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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 03 与大学高等数学接轨的三类函数（精讲+精练）
一、知识点梳理
高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考
查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训
练是很有必要的，这有利于培养个人的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养．
二、题型精讲精练
【题型训练】
1 . 欧拉公式
1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（ ） 被数学家们称为“宇宙
第一公式”.（其中无理数
），如果记 小数点后第 位上的数字为 ，则 是关
于 的函数，记为 .设此函数定义域（ ）为 ，值域（ ）为 ，则关于此函数，下列
说法正确的有（ ）
A． B．函数 的图像是一群孤立的点
C． 是 的函数 D．
【答案】ABD
【分析】根据 的定义可知A正确；由 可知B正确；根据函数定义可知C错误；根据 ，
可知D正确.
【详解】对于A， 小数点后第 位上的数字为 ， ，A正确；对于B， ， 的图像是一群孤立的点，B正确；
对于C，由 的值可知：当 时， ，不符合函数的定义，C错误；
对于D，由题意知： ；又 ， ，D正确.
故选：ABD.
2．（单选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（ ） 被数学家们称为“宇宙
第一公式”.（其中无理数
），如果记 小数点后第 位上的数字为 ，则 是关
于 的函数，记为 .设此函数定义域（ ）为 ，值域（ ）为 ，则关于此函数，下列
说法正确的有（ ）
A． B．函数 的图像是一群孤立的点
C． 是 的函数 D．
【答案】A
【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②
【详解】①
②
则①②均正确
故选：A
3．（填空题）（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）欧拉公式 ，它
将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数
列 的通项公式为 ，则数列 前2022项的乘积为__.【答案】
【分析】根据题意， ，然后根据指数运算法则求积，再根据等差数列求和公
式化简，最后根据定义求结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以
.
故答案为: .
2 . 高斯函数
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王
子”美誉的高斯提出了取整函数 ， 表示不超过 的最大整数，例如 ， .已知
， ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意 ，将其变形分析其取值范围结合取整函数 ，即可求得结果.
【详解】易知 ， 在 上单调递减， 上单调递增.
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
所以 ，则函数 的值域为 .
故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美
誉．函数 称为高斯函数，其中 ， 表示不超过x的最大整数，例如： ，
，则方程 的所有解之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】 ， ，使 ，可得 ， ，分类讨论k为奇数和
偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可.
【详解】解： ， ，使 ，则 ，
可得 ， ，
若k为奇数，则 ，所以 ，
，则 ，
解得 ， 或 ，
当 时， ， ， ， ，
当 时， ， ， ， ，
若k为偶数，则 ，所以 ，
，则 ，
解得 ， 或 ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ， ，
因此，所有解之和为： ，故选：C.
【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但
是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，
以不变应万变才是制胜法宝.
3．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有
“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：
， 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，已知 ，
则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出 的值域，结合已知定义即可求解．
【详解】因为
又 ，
所以 ，
所以
所以 ，
则 的值域 ．
故选：C．
4．（2023秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用
其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如：
.已知函数 ，则函数 的值域是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得 ，再根据指数函数的性质讨论 ， 和 时，函数的单调
性与值域，即可得出答案.
【详解】因为 ，定义域为 ，
因为 在定义域上单调递增，则 在定义域上单调递减，
所以 在定义域 上单调递减，
时， ，
时， ；
则 时，
时， ，
时， .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究 的性质来研究
的值域，突破难点.
二、多选题
1．（2023春·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，
享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：
设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，如： ， ， 又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，
以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ，若 ，则有 D．方程 的解集为
【答案】CD
【分析】取 ， ， ，A错误，取 ， ， ，B错误，
，则 ， ，故 ，C正确，计算 ， 或 ，D正确，
得到答案.
【详解】对选项A：取 ，则 ， ，错误；
对选项B：取 ， ， ，错误；
对选项C： ，则 ， ，故 ，正确；
对选项D： ，故 ，解得 ，
故 或 ，故 或 ，正确.
故选：CD
2．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠
基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高
斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，
．已知函数 ，则关于函数 的叙述中正确的是（ ）
A． 是奇函数B． 在 上是减函数
C． 的值域是
D．
【答案】ACD
【分析】利用奇偶性的定义判断A，利用函数单调性的结论判断B，由单调性求出 的取值范围，结合
定义判断C，利用对数函数的值域结合定义判断D.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 是奇函数，选项A正确；
因为 在 上是增函数，所以 在 上是增函数， 在 上是增函数，选项
B错误；
因为 ，所以 ，所以 的值域是 ，选项C正确；
令 ， ，
由高斯函数定义可得当 时， ；当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
所以
，选项D正确；
故选：ACD
3 . 狄利克雷函数
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数为黎曼函数定义在 上，其解析式为
则 （ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据狄利克雷函数与黎曼函数的定义求解即可.
【详解】因为 ，又 为 上的无理数，所
以 ，因为 ，所以
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年
5月5日），对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等.狄利克雷函
数就是以其名字命名的函数，其解析式为 则下列关于狄利克雷函数 的判断错误
的是（ ）
A．对任意有理数t，
B．对任意实数x，
C． 既不是奇函数也不是偶函数D．存在实数x，y，
【答案】C
【详解】对于A，对任意有理数t，当x为有理数时， 为有理数，则 ；当x为无理数
时， 为无理数，则 ，故A正确；
对于B，若x为有理数，则 ；若x为无理数，则 ，故B正确；
对于C，当x为有理数时，则 为有理数，则 ；当x为无理数时，则 为无理数，则
，于是对任意实数x，都有 ，即狄利克雷函数为偶函数，故C错误；
对于D，取 ， ，因为 为无理数，所以 ，故D正确.
故选：C.
二、多选题
1．（2023秋·江西上饶·高三统考期末）函数 被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是
（ ）
A．函数 的值域为 B．若 ，则
C．若 ，则 D． ，
【答案】BD
【分析】根据函数值域的定义，结合有理数和无理数的性质逐一判断即可.
【详解】由函数的值域定义可知函数 的值域为 ，所以选项A不正确；
因为 ，所以 ，所以选项B正确；
当 时，显然满足 ，但是 ，所以选项C不正确；
当 时， ，所以选项D正确，故选：BD
2．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人,并且是有意识地“以概念代替直
觉”的人．在狄利克雷之前,数学家们主要研究具体函数,进行具体计算,他们不大考虑抽象问题,但狄利克雷
之后,人们开始考虑函数的各种性质,例如奇偶性、单调性、周期性等．1837年,狄利克雷拓广了函数概念,提
出了自变量x与另一个变量y之间的现代观念的对应关系,并举出了个著名的函数——狄利克雷函数:
,下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． 是偶函数 D． 的值域为
【答案】AC
【分析】根据选项对 两种情况分类讨论,即可得出A,C的正误, 时, ,所以
,选项B错误,由 可知, ,选项D错误.
【详解】解:由题知 ,
关于选项A,
当 时, , ,
当 时, , ,故选项A正确;
关于选项B,当 时, , ,故选项B错误;
关于选项C,当 时, , ,
当 时, , , 为偶函数,故选项C正确;
关于选项D,由解析式可知 ,故选项D错误.故选:AC3．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若 ，其中
为有理数集，则称 为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数 ，下面4个命题中真命题是（ ）
A．对任意 ，都有
B．对任意 ，都有
C．对任意 ，都存在 ，
D．若 ， ，则有
【答案】ACD
【分析】根据函数解析式依次判断每个选项即可得出.
【详解】对A，当 时， ，则 ，当 时， ，则
，所以对任意 ，都有 ，故A正确；
对B，若 ，则 ， ，故B错误；
对C，显然当 时，对任意 ， ，故C正确；
对D，由 的解析式可得 的值域为 ，故当 时， ，当 时，
，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
1．（2023春·重庆酉阳·高三重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）德国著名数学家狄利克雷是数学史上第
一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，他定义了一个函数 有如下四个结论：
① ；
②函数 是偶函数；
③函数 具有单调性；
④已知点 ，则四边形 为平行四边形.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②④
【分析】根据函数表达式求 ， ， ，结合函数的单调性和奇偶性的定义判断①，②，
③，再结合点的位置判断④.
【详解】当 为有理数时， 为有理数， ， ， ，
当 为无理数时， 为无理数， ， ， ，
所以①错误；
因为对任意的 ， ，所以函数 是偶函数；②正确，
因为 ，所以函数 具有单调性；③错误；
因为 ， ，即点 ， ， ， 的坐标分别为 ， ，
， ，所以 ， ，结合图象可得 ， ，所以四边形
为平行四边形，④正确，故答案为：②④.
