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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 34 圆锥曲线中的定点、定值问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、定点问题
定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系
等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
【一般策略】
①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.
②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.
③探究直线过定点.一般化成点斜式 或者直线系方程
二、定值问题
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这
类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
【一般策略】
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量
的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值
【常用结论】
结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x，y）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一
0 0
定点（等轴双曲线除外）.
结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦
点.
结论3 过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.
结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x，y）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则k 为
0 0 AB
定值.
结论5 设点A，B是椭圆x2 y2 （a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点
+ =1
a2 b2
的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k，k，则k·k=-b2
1 2 1 2
a2二、题型精讲精练
【典例1】在平面直角坐标系 中， 椭圆 ： 的左，右顶点分别为 、 ，点
是椭圆的右焦点， ， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)不过点 的直线 交椭圆 于 、 两点，记直线 、 、 的斜率分别为 、 、 .若
，证明直线 过定点， 并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意知， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，从而 ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ， ， ．
直线 不过点 ，因此 ．
由 ，得 ，
时， ， ，
∴，
由 ，可得 ，即 ，
故 的方程为 ，恒过定点 ．
【典例2】已知椭圆 ，离心率为 ，点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直
角三角形．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点直线 ， 的斜率之积等于 ，试
探求 的面积是否为定值，并说明理由．
【解析】解：（1）椭圆 离心率为 ，即 ，
点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，
， ， ，故椭圆方程为 ．
（2）由直线与椭圆交于 ， 两点，
联立 ，得 ，
设 ， ， ， ，则△ ，
， ，
所以 ，，
，
原点 到 的距离 ，
为定值．
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．（22·23·全国·高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
2．（21·22·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
3．（21·22·全国·专题练习）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为 ，右准线l的方程为： ．(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点 ，使 ，证明： 为定值，并
求此定值．
4．（19·20·山东·高考真题）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
【题型训练2-刷模拟】
1 . 定点问题
一、解答题
1．已知抛物线 经过点 ，直线 与抛物线相交于不同的 、 两点．
(1)求抛物线 的方程；
(2)如果 ，直线 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
2．已知椭圆 的两个焦点分别为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)M为椭圆 的左顶点，直线 与椭圆 交于 两点，若 ，求证：直线 过定点．
3．设抛物线 的方程为 ，点 为直线 上任意一点，过点 作抛物线 的两条切线
， ，切点分别为 ， ．
(1)当 的坐标为 时，求过 ， ， 三点的圆的方程，并判断直线 与此圆的位置关系；
(2)求证：直线 恒过定点．
4．已知圆 ， 为圆 内一个定点， 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线 交
于点 ，当点 在圆 上运动时.
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)已知圆 ： 在 的内部， 是 上不同的两点，且直线 与圆 相切.求证：以 为直
径的圆过定点.
5．已知椭圆 的左焦点为 ，且点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 的上、下顶点分别为 ，点 ，若直线 与椭圆 的另一个交点分别
为点 ，证明：直线 过定点，并求该定点坐标.
6．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过双曲线 的右焦点 作互相垂直的两条弦（斜率均存在） 、 .两条弦的中点分别为 、 ，那
么直线 是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.7．在平面直角坐标系中， ， ，M为平面内的一个动点，且 ，线段AM的垂直平分
线交BM于点N，设点N的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设动直线l： 与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线 相交于点Q，问是否存在定点
H，使得以PQ为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.
8．已知 为椭圆 上一点，点 与椭圆 的两个焦点构成的三角形面积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)不经过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，若直线 与 的斜率之和为 ，证明：直线 必过定
点，并求出这个定点坐标．
9．已知椭圆 的左焦点为 ，点 在 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 的两条互相垂直的直线分别交 于 两点和 两点，若 的中点分别为 ，证明：直
线 必过定点，并求出此定点坐标．
10．在平面直角坐标系 中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线 经过点 .
(1)求 的方程；
(2)若 关于 轴对称，焦点为 ，过点 且与 轴不垂直的直线 交 于 ， 两点，直线 交 于
另一点 ，直线 交 于另一点 ，求证：直线 过定点.
11．平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 （ ）的离心率为 ，实轴长为4．(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点 且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直
线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若直线 的斜率 满足
，求点P的坐标．
12．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，过点 且与椭圆 有相同焦点
(1)求E的离心率：
(2)设椭圆E的下顶点为A，设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB
交于点T．证明：直线TN过定点．
13．在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ，设动点 到直线 的距离为 ，且
．
(1)求动点 的轨迹 的方程，并指出它表示什么曲线；
(2)已知过点 的直线与曲线 交于 两点，点 ，直线 与 轴分别交于点 ，试问：
线段 的中点是否为定点，若是定点，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
14．已知 为椭圆 ： 上一点，长轴长为 .(1)求椭圆 的标准方程；
(2)不经过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，若直线 与 的斜率之和为 ，证明：直线 必过定
点，并求出这个定点坐标.
15．椭圆 的左､右焦点分别为 ，左､右顶点分别为 ，点 在 上.已知
面积的最大值为 ，且 与 的面积之比为 .
(1)求 的方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线 交 于 两点， 与 不重合，直线 与 的斜率之积为 .证明：
过定点.
2 . 定值问题
一、解答题
1．已知 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上异于左､右顶点的任意一点， 的周长
为6，面积的最大值为 ：
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 的另一交点为 ，与 轴的交点为 .若 ， .试问： 是否
为定值？并说明理由.
2．在平面直角坐标系 中，已知圆心为 的动圆过点 ，且在 轴上截得的弦长为4，记 的轨迹
为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)已知 及曲线 上的两点 和 ，直线 经过定点 ，直线 的斜率分别为 ，
求证： 为定值．3．已知点 是离心率为 的椭圆 上的一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP
和BP的斜率之积是否为定值?若是，求此定值；若不是，请说明理由．
4．已知椭圆 离心率等于 且椭圆C经过点 ．
(1)求椭圆的标准方程 ；
(2)若直线 与轨迹 交于 两点， 为坐标原点，直线 的斜率之积等于 ，试探求
的面积是否为定值，并说明理由．
5．过点 的直线为 为圆 与 轴正半轴的交点.
(1)若直线 与圆 相切，求直线 的方程：
(2)证明：若直线 与圆 交于 两点，直线 的斜率之和为定值.
6．已知双曲线C : 的左､右焦点分别为 ， ，双曲线C的右顶点A在圆 O :
上，且 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)动直线 与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，求△OMN (O为坐
标原点）的面积．
7．已知圆 ，点 ，动直线 过定点 ．
(1)若直线 与圆 相切，求直线 的方程；
(2)若直线 与圆 相交于 两点，则 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．8．以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点 ．
(1)求椭圆的方程．
(2)设 是椭圆上一点（异于 ），直线 与 轴分别交于 两点．证明在 轴上存在两点 ，
使得 是定值，并求此定值．
9．已知 ，M为平面上一动点，且满足 ，记动点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若 ，过点 的动直线 交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的
斜率分别记为 ， ，求证： 为定值，并求出定值.
10．已知双曲线 的实轴长为4，离心率为 ．过点 的直线l与双曲线C
交于A，B两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点 ，若直线QA，QB的斜率均存在，试问其斜率之积是否为定值？请给出判断与证明．
11．已知椭圆C： 过点 ，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 的直线l交C于点M，N，直线 分别交直线 于点P，Q．求证： 为定值．12．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，离心率 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 过点 且与 的右支交于M，N两点，记 的左、右顶点分别为 ， ，直线 ，
的斜率分别为 ， ，证明： 为定值.
13．已知椭圆 的右焦点为 ，点 在E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分别交 于M，N
两点，O为坐标原点，求证： 为定值．
14．已知点 到 的距离是点 到 的距离的2倍.
(1)求点 的轨迹方程；
(2)若点 与点 关于点 对称，过 的直线与点 的轨迹 交于 ， 两点，探索 是否为定值？
若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
15．已知椭圆 ： 的离心率为 ，上焦点 到上顶点的距离为2.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，与定直线 ： 交于点 ，设 ， ，证明：
为定值.16．已知圆 的方程为 ，直线 与圆 交于 两点．
(1)若坐标原点 到直线的距离为 ，且 过点 ，求直线 的方程；
(2)已知点 ， 为 的中点，若 在 轴上方，且满足 ，在圆 上是否存在定
点 ，使得 的面积为定值？若存在，求出 的面积；若不存在，说明理由．
