专题 24.4 圆周角定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 圆周角的定义】..........................................................................................................................................2
【题型2 圆周角定理求角度】..................................................................................................................................4
【题型3 同弧（等弧）所对的圆周角关系】.........................................................................................................6
【题型4 直径所对的圆周角90°的应用】.............................................................................................................12
【题型5 利用圆内接四边形的性质求角】...........................................................................................................17
【题型6 利用圆内接四边形的性质求线段长度】...............................................................................................20
【题型7 利用圆内接四边形的性质进行证明】...................................................................................................25
【题型8 确定圆的条件】........................................................................................................................................30
【题型9 尺规作外接圆】........................................................................................................................................32
【题型10 求外接圆的半径】....................................................................................................................................36
知识点1：圆周角定理
是 所对的圆心角，
定理：圆周角的度数等于它
是 所对的圆周角，
所对的弧的圆心角度
数的一半
和 都是 所对的圆周
角
圆 推论1：同弧或等弧所对的圆
周 周角相等
角
定
理
是 的直径
是 所对的圆周角
推论2：直径所对的圆周角是
直角， 的圆周
角所对的弦是直径 是 所对的圆周角
是 的直径
【题型1 圆周角的定义】【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）下列各图中，∠BAC为圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解
题的关键是理解圆周角的定义．
根据由圆周角的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、∠BAC的边AC不是与圆相交所得，所以∠BAC不是圆周角，故此选项不符合题意；
B、∠BAC的边AC、AB都不是与圆相交所得，所以∠BAC不是圆周角，故此选项不符合题意；
C、∠BAC的顶点没在圆上，所以∠BAC不是圆周角，故此选项不符合题意；
D、∠BAC符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下
列角中，^AB所对圆周角的是（ ）
A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC
【答案】C
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由图可知：^AB所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．
【变式1-2】（23-24九年级·江西赣州·期末）如图，AB是⊙O的直径，C为圆内一点，则下列说法中正确
的是（ ）A．AC是⊙O的弦 B．∠BOC是圆心角
C．∠C是圆周角 D．AC+OC<AB
【答案】B
【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：A、点C不在⊙O上，所以AC不是⊙O的弦，故错误，不符合题意；
B、因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；
C、点C不在⊙O上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；
D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若AC+OC<AB成立，则AC+OC＜OA+OB，
∴AC＜OA，与题干矛盾，
∴D选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有
个圆周角，分别是 ．
【答案】 6 ∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE
【分析】根据圆周角的定义进行判断即可.
【详解】根据题意可知图中共有6个圆周角，分别是∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.
故答案为6；∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE.
【点睛】本题考查圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
【题型2 圆周角定理求角度】
【例2】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB=96°，则∠ACB的度数为（ ）
A．192° B．120° C．132° D．150°
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．
在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D=48°，再根据圆内接四边形性质即得
∠C=132°．
【详解】在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=96°，
1
∴∠D= ∠AOB=48°，
2
∴∠C=180°−∠D=132°．
故选：C．
【变式2-1】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接BD,OC，若
∠AOC=120°，∠D的度数是（ ）A．60° B．45° C．30° D．20°
【答案】C
【分析】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所
对的圆心角的一半．根据邻补角的性质求得∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即
可求得∠BDC的度数，
【详解】解：∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=60°．
∵B´C=B´C，
1
∴∠BDC= ∠BOC=30°．
2
故选：C．
【变式2-2】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，A、B、C三点都在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB
等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．直接根据圆周角定理求解即可．
1 1
【详解】解：根据圆周角定理可得：∠ACB= ∠AOB= ×80°=40°．
2 2
故选：B．
【变式2-3】（2024九年级·湖南·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC=30°，则∠BOC= 度．
【答案】120
【分析】本题考查了圆周角定理，邻补角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC=180°−∠AOC的度
数，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关
键．
【详解】解：∵∠ADC是A´C所对的圆周角，
∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−60°=120°，
故答案为：120．
【题型3 同弧（等弧）所对的圆周角关系】
【例3】（23-24九年级·全国·假期作业）如图，AB是⊙O的直径，C是B´D的中点，CE⊥AB于点E，
BD交CE于点F．
(1)求证：CF=BF；
(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及BF的长．
【答案】(1)证明见解析
15
(2)半径为5，BF为
4
【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得∠BAC=∠DBC，根据直径所对的圆周角是直角得
∠ACB=90°，再结合CE⊥AB，可得出∠BCE=∠CBD，即可得证；（2）根据圆心角、弧、弦之间的关系得CB=CD=6，在Rt△ABC中，得AB=❑√AC2+BC2=10，得出
1 1 AC×BC 24
⊙O的半径，再根据S = ×CE×AB= ×AC×BC，得CE= = ，继而得到
△ABC 2 2 AB 5
18 24
BE=❑√BC2−CE2= ，设EF=x，则BF=CF= −x，在Rt△BEF中，根据勾股定理得出
5 5
x2+ (18) 2 = (24 −x ) 2 ，
5 5
21
解得：x= ，即可得解．
20
【详解】（1）证明：∵C是B´D的中点，
∴C´B=C´D，
∴∠BAC=∠DBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，即∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠BAC=∠BCE，
∴∠BCE=∠CBD，
∴CF=BF；
（2）解：∵C´B=C´D，CD=6，AC=8，
∴CB=CD=6，
在Rt△ABC中，AB=❑√AC2+BC2=❑√82+62=10，
∴⊙O的半径为5，
1 1
∵S = ×CE×AB= ×AC×BC，
△ABC 2 2
AC×BC 8×6 24
∴CE= = = ，
AB 10 5
在Rt△BCE中，BE=❑√BC2−CE2=❑
√
62−
(24) 2
=
18
，
5 524
设EF=x，则BF=CF= −x，
5
∵在Rt△BEF中，EF2+BE2=BF2，
∴x2+ (18) 2 = (24 −x ) 2 ，
5 5
21
解得：x= ，
20
24 21 15
∴BF=CF=CE−EF= − = ，
5 20 4
15
∴⊙O的半径为5，BF的长为 ．
4
【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆心角、弧、弦之间的关
系，直角三角形两锐角互余，等角对等边，勾股定理，等积法等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关
键．
【变式3-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，△ACB内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E是圆上
一点，连接OE，CE，BE，B´C=2B´E，∠CBA=48°，则∠CBE的度数为（ ）
A．107° B．110° C．117° D．120°
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，圆周角定理；由圆的基本性质得∠ACB=90°，
∠CAB=2∠ECB，由圆周角定理得∠EOB=2∠ECB，由等腰三角形的性质即可求解；掌握圆周角定
理和圆的基本性质是解题的关键．
【详解】解：∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∴ ∠CAB=90°−48°=42°，
又∵ B´C=2B´E，
∴∠CAB=2∠ECB，
∵B´E=B´E，
∴∠EOB=2∠ECB，∴ ∠BOE=∠CAB=42°，
∵ OE=OB，
∴ ∠OBE=∠OEB
180°−42°
= =69°，
2
∴ ∠CBE=∠CBA+∠ABE
=48°+69°=117°．
故选：C．
【变式3-2】（23-24九年级·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在A´B上，
则∠CME的度数为 ．
【答案】60°/60度
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出
∠COE=120°是解决问题的关键．
连接OC,OD,OE，由正六边形的性质得出∠COE=120°，由圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图：连接OC,OD,OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
360°
∴∠COD=∠DOE= =60°，
6
∴∠COE=2∠COD=120°，
1
∴∠CME= ∠COE=60°，
2
故答案为：60°．
【变式3-3】（2024·安徽马鞍山·一模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，
BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．(1)求证：ED=EG；
(2)若AB=4❑√5，OG=2，求⊙O的半径．
【答案】(1)见详解
14
(2)
3
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；
（1）连接BD，由同弧所对的圆周角相等得∠CAE=∠BDG，由同角的余角相等得∠CAE=∠CGF，从
而可得∠BGD=∠BDG，由等腰三角形的判定及性质即可得证；
1
（2）连接OB，设OB=r，可得DG =r+2，由线段和差得OE=EG−OG = r−1，由垂径定理得
2
1
BE= AB=2❑√5，由勾股定理得OE2+BE2=OB2，即可求解；
2
掌握垂径定理，能构建直角三角形，并熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接BD，
∵B´C=B´C
，
∴∠CAE=∠BDG，
∵ AB⊥CD，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵ BF⊥AC，
∴∠ACE+∠CGF=90°，∴∠CAE=∠CGF，
∵∠BGD=∠CGF，
∴∠CAE=∠BGD，
∴∠BGD=∠BDG，
∴BD=BG，
∵BE⊥DG，
∴ ED=EG；
（2）解：如图，连接OB，
设OB=OD=r，
∴DG=OD+OG
=r+2，
∵ ED=EG，
1
∴EG= DG
2
1
= r+1，
2
∴OE=EG−OG
1
= r−1，
2
∵ CD为直径，AB⊥CD，
1
∴BE= AB=2❑√5，
2
在Rt△OEB中，
OE2+BE2=OB2，
∴ (1 r−1 ) 2 +(2❑√5) 2=r2 ，
214
解得：r =−6，r = ，
1 2 3
14
故⊙O的半径为 ．
3
【题型4 直径所对的圆周角90°的应用】
【例4】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，
AC，点D为A´C的中点，连结OD交AC于点E．
(1)求证：OD∥BC；
(2)若AC=8，DE=2，求BC长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)BC=6．
【分析】（1）连接OC，由圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD=∠COD，由等腰三角形的性质推出
OD⊥AC，由圆周角定理推出BC⊥AC，即可证明OD∥BC；
1
（2）设圆的半径是r，得到OE=r−2，由垂径定理得AE= AC=4，由勾股定理得到r2=(r−2) 2+42，
2
求出r=5，因此AB=2r=10，由勾股定理即可求出BC=❑√AB2−AC2=6．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵D是A´C中点，
∴∠AOD=∠COD，∵OA=OC，
∴OD⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）解：设⊙O圆的半径是r，
∵DE=2，
∴OE=r−2，
∵OD⊥AC，
1 1
∴AE= AC= ×8=4，
2 2
∵OA2=OE2+AE2，
∴r2=(r−2) 2+42，
∴r=5，
∴AB=2r=10，
∵∠ACB=90°，
∴BC=❑√AB2−AC2=6．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，解
题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【变式4-1】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，D为A´C上一
点，且AD=CD，连接BD，若AO=4，AC=4❑√2，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．25° C．22.5° D．20°
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定和性质，连接OC,DO，OD交AC于点E，易得OD垂直平分AC，利用勾股定理求出OE的长，得到△OAE为等腰直角三角形，得到∠OAE=45°，圆周角定理，
得到∠B=∠CAD=∠ACD，∠ADB=90°，利用三角形的内角和定理，即可得出结果．
【详解】解：连接OC,DO，OD交AC于点E，则：OA=OC=OD=4，
∵AD=CD，
∴OD垂直平分AC，A´D=C´D，
∵AC=4❑√2，
1
∴AE=CE= AC=2❑√2，
2
∴OE=❑√OA2−AE2=2❑√2，
∴OA=AE，
∴∠OAE=∠AOE=45°，
∵AB为⊙O的直径，A´D=C´D，
∴∠ADB=90°，∠B=∠CAD=∠ACD，
∴∠BAC+∠CAD+∠B=∠BAC+2∠B=90°，
∴∠B=22.5°；
故选C
【变式4-2】（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，A(−6,0)，D是OA上一点，B是y正半轴上
一点，且OB=AD，DE⊥AB，垂足为E，则OE的最小值为 ．
【答案】3❑√5−3/−3+3❑√5
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
过点A作AF⊥x轴，交DE的延长线于点F，利用ASA判定出△FAD≌△AOB得到AF=OA=6，再根据
∠AEF=90°推出E点的运动轨迹，取AF的中点M，连接OM，用勾股定理求出OM的长，即可求得最小
值．
【详解】解：如图，过点A作AF⊥x轴，交DE的延长线于点F，
∵A(−6,0)，
∴OA=6．
∵DE⊥AB，AF⊥x轴，
∴∠ADE+∠OAB=90°，∠F+∠ADE=90°，
∴∠F=∠OAB，
又∵AD=OB，∠FAD=∠AOB=90°，
∴△FAD≌△AOB（ASA），
∴AF=OA=6，
∵∠AEF=90°，
∴点E在以AF为直径的圆上，
取AF的中点M，连接OM，
1
∴ME=AM= AF=3，OM=❑√AM2+AO2=❑√32+62=3❑√5，
2
∴当点M、E、O三点共线时，有OE的最小值为OM−ME=3❑√5−3；
故答案为：3❑√5−3．
【变式4-3】（2024·四川达州·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延
长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线．(1)求证：∠DCF=∠CAD；
(2)若CF=4❑√2，DF=4，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径为2
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题
关键．
（1）连接OC，结合“直径所对的圆周角为直角”可得∠ACD=90°，即有∠OCD+∠OCA=90°，再
结合切线的性质可得OC⊥CF，进而可得∠DCF+∠OCD=90°，可证明∠OCA=∠DCF，结合
OC=OA，易得∠CAD=∠OCA，即可证明结论；
（2）设OC=OD=x，在Rt△OCF中，根据勾股定理可得OC2+CF2=OF2，代入数值并计算，即可获
得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠OCD+∠OCA=90°，
∵FC是⊙O的切线，OC为⊙O半径，
∴OC⊥CF，
∴∠DCF+∠OCD=90°，
∴∠OCA=∠DCF，
∵OC=OA，∴∠CAD=∠OCA，
∴∠DCF=∠CAD；
（2）解：设OC=OD=x，
∵CF=4❑√2，DF=4，
∴OF=OD+DF=x+4，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∴OC2+CF2=OF2，
∴x2+(4❑√2) 2=(x+4) 2，
解得x=2，
即⊙O的半径为2．
知识点2：圆内接四边形
四边形 是 的内接四边形
圆的内接四边形对角互补
【题型5 利用圆内接四边形的性质求角】
【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）已知在半径为4的⊙O中，弦AB=4❑√3，点P在圆上，则
∠APB的度数为 ．
【答案】60°或120°
1
【分析】如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，OB．由sin∠OAC= ，可得∠OAC=30°，分
2
当点P在优弧上时，当点P在劣弧上两种情况，再进一步解答可得答案；
【详解】解：如图，当点P在优弧上时，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，OB．
1
由垂径定理可得AC= AB=2❑√3．
2
1
在Rt△OAC中，OC=❑√OA2−AC2=2= OA，
2
1
∴sin∠OAC= ，
2
∴∠OAC=30°．
在△AOB中，
∵OA=OB，
∴∠OBC=∠OAC=30°．
∴AB所对的圆心角∠AOB=180°−2×30°=120°，
1
则∠AP B= ∠AOB=60°．
1 2
当点P在劣弧上时，
∠AP B=180°−∠AP B=120°．
2 1
故答案为：60°或120°
【点睛】本题考查的是垂径定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质和解直角三角形，能够分情
况讨论是解题的关键．
【变式5-1】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形
ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA,OB．若∠AOB=140°，
∠BCP=35°，则∠ADC的度数为 ．【答案】105°/105度
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接OC，利用等边
对等角得出∠OAB=∠OBA=20°，∠OCB=∠OBC，利用切线的性质可求出∠OBC=∠OCB=55°，
然后利用圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解∶连接OC，
∵OA=OB=OC，∠AOB=140°，
1
∴∠OAB=∠OBA= (180°−∠AOB)=20°，∠OCB=∠OBC，
2
∵CP是切线，
∴∠OCP=90°，即∠OCB+∠BCP=90°，
∵∠BCP=35°，
∴∠OBC=∠OCB=55°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=75°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°−∠ABC=105°，
故答案为：105°．
【变式5-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于
AC的对称点E在边BC上，连结AE．若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为 ．
【答案】52°
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，直接利用圆内接四边形的性质结合三角
形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵圆内接四边形ABCD，∠ABC=64°，∴∠D=180°−∠ABC=116°，
∵点D关于AC的对称点E在边BC上，
∴∠D=∠AEC=116°，
∴∠BAE=116°−64°=52°．
故答案为：52°．
【变式5-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，小明把一副三角尺放到圆中，斜边AC重合，点A、
B、C、D均在圆上，其中∠ACB=30°，∠CAD=45°，点P是圆上任意一点（不与A、B、C、D重
合），则∠APB的度数为 ．
【答案】30°或150°
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内角四边形内角和问题，分为当点P在优弧BC´A上时以及当点P在劣
弧A´B上时两种情况下进行求解即可．
【详解】解：当点P在优弧BC´A上时，
∴∠APB=∠ACB=30°
；
当点P在劣弧A´B上时，四边形ACBP为圆内接四边形，
∴∠APB+∠ACB=180°
，∴∠APB=180°−30°=150°，
.∴∠APB的度数为30°或150°，
故答案为：30°或150°．
【题型6 利用圆内接四边形的性质求线段长度】
【例6】（2024·江苏·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，A´B=A´D，∠BCD=120°，
连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED=150°，AC=3❑√7，则DE的长为 ．
【答案】❑√21
【分析】连接BD，由A´B=A´D，得到AB=AD，求得△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到
AB=BD，∠ABD=∠ADB=60°，求得∠ACD=∠ABD=60°，推出CD=2CE，根据全等三角形的
性质得到AE=CD，求得AE=2CE，得到CD=AE=2❑√7，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接BD，
∵A´B=A´D，
∴AB=AD，
∵∠BCD=120°，∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠ACD=∠ABD=60°，∴∠CDE=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠CED=90°，
∴CD=2CE，
∵∠BED=150°，
∴∠AEB=120°，
在△ABE与△DBC中，
{
∠BAE=∠BDC
)
∠AEB=∠DCB=120° ，
AB=DB
∴△ABE≌△DBC(AAS)，
∴AE=CD，
∴AE=2CE，
∵AC=3❑√7，
∴AE=2❑√7，CE=❑√7，
∴CD=AE=2❑√7，
∴DE=❑√CD2−CE2=❑√21，
故答案为：❑√21．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式6-1】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若
AD=2，则AB的长为（ ）
A．❑√3 B．2 C．2❑√3 D．4
【答案】D
【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形
的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可．
【详解】解：连接OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠A=60°，
∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OD=OA，
∵AD=2，
∴OA=OD=OB=2，
∴AB=2+2=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出
∠A+∠C=180°是解此题的关键．
【变式6-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C=135°，AB⊥BD
，以AB为y轴，BD为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点A的坐标为(0,3)，则圆的直径长度是
．
【答案】3❑√2
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段AD为圆的直
径是解答的关键．圆内接四边形ABCD中，相对的角互补，结合已知条件可求出∠A的度数，从而判定
△ABD为等腰直角三角形；根据勾股定理可得AD的值，进而得到圆的直径．【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∵∠C=135°，
∴∠A=45°，
又AB⊥BD，
∴∠ADB=∠A=45°，
∴DB=AB，
∵点A的坐标为(0,3)，
∴BD=AB=3，
∴AD=❑√AB2+BD2=❑√32+32=3❑√2．
∵AB⊥BD，
∴线段为圆的直径，
∴圆的直径为3❑√2．
故答案为：3❑√2．
【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B、C两点的⊙O交
AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF、CF，若∠EDC=135°，CF=2❑√2
，则AE2+BE2的值为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的
知识点解决问题是解题的关键．根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义证明△ACE≌△BCF(AAS)，证
明△ECF是等腰直角三角形，得出EF2=2CF2=16即可解答．
【详解】解： ∵四边形BCDE内接于⊙O，∠EDC=135°，
∴∠EFC=∠ABC=180°−∠EDC=45°，
∵ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，
∵EF是⊙O的直径，
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠BCF=∠ACE，
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，
∴∠BFC+∠BEC=180°，
∵∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠AEC=∠BFC，
在△ACE和△BCF中，
{∠AEC=∠BFC
)
∠ACE=∠BCF ，
AC=BC
∴△ACE≌△BCF(AAS)，
∴AE=BF，
∵∠EFC=45°,∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EC=FC=2❑√2，
∴EF2=2CF2=16，
则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16，
故答案为：16．
【题型7 利用圆内接四边形的性质进行证明】
【例7】（23-24九年级·陕西延安·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E、F分别在AB、DC的延长
线上，且∠F+∠EBC=180°，求证：EF∥AD．
【答案】见解析
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，平行线的判定定理；根据四边形ABCD内接于⊙O，可得
∠ABC+∠D=180°，根据已知条件得出∠F+∠D=180°，即可得证．
【详解】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠D，
∴∠F+∠EBC=180°，
∴∠F+∠D=180°，
∴EF∥AD．
【变式7-1】（23-24九年级·吉林白山·期末）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，交
BC于E，连接ED，ED=EC．
求证：AB=AC．
【答案】见解析
【分析】本题综合考查了圆内接四边形性质和等腰三角形的判定与性质，熟练运用相关知识是解答关键，
根据等腰三角形性质得出∠EDC=∠C，再根据圆内接四边形性质得出∠EDC=∠B，证出∠B=∠C即
可证出结论．
【详解】证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C．
∵∠EDC+∠ADE=180∘，∠B+∠ADE=180∘，
∴∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
【变式7-2】（23-24九年级·北京通州·期末）如图，△ABC中，CA=CB，以BC为直径的半圆与AB交于
点D，与AC交于点E．
(1)求证：点D为AB的中点；(2)求证：AD=DE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质：
（1）连接CD，利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证结论；
（2）方法一：根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的判定即可求证结论；
方法二：利用等腰三角形的性质及圆周角定理即可求证结论；
熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）证明：连结CD，如图：
∵BC为半圆的直径，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥CD，
∵CA=CB，
∴点D为AB的中点．
（2）方法一：证明：∵CA=CB，
∴∠B=∠A，
∵四边形BCED为圆内接四边形，
∴∠AED=∠B，
∴∠AED=∠A，
∴AD=DE．
方法二：证明：连结DO，EO，∵CA=CB，AD=BD，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠DOE=2∠ACD，∠DOB=2∠BCD，
∴∠DOE=∠DOB．
∴B´D=D´E，
∴BD=DE．
∵AD=BD，
∴AD=DE．
【变式7-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是
A´C上一点，AG与DC的延长线交于点F，设半径为R．
(1)若CD=8，BE=2，求：
①OE=______（用R的代数式表示）；
②⊙O的半径长．
(2)求证：∠FGC=∠AGD．
【答案】(1)①R−2；②5
(2)见解析
【分析】（1）①利用OB减去BE即可表示OE；②连接OC，设⊙O的半径为R．在Rt△OEC中，根据
OC2=OE2+EC2，构建方程即可解决问题；
（2）连接AD，根据垂径定理得到A´D=A´C，根据圆周角定理得到∠ADC=∠AGD，根据圆内接四边
形的性质证明即可．【详解】（1）解：①设⊙O的半径为R．
∴OE=OB−BE=R−2；
②连接OC．
∵CD⊥AB
，
∴DE=EC=4，
在Rt△OEC中，∵OC2=OE2+EC2，
∴R2=(R−2) 2+42，
解得R=5．
（2）证明：连接AD，
∵弦CD⊥AB
∴ A´D=A´C，
∴∠ADC=∠AGD，
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴∠ADC=∠FGC，
∴∠FGC=∠AGD．
【点睛】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，以及圆内接四边形的性质，掌握相应定理，学会添
加常用辅助线是解题的关键．
知识点3：确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的
垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
【题型8 确定圆的条件】
【例8】（2024九年级·全国·专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共
圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出( )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
【答案】C
【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可．【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、
BCD、BCE、BDE、CDE的圆．
故选C．
【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键．
【变式8-1】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点A(4,−3)，B(0,−3)，
C(2,−3)， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【答案】不能
【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
判断三个点在不在一条直线上即可．
【详解】解：∵A(4,−3)，B(0,−3)，C(2,−3)，在y=−3这条直线上，，
∴三个点A(4,−3)，B(0,−3)，C(2,−3)不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎
片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块．
【答案】①
【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径．
所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①．
故答案为：①．
【点睛】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的的条件是解题的关键．
【变式8-3】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、
B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②， ABC的三条高AD、BE、CF相交于
点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ） △A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共
圆．
【题型9 尺规作外接圆】
【例9】（2024·河南商丘·一模）如图，已知△ABC，求作：以AC为一边作Rt△PAC，且满足∠P与∠B互补．
作法：①作AB边的垂直平分线m；
②作BC边的垂直平分线n，直线m，n交于点O；
③以O为圆心，OA长为半径作⊙O；
④连接AO并延长，交⊙O于点P，连接CP．
(1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
(2)求证：△PAC即为所求作的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意画出AC,BC的垂直平分线m,n，交于点O，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，
连接AO并延长，交⊙O于点P，连接CP即可求解；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，Rt△PAC即为所求；
（2）证明：∵AP是⊙O的直径，
∴∠APC是直角，
∴△PAC是直角三角形，
∵ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠P=180°，
∴Rt△PAC即为所求作三角形．【变式9-1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在直线AB上方确定一点
P，连接PA、PB，使∠APB=∠ACB．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作△ABC的外接圆，再根据同弧所对的圆周角相等在直线AB上方取圆上一点P即可．
【详解】解：如图，点P为所求,
【点睛】此题考查了三角形的外接圆的作图，圆周角定理等知识，熟练掌握三角形的外接圆的作图和圆周
角定理是解题的关键．
【变式9-2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知A´B如图．
（1）用直尺和圆规求作圆心O，并补全这个圆；
（2）用直尺和圆规求作这条弧的四等分点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）在A´B上任意取一点E（A、B除外），连接AE，BE，作线段AE，BE的垂直平分线交于点
O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可；
（2）连接AB，作AB的垂直平分线交A´B于点C，连接AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，交A´B
于点D、E即可．【详解】解：（1）如图所示：点O和圆O即为所作；
（2）如图所示：D、C、E即为四等分点．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解圆的相关性质，掌握垂直平分线的作法．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何
用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作：
请利用直尺和圆规四等分A´B
．
小亮的作法如下：
如图，
AB
（1）连接 ；
（2）作AB的垂直平分线CD交A´B于点M，交AB于点T；
（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交A´B于N，P两点；那么N，M，P三点把A´B
四等分．(1)请你帮判断小亮作法是否正确；若不正确，请你利用直尺和圆规四等分所给的A´B（保留作图痕迹）．
(2)找出A´B圆的心（保留作图痕迹）．
【答案】(1)不正确，正确作图见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理，确定圆心的位置：
（1）利用垂径定理即可判断小亮的作法是否正确；先作线段AB的垂直平分线，交A´B于M，再分别作线
段AM，BM的垂直平分线交A´B于N、P，则点M、N、P即为A´B的四等分点；
（2）在A´B上任取一点C，分别作线段AC，AB的垂直平分线，二者的交点即为圆心的位置．
【详解】（1）解：小亮作法错误，理由：
直线EF，GH平分的是线段AT，BT，但AT，BT不是A´M，B´M对应的圆上的弦，所以作法错误；
正确作法如下，先作线段AB的垂直平分线，交A´B于M，再分别作线段AM，BM的垂直平分线交A´B于
N、P，则点M、N、P即为A´B的四等分点；
（2）解：在A´B上任取一点C，分别作线段AC，AB的垂直平分线，二者的交点即为圆心的位置．
【题型10 求外接圆的半径】
【例10】（2024·浙江杭州·三模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2❑√5，BC＝8，按下列步骤作图：①
1
以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF
21
的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧相交于点
2
M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为
．
【答案】5
【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可
解决问题．
【详解】解：如图，设OA交BC于T．半径为r，
∵AB=AC=2❑√5，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BT=TC=4，
∴AT=❑√AC2−CT2=❑√ (2❑√5) 2 −42=2，
在Rt△OCT中，则有r2=(r−2) 2+42，
解得r=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
【变式10-1】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=2❑√10，BC=4，⊙O是△ABC的外接圆．
(1)请用圆规和无刻度的直尺画出⊙O，不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑；
(2)求⊙O的半径；
(3)若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA=2，请直接写出⊙P的半径的长．
【答案】(1)见解析
10
(2)
3
(3)2❑√5或2❑√17
【分析】（1）分别作出两边的垂直平分线，交点即为圆心O；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，根据勾股定理即可求解；
（3）分两种情况说明⊙P的半径的长．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，∵OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上，
∵BC=4，
1
∴BD= BC=2，
2
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=2❑√10，
∴AD=❑√AB2−BD2=6，
设OA=OB=r，则OD=6−r．
∵在Rt△OBD中，∠ODB=90°，
∴OD2+BD2=OB2，即(6−r) 2+22=r2．
10
解得r= ，
3
10
即⊙O的半径为 ；
3
（3）当⊙P也经过B、C两点，
则设PB=r，
PA=2，则PD=6−2=4或6+2=8，
BD=2，
∴PB=❑√42+22=2❑√5
或PB=❑√82+22=2❑√17．
所以⊙P的半径的长为2❑√5或2❑√17．
【点睛】本题考查了尺规作图，三角形外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本
题的关键是准确确定点P的两个位置．【变式10-2】（2024·江苏常州·一模）如图，在△ABD中，∠DAB=∠DBA，AC⊥BD交BD的延长线
于点C，BE⊥AD交AD的延长线于点E．
(1)求证：△BDE≌△ADC．
(2)运用无刻度的直尺和圆规画出△ABC的外接圆，且当AD=3，DE=2时，△ABC的外接圆半径为
________．
【答案】(1)见解析
❑√30
(2)作图见解析，
2
【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关
键.
（1）由“AAS”可证 △BDE≌△ADC;
（2）分别作AB，AC的垂直平分线，两条直线交于点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆即可画出
△ABC的外接圆，由勾股定理可求BE,AB的长， 即可求解.
【详解】（1）)证明：∵∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD，
又 ∵AC⊥BD,BE⊥AD，
∴∠C=∠E=90°,
在 △BDE和 △ADC，
{
∠E=∠C
)
∠BDE=∠ADC ，
BD=AD
∴△BDE≌△ADC(AAS)；
（2）∵DE=2，BD=AD=3，
∴BE=❑√BD2−DE2=❑√32−22=❑√5， AE=AD+DE=5，
∴AB=❑√BE2+AE2=❑√ (❑√5) 2+52=❑√30，
1 ❑√30
∴△ABC的外接圆半径 = AB= ，
2 2
❑√30
故答案为： .
2
【变式10-3】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌
在一个圆形的金属框上，使A，B，C三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A．❑√10 B．2❑√5 C．2❑√2 D．4
【答案】A
【分析】作AB,BC的垂直平分线交于点D，连接BD,CD，设AB的垂直平分线交网格线于点E,F，连接
AC， 根据作图可得D是过A,B,C三点的圆的圆心，网格可得∠BAC=45°则∠BDC=90°，得出
△BDC是等腰直角三角形，进而勾股定理求得BC，即可求解．
【详解】解：如图所示，作AB,BC的垂直平分线交于点D，连接BD,CD，设AB的垂直平分线交网格线
于点E,F，连接AC，根据作图可得D是过A,B,C三点的圆的圆心，
根据网格可得∠BAC=45°
∴∠BDC=90°
又∵DB=DC
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵ 小正方形的边长为2，
∴BC=❑√22+42=2❑√5，
❑√2
∴DB= BC=❑√10
2
故选：A．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
