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专题 24.1 圆【十大题型】
【人教版】
【题型1 圆的基本概念】..........................................................................................................................................1
【题型2 识别圆心角】..............................................................................................................................................2
【题型3 求圆中弦的条数】......................................................................................................................................3
【题型4 圆的周长和面积】......................................................................................................................................4
【题型5 确定圆内一点最长的弦】..........................................................................................................................5
【题型6 判断点与圆的位置关系】..........................................................................................................................6
【题型7 由点与圆的位置关系求半径】..................................................................................................................7
【题型8 求一点到圆上点的距离的最值】..............................................................................................................8
【题型9 圆中角度的计算】......................................................................................................................................9
【题型10 圆中线段长度的计算】............................................................................................................................10
知识点1：圆的有关概念
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图
形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。
第二种：圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定
义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧
都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧
才就是等弧，而不就是长度相等的弧。
同圆或等圆的半径相等.
【题型1 圆的基本概念】
【例1】（23-24九年级·山东潍坊·期末）下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
【变式1-1】（23-24·甘肃平凉·模拟预测）如图， ⊙O的两条弦AF、BE的延长线交于C点，∠ACB的
平分线CD过点O，请直接写出图中一对相等的线段： ．
【变式1-2】（23-24·湖南常德·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,0)，点B在y轴正半
轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
【变式1-3】（23-24·河北邯郸·二模）如图，在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小圆的直径，
且AB与CD不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是
（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分
知识点2：圆心角
顶点在圆心的角叫圆心角.
【题型2 识别圆心角】
【例2】（23-24·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量
角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 ．【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）下图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为
°．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的
度数为40°，求∠AOC的度数．
【题型3 求圆中弦的条数】
【例3】（23-24九年级·河南濮阳·期末）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条
直线上，则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【变式3-1】（23-24九年级·江西南昌·阶段练习）如图，△ABC是⊙O内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画山一条与BC相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与△ABC全等的三角形．
【变式3-2】（23-24九年级·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的
优弧有 条，劣弧有 条．
【变式3-3】（23-24九年级·全国·课后作业）⊙O的半径为2cm，A为⊙O上一定点，点P在⊙O上沿圆
周运动（不与点A重合），则使弦AP的长度为整数的点P共有 个．
【题型4 圆的周长和面积】
【例4】（23-24九年级·山东潍坊·期末）由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图
形的面积为 ．
【变式4-1】（23-24九年级·上海静安·期末）如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径
的2倍多1米，如果圆环的面积等于40π平方米，求围成圆环铁丝的总长度.
【变式4-2】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，长方形ABCD的面积为225cm2，长和宽的比为5∶3，在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为75cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由．
【变式4-3】（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，是编号为1、2、3、4的400m跑道，每条跑道由两条
直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m，内侧的1号跑道长度为400m，则2号跑道比1号
跑道长 m；若在一次200m比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每
个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 m（π取3.14）．
【题型5 确定圆内一点最长的弦】
【例5】（23-24·广东深圳·二模）如图（a），A，B是⊙O上两定点，∠AOB=90°，圆上一动点P从点
B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x(s)，线段AP的长度是y(cm)．图（b）是y随x变化
的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（ ）
14
A．8 B．6 C．4❑√2 D．
3
【变式5-1】（23-24九年级·河南周口·期末）若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-2】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个
动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．【变式5-3】（23-24九年级·江苏宿迁·期中）如图，⊙O的半径为5，弦BD的长为6，延长BD至点A，使
得点D为AB的中点，在⊙O上任取一点C，连接AC、BC，则AC2+BC2的最大值为（ ）
A．290 B．272 C．252 D．244
知识点3：点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
【题型6 判断点与圆的位置关系】
【例6】（23-24九年级·安徽阜阳·期末）在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为6cm，则
点P与⊙O的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．
【变式6-1】（23-24九年级·广东湛江·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，点D在边AB
上，且AD=5，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【变式6-2】（23-24九年级·北京海淀·期末）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一
个5G基站，其覆盖半径为200m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C
【变式6-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC
于点D，点P为AD上的点，DP=2，以点P为圆心6cm为半径画圆，下列说法错误的是（ ）
A．点A在⊙P外 B．点B在⊙P外
C．点C在⊙P外 D．点D在⊙P内
【题型7 由点与圆的位置关系求半径】
【例7】（23-24九年级·北京顺义·期末）已知矩形ABCD中， AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作
圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 ．
【变式7-1】（23-24九年级·山东烟台·期末）点P是⊙O所在平面内一点，若⊙O的面积为9π，则当OP
时，点P－定在⊙O的外部．
【变式7-2】（23-24九年级·江苏南通·期中）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，
⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（ ）
A．b>2 B．b>6 C．b<2或b>6 D．2
