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专题 06 函数的概念及其性质
【考纲要求】
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
一、函数的概念及其表示
【思维导图】
【考点总结】
一、函数的概念
(1)函数的概念：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B
中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x
A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值
的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
二、具体函数定义域的求法
函数的定义域是自变量x的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x
的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．
(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：
①若f(x)为整式，则其定义域为实数集R．
②若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．
③若f(x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．
⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组)；
②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．
三、抽象函数的定义域的求法
求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的
定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．
(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域．
一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是
由g(x)的取值范围，求x的取值范围．(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．
函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x [a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定
义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．
四、函数值域的求法
(1)常见函数的定义域和值域：
①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R．
②反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域是(－∞，0) (0，＋∞)，值域是(－∞，0) (0，＋∞)．
③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R．
当a＞0时，值域是；当a＜0时，值域是．
(2)求函数值域的常用方法．
①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；
如求函数y＝的值域时，由x2≥0及4－x2≥0知 [0,2]．故所求的值域为[0,2]．
②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函
数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．
③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间
接地求解原函数的值域．
例如形如y＝ax＋b±的函数，我们可令＝t，将函数y转化为关于自变量t的二次函数，然后利用配方法求其
值域．
④分离常数法：将形如y＝(a≠0)的函数，
分离常数，变形过程为＝＝＋，再结合x的范围确定的取值范围，从而确定函数的值域．
(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的
方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关
系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
五、分段函数
(1)定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分
段函数．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构
成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段．
六、函数解析式的求法
求函数的解析式的常用方法有：
(1)代入法：如已知f(x)＝x2－1，求f(x＋x2)时，有f(x＋x2)＝(x2＋x)2－1．
(2)待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可．
例如，一次函数可以设为f(x)＝kx＋b(k≠0)；二次函数可以设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)等．
(3)拼凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再
将解析式两边的g(x)用x代替即可．
(4)换元法：令t＝g(x)，再求出f(t)的解析式，然后用x代替f(g(x))解析式中所有的t即可．(5)方程组法：已知f(x)与f(g(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用g(x)代替两边的所有的x，得到关于f(x)及
f(g(x))的方程组．解之即可得出f(x)；
(6)赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式．
由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函
数用自变量和其他量的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．
二、函数的性质【考点总结】
一、函数的单调性
(1)增函数和减函数
名称
定义 几何意义 图形表示
[
对于定义域I内某个区间D上的任意两 f(x)的图象
增
个自变量的值x，x，当x＜x 时，都有 在区间D上
1 2 1 2
函
f(x)＜f(x)，那么就说f(x)在区间D上是 是“上升”
1 2
数
增函数，区间D称为f(x)的单调递增区间 的
对于定义域I内某个区间D上的任意两 f(x)的图象
减
个自变量的值x，x，当x＜x 时，都有 在区间D上
1 2 1 2
函
f(x)＞f(x)，那么就说f(x)在区间D上是 是“下降”
1 2
数
减函数，区间D称为f(x)的单调递减区间 的
(2)单调性
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区
间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．二、函数的最值
(1)最大值和最小值
定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；
②存在x I，使得f(x)＝M．
0 0
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大(小)值．
几何意义：函数y＝f(x)的最大(小)值是其图象上最高(低)点的纵坐标．
(2)最值
函数的最大值和最小值统称为函数的最值，则函数y＝f(x)的最值是图象上最高点或最低点的纵坐标．
三、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 关于 轴对
偶函数
称
，那么函数 就叫做偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 关于原点对
奇函数
称
，那么函数 就叫做奇函数
判断 与 的关系时，也可以使用如下结论：如果 或 ，则
函数 为偶函数；如果 或 ，则函数 为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 ，
也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
五、函数的对称性
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．
六、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做 的最小正周
期.
【题型汇编】
题型一：函数的定义
题型二：函数的定义域
题型三：函数的值域
题型四：函数的解析式
题型五：分段函数
题型六：函数的单调性
题型七：函数的最值
题型八：函数的奇偶性
题型九：函数的周期性
题型十：函数的对称性
【题型讲解】
题型一：函数的定义
一、单选题
1．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知下表为函数 部分自变量取值及其对应函数
值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到0.01．
3.27 1.57 0.26 0.42 0
0.27 0.26 0.21 0.20 0
下列关于函数 的叙述不正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 在 上没有零点
C． 在 上单调递减 D．
2．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称，且当
时， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3．（2022·江西九江·三模（理））已知函数 是定义在 的奇函数，且当 时，
．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广西桂林·二模（文））已知函数 ，且 ．
给出如下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论是
（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
5．（2022·山东济南·二模）已知函数 若 ，则m的值为（ ）
A． B．2 C．9 D．2或9
二、多选题
1．（2022·湖北十堰·三模）已知函数 ，则( )
A． ， ， 成等差数列 B． ， ， 成等差数列
题型二：函数的定义域
一、单选题
1．（2022·河南郑州·三模（理））设全集 ，集合 ， ，则下面
Venn图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．2．（2022·辽宁大连·二模）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西赣州·二模（文））下列四个命题中正确的是（ ）
A．若函数 的定义域为 ，则 的定义域为
B．若正三角形 的边长为 ，则
C．已知函数 ，则函数 的零点为
D．“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
4．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·山东威海·三模）已知函数 ，则（ ）
A．当 时，函数 的定义域为
B．当 时，函数 的值域为
C．当 时，函数 在 上单调递减
D．当 时，关于x的方程 有两个解
2．（2022·江苏江苏·一模）下列函数中，最大值是1的函数有（ ）
A． B．
C． D．
题型三：函数的值域
一、单选题
1．（2022·广东佛山·三模）箕舌线因意大利著名的女数学家玛丽亚·阿涅西的深入研究而闻名于世．如图所示，过原点的动直线交定圆 于点 ，交直线 于点 ，过 和 分别作 轴和
轴的平行线交于点 ，则点 的轨迹叫做箕舌线．记箕舌线函数为 ，设 ，下列说法正
确的是（ ）
A． 是奇函数 B．点 的横坐标为
C．点 的纵坐标为 D． 的值域是
2．（2022·陕西西安·三模（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·安徽·芜湖一中一模（文））已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝（
）
A．{1} B．{1，2，3}
C．{1，3} D．{1，3，5}
4．（2022·四川泸州·模拟预测（文））设集合 ，则 （ ）
A． B．C． D．
二、多选题
1．（2022·湖北武汉·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例
如 ， .则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在区间 （ ）上单调递增
B．若函数 ，则 的值域为
C．若函数 ，则 的值域为
D． ，
题型四：函数的解析式
一、单选题
1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北保定·二模）若函数 ，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·略阳县天津高级中学二模（理））若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·江苏·华罗庚中学三模） 是定义在 上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，函数 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C． D．
题型五：分段函数
一、单选题
1．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数 ，若函数 在 内恰
有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数 若 ，且 ，则 的最
大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）设 ，函数 ．若
在 上单调递增，且函数 与 的图象有三个交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
二、多选题
1．（2022·山东泰安·一模）已知函数 ， ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 在 上单调递增
B．当 时，方程 有且只有3个不同实根
C． 的值域为
D．若对于任意的 ，都有 成立，则
题型六：函数的单调性
一、单选题
1．（2022·湖南师大附中三模）下列两数的大小关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江西师大附中三模（理））下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·辽宁·育明高中一模）下列说法中正确的是（ ）A．若 ，则
B．若 ，则
C．若定义域为 的奇函数 在 单调递减，且 ，则满足 的 的取值范围为
D．若 ， ，则
题型七：函数的最值
一、单选题
1．（2022·上海普陀·二模）已知定义在 上的偶函数 ，满足 对任意的
实数 都成立，且值域为 .设函数 ，（ ），若对任意的 ，存在
，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海长宁·二模）若函数 存在反函数，则常数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设 且 ，若 对 恒成立，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山西晋城·三模（理））已知函数 ，若对任意 ， ，
恒成立，则m的最大值为（ ）A．－1 B．0 C．1 D．e
二、多选题
1．（2022·江苏·二模）已知定义在 上的函数 ，则（ ）
A．任意 ， ， ， 均能作为一个三角形的三条边长
B．存在 ，使得 ， ， 不能作为一个三角形的三条边长
C．任意 ， ， ， 均不能成为一个直角三角形的三条边长
D．存在 ，使得 ， ， 能成为一个直角三角形的三条边长
题型八：函数的奇偶性
一、单选题
1．（2022·上海金山·二模）对于定义在 上的函数 ，若同时满足：（1）对任意的 ，均有
；（2）对任意的 ，存在 ，且 ，使得 成立，则称
函数 为“等均”函数.下列函数中：① ；② ；③ ；④ ，
“等均”函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·上海虹口·二模）函数 是定义域为 的奇函数，且对于任意的 ，都有
成立.如果 ，则实数 的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·海南海口·二模）已知函数 是定义在 上的奇函数，函数 的图象关于直线对称，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·雅礼中学二模）函数 的定义域为 ，若 是奇函数， 是偶函数，则
（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． D．
二、多选题
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型九：函数的周期性
一、单选题
1．（2022·江西师大附中三模（文））定义在R上的函数 满足 ，且
当 时， .则函数 的所有零点之和为（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
2．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数 满足：对任意 ，
．当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．3．（2022·湖北武汉·二模）定义在 上的函数 满足 ，则下列是周期函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））已知定义域为R的奇函数 满足 ，且当
时 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
5．（2022·陕西汉中·二模（文））定义在R上的函数 ，满足 ，当 时，
，当 时， ，则 （ ）.
A．403 B．405 C．806 D．809
二、多选题
1．（2022·山东淄博·三模）已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，则下列结论正确的
是（ ）
A． 的图象关于 对称
B．
C．若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上单调递增
D．若函数 在区间 上的解析式为 ，则 在区间 上的解析式为
题型十：函数的对称性
一、单选题1．（2022·湖北·襄阳五中二模）已知函数 ，下列对于函数 性质的四个描述：
① 是 的极小值点；② 的图像关于点 中心对称；③ 有且仅有三个零点；④若
区间 上递增，则 的最大值为 ．其中正确的描述的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·天津河西·二模）已知定义在R上的函数 满足：① ；②
；③在 上的解析式为 ，则函数 与函数
的图象在区间 上的交点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022·福建漳州·三模）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
