文档内容
专题 24.6 圆周角（8 大考点 10 类题型）（知识梳理与题型分类讲
解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
【要点提示】圆心角和圆周角的区别与联系
（1）不同点；顶点不同，圆周角的顶点在圆心，圆心角顶点是圆心；（2）弧所对的角不同：
弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个；
（2）相同点：角的两边都和圆相交.
【知识点2】圆周角定理
1、文字语言：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆
周角相等；
2、符号语言：如下图， 所对的圆周角有 ，所对的圆心角为 ，
【要点提示】（1）因为圆心角的度数等于它的对弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对
弧的度的一半；（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等，所
对的弦也相等.
【知识点3】圆周角定理的推论
1、文字语言：直径所对的圆周角是直角，90度圆周角所对的弦是直径；2、符号语言：如下图，（1) 为 的直径， ; (2）在 中，
AB为 的直径.
【要点提示】（1）说明一条弦是直径，可以转化去证明这条弦所对的圆周角是直角；（2）
在已知弦是直径时，考虑所对圆周角是直角，已知圆周角是 90度时，考虑它所对的弦是直
径.
【知识点4】圆内接四边形及其性质
1、圆内接四边形的定义：一个四边形四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接
四边形；
2、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形对角互补.
如下图：
；
【要点提示】（1）任何一个圆都有无数个内接四边形；（2）不是所有的四边形都有外接圆，
只有这个四边形满足对角互补时才有外接四边形.
【题型目录】
【题型1】圆周角概念的理解..................................................3；
【题型2】利用圆周角定理求值................................................3；
【题型3】利用同弧或等弧所对的圆周角相等求值与证明..........................4；【题型4】利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求值与证明......................5；
【题型5】利用90度的圆周角所对的弦是直径求值与证明.........................6；
【题型6】利用圆内接四边形求值与证明........................................6；
【题型7】求四边形外接圆的直径..............................................7；
【题型8】圆周角、圆心角、垂径定理综合......................................8；
【题型9】直通中考..........................................................9；
【题型10】拓展延伸........................................................10.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】圆周角概念的理解
【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图， 所对的圆周角是 ， 所对的圆周角是
．
【变式】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2】利用圆周角定理求值
【例2】（21-22九年级上·北京·期末）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且 ，
于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦AB的长．【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 是圆O的弦，且 ，点C是弧 中点，
点D是优弧 上的一点， ，则圆心O到弦 的距离等于 ．
【变式2】（2024·湖南·模拟预测）如图，在 中， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型3】利用同弧或等弧所对的圆周角相等求值与证明
【例3】（2024九年级上·贵州·专题练习）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，
于点E．
(1)求证： ；
(2)连接 并延长，交 于点G，连接 ，若 ，求 的长．【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点 、 、 在 上， ，
，则 的度数为（ ） ．
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，AB和DE是 的直径，弦 ．若弦
，则弦CE的长为 ．
【题型4】利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求值与证明
【例4】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 中， ．以 为直径作 ，交
边于点D，交 的延长线于点E，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．【变式1】（2024·西藏·中考真题）如图， 为 的直径，点B，D在 上， ， ，
则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式2】（2024·山西·模拟预测）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，连接 ， ， ，
若 ，则 的度数为 ．
【题型5】利用90度的圆周角所对的弦是直径求值与证明
【例5】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在 中， ，以 为直径的 分别交
于点 ．
(1)求证：点 是 的中点；
(2)若 ，求 的度数．
【变式1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图， 内接于 ，点 在 上，连接 ，若 ，则 的直径为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【变式2】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形 中， ， ，
以 为 轴， 为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点 的坐标为 ，则圆的直径长度是
．
【题型6】利用圆内接四边形求值与证明
【例6】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形 内接于 ，D是弧 的中点，延
长 到点E，使 ，连接 ， ．
(1)求证： ． (2)若 ，求 的半径，
【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形 内接于 ， 交 的延
长线于点 ，若 平分 ， ， ，则 的长为（ ）．A．2 B．3 C． D．
【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形 是 的内接四边形， 为 延
长线上一点， ，则 等于 ．
【题型7】求四边形外接圆的直径
【例7】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形 是 的内接四边形，连接 ，E
为 延长线上一点，且 平分 ．
(1)如图①，若 ，求证： 为等边三角形；
(2)如图②，若 ，求 的半径．
【变式1】（2021·广西贺州·二模）如图，四边形ABCD内接于 ， ，点C
为 的中点，延长AB、DC交于点E，且 ，则 的面积是（ ）A． B． C． D．
【变式2】（2022九年级·福建·竞赛）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，
CD=8，则圆O的面积为 ．
【题型8】圆周角、圆心角、垂径定理综合
【例8】（2024·河北廊坊·二模）如图， 为等腰直角三角形， 为直角， ， 在AB
的延长线上，且 ， 于点 ，过 ， ， 三点的 交DE于点 ，连结CF．求
的半径．
探究：其他条件不变，将点 在圆上移动至点 ，使 ，求 的长度．
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，
，在矩形内找一点 ，使得 ，则线段 的最小值为（ ）A． B． C．4 D．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的弦， 是优弧 上一动点，连接 ，
， ， 分别是 ， 的中点，连接 ．
（1）若 取得最大值，则点 在线段 上；
（2）若 ， ，则 的最大值为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型9】直通中考
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形 的两组对边，延长线相交于点
E，F．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024·安徽·中考真题）如图， 是 的外接圆，D是直径 上一点， 的平分线
交 于点E，交 于另一点F，
(1)求证： ；(2)设 ，垂足为M，若 ，求 的长．
【题型10】拓展延伸
【例1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在 中，直径 ， 是圆上除 外的一点，
分别是 的中点， 是弦DE的中点，则 的取值范围是 ．
【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）关于x的方程 ，如果a、b、c满足
且 ，那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题：
(1)请写出一个“勾股方程”：_________
(2)求证：关于x的“勾股方程” 必有实数根；
(3)如图，已知 是半径为1的 的两条平行弦， ， ，且关于x的方程
是“勾股方程”，求 的度数．
