北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题七 数列
7.1 数列的概念及表示
考点 数列的概念及表示
1.(2013课标Ⅰ理,12,5分)设△ABC 的三边长分别为a,b,c,△ABC 的面积为S,n=1,2,3,….若
n n n n n n n n n n
c +a b +a
b>c,b+c=2a,a =a,b = n n,c = n n,则( )
1 1 1 1 1 n+1 n n+1 n+1
2 2
A.{S}为递减数列
n
B.{S}为递增数列
n
C.{S }为递增数列,{S }为递减数列
2n-1 2n
D.{S }为递减数列,{S }为递增数列
2n-1 2n
a +c b +a
n n n n
答案 B 由b = ,c = 得
n+1 n+1
2 2
1
b +c =a+ (b+c),(*)
n+1 n+1 n n n
2
1
b -c =- (b-c),
n+1 n+1 n n
2
1
由a =a 得a=a,代入(*)得b +c =a+ (b+c),
n+1 n n 1 n+1 n+1 1 n n
2
1
∴b +c -2a= (b+c-2a),
n+1 n+1 1 n n 1
2
∵b+c-2a=2a-2a=0,∴b+c=2a>|BC|=a,所以点A 在以B、C 为焦点且长轴长为2a 的椭圆上(如图).由
1 1 1 1 1 n n 1 n n 1 n n n 1
b
1
>c
1
得b
1
-c
1
>0,所以|b
n+1
-c
n+1
|=1(b
n
-c
n
),即|b
n
-c
n
|=(b
1
-c
1
)·(1) n-1 ,所以当n增大时|b
n
-c
n
|变小,即点A
n
向点A处
2 2
移动,即边BC 上的高增大,又|BC|=a=a 不变,所以{S}为递增数列.
n n n n n 1 n
第 1 页 共 3 页第 1 页 共 3 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1
2.(2014课标Ⅱ文,16,5分)数列{a}满足a = ,a=2,则a= .
n n+1 1-a 8 1
n
1
答案
2
1 1
解析 由a = ,得a=1- ,
n+1 1-a n a
n n+1
1 1
∵a=2,∴a=1- = ,
8 7
2 2
1 1
a=1- =-1,a=1- =2,…,
6 a 5 a
7 6
∴{a}是以3为周期的数列,
n
1
∴a=a= .
1 7
2
2 1
3.(2013课标Ⅰ理,14,5分)若数列{a}的前n项和S= a+ ,则{a}的通项公式是a= .
n n n n n
3 3
答案 (-2)n-1
2 1 2 1 2 1
解析 由S= a+ 得:当n≥2时,S = a + ,∴当n≥2时,a=-2a ,又n=1时,S=a= a+ ,a=1,∴a=(-2)n-1.
n n n-1 n-1 n n-1 1 1 1 1 n
3 3 3 3 3 3
4.(2016浙江,13,6分)设数列{a}的前n项和为S.若S=4,a =2S+1,n∈N*,则a= ,S= .
n n 2 n+1 n 1 5
答案 1;121
解析 解法一:∵a =2S+1,∴a=2S+1,即S-a=2a+1,又∵S=4,∴4-a=2a+1,解得a=1.又a =S -S,
n+1 n 2 1 2 1 1 2 1 1 1 n+1 n+1 n
∴S -S=2S+1,即S =3S+1,由S=4,可求出S=13,S=40,S=121.
n+1 n n n+1 n 2 3 4 5
解法二:由a =2S+1,得a=2S+1,即S-a=2a+1,又S=4,∴4-a=2a+1,解得a=1.又a =S -S,∴S -S=2S+1,
n+1 n 2 1 2 1 1 2 1 1 1 n+1 n+1 n n+1 n n
即S
n+1
=3S
n
+1,则S
n+1
+1=3(
S +
1),又S
1
+1=3,∴{
S +
1}是首项为3,公比为3的等比数列,∴S
n
+1=3
2 n 2 2 2 n 2 2 2 2
3n-1 35-1
×3n-1,即S= ,∴S= =121.
n 5
2 2
1
5.(2016课标Ⅰ文,17,12分)已知{a}是公差为3的等差数列,数列{b}满足b=1,b= ,ab +b =nb.
n n 1 2 n n+1 n+1 n
3
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)求{b}的前n项和.
n
1
解析 (1)由已知,ab+b=b,b=1,b= ,得a=2,(3分)
1 2 2 1 1 2 1
3
第 2 页 共 3 页第 2 页 共 3 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
所以数列{a}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a=3n-1.(5分)
n n
b
n
(2)由(1)和ab +b =nb 得b = ,(7分)
n n+1 n+1 n n+1
3
1
因此{b}是首项为1,公比为 的等比数列.(9分)
n
3
记{b}的前n项和为S,
n n
(1) n
1-
3 3 1
则S= = - .(12分)
n 1 2 2×3n-1
1-
3
6.(2016课标Ⅲ文,17,12分)已知各项都为正数的数列{a
n
}满足a
1
=1,
a2
-(2a
n+1
-1)a
n
-2a
n+1
=0.
n
(1)求a,a;
2 3
(2)求{a}的通项公式.
n
1 1
解析 (1)由题意得a= ,a= .(5分)
2 3
2 4
(2)由
a2
-(2a
n+1
-1)a
n
-2a
n+1
=0得2a
n+1
(a
n
+1)=a
n
(a
n
+1).
n
因为{a
n
}的各项都为正数,所以 a n+1=1.
a 2
n
1 1
故{a}是首项为1,公比为 的等比数列,因此a= .(12分)
n 2 n 2n-1
第 3 页 共 3 页
