2022春•福田区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将^BC沿BC翻折交AB
于点D，再将^BD沿AB翻折交BC于点E．若^BE=^DE，则∠BCD的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【变式4-1】（2022秋•萧山区期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC
翻折交AB于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
【变式4-2】（2022秋•硚口区期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB
沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（ ）A．110° B．112.5° C．115° D．117.5°
【变式4-3】（2022秋•丹江口市期中）已知⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB，将⊙O沿CD翻折，翻
折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（ ）
A．4√5 B．2√5或4√5 C．2√5 D．2√5或4√3
【题型5 利用圆周角求最值】
【例5】（2022•瑶海区三模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB
的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式5-1】（2022•陈仓区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的
一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为
．
【变式5-2】（2022秋•大连期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为
^BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）A．1 B．√2 C．√3 D．2
3
【变式5-3】（2022•杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB= ，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，
2
连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为 ．
【题型6 圆周角中的证明】
【例6】（2022秋•定陶区期末）如图1．在⊙O中AB＝AC，∠ACB＝70°，点E在劣弧^AC上运动，连接
EC，BE，交AC于点F．
（1）求∠E的度数；
（2）当点E运动到使BE⊥AC时，连接AO并延长，交BE于点D，交BC于点G，交⊙O于点M，依
据题意在备用图中画出图形．并证明：G为DM的中点．
【变式6-1】（2022春•金山区校级月考）已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中
点，连接DA、BA、AC，且∠B＝30°．
（1）求证：∠D＝30°；
（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF＝AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请
猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．【变式6-2】（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和
∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2√10，求BC的长．
【变式6-3】（2022•南召县四模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了
解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：
从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的
弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＞AB．M是弧ABC的中点，则从M
向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段CB上从C点截取一段线段CN＝AB，连接MA，MB，
MC，MN．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作MH⊥AB于点H，连接MA，MB，MC．
任务：（1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程．
（2）就图3证明：MC2﹣MB2＝BC•AB．【题型7 圆周角中的多结论问题】
【例7】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，^AC=C^D=^DB，点E是点D
关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式7-1】（2022秋•淅川县期末）如图，已知：点 A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD，下列结论：
①∠AOC＝∠BOD；②∠BOD＝2∠BAD；③AC＝BD；④∠CAB＝∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO＝180°．
其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式7-2】（2022秋•厦门期末）在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D．要使得
⊙O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是
．（写出所有正确答案的序号）
1 1 √2
①∠BAC＞60°；②45°＜∠ABC＜60°；③BD＞ AB；④ AB＜DE＜ AB．
2 2 2【变式7-3】（2022秋•东台市月考）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD与
BC，OC分别相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF
＝DF；⑤△CEF≌△BED．其中一定成立的结论是 ．（填序号）
【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】
【例8】（2022春•杏花岭区校级月考）如图，A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C在y
轴正半轴上，且∠ACB＝45°，则点C的坐标为（ ）
A．（0，7） B．（0，2√10） C．（0，6） D．（0，3√5）
【变式8-1】（2022秋•秦淮区期末）如图，在四边形 ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则
∠ADC＝ °．
【变式8-2】（2022•北京模拟）已知三角形ABC是锐角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，设BC边上的高
为h，则h的取值范围是 ．
【变式8-3】（2022春•西湖区校级月考）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝
60°，∠C＝105°，点E为BC的中点，以CE为弦作圆，设该圆与四边形ABCD的一边的交点为P，若
∠CPE＝30°，则EP的长为 ．【题型9 圆周角与量角器的综合运用】
【例9】（2022•南召县模拟）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻
度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为
50°，那么∠BDE的大小为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．130°
【变式9-1】（2022秋•南京期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆圆心上，
点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，则
∠A＝ ．
【变式9-2】（2022秋•高港区期中）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对
应的刻度值为50°，则∠BCD的度数为 ．【变式9-3】（2022秋•北京期末）如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0
刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的
半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是 °．
【题型10 利用圆周角求取值范围】
【例10】（2022•观山湖区模拟）如图，OB是⊙O的半径，弦AB＝OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD
上的动点，点P不与O，D重合，连接PA．设∠PAB＝β，则β的取值范围是 ．
【变式10-1】（2022•河南三模）如图，点O是以AC为直径的半圆的圆心，点B在^AC上，∠ACB＝30°，
AC＝2．点D是直径AC上一动点（与点A，C不重合），记OD的长为m．连接BD，点A关于BD的
对称点为点A′，当点A′落在由直径AC，弦AB，^BC围成的封闭图形内部时（不包含边界），m的
取值范围是 ．
【变式10-2】（2022秋•台州期中）如图，已知AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O的优弧ACB上的一个动
点（不与A，B不重合），
（1）设∠ACB的平分线与劣弧AB交于点P，试猜想点P劣弧AB上的位置是否会随点C的运动而变化？
请说明理由
（2）如图②，设AB＝8，⊙O的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出ACBP的面积的取值范围．
【变式10-3】（2022秋•高新区校级期末）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与
A、B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．若⊙O的半径是1，√2≤AB≤√3，则∠APB
的取值范围为 ．
