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专题 24.4 圆周角定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 圆周角的定义】..........................................................................................................................................1
【题型2 圆周角定理求角度】..................................................................................................................................2
【题型3 同弧（等弧）所对的圆周角关系】.........................................................................................................4
【题型4 直径所对的圆周角90°的应用】...............................................................................................................5
【题型5 利用圆内接四边形的性质求角】..............................................................................................................6
【题型6 利用圆内接四边形的性质求线段长度】.................................................................................................7
【题型7 利用圆内接四边形的性质进行证明】.....................................................................................................8
【题型8 确定圆的条件】........................................................................................................................................10
【题型9 尺规作外接圆】........................................................................................................................................10
【题型10 求外接圆的半径】....................................................................................................................................12
知识点1：圆周角定理
是 所对的圆心角，
定理：圆周角的度数等于它
是 所对的圆周角，
所对的弧的圆心角度
数的一半
和 都是 所对的圆周
角
圆 推论1：同弧或等弧所对的圆
周 周角相等
角
定
理
是 的直径
是 所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是
直角， 的圆周
角所对的弦是直径 是 所对的圆周角
是 的直径
【题型1 圆周角的定义】【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）下列各图中，∠BAC为圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下
列角中，^AB所对圆周角的是（ ）
A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC
【变式1-2】（23-24九年级·江西赣州·期末）如图，AB是⊙O的直径，C为圆内一点，则下列说法中正确
的是（ ）
A．AC是⊙O的弦 B．∠BOC是圆心角
C．∠C是圆周角 D．AC+OC<AB
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有
个圆周角，分别是 ．
【题型2 圆周角定理求角度】
【例2】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB=96°，则∠ACB的度数为（ ）
A．192° B．120° C．132° D．150°
【变式2-1】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接BD,OC，若
∠AOC=120°，∠D的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
【变式2-2】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，A、B、C三点都在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB
等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式2-3】（2024九年级·湖南·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC=30°，则∠BOC= 度．
【题型3 同弧（等弧）所对的圆周角关系】
【例3】（23-24九年级·全国·假期作业）如图，AB是⊙O的直径，C是B´D的中点，CE⊥AB于点E，
BD交CE于点F．
(1)求证：CF=BF；
(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及BF的长．
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，△ACB内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E是圆上
一点，连接OE，CE，BE，B´C=2B´E，∠CBA=48°，则∠CBE的度数为（ ）
A．107° B．110° C．117° D．120°
【变式3-2】（23-24九年级·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在A´B上，
则∠CME的度数为 ．
【变式3-3】（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
(1)求证：ED=EG；
(2)若AB=4❑√5，OG=2，求⊙O的半径．
【题型4 直径所对的圆周角90°的应用】
【例4】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，
AC，点D为A´C的中点，连结OD交AC于点E．
(1)求证：OD∥BC；
(2)若AC=8，DE=2，求BC长．
【变式4-1】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，D为A´C上一
点，且AD=CD，连接BD，若AO=4，AC=4❑√2，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．25° C．22.5° D．20°
【变式4-2】（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，A(−6,0)，D是OA上一点，B是y正半轴上
一点，且OB=AD，DE⊥AB，垂足为E，则OE的最小值为 ．【变式4-3】（2024·四川达州·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延
长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线．
(1)求证：∠DCF=∠CAD；
(2)若CF=4❑√2，DF=4，求⊙O的半径．
知识点2：圆内接四边形
四边形 是 的内接四边形
圆的内接四边形对角互补
【题型5 利用圆内接四边形的性质求角】
【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）已知在半径为4的⊙O中，弦AB=4❑√3，点P在圆上，则
∠APB的度数为 ．
【变式5-1】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形
ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA,OB．若∠AOB=140°，
∠BCP=35°，则∠ADC的度数为 ．【变式5-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于
AC的对称点E在边BC上，连结AE．若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为 ．
【变式5-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，小明把一副三角尺放到圆中，斜边AC重合，点A、
B、C、D均在圆上，其中∠ACB=30°，∠CAD=45°，点P是圆上任意一点（不与A、B、C、D重
合），则∠APB的度数为 ．
【题型6 利用圆内接四边形的性质求线段长度】
【例6】（2024·江苏·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，A´B=A´D，∠BCD=120°，
连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED=150°，AC=3❑√7，则DE的长为 ．
【变式6-1】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若
AD=2，则AB的长为（ ）A．❑√3 B．2 C．2❑√3 D．4
【变式6-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C=135°，AB⊥BD
，以AB为y轴，BD为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点A的坐标为(0,3)，则圆的直径长度是
．
【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B、C两点的⊙O交
AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF、CF，若∠EDC=135°，CF=2❑√2
，则AE2+BE2的值为 ．
【题型7 利用圆内接四边形的性质进行证明】
【例7】（23-24九年级·陕西延安·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E、F分别在AB、DC的延长
线上，且∠F+∠EBC=180°，求证：EF∥AD．【变式7-1】（23-24九年级·吉林白山·期末）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，交
BC于E，连接ED，ED=EC．
求证：AB=AC．
【变式7-2】（23-24九年级·北京通州·期末）如图，△ABC中，CA=CB，以BC为直径的半圆与AB交于
点D，与AC交于点E．
(1)求证：点D为AB的中点；
(2)求证：AD=DE．
【变式7-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是
A´C上一点，AG与DC的延长线交于点F，设半径为R．
(1)若CD=8，BE=2，求：
①OE=______（用R的代数式表示）；
②⊙O的半径长．
(2)求证：∠FGC=∠AGD．
知识点3：确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的
垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。【题型8 确定圆的条件】
【例8】（2024九年级·全国·专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共
圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
【变式8-1】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点A(4,−3)，B(0,−3)，
C(2,−3)， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎
片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块．
【变式8-3】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、
B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②， ABC的三条高AD、BE、CF相交于
点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ） △
A．2 B．3 C．4 D．6
【题型9 尺规作外接圆】
【例9】（2024·河南商丘·一模）如图，已知△ABC，求作：以AC为一边作Rt△PAC，且满足∠P与∠B
互补．
作法：①作AB边的垂直平分线m；
②作BC边的垂直平分线n，直线m，n交于点O；
③以O为圆心，OA长为半径作⊙O；④连接AO并延长，交⊙O于点P，连接CP．
(1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
(2)求证：△PAC即为所求作的三角形．
【变式9-1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在直线AB上方确定一点
P，连接PA、PB，使∠APB=∠ACB．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式9-2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知A´B如图．
（1）用直尺和圆规求作圆心O，并补全这个圆；
（2）用直尺和圆规求作这条弧的四等分点．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何
用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作：
请利用直尺和圆规四等分A´B
．
小亮的作法如下：
如图，
AB
（1）连接 ；
（2）作AB的垂直平分线CD交A´B于点M，交AB于点T；
（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交A´B于N，P两点；那么N，M，P三点把A´B四等分．
(1)请你帮判断小亮作法是否正确；若不正确，请你利用直尺和圆规四等分所给的A´B（保留作图痕迹）．
(2)找出A´B圆的心（保留作图痕迹）．
【题型10 求外接圆的半径】
【例10】（2024·浙江杭州·三模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2❑√5，BC＝8，按下列步骤作图：①
1
以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF
2
1
的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧相交于点
2
M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为
．
【变式10-1】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=2❑√10，BC=4，⊙O
是△ABC的外接圆．(1)请用圆规和无刻度的直尺画出⊙O，不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑；
(2)求⊙O的半径；
(3)若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA=2，请直接写出⊙P的半径的长．
【变式10-2】（2024·江苏常州·一模）如图，在△ABD中，∠DAB=∠DBA，AC⊥BD交BD的延长线
于点C，BE⊥AD交AD的延长线于点E．
(1)求证：△BDE≌△ADC．
(2)运用无刻度的直尺和圆规画出△ABC的外接圆，且当AD=3，DE=2时，△ABC的外接圆半径为
________．
【变式10-3】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌
在一个圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．4
