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专题 11 等差数列与等比数列
一、知识速览
二、考点速览知识点1 数列的有关概念
1、数列的定义及表示
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
2、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数 有穷数列 项数有限
分类 无穷数列 项数无限
递增数列
按项与项
间的大小 递减数列 其中n∈N*
关系分类
常数列
有界数列
存在正数M，使
按其他标
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
准分类
周期数列
对n∈N*，存在正整数常数k，使
3、数列的通项公式：如果数列 的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫
做这个数列的通项公式．
4、数列的递推公式：如果已知数列 的首项(或前几项)，且任一项 与它的前一项 (或前几
项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
知识点2 等差数列的概念及公式
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言： ( ， 为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
3、通项公式与前n项和公式
（1）通项公式： ．
（2）前 项和公式： ．
（3）等差数列与函数的关系
①通项公式：当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，
且一次项系数为公差 .若公差 ，则为递增数列，若公差 ，则为递减数列．②前n项和：当公差 时， 是关于 的二次函数且常数项为0.
知识点3 等差数列的性质
已知数列 是等差数列， 是其前 项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广： ．
（2）若 ，则 ．
（3）若 的公差为d，则 也是等差数列，公差为 ．
（4）若 是等差数列，则 也是等差数列．
2、等差数列前 项和的性质
（1） ；
（2） ；
（3）两个等差数列 ， 的前n项和 ， 之间的关系为 .
（4）数列 ， ， ，…构成等差数列．
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为 ，则 ， ；
（2）若项数为 ，则 ， ， ， .
知识点4 等比数列的概念及公式
1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个
数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示。
数学语言表达式： ( ， 为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项，其中 .
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n项和公式
（1）通项公式：若等比数列 的首项为 ，公比是 ，则其通项公式为 ；
通项公式的推广： .
（2）等比数列的前 项和公式：当 时， ；当 时， .知识点5 等比数列的性质
已知 是等比数列， 是数列 的前 项和．
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ， ， ，…仍是等比数列，公比为 .
（2）若 ， （项数相同）是等比数列，则 ， ， ， ， 仍是等比数
列．
（3）若 ，则有
口诀：下标和相等，项的积也相等
推广：
（4）若 是等比数列，且 ，则 （ 且 ）是以 为首项， 为公差的
等差数列。
（5）若 是等比数列， ，则 构成公比为 的等比数列。
2、等比数列前 项和的性质
（1）在公比 或 且 为奇数时， ， ， ，……仍成等比数列，其公比为 ；
（2）对 ，有 ；
（3）若等比数列 共有 项，则 ，其中 ， 分别是数列 的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前 项和 ，令 ，则 （ 为常数，且
）
一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数
列)等方法.
2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征
和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑥对于符号交替出现的情况，可用 或 ， 处理.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， ， ， ，…则该数列的第211项为（ ）A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若数列 的前四项依次是2，0，2，0，则 的通项公式不可
能是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…； （2）
（3） ； （4）
二、数列周期性解题策略
1、周期数列的常见形式
（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而
求有关项的值或者前 项的和．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列 满足 ，且 ，则（
）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，且 ，则
.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ，且 ，则数列的
前2009项之和为 .
三、求数列最大项或最小项的方法
（1）将数列视为函数 当x∈N*时所对应的一列函数值，根据 的类型作出相应的函数图象，或利
用求函数最值的方法，求出 的最值，进而求出数列的最大(小)项．
（2）通过通项公式 研究数列的单调性，
利用 确定最大项，利用 确定最小项．
（3）比较法：
①若有 （或 时， ），
则 ，即数列 是递增数列，所以数列 的最小项为 ；
②若有 （或 时， ），
则 ，即数列 是递减数列，所以数列 的最大项为 ．
【典例1】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知数列 的前n项的积为 ，且
，则数列 （ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若数列 的前 项积 ，则 的最大值与最小值的和
为（ ）
A． B． C．2 D．3
【典例3】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知数列 的通项为 ，
，则（ ）
A．数列 的最小项为 B．数列 的最大项为C．数列 的最小值为－0.8 D．数列 的最大值为2.4
四、等差数列的基本运算的解题策略
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，a ，d，n，S ，知其中三个就能求另外两个，体
1 n n
现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 和d是等差数列的两个基本量，用
1
它们表示已知量和未知量是常用方法．
【典例1】（2023秋·江西吉安·高三校考开学考试）已知 为等差数列， 为其前 项和，
，则 （ ）
A．36 B．45 C．54 D．63
【典例2】（2023秋·湖南益阳·高三统考阶段练习）（多选）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，
且 ，则（ ）
A． B． C． D． 最大
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，
，则实数m的值是 ．
五、等差数列的判定与证明的方法：
1、定义法： 或 是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足 ；
3、等差中项法： 为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如 为常数 为等差数列；
5、前n项和公式法： 为常数 为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 ，使得 即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．【典例1】（2023·福建·校联考模拟预测）已知数列 的首项不为零，满足 ， ，
则 .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， 是1与 的等差中项，求证：数列
是等差数列.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）记 为数列 的前 项和．已知 ．证明：
是等差数列；
【典例4】（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）已知公比大于1的等比数列 满足： ，
．
（1）求 的通项公式；
（2）记数列 的前n项和为 ，若 ， ，证明： 是等差数列．
六、等差数列性质的应用
1、在等差数列{a}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
n
还可变形为a ＝a＋(m－n)d.
m n
2、等差数列{a}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
n
3、等差数列{a}中，若m＋n＝p＋q，则a＋a ＝a＋a(n，m，p，q∈N*)，
n n m p q
特别地，若m＋n＝2p，则a＋a ＝2a.
n m p
【典例1】（2023·河南·统考模拟预测）设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 （
）
A．15 B．30 C．45 D．60
【典例2】（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）设等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
七、等差数列的前n项和常用的性质应用
1、等差数列的依次k项之和，S，S －S，S －S ，…组成公差为k2d的等差数列．
k 2k k 3k 2k
2、数列{a}是等差数列⇔S＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列．
n n
3、若S 表示奇数项的和，S 表示偶数项的和，公差为d，
奇 偶 ⇔
①当项数为偶数2n时，S －S ＝nd，＝；
偶 奇
②当项数为奇数2n－1时，S －S ＝a，＝.
奇 偶 n
【典例1】（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）在等差数列 中，已知 ， ，则 （
）
A．90 B．40 C．50 D．60
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知 是等差数列 的前 项和，若 ，
，则 .
【典例3】（2022秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）若等差数列 ， 的前n项和分别为 ， ，且
，则 .
【典例4】（2022·浙江·高三专题练习）在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数
项的和为150，则n等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
八、等差数列前n项和最值求法
1、二次函数法： 将S ＝na ＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次
n 1
函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a>0，d<0，时，S 取得最大值；当a<0，d>0，时，S 取得最小值．
1 n 1 n
特别地，若a>0，d>0，则S 是{S}的最小值；若a<0，d<0，则S 是{S}的最大值．
1 1 n 1 1 n【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）设等差数列 的前 项和为
，若 ，则当 取得最大值时， .
【典例2】（2023·四川南充·模拟预测）等差数列 的前 项和为 ，则 的
最大值为（ ）
A．60 B．50 C． D．30
【典例3】（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）（多选）设等差数列 的前n项和为 ，若
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 最大 C． D．
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前n项和为 ，且 ．
（1）求 及数列 的通项公式；
（2）求 的最小值及对应的n的值．
九、已知{a }为等差数列，求数列{|a |}的前n项和的步骤
n n
第一步，解不等式a≥0(或a≤0)寻找{a}的正负项分界点．
n n n
第二步，求和：①若a 各项均为正数(或均为负数)，则{|a|}各项的和等于{a}的各项的和(或其相反数)；
n n n
②若a>0，d<0(或a<0，d>0)，这时数列{a}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
1 1 n
【典例1】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列 前三项的和为 ，前三项的积为8.
（1）求等差数列 的通项公式；
（2）若 ， ， 成等比数列，求数列 的前10项和 .
【典例2】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 ．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ，其中 ， ．
（1）求数列 的通项；
（2）求数列 的前n项和为 ．
十、求解等比数列的基本量常用的思想方法
1、方程的思想：等比数列的通项公式、前 n项和公式中联系着五个量： ，已知其中三个量，
可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 与q，在解题中根据已知条件建立关于a 与q的方
1 1
程或者方程组，是解题的关键．
2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当 时， ；当 时，
；在判断等比数列单调性时，也必须对 与 分类讨论．
【典例1】（2023秋·湖南岳阳·高三校考开学考试）设等比数列 的前n项和为 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．3
【典例2】（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）设 为等比数列 的前 项和，且 ，则
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【典例3】（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C．85 D．120十一、等比数列的性质及应用
1、等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前 n项和公式的变
形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
2、应用等比数列性质解题时的2个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若 ，则有 ”，可以减少运算量，提高解题
速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意
设而不求思想的运用．
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在等比数列 中， ， ，则 （
）
A．3 B．6 C．9 D．18
【典例2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列 的前 项和为 .若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三校考期中）在正项等比数列 中，若 ，则
．
【典例4】（2023秋·云南·高三校考阶段练习）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ，若 ，
，则 （ ）
A．90 B．135 C．150 D．180
【典例5】（2022秋·广东佛山·高三校考阶段练习）已知等比数列 的公比 ，且
，则 .十二、等比数列的判定与证明常用的方法：
1、定义法： 为常数且 数列 是等比数列．
2、等比中项法： 数列 是等比数列．
3、通项公式法： 数列 是等比数列．
4、前 项和公式法：若数列的前 项和 ，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（2）只满足 的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要 .
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的首项为1，向量 ， ，且
.证明： 为等比数列.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，数列 满足 （
），再从下面的条件①与②中任选一个作为已知条件，证明： 是等比数列. ① ，
（ ）；② ， （ ）.
易错点1 混淆数列与函数的区别
点拨：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解
数列问题，要注意 的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。
【典例1】（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在数列 中，若 ，前 项和
，则 的最大值为 .【典例2】（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）已知等差数列 的前n项和为 ， ．
数列 的前n项和为 ， ， ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的最大项．
易错点2 忽视两个“中项”的区别
点拨：若 成等比数列，则 为 和 的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “
”仅是“ 为 和 的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。
【典例1】（2022·全国·高三专题练习）若 ， ， 成等比数列， 是 ， 的等比中项， 是 ， 的等
比中项，则（ ）
A． B． C． ， ， 同号 D． 与 同号
【典例2】（2022秋·河南三门峡·高三统考期中）设等差数列 的公差 不为0， ，若 是 与
的等比中项，则k等于 .
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知 是公差为3的等差数列，其前 项的和为 ，设甲：
的首项为零；乙： 是 和 的等比中项，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
易错点3 等比数列求和时忽视对 讨论
点拨： 注意等比数列的求和公式是分段表示的： ，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
【典例1】（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）记 为等比数列 的前 项和，若 ，
则 （ ）
A．6 B． C． D．18
【典例2】（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）记 为等比数列 的前n项和，若
， ，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
【典例3】（2023·江苏淮安·统考模拟预测）设数列 的前 项和为 .记命题 ：“数列 为等比数
列”，命题 ：“ ， ， 成等比数列”，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
