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专题 05 整式乘除法的三种考法全攻略
类型一、不含某项字母求值
例1．已知计算 的结果中不含 和 的项，求m、n的值．
【答案】m＝1.5，n＝−10．
【详解】解：（5−3x＋mx2−6x3）•（−2x2）−x（−3x3＋nx−1）
＝−10x2＋6x3−2mx4＋12x5＋3x4−nx2＋x
＝12x5＋（3−2m）x4＋6x3＋（−10−n）x2＋x，
由结果中不含x4和x2项，得到3−2m＝0，−10−n＝0，
解得：m＝1.5，n＝−10．
【变式训练1】已知将 展开的结果不含 和 项，（m、n为常数）
（1）求m、n的值；
（2）在（1）的条件下，求 的值．（先化简，再求值）
【答案】（1） ；（2） ，-1792
【详解】（1） ，
，由题意得： ，解得： ；
（2） ，
当 ， 时，原式
【变式训练2】已知 的展开式中不含 和 项．
（1）求 的值．
（2）先化简，再求值： ．【答案】（1） ；（2） ； ．
【详解】（1）
．
展开式中不含 和 项， ．解得 ．
（2）
．
当 时，原式 ．
【变式训练3】（1）试说明代数式 的值与 、 的值取值有无关系；
（2）已知多项式 与 的乘积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ，试求 的值；
（3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及 的值．
【答案】（1）代数式 的值与s的取值有关系，与t的取值无关系，理由见详解；
（2）1；（3）k=20，另一个因式为： ．
【详解】解：（1） ＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t＝s2＋s．
故代数式 的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；
（2）∵（ ）（ ）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b，
又∵多项式 与 的乘积展开式中不含 的一次项，且常数项为 ，∴2a+b=0，-2b=-4，∴a=-1，b=2， = ；
（3）∵二次三项式 有一个因式是 ，
∴ = = ，∴2m-5=3，5m=k，
∴m=4，k=20，另一个因式为： ．
【变式训练4】（1）先化简，再求值：已知 ，求
的值．
（2）若 中不含 ， 项，求m，n的值．
【答案】（1） ，22；（2） ， ．
【详解】（1） ， ， ，
∴ 且 ，解得： ， ，
．
（2） ，
∵展开式中不含x、x2项，
∴ ， ，
解得： ， ．
类型二、与几何的综合问题
例1.如图，将边长为 的正方形剪出两个边长分别为 ， 的正方形（阴影部分）．观察图形，解答
下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．
方法1：______，方法2：________；
（2）从中你发现什么结论呢？_________；
（3）运用你发现的结论，解决下列问题：
①已知 ， ，求 的值；
②已知 ，求 的值．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）①28；② ．
【详解】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即 ，
方法2，从边长为 的大正方形面积减去两个长为 ，宽为 的长方形面积，即 ，
故答案为： ， ；
（2）在（1）两种方法表示面积相等可得， ，
故答案为： ；
（3）① ， ，又 ，
；
②设 ， ，则 ， ，
，
答： 的值为 ．【变式训练1】【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别
为 ， 的直角三角形和一个两条直角边都是 的直角三角形拼成如如图（1）所示的梯形，请用两种方法
计算梯形面积．
(1)方法一可表示为______；方法二可表示为______；
(2)根据方法一和方法二，你能得出 ， ， 之间的数量关系是______（等式的两边需写成最简形式）；
(3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为______；
(4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图（2）是边长为
的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，
这个等式可以为______；（等号两边需化为最简形式）
【答案】(1) ；(2) ；(3)10
(4)
【解析】(1)方法一可表示为：
方法二可表示为：
故答案为：
(2)
，
故答案为：
(3)
故答案为：10(4)方法一可表示为：（a+b）3；
方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
∴等式为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．
【变式训练2】阅读理解下列材料：
“数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积
法”直观地推导出了完全平方和公式： （如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方
法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为 的正方形，其面积为
．从局部看由四部分组成，即：一个边长为 的正方形，一个边长为 的正方形，两个长、宽分别
为 ， 的长方形．这四部分的面积和为 ．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个
代数式应该相等，即 ．
同理，图2可以得到一个等式： ．
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图3可得等式：___________；
(2)由图4可得等式：____________；
(3)若 ， ， ，且 ， ，求 的值．
①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过
这个几何图形得到一个含有 ， ， 的等式．
②根据你画的图形可得等式：______________；
③利用①的结论，求 的值．
【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2；(2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；
(3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29．
【解析】(1)大正方形的面积可表示为=（a+2b）2，
大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2，
所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2，
故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2；
(2)大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b），
大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2，
所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2，
故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；
(3)①所画图形如下：
②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2；
正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；
③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29．
【变式训练3】（发现问题）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮
助我们更容易理解数学问题．例如，求图1阴影部分的面积，可以得到乘法公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
请解答下列问题：
（1）请写出求图2阴影部分的面积能解释的乘法公式（直接写出乘法公式即可）
（2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形，拼摆成如图3的正方形，请你观察求图3中阴影部分
的面积，蕴含的相等关系，写出三个代数式：（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式（直接写出等
量关系式即可）
（自主探索）
（3）小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出
一个面积为（3a＋2b）（2a＋3b）长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x＋z＝_____
（拓展迁移）
（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5表示的是一个边长为a＋b的正
方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式：______
【答案】（1）（a－b）2＝a2－2ab＋b2；（2）（a＋b）2－4ab＝（a－b）2；
（3）图见解析，19；（4）（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
【详解】（1）阴影部分面积=大正方形面积-非阴影区域面积
即 ，故答案为 ；（2）阴影部分面积= ，大正方形面积= ，长方形面积=
大正方形面积-4*长方形面积=阴影部分面积，即： ；
（3）将面积为 的长方形画出后，按比例分割，图如下：
看图即可得： ， ，所以， ，故答案为19；
（4）大正方体体积=各小长方体体积之和，即：
故答案为 ．
【变式训练4】提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5的大小关系（其中y>0）？
几何建模：
（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图方式分割
（2）变形：2y+5=(y+2)+(y+3)
（3）分析：图中大矩形的面积可以表示为(y+2)(y+3)；阴影部分面积可以表示为(y+3)×1，画点部分的面积
可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知：
(y+2)(y+3)＞(y+2)+(y+3)，即(y+2)(y+3)＞2y+5
归纳提炼：
当a>2，b>2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a=2+m，b=2+n(m>0，n>0)，要求参照上述研究
方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用铅笔画图，并标注相关线段的长）【答案】ab＞a+b．见解析
【详解】解：（1）画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按图方式分割．
（2）变形：a+b=（2+m）+（2+n）
（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n）；阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和．由图形
的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．
类型三、规律性问题
例1.（1）填空：
；
；
．
（2）猜想：
．（其中n为正整数，且 ）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①
②【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3）① ；②
【详解】（1） ；
；
；
故答案分别为： ， ， ；
（2）由（1）的规律可得：原式 ，
故答案为： ；
（3）①
；
②∵
即
．
【变式训练1】阅读下文，寻找规律：
已知： ，观察下列各式：
；
；
；
；
…(1)填空：
① _________；
② _________．
(2)根据你的猜想，计算：
① _________；
②那么 的末尾数字为_________．
【答案】(1)① ；② ；(2)① ；②1
【解析】(1)解：①根据规律可得： ；
②原式 ；
(2)解：①∵ ，
把x=2，n=2020代入，
得： ，
②∵ 的末尾数字是2， 的末尾数字是4， 的末尾数字是8， 的末尾数字是6， 的末尾数字是
2，…，
∵ ，
∴ 的末尾数字是2，
∴ 的末尾数字是1.
【变式训练2】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．
这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个
三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数
1、3、3、1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．
（1）根据上面的规律，（a+b）4展开式的各项系数中最大的数为 ；
（2）求出25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5的值；
（3）若（x﹣1）2020＝a x2020+a x2019+a x2018+……+a x2+a x+a ，求出a +a +a +……+a +a 的值．
1 2 3 2019 2020 2021 1 2 3 2019 2020
【答案】（1）6；（2）﹣1；（3）﹣1
【详解】解：（1）第五行即为1、 4、 6、 4 、1对应（a+b）4展开式中各项的系数，
∴（a+b）4展开式的各项系数中最大的数为6，故答案为6；
（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，．．．．．．
根据展式中的2最大指数是5，首项a =2，末项b=-3,
∴25+5×24×（﹣3）+10×23×（﹣3）2+10×22×（﹣3）3+5×2×（﹣3）4+（﹣3）5＝[2+（﹣3）]5＝（2﹣3）5＝﹣
1；
（3）∵（x﹣1）2020＝a x2020+a x2019+a x2018+……+a x2+a x+a ，
1 2 3 2019 2020 2021
∴当x＝1时，（1﹣1）2020＝a ×12020+a ×12019+a ×12018+……+a 12+a ×1+a ，
1 2 3 2019 2020 2021
即a +a +a +……+a +a +a ＝0，
1 2 3 2019 2020 2021
当x＝0时，（0﹣1）2020＝a ×02020+a ×02019+a ×02018+……+a ×02+a ×0+a ，即a ＝1，
1 2 3 2019 2020 2021 2021
∴a +a +a +……+a +a = a +a +a +……+a +a +a - a ＝0﹣1＝﹣1．
1 2 3 2019 2020 1 2 3 2019 2020 2021 2021
【变式训练3】“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，
韵味无穷例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺．数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以
下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：
，
，
．
(1)下列选项中能构成“回文等式”的是______．（填上所有正确的序号）
A． 与 ；B． 与 ；
C． 与 ；D． 与 ；
E. 与
(2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明．
【答案】(1)CDE；(2)见解析
【解析】(1)解：A、 ， ， ，故该选项不符合题意；B、 与 不是回文等式，故该选项不符合题意；
C、 ， ，所以 ，故该选项符合题意；
D、 ，故该选项符合题意；
E、 ， ，所以 ，故该选项符合题意；
所以能构成“回文等式”的是CDE
故答案为：CDE；
(2)解：“回文等式”左边（右边）的两个两位数中十位数的积等于个位数的积，理由如下：
设回文等式左边的两个两位数为 ， ，其中a，b，c，d为小于10的正整数，
依题意得： ，
，解得： ，所以 ．
