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专题 27 复数的概念与运算
【考纲要求】
一、复数的概念
【思维导图】
【考点总结】
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决 +1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
① =-1，即i是方程 +1=0的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程 +1=0在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a
与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚
数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数 ，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
3．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi 有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b) 平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi 复平面内的
点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量 由点Z唯一确定；反过来，点
Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数
z=a+bi 平面向量 ，这是复数的另一种几何意义.
4．复数的模向量 的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，
它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r= (r 0,r∈R).
5．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用 表示，即若z=a+bi，则 =a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a
本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在
复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
① =z.
②实数的共轭复数是它本身，即z= z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
6．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.二、复数的四则运算
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设 =a+bi， =c+di(a,b,c,d R)是任意两个复数，那么 + =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意 , , ∈C，有
①交换律： + = + ；
②结合律：( + )+ = +( + ).
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设 =a+bi， =c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为 ， ，则 =(a,b)， =(c,d).
以 ， 对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得 =
+ =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应
的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义两个复数 =a+bi， =c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是 ， ，那么这两个复数的
差
- 对应的向量是 - ，即向量 .
如果作 = ，那么点Z对应的复数就是 - (如图所示).
这说明两个向量 与 的差 就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设 =a+bi， =c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意 , , ∈C，有
①交换律： = ；
②结合律：( ) = ( )；
③分配律： ( + )= + .
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z， , 和正整数m,n，有 =
，
= ， = .
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除
以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或 (a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)复数的除法法则(a+bi)÷(c+di)= = = = + i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
【题型汇编】
题型一：复数的概念
题型二：复数的四则运算
【题型讲解】
题型一：复数的概念
一、单选题
1．（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）若 （ 为虚数单位）是纯虚数，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据纯虚数实部为0，虚部不为0即可求解.
【详解】 ，
由于 为纯虚数，因此 且 ，故 ，
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）设复数z满足条件 ，那么 的最大值是（ ）
A．3 B．
C． D．4
【答案】D
【分析】 表示复数z在复平面上所表示的点在单位圆上，不妨假设 ，
再利用复数模的定义，结合三角函数的恒等变形和性质求解即可.
【详解】 表示单位圆上的点，设 ，
则，其中 ，
故 的最大值为4,
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或0
【答案】A
【分析】根据纯虚数的定义建立方程即可求出.
【详解】因为 是纯虚数，所以 ，解得 .
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】通过 对应的点为 ，确定对应点所在象限
【详解】复数 对应的点为 ，在第二象限.
故选：B
5．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）若 ，其中 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则求出 和 ，由几何意义即可得结果.
【详解】 ，
故复数在复平面内对应的点为 ，位于第二象限，故选：B.
6．（2022·北京实验学校平谷校区高三阶段练习）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复数的几何意义得到复数 ，结合复数乘法运算得到结果.
【详解】∵复数 对应的点的坐标为 ，
∴ ，∴ ，
故选：A
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】利用向量数量积的运算法则及复数的几何意义即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，即 ，则 ，故选项 正确；
因为 ，所以 ，
即 ，则 ，故选项 正确；
设 ，因为 与 在复平面上对应的点关于实轴对称，则 ，所以 ， ，则 ，
故选项 正确；
若 ， 满足 ，而 ，故选项 错误；
故选：ABC.
8．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标
平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如 ，也即复数 的模的几何意义为
对应的点 到原点的距离.下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．复数 与 分别对应向量 与 ，则向量 对应的复数为9+i
C．若点 的坐标为 ，则 对应的点在第三象限
D．若复数 满足 ，则复数 对应的点所构成的图形面积为
【答案】BCD
【分析】由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．
【详解】对于选项A，设 ，只需 即可，故错误；
对于选项B， 复数 与 分别表示向量 与 ，
表示向量 的复数为 ，故正确；
对于选项C，点 的坐标为 ，则 对应的点为 ，在第三象限，故正确；
对于选项D，若复数 满足 ，则复数 对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为
的圆环上，故所构成的图形面积为 ，故正确；
故选：BCD．
9．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【分析】对于A，举例判断，对于B，由复数相等的条件和复数的模的计算分析判断，对于C，两个虚数
无大小关系，对于D，对已知的式子化简变形即可
【详解】对于A，若 ，则满足 ，而不满足 ，所以A错误，
对于B，由 ，得 ，
所以 或 ，所以 或 ，所以 ，所以B正确，
对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，
对于D，由 ，得 ，所以 ，所以D正确，
故选：BD
三、解答题
10．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 ， ，其中 R，问
m为何值时 ．
【答案】 .
【分析】由题可得 ，即得.
【详解】∵复数 ， ，又因为 ，
则 ,
解得 ，故当 时，有 ．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 ， .
(1)求 ；
(2)复数 ， 对应的向量分别是 ， ，其中 为坐标原点，当 时，求 的值.
【答案】(1)29；
(2)-3.
【分析】（1）求出 ，再利用复数乘法运算计算作答.
（2）根据给定条件，求出 ， 的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.
(1)
因复数 ，则 ，
所以 .
(2)
依题意， ，当 时， ，
所以 .
12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的方程 有实数根.
(1)求实数a的值；
(2)设 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知，方程 有实数解，可列出关于 和 方程组，解方
程即可完成求解；（2）将第（1）问计算出的 带入 中，然后直接计算 即可.
（1）
由 ，整理得 ，
则 ，解得 .
所以实数a的值为 .
（2）
由（1）可得 .
.
13．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限， ，且 ，
求z；
（2）已知复数 为纯虚数，求实数m的值.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z；
（2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m的值.
【详解】解：（1）设 ，由题意每 ，
解得 ， ，
∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴ ，∴ .
（2）
，由题意得 ，解得
14．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 ．
(1)若 ，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求 的值．
【答案】(1)
(2)4或100
【分析】（1）根据复数 ，可知z为实数，列出方程，解得答案；
（2）根据z是纯虚数，列出相应的方程或不等式，再结合共轭复数的概念以及复数的乘法运算，求得答案.
（1）
因为 ，所以 ，所以 ，所以 或 ．
①当 时， ，符合题意；
②当 时， ，舍去．
综上可知： ．
（2）
因为z是纯虚数，所以 ，所以 或 ,
所以 ，或 ,
所以 或 ,
所以 或100．
题型二：复数的四则运算
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设 ，若复数 在复平面内对应的点位于实轴上，则 （
）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有 ，即可得答案.【详解】∵复数 在复平面内对应的点位于实轴上，
∴ ，即 ．
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】先对复数化简，再求其在复平面对应的点，从而可求得答案.
【详解】因为 ，
所以复数z在复平面内对应的点是 ，位于第三象限．
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若复数 ， 满足 ，则
C．若复数 为纯虚数，则
D．若复数 满足 ，则复数 的虚部为
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则计算可得.
【详解】解：由 ， ， ，令 ， ，
，则 ， ，
得 ， ， ．即 ．故A错误．
设 ， ，则 ，显然 ，则B错误．
设 ， ， ， ， ，故C错误．
由复数 满足 ， ， ，，
，则复数 的虚部为 ，故D正确．
故选：D．
4．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知 ， ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】利用复数的运算及复数相等的概念求解即可.
【详解】解:因为 ，所以 ，则 ， ．
故选: A.
5．（2023·全国·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算法则求解即可
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
6．（2023·山西大同·高三阶段练习）若复数z满足 ，其中 是虚数单位，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，解得 ，再由复数模的定义得答案.
【详解】由 ，得 ，所以 .
故选：D.7．（2023·湖北·高三阶段练习）若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 即得解.
【详解】由 ，得 ，
所以 的虚部为 ．
故选：B．
8．（2022·湖北孝感·高三阶段练习）若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据共轭复数和复数的模即可求解.
【详解】 ，
， ，
所以 .
故选：B
9．（2022·湖南·高三阶段练习）若复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则 等于（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】利用复数的除法化简 ，结合纯虚数的定义求解可得 ，利用复数的模的定义求解即可【详解】由题意可得： ，
由题意可得： ，解得 ，则 .
故选：B
10．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）设 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，根据复数的除法和乘法运算，结合共轭复数的定义，可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，虚部为 .
故选：C.
11．（2022·广东·盐田高中高三阶段练习）若复数 （i为虚数单位，a， 且 ）为纯虚数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简 ，根据其为纯虚数可得 且 ，即可求得答案.
【详解】由题意得
,
∵ 为纯虚数
∴ 且 ，∴ ，
另解：设 （ ），则 ，即 ， ，
∴ ，
故选：D.
12．（2023·福建漳州·三模）若复数z满足 ，则z=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，则 ， ，根据复数相等运算求解．
【详解】设 ，
则 ，
∵ ，即
可得 ，解得
即
故选：C．
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 满足方程 ，则（ ）
A． 可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根
C． 可能为 D．该方程的各根之和为2
【答案】ACD
【分析】依题意可得 或 ，即 或 ，从而求出 ，即可判断；
【详解】解：由 ，得 或 ，即 或 ，解得 或 ，
即方程的根分别为 、 、 、 ，
所以
故选：ACD.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知不相等的复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 是实数，则 与 不一定相等
B．若 ，则
C．若 ，则 在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若 ，则
【答案】AC
【分析】通过举例可判断A,B,D；由共轭复数的的概念判断C.
【详解】取 ， ，此时 是实数，但共轭复数不相等，故A正确；
取 ， ，满足 ，但 ，故B错误；
若 ，则 的实部相等，虚部互为相反数，则 在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确；
取 ， ，此时 ， ，
满足 ，但 与 不能比较大小，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查复数的运算与复数模的求法，考查运算求解能力，是基础题.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，且复数 对应的点在第一象限，则下列结
论正确的是（ ）A．复数 的虚部为
B．
C．
D．复数 的共轭复数为
【答案】BCD
【分析】先求出复数z，再对四个选项一一验证：
对于A：直接求出复数z的虚部，即可判断；
对于B：直接求出 ，即可判断；
对于C：直接求出 和 ，即可判断；
对于D：直接求出复数z的共轭复数，即可判断.
【详解】设复数 .
因为 ，且复数z对应的点在第一象限，
所以 ，解得： ，即 .
对于A：复数z的虚部为 .故A错误；
对于B： .故 B正确；
对于C：因为 ，所以 .故C正确；
对于D：复数z的共轭复数为 .故D正确.
故选：BCD三、解答题
16．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 .
(1)若 对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
(2)当 时，且 （ 表示 的共轭复数），若 ，求z.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的几何意义建立不等式即可求解；
（2）将复数 、 代入 中化简即可求解.
(1)
若 对应复平面上的点在第四象限，则 ，解得 .
(2)
当 时， ，则 .
∴ ，∴ .
17．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 ，其中 ，i为虚数单位．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求 的虚部．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）由题意得 ，求解即可；（2）先由题意求得 ，再根据复数的除法法则化简复数 ，由此可求得答案.
(1)
解：若z为实数，则 ，解得 ．
(2)
解：由题意得 解得 ，
∴ ，故 ，
∴ 的虚部为8．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 （ 是虚数单位）．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)设 是z的共轭复数，复数 在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；
（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可.
(1)
，
因为z为实数，
所以 ，解得 .
(2)
因为 是z的共轭复数，所以 ，
所以
因为复数 在复平面上对应的点位于第一象限，所以 ，同时 解得 .
19．（2023·全国·高三专题练习）设复数 、 满足 .
(1)若 、 满足 ，求 、 ；
(2)若 ，则是否存在常数 ，使得等式 恒成立？若存在，试求出 的值；若不存在，请说
明理由.
【答案】(1) 、 或 、
(2)存在，
【分析】（1）原方程可化为 ，再设 （ ），代入前者化简后可求 的
值，从而可求 、 ；
（2）由题设可有 ，根据其模为 结合复数的运算性质可得 ，从而可求 .
（1）
由 可得： ，代入已知方程得 ，
即 ，
令 （ ），∴ ，即 ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 、 或 、 ；
（2）由已知得 ，又 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 即 ，
所以 ，故 ，∴ ，
即 ，∴存在常数 ，使得等式 恒成立.
