文档内容
专题24.10 圆周角（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】圆周角
1.圆周角定义：
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．像图中
∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们都是圆周角。
2.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心
角的一半．
【知识点二】圆周角定理的推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
要点说明：
(1) 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2) 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
【知识点三】圆内接四边形
4.圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．
【考点一】圆周角➽➼概念理解与认识
【例1】下列四个图形的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案．
解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意；
B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；
D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；故选：A．
【点拨】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，其中圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案．
解：根据题意， ， 是圆周角，共2个．
故选：B．
【点拨】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断．
【变式2】如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下
列角中，弧AE所对的圆周角是（ ）
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
【答案】C
【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.
解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE
故选：C
【点拨】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键.
【考点二】圆周角➽➼圆周角定理➽➼求角★★求线段长★★证明【例2】如图， 是 上的四个点， ．判断 的形状，并证明你的
结论．
【答案】等边三角形，见分析
【分析】利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以
∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状．
解：△ABC是等边三角形．证明如下：
由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°．
∴△ABC是等边三角形．
【点拨】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出
∠ABC=∠BAC=60°．
【举一反三】
【变式1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的长．
【答案】（1）证明见分析；（2）BE＝1．
【分析】（1）由垂径定理可得 ，再由圆周角定理即可得证；（2）连接OC，结合已知求得OE的长即可求得答案.
解：（1）∵直径AB⊥弦CD，
∴ ,
∴∠A=∠BCD；
（2）连接OC，
∵直径AB⊥弦CD，CD=6，
∴CE=ED=3，
∵直径AB=10，
∴CO=OB=5，
在Rt COE中，
∵O△C=5，CE=3，
∴OE= =4，
∴BE=OB﹣OE=5﹣4=1．
【点拨】本题考查了垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
【变式2】如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），
BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°【答案】D
【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示
∠COD，最后由角的和差关系得结果．
解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
【点拨】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决
本题的关键．
【考点三】圆周角➽➼同弧（等弧）所对的圆周角相等➽➼求角★★求线段长★★证明
【例3】如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD
的长．
【答案】【分析】根据直径所对的圆周角是直角，则可得∠ADB=90°，同圆中，同弧所对圆周的角相等，可得
∠ABD=∠ACD=45°，即可得△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，即可求得 的
长．
解：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵
∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴ 。
【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中，同弧所对圆周的角相等，勾股定理，掌握以
上知识是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若 ，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求
证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
解：（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，= ．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，
解得：
∴⊙O的半径是 ．
【点拨】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行
推理证明和计算．
【变式2】如图，点 ， ， ， 在 上， ， ， ，则
．
【答案】70°
【分析】根据 = ，得到 ，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，根据三角形的内角和即可求出.
解：∵ = ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为
【点拨】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
【考点四】圆周角➽➼半圆（直径）所对的圆周角是 90度★★90度的圆周角所对的弦是
直径➽➼求角★★求线段长★★证明
【例4】如图，在菱形ABCD中， ，P为AC，BD的交点， 经过A，B，P三点．
（1）求证：AB为 的直径．
（2）请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）根据菱形的性质可得∠APB=90°，再由90°角所对的弦为圆的直径，即可求证；
（2）延长DA交 于点Q，连接PQ，则PQ即为所求，理由：连接BQ，根据AB为 的直径，可
得∠AQB=90°，从而得到∠BDQ+∠PBQ=90°，再由菱形的性质可得∠ABP+∠PBQ=90°，再由圆周角定理，
即可求解．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠APB=90°，
∵ 经过A，B，P三点．
∴AB为 的直径；
（2）解：如图，延长DA交 于点Q，即为所求，理由：连接BQ，
∵AB为 的直径，
∴∠AQB=90°，
∴∠BDQ+∠PBQ=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=AD，
∴∠APB=90°，∠BDQ=∠ABP，
∴∠ABP+∠PBQ=90°，
∵∠ABP+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠PBQ，
∵∠BAP=∠BQP，
∴∠PBQ =∠BQP，
∴BP=PQ．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理，菱形的性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，在 中， ，以AC为直径作⊙O分别交AB、BC于点D、E，连接EO
并延长交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证： ；
（2）若 ，求AF的长．
【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）根据 ， ，根据等边对等角即可得证；
（2）证明四边形 是平行四边形，连接 ，根据直径所对的圆周角是直角，根据等腰三角形的
性质可得 ，根据平行四边形的性质即可求得 的长．
解：（1） ，
，
，
，
，
（2） ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
连接 ，
是直径，
，
，
，
，
．【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握以上知
识是解题的关键．
【变式2】如图，AB为 的直径，点C在 上．
（1）尺规作图：作 的平分线，与 交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，保留作
图痕迹）；
（2）探究OE与AC的位置和数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见分析；（2） ， ，理由见分析
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）根据内错角相等两直线平行证明得到 ，再根据三角形中位线的性质得到 .
解：（1）∴如图所示为所求．
（2） ， ．
理由：∵AB为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则点E为BC中点，
又∵点O为AB中点，
∴ .
【点拨】此题考查了圆周角定理，角平分线的作图，三角形中位线的性质定理，熟记角平分线的作图
方法及圆周角定理是解题的关键.
【考点五】圆周角➽➼圆内接四边形➽➼求角★★求线段长★★证明
【例5】如图，四边形 是 的内接四边形． 平分 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据 平分 ，可得 ，再根据 ，可得 ，从而得到
，即可．
（2）根据圆的内切四边形，对角互补，求出 ，再利用垂径定理，可得 ，可得到
，即可求解．
解：（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2）解： ，
，
，
∴ ，
，
，
平分 ，
．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键
是熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理．
【举一反三】
【变式1】如图， ， 是 的两条弦，且 ， ，D为弦 所对优
弧上一点，求 的度数．
【答案】
【分析】根据圆周角定理以及 ，可得 ，再由 ，可得
，从而得到 ， 再由圆内接四边形的性质，即可求解．
解： ， ，
，
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定
理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使 ，连接
BD，ED．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，⊙O的直径长为 ．
【答案】（1）见分析；（2）10
【分析】（1）根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，再由圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，证明
△ABD≌△CED，根据全等三角形的性质，即可证明结论；
（2）连接OA，OD，根据圆周角定理，可得∠AOD=60°，根据等边三角形的判定定理可得△AOD是
等边三角形，故半径为5，即可求得直径．
解：（1）证明：∵D是弧AC的中点，
∴ ，
∴AD=CD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴BD=ED．
（2）解：连接OA，OD，如图，∵D是弧AC的中点，
∴ ，
∴∠ABD=∠CBD= ，
∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴半径OA= AD=5，
∴直径长=10．
故答案为：10．
【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、同弧所对的弦相等、圆周角
定理、等边三角形的判定与性质．
【考点六】圆周角➽➼圆内接四边形➽➼求外接圆的直径
【例5】已知菱形 中， ，点 分别在 ， 上， ， 与 交于
点 ．
（1）求证： ；
（2）当 ， 时，求 的长？
（3）当 时，求 的最大值？
【答案】（1）证明见分析；（2）6；（3）4
【分析】（1）如图所示，连接 ，先证明 是等边三角形，得到
，再证明 得到 ，由此即可证明结论；
（2）延长 到M使得 ，证明 ，得到 ，进而
证明 是等边三角形，则 ；
（3）先证明 四点共圆，则当 为直径时， 最大，设圆心为O，连接 ，过
点O作 于M，在 中求出 的长即可得到答案．解：（1）证明：如图所示，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：延长 到M使得 ，
由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴当 为直径时， 最大，
设圆心为O，连接 ，过点O作 于M，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共
圆，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
【举一反三】
【变式】已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；
（2）当 时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的周长．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）求出方程的两个根，再利用勾股定理可得到该矩形外接圆的直径，即可求解．
（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
（2）解：当 时，方程为 ，
解得： ，
∴矩形的长是3，宽是2，
∴该矩形外接圆的直径为 ，
∴该矩形外接圆的周长为 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和方程求解，准确理解矩形外接圆，判断出直径
是解题的关键．
