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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 03 与大学高等数学接轨的三类函数（精讲+精练）
一、知识点梳理
高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考
查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训
练是很有必要的，这有利于培养个人的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养．
二、题型精讲精练
【题型训练】
1 . 欧拉公式
1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（ ） 被数学家们称为“宇宙
第一公式”.（其中无理数
），如果记 小数点后第 位上的数字为 ，则 是关
于 的函数，记为 .设此函数定义域（ ）为 ，值域（ ）为 ，则关于此函数，下列
说法正确的有（ ）
A． B．函数 的图像是一群孤立的点
C． 是 的函数 D．
2．（单选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（ ） 被数学家们称为“宇宙
第一公式”.（其中无理数
），如果记 小数点后第 位上的数字为 ，则 是关
于 的函数，记为 .设此函数定义域（ ）为 ，值域（ ）为 ，则关于此函数，下列
说法正确的有（ ）A． B．函数 的图像是一群孤立的点
C． 是 的函数 D．
3．（填空题）（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）欧拉公式 ，它
将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数
列 的通项公式为 ，则数列 前2022项的乘积为__.
2 . 高斯函数
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王
子”美誉的高斯提出了取整函数 ， 表示不超过 的最大整数，例如 ， .已知
， ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美
誉．函数 称为高斯函数，其中 ， 表示不超过x的最大整数，例如： ，
，则方程 的所有解之和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有
“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：
， 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，已知 ，
则函数 的值域为（ ）A． B． C． D．
4．（2023秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用
其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如：
.已知函数 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2023春·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，
享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：
设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，如： ， ， 又
称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，
以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ，若 ，则有 D．方程 的解集为
2．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠
基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高
斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，
．已知函数 ，则关于函数 的叙述中正确的是（ ）
A． 是奇函数
B． 在 上是减函数C． 的值域是
D．
3 . 狄利克雷函数
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数为
黎曼函数定义在 上，其解析式为
则 （ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年
5月5日），对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等.狄利克雷函
数就是以其名字命名的函数，其解析式为 则下列关于狄利克雷函数 的判断错误
的是（ ）
A．对任意有理数t，
B．对任意实数x，
C． 既不是奇函数也不是偶函数
D．存在实数x，y，
二、多选题1．（2023秋·江西上饶·高三统考期末）函数 被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是
（ ）
A．函数 的值域为 B．若 ，则
C．若 ，则 D． ，
2．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人,并且是有意识地“以概念代替直
觉”的人．在狄利克雷之前,数学家们主要研究具体函数,进行具体计算,他们不大考虑抽象问题,但狄利克雷
之后,人们开始考虑函数的各种性质,例如奇偶性、单调性、周期性等．1837年,狄利克雷拓广了函数概念,提
出了自变量x与另一个变量y之间的现代观念的对应关系,并举出了个著名的函数——狄利克雷函数:
,下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． 是偶函数 D． 的值域为
3．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若 ，其中
为有理数集，则称 为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数 ，下面4个命题中真命题是（ ）
A．对任意 ，都有
B．对任意 ，都有
C．对任意 ，都存在 ，
D．若 ， ，则有
三、填空题
1．（2023春·重庆酉阳·高三重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）德国著名数学家狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，他定义了一个函数 有如下
四个结论：
① ；
②函数 是偶函数；
③函数 具有单调性；
④已知点 ，则四边形 为平行四边形.
其中所有正确结论的序号是__________.
