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专题 15 数列的概念与表示
【考纲要求】
1、了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)．
2、了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
【思维导图】
【考点总结】
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义
①数列：按照一定顺序排列的一列数；
②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a >a
n＋1 n
其中，
项与项间的大小关系 递减数列 a <a
n＋1 n
n∈N*
常数列 a ＝a
n＋1 n
(3)数列的通项公式
如果数列{a}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通
n
项公式．
2．数列的递推公式
如果已知数列{a}的首项(或前几项)，且任一项a 与它的前一项a (n≥2)(或前几项)间的关系可用一
n n n－1
个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
【题型汇编】
题型一：数列的概念
题型二：递增数列与递减数列
题型三：数列的通项公式
题型四：数列的递推
【题型讲解】
题型一：数列的概念
一、单选题
1．（2022·宁夏·银川一中一模（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知-对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那
么兔子对数依次为:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...，这就是著名的斐波那契数列，它
的递推公式是 ，其中， 若从该数列的前120项中随机地抽取一个
数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件先分析数列中相邻三项的奇偶性情况，然后得到前 项中的偶数个数，由此可求解出对应
概率.
【详解】
因为奇数加奇数结果是偶数，奇数加偶数结果是奇数，偶数加奇数结果是奇数，
所以数列中任意相邻的三项，其中一项为偶数，两项为奇数，
所以前 项中偶数有 项，
所以这个数是偶数的概率为 .
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于分析斐波那契数列中项的奇偶组成，通过项的奇偶组成确定出 项中
奇数和偶数的项数，完成问题的求解.
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列 满足： ， ， ，则数列 前100项
的和为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别求出 的前9项，观察这9项知 是周期为6的周期函数，由此能求出 前100项之和．
【详解】，
，
，
，
，
，
，
，
是周期为6的周期函数，
，
﹒
故选：C﹒
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 ，满足 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】
利用递推公式计算出数列 的前几项，找出数列 的周期，然后利用周期性求出 的值.
【详解】
由 ，且则 ， ，
所以 ，即数列 是以3为周期的周期数列
所以
故选：A
题型二：递增数列与递减数列
一、单选题
1．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列 满足 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数列的单调性可知每一段上单调递增且 ，由此可构造不等式求得结果.
【详解】
为单调递增数列， ，即 ，解得： ，
即实数 的取值范围为 .
故选：B.
2．（2022·上海崇明·二模）已知无穷等比数列 中 ， ，它的前n项和为 ，则下列命题正确
的是（ ）A．数列 是递增数列 B．数列 是递减数列
C．数列 存在最小项 D．数列 存在最大项
【答案】C
【解析】
【分析】
对AB，举公比为负数的反例判断即可
对CD，设等比数列 公比为 ，分 和 两种情况讨论，再得出结论即可
【详解】
对AB，当公比为 时， 此时 ，此时 既不是递增也不是递减数列；
对CD，设等比数列 公比为 ，当 时，因为 ，故 ，故 ，此时
，易得 随 的增大而增大，故 存在最小项 ，不存在最大项；
当 时，因为 ，故 ，故 ， ，因为 ，故当 为偶数时，
，随着 的增大而增大，此时 无最大值，当 时有最小值
；当 为奇数时， ，随着 的增大而减小，故 无最小值，
有最大值 .综上，当 时，因为 ，故当 时有最小值 ，当 时有
最大值
综上所述，数列 存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误故选：C
3．（2022·广东广州·三模）等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差中项的知识列方程，求得 ，结合数列的单调性求得 的最小值.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
由于 ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ，
也即 ，解得 ，
所以 ，所以 .
，
，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
所以 的最小值为 .
故选：D
4．（2022·山西·一模（理））“三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法．三分损益包含“三分损一”“三分益一”．取一段弦，“三分损一”即均分弦为三段，舍一留二，便得到 弦．“三分益一”
即弦均分三段后再加一段，便得到 弦．以宫为第一个音，依次按照损益的顺序，得到四个音，这五个音
的音高从低到高依次是宫、商、角、微、羽，合称“五音”.已知声音的音高与弦长是成反比的，那么所得
四音生成的顺序是（ ）
A．微、商、羽、角 B．微、羽、商、角
C．商、角、微、羽 D．角、羽、商、徵
【答案】A
【解析】
【分析】
设宫的弦长为 ，根据生律法按顺序写出后续四音的弦长，再由题设音高与弦长的反比关系判断五音生成
顺序，即可得答案.
【详解】
由题设，若宫的弦长为 ，则其它四音对应弦长依次为 、 、 、 ，
因为声音的音高与弦长是成反比，则四音的音高关系为 ，
又音高从低到高依次是宫、商、角、微、羽，
所以五音生成顺序为宫、微、商、羽、角.
故选：A
5．（2022·山东泰安·一模）已知数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，数列 满足 ．若
对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． ， B． C． ， D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列通项公式得 ，再结合题意得数列 单调递增，且满足 ， ，即，再解不等式即可得答案.
【详解】
解：根据题意：数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
所以 ，
由于数列 满足 ，
所以 对任意的 都成立，
故数列 单调递增，且满足 ， ，
所以 ，
解得 ．
故选： ．
6．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知数列{ }满足 则 ∈（ ）
A．（ ， ） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ， ）
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ，可知数列 的单调性，然后两边三次方后放缩，，可得 ，
累加可得 ，再利用上述三次方的式子结合单调性放缩，可得 ，即可得解.
【详解】由 ，得 ， ，所以 ，又 ，所
以数列 时递增数列且 ，
，
所以
所以
，所以 ， .
当 ，得 ，
，
，
所以 ，所以 ，则 .
故选： C.
二、多选题
1．（2022·湖南永州·三模）已知等差数列 是递减数列， 为其前 项和，且 ，则（ ）
A． B．C． D． 、 均为 的最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质以及其前 项和的性质，逐个选项进行判断即可求解
【详解】
因为等差数列 是递减数列，所以， ，所以， ，故A错误；
因为 ，所以 ，故B正确；
因为 ，故C错误；
因为由题意得， ，所以， ，故D正确；
故选：BD
2．（2022·湖南·一模）数列 满足， ，则（ ）
A．数列 可能为常数列 B．当 时，数列 前10项之和为
C．当 时， 的最小值为 D．若数列 为递增数列，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用构造数列法可得数列 为等差数列，写出通项公式，从而判断每个选项.
【详解】
A．由 ，得 ，当 时， ，为常数列；B． ，故 为等差数列， 时，
的前10项和为 ；
C．由B知， 时， ，故 ，数列 的最小值为
；
D． ，故 ，当 递增时，有
．
故选：ABD
【点睛】
求解本题的关键是通过构造数列法，证明得数列 为等差数列，从而写出通项公式，再判断每个选
项.
题型三：数列的通项公式
一、单选题
1．（2022·云南曲靖·二模（文））设 是数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A．4045 B．4043 C．4041 D．2021
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 计算可得；
【详解】解：因为 ，
所以 ；
故选：A
2．（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ，求出 、 、 ，即可得解；
【详解】
解：因为 ，当 时 ，即 ，
当 时 ，解得 ，
当 时 ，解得 ，所以 ；
故选：D
3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））数列 满足
，则 （ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
【答案】A
【解析】
【分析】
即数列 的前n项和为 ，根据
代入计算．
【详解】当 时，由 ，①
得 ，②
①－②，得 ，
所以 ，则 ．
故选：A．
4．（2022·陕西·安康市高新中学三模（文））已知数列 的前n项和为 ，且 ，则
（ ）
A．129 B．132 C．381 D．384
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 与 的关系可证得数列 是等比数列，再根据等比数列的前 项和公式即可得出答案.
【详解】
解：当 时，由 ，得 ；
当 时，由 ，得 ，
所以数列 是以3为首项，2为公比的等比数列，
故 ，
所以 ．
故选：C．
5．（2022·四川宜宾·二模（文））设数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
【分析】
根据题目所给递推关系，利用 ，求得 为等比数列，首项为3公比为2，即可得解.
【详解】
由 ①，
当 时，可得 ，
当 时， ②，
作差可得： ，
所以 ，
所以 为等比数列，首项为3公比为2，
所以 .
故选：C
6．（2022·黑龙江·一模（理））已知数列 满足对任意的正整数n，都有 ，其中
，则数列 的前2022项和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用 的关系，求得数列类型，再利用等比数列的前 项和公式即可求得结果.
【详解】
不妨设数列 的前 项和为 ，故由题可得 ，故当 时， ，则 ，
即 ，又当 时， ，
故该数列是 ，且从第二项起是公比为 的等比数列.
故 .
故选：C.
7．（2022·青海西宁·二模（理））已知 为数列 的前 项和， ， ，则
（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
【答案】C
【解析】
【分析】
利用 化简可得出 ，则可求出答案.
【详解】
当 时， ，
当 时，由 得 ，
两式相减可得
，即 ，
所以 ，可得 ，
所以 .
故选：C.
8．（2022·北京东城·三模）已知数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 中的项不可能
为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意 ， ， ，再分别讨论 ， ， 时对应的情况，进而求解
即可.
【详解】
解：因为 ，
所以 ， ， ，
所以，当 时，则 ， 或 ，此时 或 ；
当 时，则 ， 或 ，此时 或 ；
当 时，则 ， 或 ，此时 或 ；
故 中的项不可能为 .
故选：D
二、多选题
1．（2022·重庆·二模）设数列 的前n项和为 ，已知 ，且 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． 是等比数列 B． 是等比数列
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
由条件变形，先求 的通项公式，再判断选项【详解】
由题意得 ，故 是首项为2，公比为2的等比数列，
，则 ．故B，C正确，A错误
,
,
两式相减得： ，故D错误．
故选：BC
2．（2022·江苏江苏·三模）已知各项都是正数的数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． 是等差数列 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A,求出 ，再将 转化为 ,即可证明，
对于B,利用A的结论求出 ，再利用基本不等式，即可证明.
对于C，求出 ，即可判断正误，
对于D，构造函数 ，即可判断正误
【详解】
， ，解得：时， ，
整理得：
故 是等差数列，选项A正确；
，则 ， ，选项B正确；
，选项C错误；
令 ， ，
在 递增， ，则
即 ，选项D正确；
故选：ABD.
题型四：数列的递推
一、单选题
1．（2022·陕西·西安中学一模（文））斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，
斐波那契数列被以下递推方法定义：数列 满足 ， ，先从该数列前12项中随机
抽取1项，是质数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据递推公式写出前12项，找出质数的个数，利用古典概型求概率公式进行求解.
【详解】
由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，所以基本事件数共有12，
其中质数有2，3，5，13，89，共5种，
故是质数的概率为 ．
故选：A．
2．（2022·江西南昌·一模（文））数列 中， ， ，则 （ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
先令 ，求出 ，再令 ，可求出
【详解】
因为数列 中， ， ，
所以令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
故选：B
3．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））设数列 满足 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ， ，分别求出 ， ， 的值即可.
【详解】∵ ， ,
∴ ，解得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，解得 ，
故选： .
4．（2022·山东济南·二模）在数列 中， ， ， ，则 等于（ ）
A．0 B．-1 C．-2 D．-3
【答案】D
【解析】
【分析】
依次求得 的值.
【详解】
，
.
故选：D
5．（2022·北京·北大附中三模）已知数列 满足 ，其中 ，则数列
（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】
【分析】
求得数列 的通项公式，再分析数列的单调性即可
【详解】依题意，因为 ，其中 ，当 时， ，
当 时， ， ，两式相除有 ，易得 随
着 的增大而减小，故 ，且 ，故最小项为 ，最大项为
故选：A
6．（2022·重庆·三模）已知数列 满足 ，则数列 第
2022项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题中条件可得到偶数项得关系 ，再进行累加即得.
【详解】
所以
累加得
故选：C.
7．（2022·安徽蚌埠·三模（理））若数列 满足： ，且 .则 （ ）
A．19 B．22 C．43 D．46【答案】C
【解析】
【分析】
直接由递推关系式求解即可.
【详解】
由 得 ， ， ，
， ， .
故选：C.
8．（2022·安徽蚌埠·三模（文））若数列 满足： ，且 ，则 （ ）
A．7 B．10 C．19 D．22
【答案】C
【解析】
【分析】
根据递推公式一一计算可得；
【详解】
解：因为 ，且 ，所以 ， ， ，
；
故选：C
9．（2022·黑龙江·哈九中二模（理））已知数列 满足 ， ，且 ．若
，则正整数
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】由 知，数列是等差数列，首项是 ，公差是 ，所以
，所以 可化为 ，解得 ，故选C.
10．（2022·上海虹口·二模）在数列 中， ， ， .对于命题：
①存在 ，对于任意的正整数 ，都有 .
②对于任意 和任意的正整数 ，都有 .
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②也是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②也是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】
对①，直接令 判断即可；
对②，利用反证法，先设数列中第一项满足 的项为 ，再推导 的大小推出矛盾即可；
【详解】
对①，当 时，易得 ， ， ， ， ， …故数列 为2，2，1循环.所以
对于任意的正整数 ，都有 成立，故①正确；
对②，对于任意 ，有 ， ， ， ，设数列中第一项满足 的项为 ，
则 ，此时易得 ，又 ，且由题意， 恒成立，故 ，即数列 中所有项都满足 ，故 ，因为 ，与 矛盾，
故对于任意 和任意的正整数 ，都有 .
故选：A
11．（2022·重庆·三模）已知数列 的前 项和为 ， ，则
（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
当 为奇数时有 ，函数 的周期为 可得 ，
计算出 ， ， 可得答案.
【详解】
当 为奇数时有 ，函数 的周期为 ，
故有 ， ， ， ， ，按此
规律下去循环重复下去， ，
故有 .
故选：C.
二、多选题
1．（2022·湖南·雅礼中学二模）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､
从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较
大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
由题可得 ，进而可得 是以2为首项，2为公比的等比数列，可得 ，即得.
【详解】
将圆盘从小到大编为 号圆盘，则将第 号圆盘移动到3号柱时，需先将第 号圆盘移动到2
号柱，需 次操作；
将第 号圆盘移动到3号柱需1次操作；
再将 号圆需移动到3号柱需 次操作，
故 ， ，又 ，
∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，即 ，
∴ .
故选：AD.
2．（2022·广东·一模）已知数列 满足 ， ，则下列结论中正确的是（ ）A．
B． 为等比数列
C．
D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用递推式可求得 的值，可判断A,B;将 变为
，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C; 将
变为 ，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断
D;
【详解】
，则 ，又 ，
同理 ，故A正确；
而 ，故 不是等比数列，B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故选：AD3．（2022·福建龙岩·一模）已知数列 的前n项和为 ， ， 则下列选项
正确的是（ ）
A．数列 的奇数项构成的数列是等差数列B．数列 的偶数项构成的数列是等比数列
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据 ， ，进行递推得到数列的规律逐项判断.
【详解】
因为 ， ，
所以 , ，
， ,
， ,
， ，
， ，
， ，
可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列，
奇数项不是等差数列，
，
，，
，
，
故选：BC.
4．（2022·重庆·一模）已知数列 满足： ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．数列 的前10项和为定值 D．数列 的前20项和为定值
【答案】AD
【解析】
【分析】
由 ， 两式可判断A,B选项；由题意可得 ， ，从而可判
断选项C,D.
【详解】
取 得 ，故 ；选项A正确
取 得 ，又 ，两式相减得 ；选项B不正确.
由题知， ①， ②， ③，
②-①得 ，②+③得 ，
∴ 为定值，题中条件只限制 ，
所以 的值不确定，故前10项和无法确定；所以选项C不正确.
前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项的和确定，
同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值. 所以选项D正确.故选：AD
