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第24章 圆单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·云南红河·期末）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D是圆上A，C之
间的一点，A´D=2D´C，BD与OC相交于点E，则∠ODB的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．15°
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角，先求出∠AOD=60°，再由圆周角定理得出
1
∠ABD= ∠AOD=30°，最后由等边对等角即可得出答案．
2
【详解】解：∵OC⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠DOC=90°，
∵A´D=2D´C，
∴∠AOD=2∠DOC，
∴∠AOD=60°，
∵A´D=A´D，
1
∴∠ABD= ∠AOD=30°，
2
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ABD=30°，
故选：A．
2．（3分）（23-24·江苏南京·三模）如图，⊙O与矩形ABCD的三边AB、BC、CD分别相切于点
E、F、G，连接OB、OD，OB=4，OD=3，则AB的长为（ ）A．5 B．2❑√2+2 C．4 D．2❑√2+1
【答案】D
【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，连接
OE、OF、OG，则OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，可证四边形OEBF为正方形，AEGD都为矩
❑√2
形，得到OE=BE，AE=DG，利用勾股定理可得OE=BE= OB=2❑√2，DG=❑√OD2−OG2=1，进
2
而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接OE、OF、OG，则OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，
则∠OEB=∠OEA=∠OFB=∠OGD=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，AB∥CD，
∴点E、O、G三点共线，
∴四边形OEBF、AEGD都为矩形，
∴AE=DG，
∵OE=OF，
∴四边形OEBF为正方形，
∴OE=BE，
∵OB=4，
❑√2
∴OE=BE= OB=2❑√2，
2
∴OG=2❑√2，
∴DG=❑√OD2−OG2=❑√32−(2❑√2) 2=1，
∴AE=1，
∴AB=BE+AE=2❑√2+1，
故选：D．3．（3分）（23-24九年级·全国·专题练习）如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P
点是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为（ ）
A．1 B．❑√2 C．2 D．无法计算
【答案】B
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，对称的性质；作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点
D，连接OC，PC，当点P与D重合时，AP+BP最小，利用勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点D，连接OC，PC，
1
则B´N=N´C= A´N，PC=PB；
2
∵A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，
1 1
∴∠AON= ×180°=60°，∠CON= ∠AON=30°，
3 2
∴∠AOC=∠AON+∠CON=90°；
∵AP+BP=AP+PC≥AC，
∴当点P与D重合时，AP+BP最小，最小值为线段AC的长；
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
由勾股定理得：AC=❑√OA2+OC2=❑√2，
即AP+BP的最小值为❑√2；
故选：B．4．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）如图，CD是⊙O的弦，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对
折后劣弧上的一点，若∠A=2∠B，则∠B的度数是（ ）
A．100° B．80° C．60° D．50°
【答案】C
【分析】
本题主要考查了折叠，圆内接四边形．熟练掌握折叠的性质，圆内接四边形的性质，是解决问题的关键，
将△ACD沿CD翻折，点A落在A'处，得到∠A'=∠A，点A'在⊙O上，根据∠A=2∠B，得到
∠A'=2∠B，根据∠A'+∠B=180°，得到∠B=60°．
【详解】
如图，沿CD翻折△ACD，点A落在A'处，
则∠A'=∠A，
由对折知，CA´D=C´D，
∴点A'在⊙O上，
∵∠A=2∠B，
∴∠A'=2∠B，∵四边形A'CBD是⊙O的内接四边形，
∴∠A'+∠B=2∠B+∠B=180°，
∴∠B=60°，
故选：C．
5．（3分）（23-24九年级·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，
∠ACB=40°，点D是劣弧BC上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，先根据圆周角定理，由∠ABC=90°，则利用
互余可计算出∠A=50°，然后根据圆内接四边形的性质得到∠D的度数，熟练掌握三角形的外心的定义
与性质是解题的关键．
【详解】
解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°−∠ACB=90°−40°=50°，
∵∠D+∠A=180°，
∴∠D=180°−50°=130°．
故选：C．
6．（3分）（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线AB,CD相交，则∠1的度
数是（ ）A．45° B．54° C．60° D．72°
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正
多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为⊙O，
360°
则∠BOD= =40°,∠AOC=2∠BOD=80°，
9
1 1
∴∠BAD= ∠BOD=20°,∠ADC= ∠AOC=40°，
2 2
∴∠1=∠BAD+∠ADC=20°+40°=60°，
故选：C．
7．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将
Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为B´D，则图中阴影部分的面积是
（ ）π 2π 2π
A． B． C． −2 D．2
3 3 3
【答案】B
【分析】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇
形ABD的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到AB=2❑√2，再根据扇形的面积公式计算出S ，
扇形ABD
由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S =S +S −S =S ．
阴影 △ADE 扇形ABD △ABC 扇形ABD
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=2❑√2，
30π×(2❑√2) 2 2π
∴S = = ．
扇形ABD 360 3
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
2π
∴S =S +S −S =S = ．
阴影 △ADE 扇形ABD △ABC 扇形ABD 3
故选：B．
8．（3分）（23-24九年级·江苏连云港·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，BC=3．劣
弧BC沿弦BC翻折，刚好经过圆心O．当对角线BD最大时，则弦AB的长为（ ）
3
A．❑√6 B．2❑√3 C． D．2❑√2
2
【答案】A
【分析】首先作好辅助线，利用翻折性质得出△OBF为等边三角形，进而得出OB，再利用过直径的三角
❑√2 ❑√6
形是直角三角形得出OE=EB= OB= ，进而即可得解.
2 2
【详解】当BD过圆心时最大，连接OA，作OE⊥AB，还原劣弧BC，设与点O对应的点为F，连接FB、
FC、OF，OF交BC于G，如图所示：由翻折的性质，得
OB=BF，∠OBC=∠FBC
∵翻折后刚好经过圆心O
∴OB=OF
∴△OBF为等边三角形，即∠OBC=30°
∵OF⊥BC
2❑√3
∴OB= BG
3
∵BC=3
∴BG=CG=1.5
∴OB=❑√3
∵AB=AD，OE⊥AB，OA=OB
∴∠ABD=∠ADB=45°
❑√2 ❑√6
∴OE=EB= OB=
2 2
∴AB=❑√6
故选：A.
【点睛】此题主要考查折叠的性质以及圆性质的综合应用，解题关键是作辅助线，利用特殊角三角函数进
行求解.
9．（3分）（23-24·吉林延边·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O切于点A，点C在OB上，
连接PC与⊙O交于点D，过点C作CE∥AP交AD的延长线于点E．若CD=AD=3，则DE的长为
（ ）A．2 B．2❑√2 C．3 D．2❑√3
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，根据切线的性质可得∠CAP=90°，再利用平行线的性
质可得∠ACE=90°，从而可得∠CAE+∠E=90°，∠ACD+∠DCE=90°，然后利用等腰三角形的性
质可得∠ACD=∠CAE，从而可得∠E=∠DCE，进而可得DC=DE=3，即可解答．
【详解】解：∵PA与⊙O切于点A，
∴∠CAP=90°，
∵CE∥AP，
∴∠ACE=180°−∠CAP=90°，
∴∠CAE+∠E=90°，∠ACD+∠DCE=90°，
∵CD=AD=3，
∴∠ACD=∠CAE，
∴∠E=∠DCE，
∴DC=DE=3，
故选：C．
10．（3分）（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，点C是圆上不与A、B重
合的点，CD平分∠ACB，交⊙O于D，BE平分∠ABC，交CD于点E，CD与AB交于点F．以下说
法：①点D是弧AB的中点；②AD=DE；③∠ABE=∠BDC；④若AD=AF，则∠BAC=22.5°．其中
正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠BCD，再由圆周角定理即可判断①；由①可得AD=BD，由
角平分线的定义、圆周角定理结合三角形外角的定义及性质证明∠DBE=∠DEB，得到BD=DE，即可
判断②；令∠BAC=20°，则∠ABC=70°，此时，∠BDE=∠BAC=20°，∠ABE=35°，即
∠ABE≠∠BDC，即可判断③；由AD=AF，得∠ADF=∠AFD=∠BFC=∠ABC，根据CD平分1
∠ACB，得∠ACF= ∠ACB=45°，从而利用直角三角形的两锐角互余得∠BAC=22.5°，即可判断
2
④．
【详解】解：∵ CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴A´D=B´D，
∴点D是A´B的中点，故①正确，符合题意；
∵A´D=B´D，
∴AD=BD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠BCD=∠ABD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠DEB=∠DCB+∠CBE，∠DBE=∠ABD+∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴BD=DE，
∴AD=DE，故②正确，符合题意；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
令∠BAC=20°，则∠ABC=70°，此时，∠BDE=∠BAC=20°，∠ABE=35°，即∠ABE≠∠BDC
，故③错误，不符合题意；
∵AD=AF，∠ADF=∠AFD，
∴∠ADF=∠AFD=∠BFC=∠ABC，
∵∠ACB=90°， CD平分∠ACB，
1
∴∠ACF= ∠ACB=45°，
2
∴∠ABC=∠BFC=∠ACF+∠BAC=45°+∠BAC，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠BAC=22.5°，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②④，共3个，
故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的定义、圆周角定理、三角形外角的定义及性质、等腰三角形的判定与性
质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·黑龙江七台河·期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，
CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠OCD= ．
【答案】40°
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质；连接OD，由等腰三角形的性质得∠ODA=65°
，由角的和差得∠ODC=40°，由圆的基本性质得OD=OC，即可求解；理解圆的基本性质是解题的关
键.
【详解】解：如图，连接OD，
∵OD=OA ∠DAB=65°
， ，
∴∠ODA=65°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=25°，
∴∠ODC=∠ODA−∠ADC
=40°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=40°，
故答案为：40°．
12．（3分）（23-24九年级·湖北·期末）如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下
的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮⊙O的直径是 ．【答案】4❑√2
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关
键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．连接BC，根据扇形圆心角为90°
，得到B,O,C三点共线，BC为⊙O的直径，首先求得扇形的弧长，再求出圆锥的母线长，然后利用勾股
定理求出BC即可．
【详解】解：如图，连接BC，
∵ ∠BAC=90°，
∴ B,O,C三点共线，BC为⊙O的直径，
∵围成圆锥的底面半径为1，
∴B´C=1×2π=2π，
90×2π⋅AB
∵ =2π，
360
∴AB=4，
∵AC=AB=4，
∴BC=❑√AB2+AC2=4❑√2，
∴该圆形铁皮⊙O的直径是4❑√2，
故答案为：4❑√2．
13．（3分）（23-24九年级·四川南充·期末）图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形
绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正六边形绕其中心最少旋转 °，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为2，则所得正
八边形的面积为 ．
【答案】 30 8❑√2−8
【分析】本题考查了旋转变换，图形规律以及等腰直角三角形的性质，由题意得正n边形绕其中心最小旋
180°
转 ，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形，旋转得到正八边形相当于将正方形剪掉了4个全等的
n
等腰直角三角形，设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为❑√2x，根据x+x+❑√2x=2求出x的
值即可得解．
180°
【详解】解：由题意得：正n边形绕其中心最小旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形，则
n
180°
将一个正六边形绕其中心最少旋转 =30°所得图形与原图的重叠部分是正多边形，
6
由题意得：旋转得到正八边形相当于将正方形剪掉了4个全等的等腰直角三角形，
设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为❑√2x，
∴x+x+❑√2x=2，
解得：x=2−❑√2，
1
∴减去的每个等腰直角三角形的面积为： ×(2−❑√2)×(2−❑√2)=3−2❑√2，
2
∴正八边形的面积为2×2−4×(3−2❑√2)=8❑√2−8，
故答案为：30，8❑√2−8．
14．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AC于点
D，OE⊥AB于点E，连结DE，若AB=4，则DE的长为 ．【答案】2
【分析】本题主要考查垂径定理，三角形中位线定理，解题的关键是利用垂径定理得到中点D与E．
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AC，OE⊥AB，
∴AD=DC，BE=CE，
∴D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵AB=4，
1 1
∴DE= AB= ×4=2．
2 2
故答案为：2．
15．（3分）（23-24·海南海口·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与弦AB相交于点C，
OB⊥OP，若OB=3，OC=1，则PA的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，余角性质，对顶角的性质，勾股定义，连接
OA，由切线的性质可得∠OAP=90°，由OB⊥OP得∠BOC=90°，又由OA=OB得到∠B=∠OAB，
即可根据余角性质得到∠OCB=∠PAC，进而得到∠PCA=∠PAC，即得到PA=PC，设PA=x，则
PC=x，PO=x+1，由勾股定理可得32+x2=(x+1) 2，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接OA，如图，∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵OB⊥OP，
∴∠BOC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵∠B+∠OCB=90°，∠OAB+∠PAC=90°，
∴∠OCB=∠PAC，
∵∠OCB=∠PCA，
∴∠PCA=∠PAC，
∴PA=PC，
设PA=x，则PC=x，PO=x+1，
∵OA=OB=3，
∴32+x2=(x+1) 2，
解得x=4，
即PA的长为4，
故答案为：4．
16．（3分）（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，点P是正方形ABCD外接圆的劣弧AD上的一点，则
PA+PC
代数式 的值是 ．
PB【答案】❑√2；
【分析】延长PA到E，使AE=PC，连接BE，易证得△ABE≌△CBP，继而可证得△BEP是等腰直角三角
形，则可求得答案．
【详解】解：延长PA到E，使AE＝PC，连接BE，
∵∠BAE+∠BAP＝180°，∠BAP+∠PCB＝180°，
∴∠BAE＝∠PCB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBP中，
{
AB=BC
)
∠BAE=∠PCB ，
AE=CP
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，
∴∠ABE+∠ABP＝∠ABP+∠CBP＝90°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PE=❑√2PB，
∵AE=CP，
∴PA+PC＝PE＝❑√2PB．
PA+PC
即： =❑√2，
PB
故答案为：❑√2．．
【点睛】此题考查了圆的内接多边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角
形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·湖北十堰·期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且
BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若BC=4，DE=3，求⊙O的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)❑√13
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ODB=∠CBD，根据半径相等可得∠ODB=∠OBD，等量代换
得到∠OBD=∠CBD，进而证得结论；
（2）过O点作OH⊥BC于H，根据垂径定理得到BH=CH=2，再证明△ODE≌△BOH得到
DE=OH=3，然后利用勾股定理计算OB的长即可．
【详解】（1）证明：∵BC∥OD，
∴∠ODB=∠CBD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠CBD，∴BD平分∠ABC；
（2）解：过O点作OH⊥BC于H，如下图，
∵BC=4，
1
∴BH=CH= BC=2，
2
∵DE⊥AB，OH⊥BC，
∴∠DEO=∠OHB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠DOE=∠OBH，
在△ODE和△BOH中，
{∠DEO=∠OHB
)
∠DOE=∠OBH ，
OD=OB
∴△ODE≌△BOH(AAS)，
∴DE=OH=3，
在Rt△OBH中，OB=❑√BH2+OH2=❑√22+32=❑√13，
即⊙O的半径长为❑√13．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌
握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
18．（6分）（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足
为D，A´B=A´E，BE分别交AD，AC于点F，G．(1)求证： FA=FG；
(2)若BD=DO=3，求弧EC的长度．
【答案】(1)见解析
4
(2) π
3
【分析】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握．
（1）根据BC是⊙O 的直径，AD⊥BC，A´B=A´E，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．
（2）连接AO、EO，根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根据A´B=A´E，求出
∠EOC=60°，进而可得出答案．
【详解】（1）证明：∵BC是⊙O 的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠AGB=90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°；
∵A´B=A´E，
∴∠C=∠ABE，
∴∠AGB=∠CAD，
∴FA=FG．
（2）解：如图，连接AO、EO，
∵BD=DO=2，AD⊥BC，
∴AB=AO，
∵AO=BO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵A´B=A´E，∴∠AOE=60°，
∴∠EOC=60°，
60 4
∴弧EC的长度=2π×(2×2)× = π．
360 3
19．（8分）（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图1，AD，BC是⊙O的弦，且AD=BC，连接AB，CD
．
(1)求证：AB=CD；
(2)如图2，连接BD，若B´D=A´B+C´D，BD=24，AB=4❑√13，求⊙O的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)13
【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．
（1）欲证明AB=CD，只要证明A´B=C´D即可；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，交⊙O于点F，连接OB，根据B´D=A´B+C´D
得出BF=AB，在Rt△BEF中利用勾股定理求出EF，设⊙O的半径为r，则OE=r−8，利用勾股定理求
出r即可．
【详解】（1）证明：∵AD=BC，
∴A´D=B´C，
∴A´D−A´C=B´C−A´C，即A´B=C´D，
∴AB=CD；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点O作OE⊥BD于点E，交⊙O于点F，连接OB，BF，1
∴BE= BD=12 B´F=D´F
2
， ，
又∵B´D=A´B+C´D，A´B=C´D，
∴ B´F=A´B，
∴BF=AB=4❑√13，
在Rt△BEF中，EF=❑√BF2−BE2=❑√(4❑√13) 2 −122=8，
设⊙O的半径为x，Rt△OBE中，BE2+OE2=OB2，
∴122+(x−8) 2=x2，
解得x=13，即⊙O的半径为13．
20．（8分）（23-24·宁夏银川·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，
∠ABD=2∠BAC，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，直线AB与CE交于点F．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)填空：
①若AB=4，当OB=BF时，BE=______；
②当∠CAB的度数为______时，四边形ACFD是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)①1；②30°
【分析】（1）连接OC，如图，由于∠OAC=∠OCA，则根据三角形外角性质得∠BOC=2∠OAC，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根据平行线的判定得到OC平行BD，再CE⊥BD得到
OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线；
BF BE 1
（2）①由平行线分线段成比例可得 = = ，即可求BE的长；②根据三角形的内角和得到
OF OC 2
∠F=30°，根据等腰三角形的性质得到AC=CF，连接AD，根据平行线的性质得到∠DAF=∠F=30°
，根据全等三角形的性质得到AD=AC，由菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠OAC，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：∵AB=4，
∴OB=BF=OC=2，
∴OF=4，
∵BE∥OC，
BF BE 1
∴ = = ，
OF OC 2
∴BE=1，
故答案为：1；
②当∠CAB的度数为30°时，四边形ACFD是菱形，理由如下：∵∠CAB=30°，
∴∠COF=60°，
∴∠CFO=30°，
∴∠CAB=∠CFA，
∴AC=CF，
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，而CE⊥BD，
∴AD∥CF，
∴∠DAF=∠CFA=30°，
在△ACB与△ADB中，
{∠CAB=∠DAB=30°
)
∠ACB=∠D=90° ，
AB=AB
∴△ACB≌△ADB(AAS)，
∴AD=AC，
∴AD=CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ACFD是菱形．
故答案为：30°．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，圆周角定理，
等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．（8分）（23-24九年级·天津宁河·期末）已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠ACB=68°，D是
⊙O上的点．(1)如图①，求∠ADC和∠BDC的大小；
(2)如图②，OD⊥AC，垂足为E，求∠ODC的大小．
【答案】(1)112°，44°
(2)56°
【分析】本题主要考查圆的内接四边形，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
（1）由四边形ABCD是⊙O的内接四边形的性质求出答案即可；
（2）根据等弧所对的圆周角相等求出答案．
【详解】（1）解：∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=68°．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ADC=180°−∠ABC=112°．
∵ ∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=44°，
∴ ∠BDC=∠BAC=44°；
（2）解：连接BD．
∵ OD⊥AC，
∴ A´D=C´D．
1
∴ ∠ABD=∠CBD= ∠ABC=34°．
2
∴ ∠ACD=∠ABD=34°．
∴ ∠ODC=90°−∠ACD=56°．22．（8分）（23-24·山东潍坊·中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在A´B上取一点E，连接AE
，DE．过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
(1)求证：△AFD≌△CGD；
(2)若AB=2，∠BAE=30°，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
π+❑√3−3
(2)S =
阴影 2
【分析】（1）如图，连接EG，证明∠EDG=∠EAG=90°=∠EDC+∠CDG，再证明∠ADC=90°
，AD=CD，可得∠ADF=∠CDG，结合∠DAF=∠DCG，从而可得结论；
（2）如图，连接OA，OD，过F作FK⊥AD于K，设FK=x，在AD上取Q，使QF=QD，证明
∠OAE=75°，∠EAD=30°+90°=120°，∠FAD=120°−90°=30°，可得AF=2x，AK=❑√3x，求
解∠ADF=180°−30°−135°=15°，而QF=QD，可得∠KQF=30°，FQ=2x=QD，QK=❑√3x，
可得2❑√3x+2x=2，再求解x，利用S =S +S 进行计算即可．
阴影 △AFD 弓形AD
【详解】（1）解：如图，连接EG，
∵AE⊥AG，则∠EAG=90°，
∴∠EDG=∠EAG=90°=∠EDC+∠CDG，∵正方形ABCD，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADF+∠EDC=90°，
∴∠ADF=∠CDG，
∵∠DAF=∠DCG，
∴△AFD≌△CGD．
（2）如图，连接OA，OD，过F作FK⊥AD于K，设FK=x，在AD上取Q，使QF=QD，
∵O为正方形中心，
∴∠OAB=∠OAD=∠ODA=45°，∠AOD=90°，而∠BAE=30°，
∴∠OAE=75°，∠EAD=30°+90°=120°，
∵∠EAG=90°，
∴∠FAD=120°−90°=30°，
∴AF=2x，AK=❑√3x，
1
∵∠AED= ∠AOD=45°，
2
∴∠AFD=∠AED+∠EAF=45°+90°=135°，
∴∠ADF=180°−30°−135°=15°，而QF=QD，
∴∠QFD=∠QDF=15°，
∴∠KQF=30°，
∴FQ=2x=QD，QK=❑√3x，
而正方形的边长AB=2=AD，
∴2❑√3x+2x=2，
❑√3−1
解得：x= ，
2
1 1 ❑√3−1 ❑√3−1
∴S = AD·FK= ×2× = ，
△AFD 2 2 2 2
∵AD=2，∠AOD=90°，OA=OD，❑√2
∴OA=OD=AD× =❑√2，
2
1
∴S = ×❑√2×❑√2=1，
△AOD 2
90π×(❑√2) 2 1
而S = = π，
扇形AOD 360 2
1 ❑√3−1 π+❑√3−3
∴S = π−1+ = ．
阴影 2 2 2
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，
含30°的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
23．（8分）（23-24·陕西西安·二模）【问题提出】
（1）如图①，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，△ACD为等边三角形，AD=4，则线段BD的长为
___________；
【问题解决】
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠B=90°,BC=AB=2，以AC为直径作半圆O，点D为A´C上一
动点，求点B、D之间的最大距离；
【问题探究】
（3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由
直角△ABC以及弓形BDC组成，其中∠B=90°,AB=4,BC=6.4,DE=2.4，点E为BC的中点，
DE⊥BC，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到B´C的最大距离是点A、D之间的距
离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到B´C的最大距离．
2❑√1105 10
【答案】（1）2+2❑√3；（2）2❑√2；（3）小明的说法正确，见解析， +
15 3
【分析】（1）连接BD，交AC于点E，根据题意BD是AC的垂直平分线，通过解直角三角形解出BE与
DE的长，两者相加即可解题．（2）结合图形，可知B，O，D三点共线时，BD有最大值，根据解直角三角形解出BO的长，加上半圆的
半径，即可解答．
（3）作辅助线如图，证明AD′>AD，即说明小明的说法正确；可知弓形的圆心在AF上，当通过勾股定
理求出半径的长度，再算出AO的长，即可解答．
【详解】解：（1）
如图，连接BD交AC于点E ，
∵ △ABC是等腰直角三角形，△ACD为等边三角形，
∴BA=BC，DA=DC,
在△ABD与△BCD中，
{BA=BC
)
DA=DC ，
BD=BD
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ADE=∠CDE，∠ABE=∠CBE，
根据三线合一，可得BD垂直平分AC，
∵AD=4，
∴AC=4，
1
∴AE= AC=2，
2
∴BE=AE=1，ED=❑√3AE=❑√3，
∴BD=BE+DE=2+❑√3．
（2）如图②，连接BO并延长交A´C于点D，则此时BD最大．
在A´C上取一点异于点D的点D′，连接BD′、OD′．
在△BOD′中，BO+OD′>BD′，
∵OD=OD′，
∴BO+OD>BD′，即BD>BD′．∴BD最大
在等腰直角△ABC中，AB=2，O为AC的中点，
∴BO=AO,∠BOA=90°且AB2=AO2+BO2．
∴BO=AO=❑√2．
∴BD=BO+OD=2❑√2．
∴点B、D之间的最大距离为2❑√2．
（3）小明的说法正确．
如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F．
∵点E为BC中点，DE⊥BC，
∴BD´C所在的圆的圆心O在直线DF上．
设圆O半径为r，连接BO．
在△BOE中，BO=r,EO=DO−DE=r−2.4，
1
且BO2=BE2+EO2,BE= BC=3.2，
2
10
∴r2=3.22+(r−2.4) 2，得r= ．
3
连接AO并延长交BD´C于点D′，则AD′为最大距离．
在△AOD中，AO+OD>AD，且OD=OD′，
∴AO+OD′=AD′>AD
∴小明的说法正确．
46
在Rt△AOF中，AF=3.2,FO=FE−EO=4−(r−2.4)= ．
15
√4420 2❑√1105
∴AO=❑√AF2+FO2=❑ = ．
225 15
2❑√1105 10
∴AD′=AO+r= + ．
15 32❑√1105 10
∴点A到B´C的最大距离为 + ．
15 3
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
