文档内容
第 01 讲 数列的基本知识与概念
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：数列的概念.........................................................................................................................4
知识点2：数列的分类.........................................................................................................................4
知识点3：数列的两种常用的表示方法.............................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：数列的周期性........................................................................................................................6
题型二：数列的单调性........................................................................................................................9
题型三：数列的最大（小）项..........................................................................................................13
题型四：数列中的规律问题..............................................................................................................17
题型五：数列的恒成立问题..............................................................................................................21
题型六：递推数列问题......................................................................................................................24
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................27
05课本典例·高考素材........................................................................................................................35
06易错分析·答题模板........................................................................................................................38
易错点：对数列的概念理解不准......................................................................................................38
答题模板：数列单调性的判断与应用..............................................................................................39考点要求 考题统计 考情分析
2023年北京卷第10题，4分
高考对数列概念的考查相对较少，考查
（1）数列的概念 2022年乙卷（理）第4题，5
内容、频率、题型、难度均变化不大．重点
（2）数列的分类 分
是数列与函数结合考查单调性、周期性、最
（3）数列的性质 2021年北京卷第10题，4分
值性.
2020年浙江卷第11题，4分
复习目标：
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
（2）了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识点1：数列的概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 （或它的有限子集
）为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
【诊断自测】下列说法中，正确的是（ ）
A．数列 可表示为集合
B．数列 与数列 是相同的数列
C．数列 的第 项为
D．数列 可记为
【答案】C
【解析】对于A，由数列的定义易知A错误；
对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；
对于C，数列 的第 项为 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，这与数列的定义不相符，故D错误.
故选：C.
知识点2：数列的分类
（1）按照项数分：有限和无限
（2）按单调性来分：【诊断自测】已知函数 ，设 ，则下列说法中错误的是（ ）
A． 是无穷数列 B． 是递增数列
C． 不是常数列 D． 中有最大项
【答案】D
【解析】对于A ， 显然是无穷数列，故A正确；
对于B，因为 ，即 ，即 是递增数列，故B正确；
对于C，因为 ， ， ，故 不是常数列，故C正确；
对于D，由B知， 是递增数列，当 趋近于无穷大时， 也趋近于无穷大，所以 中无最大
项，故D错误.
故选：D
知识点3：数列的两种常用的表示方法
（1）通项公式：如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式．
（2）递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与
它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【诊断自测】 ，数列1， ，7， ，31， 的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为 ，故A错误；
对于选项B：因为 ，故B错误；
对于选项C：因为 ，故C错误；
对于选项D：检验可知对 均成立，故D正确；
故选：D.解题方法总结
的前 项和为 ，通项公式为 ，则
（1）若数列
注意：根据 求 时，不要忽视对 的验证．
（2）在数列 中，若 最大，则 若 最小，则
题型一：数列的周期性
【典例1-1】在数列 中， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 且 ，
所以 ， ，
， ， ， ，
所以 是以 为周期的周期数列，所以 .
故选：C
【典例1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）在数列 中， ，若对
，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A【解析】由 与 相减得： ，
即 ，又 ，故 ，所以 .
故选：A.
【方法技巧】
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
【变式1-1】（2024·陕西榆林·三模）现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当
甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报
出的数应该为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】报出的数字依次是 ，除了首项以外是个周期为6的周期数列.
去掉首项后的新数列第一项为2，
因为 ，所以原数列第2024个被报出的数应该为2.
故选：A.
【变式1-2】（2024·山东济宁·三模）已知数列 中， ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】由 ，得
，
，
，
，
，
，
则 是以6为周期的周期数列，
所以 .
故选：C
【变式1-3】（2024·辽宁·模拟预测）数列 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
令 ，可得 ；令 ，可得 ；
令 ，可得 ；令 ，可得 ；
令 ，可得 ；令 ，可得 ；
可知数列 是以6为周期的周期数列，
所以 .
故选：A.
【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，数列 的首项为1，且满足
．若 ，则数列 的前2023项和为（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【答案】B
【解析】因为函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且是奇函数．
， ，
，
， ，即 ，
数列 的前2023项和为 ．
故选：B．
题型二：数列的单调性
【典例2-1】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列 ，定义 （ ），则“ 为
递增数列”是“ 为递增数列”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】D
【解析】 为递增数列时，有 ，不能得到 为递增数列，充分性不成立；
为递增数列时，不一定有 ，即不能得到 为递增数列，必要性不成立.
所以“ 为递增数列”是“ 为递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【典例2-2】（2024·江西·模拟预测）已知数列 满足 ，则“ ”是 是递增数列
的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 是递增数列，故充分性成立；
当 时 ，则 ，所以 是递增数列，
所以当数列 是递增数列， 可以大于 ，所以必要性不成立，
所以“ ”是 是递增数列的充分不必要条件.
故选：B
【方法技巧】
解决数列的单调性问题的3种方法
作差比较法
根据 的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据 与1的大小关系进行判断
数形结合法 结合相应函数的图象直观判断
【变式2-1】（2024·天津南开·二模）设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增数列，
则实数b的取值范围为（ ）.A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 恒成立，即 ，
即 ，又 ， ，故 .
故选：A.
【变式2-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）等差数列 中，其前n项和为 ，则“ ”是“
为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，
由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
所以 为递减数列，
所以“ ”是“ 为递减数列”的充分条件，
若 为递减数列，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以“ ”是“ 为递减数列”的必要条件，
所以“ ”是“ 为递减数列”的充分必要条件，
故选：C.
【变式2-3】数列 中前 项和 满足 ，若 是递增数列，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
则 ，
两式相减得 ，
因为数列 是递增数列，所以当 时， ，解得 .
当 时， ，
所以 ，解得 .
综上 .
故选：B.
【变式2-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】二次函数 图象的开口向上，对称轴是直线 ，
且 在定义域 内单调递增，
当 时， 单调递减， 单调递减；
当 时， 单调递增， 单调递增；
因为 中的自变量 为正整数，且 ，
则 ，解得 ，
显然 是 的真子集，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式2-5】已知数列 满足： ，（ ， ），数列 是递增数列，则
实数 的可能取值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【解析】因为 ， ，且 为递增数列，所以 ，即 ，解得 ，
结合选项可知 符合题意，
故选：C.
【变式2-6】（2024·浙江宁波·二模）已知数列 满足 ，对任意 都有 ，且
对任意 都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对任意 都有 ，
所以数列 在 上是递减数列，
因为对任意 都有 ，
所以数列 在 上是递增数列，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C.
【变式2-7】（2024·江西·二模）已知数列 的首项 为常数且 ， ，若数列
是递增数列，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，由于 ，即 ，
可得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，因为数列 是递增数列，可得 ，
即 对任意的正整数 都成立．
当 为偶数时， 恒成立，由于数列 单调递减，
可得 ，则 ；
当 为奇数时， 恒成立，由于数列 单调递增，
可得 ，则 ；
综上可得 的取值范围是 ．
故选：B ．
题型三：数列的最大（小）项
【典例3-1】已知 ，则数列 的偶数项中最大项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列 中， ，则 ，
令 ，解得 ，则当 时， ，即 ，
同理当 时， ，即 ，而当 时， ，
所以数列 的偶数项中最大项为 .
故选：D
【典例3-2】（2024·上海·模拟预测）数列 的最小项的值为 .
【答案】【解析】令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
而函数 在 上单调递减，
所以当 时， 取得最小值 ，
即数列 的最小项的值为 .
故答案为： .
【方法技巧】
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数 当x N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，
或利用求函数最值的方法，求出 ∈的最值，进而求出数列的最大（小）项．
（ 2 ） 通 过 通 项 公 式 研 究 数 列 的 单 调 性 ， 利 用 确 定 最 大 项 ， 利 用
确定最小项．
（3）比较法：若有 或 时 ，则 ，则数列 是递增
数列，所以数列 的最小项为 ；若有 或 时 ，则
，则数列 是递减数列，所以数列 的最大项为 ．
【变式3-1】（2024·北京西城·一模）在数列 中， .数列 满足 .
若 是公差为1的等差数列，则 的通项公式为 ， 的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意 ，又等差数列 的公差为1，所以 ；
故 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 ，显然 的最小值是 .
又 ，所以
，即 的最小值是 .故答案为： ，
【变式3-2】（2024·广东梅州·二模）已知数列 的通项公式 （ ），则
的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】由于当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
要求 的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可，
又 ，
且当 时， ，因此 时， ，
当 ， ，
当 ， ，
综上，最小值为 .
故答案为：
【变式3-3】数列 的通项 ，则数列 中的最大项的值为 .
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
则 ，
令 ，即 ，因为 ，
解得 ，所以 ，
令 ，解得 ，所以 ，
故数列 中的最大项为 ，其值为 .
故答案为： .
【变式3-4】设 是 的展开式中x项的系数（ ），若 ，则 的最大值
是 .
【答案】
【解析】 ，
因为 在 是减函数，在 是增函数，且 ，
时， ，所以 时 ， ，
所以 ，所以 的最小值是 .
故答案为：
【变式3-5】已知 ，则数列 的最小值为 .
【答案】
【解析】 ，
令 ，
由对勾函数的性质得：
当 时递减， 时递增，
当 时， 有最小值，
最小值为 .
故答案为：【变式3-6】在数列 中， ， ，则数列 的最大项的值是 ．
【答案】4
【解析】根据 以及 ，可知 ，
所以 ①，则 ②，
由② ①得 ，即 ，
因为 ，所以 与 同号，
又因为 ，且 ，
所以 ，所以数列 为单调递减数列，
所以因此数列 的最大项是 ，其值是4．
故答案为：4.
题型四：数列中的规律问题
【典例4-1】（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如
图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着 个不同大小的
圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘
子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为 ，例如： ， ，则下列说法
正确的是（ ）
A． B． 为等差数列
C． 为等比数列 D．
【答案】C
【解析】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：
若有2个圆盘，则移动情况为： ，需移动3次；
若有3个圆盘，则移动情况如下：
，共7次，故 ，A错误；
由此可知若有n个圆盘，设至少移动 次，则 ,所以 ，而 ，故 为等比数列，
故 即 ，该式不是n的一次函数，
则 不为等差数列，B错误；
又 ，则 ， ，则 为等比数列，C正确，
，D错误，
故选：C
【典例4-2】（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用
于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数
量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，
12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（ ）
A．366 B．422 C．450 D．600
【答案】C
【解析】由题意，大衍数列的偶数项为 ，
可得该数列 的偶数项的通项公式为 ，
所以此数列 的第30项为 .
故选：C.
【方法技巧】
特殊值法、列举法找规律
【变式4-1】（2024·陕西西安·三模）定义 ， ， ， ， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，把 排列成如下数阵：
第n行有n个数对，各个数对的两数和为 ，每个数对的第一个数从左起依次为1，2，3，…，n，
则前n行共有 个数对，显然数列 单调递增，而 ，所以 是第64行第一个数对，即 .
故选：D
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除
之（得弦）．”意即“勾” 、“股” 与“弦” 之间的关系为 （其中 ）．当
时，有如下勾股弦数组序列： ， ，则在这个序列中，第10个勾股弦
数组中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ．
在给定的勾股弦数组序列中， ，所以 ．
易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为 ，
所以 ，
故“弦”的通项公式为 ．
所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于 ．
故选：C．
【变式4-3】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年
代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照
图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【答案】C
【解析】设题图②中第 行白心圈的个数为 ，黑心圈的个数为 ，
依题意可得 ，且有 ，
所以 是以 为首项，3为公比的等比数列，
①；
又 ， ，
故有 ，∴ 为常数数列，且 ，所以 是以 为首项，1为公比的等比数列，
②；
由①②相加减得：
， ；
所以 ．
故选：C．
【变式4-4】（2024·云南保山·二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里出现了如
图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的
一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则
此数列的第56项为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，...，
可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则 ，
可得当 ，所有项的个数和为55，第56项为12，
故选：B.
题型五：数列的恒成立问题
【典例5-1】已知数列 的前n项和 且 ，若
恒成立，则 的最小值为 ．
【答案】2
【解析】由 ， ，
则当 时， ，整理得 ，即 ，
∴ ，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ，所以 ，
∴
又因为 恒成立，
所以 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【典例5-2】记 分别为数列 前n项和，已知 是公差为 的等差数列．若
恒成立，则 的最小值为 ．
【答案】3
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ，所以 ，
即当 时， ，
∴ ，
整理得： ，即 ，
∴ ，
显然对于 也成立，∴ ，
∴ ．
所以 ，即 的最小值为 ．
故答案为：3.【方法技巧】
分离参数，转化为最值问题．
【变式5-1】已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，若 对于任意的正整数 恒
成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据 ，当 时， ;
当 时， ，两式相减可得 ，
数列 是首项为2，公比为2的等比数列， ，
则 可变为 ，
即 ，令 ，则 ，
且 ， ，
，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【变式5-2】（2024·高三·重庆·期中）已知数列{ }满足 ，若对任意正整数 都有
恒成立，则k的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 可得 ，又因为 ，所以 ，
即数列 是一个以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，
对任意正整数 都有 ，则 ，即 ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
即 ，所以 ，所以
故答案为： .
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，若 对 恒成立，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】法一：
由 ，得 ，两式相减得 ，
则数列 ， 都是以2为公差的单调递增数列.
要使 对 恒成立，只需 ，
而 ， ，则 ，解得 .
法二：
由 ，得 ，两式相减得 ，
又 ，则 ， ，
要使 对 恒成立，即 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
题型六：递推数列问题
【典例6-1】（2024·天津·二模）在数列 中，若 （ ），则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】D
【解析】当 时， ，
当 时， ，所以 ，当 时， ，所以 .
故选：D.
【典例6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知数列 满足： ，则 （ ）
A．511 B．677 C．1021 D．2037
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
【方法技巧】
列举法
【变式6-1】（2024·贵州遵义·一模）数列 满足 ，对任意正整数p，q都有 ，则
（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，令 ，
依题意，对任意正整数p，q都有 ，令 ，
则 ， ，而 ，即 ，
因此数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，即 ， ，
所以 .
故选：B
【变式6-2】（2024·广东汕头·三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，
后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，
则第30层小球的个数为（ ）A．464 B．465 C．466 D．467
【答案】B
【解析】设三角垛第 层小球的个数为 .
由题意可知， ， ， ， ，
所以，当 时，有 .
所以，
，
，
，
，
，
两边同时相加可得， ，
所以， .
当 时， ，满足题意.
所以， .
所以， .
故选：B.
【变式6-3】图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图
二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形
面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A． ；n B． ；
C． ；n D． ；
【答案】D
【解析】第一代“勾股数”中正方形的个数为 ，面积和为2，
第二代“勾股数”中正方形的个数为 ，面积和为3，
第三代“勾股数”中正方形的个数为 ，面积和为4，
…
第n代“勾股数”中正方形的个数为 ，面积和为 ，
故选：D
【变式6-4】某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．
(1)写出前五排座位数．
(2)第 排与第 排座位数有何关系？
(3)第 排座位数 与第 排座位数 能用等式表示吗？
【解析】（1）由题意可知，后一排都比前一排多2个座位，
所以前五排座位分别为：20，22，24，26，28；
（2）由题意可知，后一排都比前一排多2个座位，
故第 排与第 排座位数的关系为：第 排比第 排多两个座位；
（3）由（2）可知，能用等式表示第 排座位数 与第 排座位数 的关系，
即 .
【变式6-5】观察下面的图形及相应的点数，回答
(1)写出图中点数构成的数列 的一个递推公式；并根据这个递推公式，求出数列 的通项公式；
(2)若 是数列 的前 项和，证明： .
【解析】（1）由题可得 ， ， ， ，可得 ， ， ，…，
所以数列 的递推公式为 ， ， ；，
所以数列 的通项公式为 ， .
（2）由（1）知， ，
，
， ，
所以 .
1．（2023年北京高考数学真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
【答案】B
【解析】法1：因为 ，故 ，
对于A ，若 ，可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立，由数学归纳法可得 成立.
而 ，
， ，故 ，故 ，
故 为减数列，注意
故 ，结合 ，
所以 ，故 ，故 ，
若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，故 恒成立仅对部分 成立，
故A不成立.
对于B，若 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即
由数学归纳法可得 成立.
而 ，
， ，故 ，故 ，故 为增数列，
若 ，则 恒成立，故B正确.
对于C，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即
由数学归纳法可得 成立.
而 ，故 ，故 为减数列，又 ，结合 可得： ，所以
，
若 ，若存在常数 ，使得 恒成立，
则 恒成立，故 ， 的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立
由数学归纳法可得 成立.
而 ，故 ，故 为增数列，
又 ，结合 可得： ，所以
，
若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
法2：因为 ，
令 ，则 ，
令 ，得 或 ；
令 ，得 ；
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，令 ，则 ，即 ，解得 或 或 ，
注意到 ， ，
所以结合 的单调性可知在 和 上 ，在 和 上 ，
对于A，因为 ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
假设当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，即 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，
因为 ，
令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，故 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
故 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，
上式相加得， ，
则 ，与 恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为 ，
当 时， ， ，
假设当 时， ，当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
又当 时， ，即 ，
假设当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
此时，取 ，满足题意，故B正确；
对于C，因为 ，则 ，
注意到当 时， ， ，
猜想当 时， ，
当 与 时， 与 满足 ，
假设当 时， ，
当 时，所以 ，
综上： ，
易知 ，则 ，故 ，
所以 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，假设存在常数 ，使得 恒成立，
记 ，取 ，其中 ，
则 ，
故 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 不恒成立，故C错误；
对于D，因为 ，
当 时， ，则 ，
假设当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
因为 ，
令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
故 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，
上式相加得， ，
则 ，与 恒成立矛盾，故D错误.
故选：B.2．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，易得 ，依次类推可得
由题意， ，即 ，
∴ ，
即 ， ， ，…， ，
累加可得 ，即 ，
∴ ，即 ， ,
又 ，
∴ ， ， ，…， ，
累加可得 ，
∴ ，
即 ，∴ ，即 ；
综上： ．
故选：B．
3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为
我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：
， ， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】[方法一]:常规解法
因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；
，得 ，故C错误；
，得 ，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设 则
故D正确.
4．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足
．给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】由题意可知， ， ，当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
1．根据下列条件，写出数列 的前5项：
（1） ， ；
（2） ， .
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ，
，
，
，
故数列的前5项分别为1，3，7，15，31.（2）因为 ，
所以 ，
，
，
，
故数列的前5项分别为3，3，3，3，3.
2．已知数列 满足 ， ，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.
【解析】 ， ， ，
.
猜想 .
3．写出下列数列的前 项，并绘出它们的图像：
（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
（2）欧拉函数 的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
【解析】（1）素数从小到大依次是： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
绘出图像如图所示：
（2） ， ， ， ， ，， ， ， ， ，
依次为 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
绘出图像如图所示：
4．已知数列 的第1项是1，第2项是2，以后各项由 给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用数列 ，通过公式 构造一个新的数列 ，试写出数列 的前5项.
【解析】（1）由a＝1，a＝2，a＝a +a ，
1 2 n n﹣1 n﹣2
得a＝a+a＝2+1＝3，
3 2 1
a＝a+a＝2+3＝5，
4 3 2
a＝a+a＝3+5＝8；
5 4 3
（2）依题意有：b 2，
1
b ，
2
b ，
3
b ，
4
b ．
5
5．假设某银行的活期存款年利率为 某人存10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同
本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用 表示第 年到期时的存款余额，求 、 、 及 .
【解析】 ， ，
， .6．已知函数 ，设数列 的通项公式为 .
（1）求证 .
（2） 是递增数列还是递减数列？为什么？
【解析】（1）由题意得 ，因为 为正整数，所以 ，所以
；
（2） 是递增数列，
证明：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 是递增数列.
易错点：对数列的概念理解不准
易错分析：解题时容易找不到数列中的每项之间的相似地方，总结不出来一般规律。
【易错题1】已知数列{an}的前5项依次为 ，则 的一个通项公式为 ．
【答案】
【解析】根据题意，数列 的前5项依次为 ，即 ，
则 的一个通项公式为 ，
故答案为：
【易错题2】数列 ， ， ， ，…的一个通项公式是 ．
【答案】 （n为正整数）【解析】把1写成 的形式，观察分母发现是以3为开始的奇数列，
再观察分子中各数，可以发现： ，且各项正负交替，
则 ， ， ， ，…可以写成：
所以数列的通项公式为 .
故答案为： （n为正整数）.
答题模板：数列单调性的判断与应用
1、模板解决思路
判断数列的单调性的方法，一般采用作差法比较数列中相邻两项的大小； 当数列各项符号相同时，
也可用作商法比较； 还可以利用数列通项公式所对应的函数的单调性判断数列的单调性．
2、模板解决步骤
第一步：根据条件求出数列的通项公式．
第二步：作差 （或作商 ），并化简．
第三步：讨论 与 （或 与1）的大小，得出数列的单调性．
【典型例题1】设等比数列 的前n项和为 ，则“ 是递增数列”是“ 是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】 是等比数列是递增数列，则 或 ，
是递增数列， ,即得 或
“ 是等比数列是递增数列”是“ 是递增数列”既不充分也不必要条件.
故选：D.
【典型例题2】已知数列 的通项公式为 ，若 为递增数列，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】 ，若 为递增数列，则 ，
有 ，解得 ，则 ，
时 ，所以 ,则k的取值范围为 .
故选：D
