北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题七 数列
7.1 数列的概念及运算
一、选择题
1.(2021湖南大联考,6)数列{a n }满足a 1 =1,且a n
={2a
n-1
-1 ,n为偶数,
(n≥2),则a 4 等于 ( )
2a +2,n为奇数
n-1
A.4 B.7 C.10 D.12
答案 B 由题意得,当n=2时,a=2a-1=1,当n=3时,a=2a+2=4,当n=4时,a=2a-1=7.故选B.
2 1 3 2 4 3
2.(2021甘肃二模,5)设S 是数列{a}的前n项和,若S=n2+2n,则a =( )
n n n 2 021
A.4 043 B.4 042 C.4 041 D.2 021
答案 A a =S -S =2 0212+2×2 021-2 0202-2×2 020=4 043.
2 021 2 021 2 020
3.(2020福建漳州三模,8)已知数列{a
n
}满足a
n+2
=a
n+1
-a
n
,n∈N*,a
1
=1,a
2
=2,则a
2 020
=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 B 数列{a
n
}满足a
n+2
=a
n+1
-a
n
,n∈N*,a
1
=1,a
2
=2,所以a
3
=1,a
4
=-1,a
5
=-2,a
6
=-1,a
7
=1,a
8
=2,……,所以数列是周
期数列,且周期为6,所以a =a =a=-1,故选B.
2 020 336×6+4 4
4.(2021四川绵阳三模,9)已知数列{a}满足:a=a=2,a=3a +4a (n≥3),则a+a =( )
n 1 2 n n-1 n-2 9 10
A.47 B.48 C.49 D.410
a +a
答案 C 由题意知a 1 +a 2 =4,由a n =3a n-1 +4a n-2 (n≥3)得a n +a n-1 =4(a n-1 +a n-2 ),即 n n-1 =4(n≥3),所以数列
a +a
n-1 n-2
{a+a }是等比数列,且公比为4,首项为4,所以a+a =49.故选C.
n n+1 9 10
解题关键 由已知关系求得数列{a+a }是等比数列,由等比数列通项公式可得结论.
n n+1
5.(2021河南新乡期末,9)意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数
列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,….这个数列称为斐波那契数列,该数列与自然界的许多现象有密切关系,在科学研究
中有着广泛的应用.数列{a
n
}满足a
1
=a
2
=1,a
n+2
=a
n
+a
n+1
(n∈N*),则该数列的前1 000项中,为奇数的项共有( )
A.333项 B.334项 C.666项 D.667项
答案 D 因为a=a=1为奇数,a=2为偶数,a=3,a=5为奇数,a=8为偶数,依此类推,a,a ,…,a 为偶数.由
1 2 3 4 5 6 9 12 999
999=3+3(n-1)=3n,可得为偶数的项共有333项,那么为奇数的项共有667项.
1
6.(2021江西八所重点高中联考,10)已知正项数列{a},S 是{a}的前n项和,且S=a2+ a-14,则S=( )
n n n n n 2 n n
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n2 15n n2
A. + B. +5n
4 4 3
3 5
C. n2+ n D.n2+3n
2 2
1 1
答案 A ∵{a}为正项数列,∴a>0.当n=1时,a=S=a2+ a-14,解得a=4(舍负),当n≥2时,S =a2 + a -
n n 1 1 1 2 1 1 n-1 n-1 2 n-1
1 1 1 1
14,∴a=S-S =a2-a2 + (a-a ),∴ (a+a )=(a+a )·(a-a ),即a-a = ,∴{a}是首项为4,公差为 的等差
n n n-1 n n-1 2 n n-1 2 n n-1 n n-1 n n-1 n n-1 2 n 2
n(n-1) 1 n2 15
数列,∴S=n×4+ × = + n.故选A.
n 2 2 4 4
1
7.(2021安徽五校联考二,7)在数列{a}中,a= 且(n+2)a =na,则它的前30项和S =( )
n 1 n+1 n 30
2
30 29 28 19
A. B. C. D.
31 30 29 29
答案 A ∵(n+2)a n+1 =na n ,∴ a n+1= n ,∴a n =a 1 · a 2· a 3·…· a n =1·1·2·…·n-1= 1 =1-
a n+2 a a a 2 3 4 n+1 n(n+1) n
n 1 2 n-1
1 1 1 1 1 1 30
,因此,S =1- + - +…+ - = .故选A.
n+1 30 2 2 3 30 31 31
8.(2021陕西汉中二模,10)已知数列{a}的前n项和为S,若3S=2a-3n,则a =( )
n n n n 2 021
A.(1) 2 021 -7 B.32 021-6
2 2
C.-22 021-1 D.22 021-1
答案 C 当n=1时,3S=3a=2a-3,解得a=-3.当n≥2时,由3S=2a-3n可得3S =2a -3(n-1),上述两式作差得
1 1 1 1 n n n-1 n-1
3a=2a-2a -3,所以a=-2a -3,即a+1=-2(a +1),又a+1=-2,所以数列{a+1}是以-2为首项,-2为公比的等比数
n n n-1 n n-1 n n-1 1 n
列,所以a +1=-2×(-2)2 020=-22 021,因此a =-22 021-1.故选C.
2 021 2 021
1
9.(2022届哈尔滨六中期中,15)已知数列{a
n
}满足a
1
=1,a
2
=-2,a
n+2
=-
a
(n∈N*),则该数列前26项的和为
n
.
答案 -10
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1 1 1 1 1
解析 由题意得a=- =-1,a=- = ,a=- =1,a=- =-2,因此该数列的周期为4,且a+a+a+a=1+(-2)+
3 a 4 a 2 5 a 6 a 1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 3
(-1)+ =- ,所以该数列前26项的和为- ×6+1+(-2)=-10.
2 2 2
10.(2021安徽滁州重点高中质监,16)已知数列{a},a=2,S 为数列{a}的前n项和,且对任意n≥2,都有
n 1 n n
2a
n =1,则{a n }的通项公式为 .
a S -S2
n n n
{
2,n=1
答案 a=
n 2
- ,n≥2
n(n-1)
解析 对任意n≥2,都有 2a n =1,则 2(S n -S n-1 ) =1,整理得 1 - 1 =1(常数),故数列{1 }
a S -S2 (S -S )S -S2 S S 2 S
n n n n n-1 n n n n-1 n
1 1 1 n 2 2
是以 为首项, 为公差的等差数列,则 = ,故S= ,当n≥2时,a=S-S =- ,当n=1时,不符合上
2 2 S 2 n n n n n-1 n(n-1)
n
{
2(n=1),
式,故a=
n 2
- (n≥2).
n(n-1)
11.(2021安徽宣城调研二,14)若数列{a
n
}满足a
1
=1,且对于任意的n∈N*,都有a
n+1
-a
n
=n+1,则数列{1 }的前n
a
n
项和S= .
n
2n
答案
n+1
1
解析 由题可得当n≥2时,a=a+(a-a)+(a-a)+…+(a-a )=1+2+3+…+n= n(n+1),当n=1时也符合上式,
n 1 2 1 3 2 n n-1
2
则 1 = 2 =2(1
-
1 ),所以S
n
=2(
1-
1
+
1
-
1
+…+
1
-
1 )=2(
1-
1 )= 2n .
a n(n+1) n n+1 2 2 3 n n+1 n+1 n+1
n
解后反思 若{a}满足a-a =f(n),可考虑用累加法求通项公式,其原理为a=(a-a )+(a -a )+…+(a-
n n n-1 n n n-1 n-1 n-2 2
a)+a=f(n)+f(n-1)+…+f(2)+a,运算化简即可.
1 1 1
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12.(2021河南驻马店期末,15)已知数列{a n }的首项为2,且满足a n+1 = 2a n ,则 1 = .
3a +1 a
n n
5
答案 3-
2n
解析 由题意知, 1 = 3a n +1 =3+ 1 ,则 1 -3= 1( 1 -3 ),又因为 1 -3=-5,所以数列{1 -3 }是
a 2a 2 2a a 2 a a 2 a
n+1 n n n+1 n 1 n
以-5为首项,1为公比的等比数列,所以 1 -3=( 5)·(1) n-1 =- 5 ,则 1 =3- 5 .
-
2 2 a 2 2 2n a 2n
n n
二、填空题
13.(2022届安徽安庆月考,14)在数列{a}中,a=1,a -a=9-2n,则数列{a}中最大项的数值为 .
n 1 n+1 n n
答案 17
(n-1)n
解析 当n≥2时,a=(a-a )+(a -a )+…+(a-a)+a=(11-2n)+(13-2n)+…+7+1=9(n-1)-2× +1=-
n n n-1 n-1 n-2 2 1 1
2
n2+10n-8=-(n-5)2+17,所以数列{a}中最大项的数值为17.
n
14.(2021安徽宣城调研(二),14)若数列{a
n
}满足a
1
=1,且对于任意的n∈N*,都有a
n+1
-a
n
=n+1,则数列{1 }的前n
a
n
项和S= .
n
2n
答案
n+1
1
解析 由a
1
=1,且对于任意的n∈N*,都有a
n+1
-a
n
=n+1,可得a
n
=a
1
+(a
2
-a
1
)+(a
3
-a
2
)+…+(a
n
-a
n-1
)=1+2+3+…+n=
2
n(n+1),则 1 = 2 =2(1
-
1 ),所以S
n
=2(
1-
1
+
1
-
1
+…+
1
-
1 )=2(
1-
1 )=
a n(n+1) n n+1 2 2 3 n n+1 n+1
n
2n
.
n+1
解后反思 若{a}满足a-a =f(n)(n≥2,f(n)可求),可考虑用累加法求通项公式,其原理为a=(a-a )+(a -
n n n-1 n n n-1 n-1
a )+…+(a-a)+a=f(n)+f(n-1)+…+f(2)+a,运算化简即可.
n-2 2 1 1 1
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2S2
15.(2022届广西10月联考,16)设数列{a n }前n项和为S n ,若a 1 =1,a n = n (n≥2,n∈N*),则S n = .
2S -1
n
1
答案
2n-1
解析 ∵当n≥2时,a n = 2S2 n ,∴S n -S n-1 = 2S2 n ,即S n -S n-1 =-2S n S n-1 ,∴ 1 - 1 =2,∴数列{1 }是以1为首
2S -1 2S -1 S S S
n n n n-1 n
1 1
项,2为公差的等差数列,∴ =2n-1,∴S= .
S n 2n-1
n
16.(2021河南安阳林州模拟,16)若数列
{
(2n-1)
(5) n}
中的最大项是第k项,则k= .
6
答案 6
解析 根据题意知,(2k-1)(5) k >(2k+1)(5) k+1 ,且(2k-1)(5) k >(2k-3)·(5) k-1 ,解得11<k<13,又k∈N*,故
6 6 6 6 2 2
k=6.
思路分析 建立第k项与第(k+1)项及第(k-1)项的不等式,解不等式找出符合题意的正整数.
三、解答题
17.(2022届四川绵阳诊断(一),18)已知S 是数列{a}的前n项和,S=2a-2.
n n n n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)求aa-aa+…+(-1)n+1aa .
1 2 2 3 n n+1
解析 (1)当n=1时,S=2a-2=a,解得a=2.
1 1 1 1
∵S
n
=2a
n
-2①,∴当n≥2时,S
n-1
=2a
n-1
-2②.
①-②得a
n
=2a
n-1
(n≥2),∴数列{a
n
}是首项为2,公比为2的等比数列,∴a
n
=2n.
8
(2)由(1)得aa =2×4n,∴aa-aa+…+(-1)n+1·aa =2[4-42+…+(-1)n+1×4n]= [1-(-4)n].
n n+1 1 2 2 3 n n+1
5
1
18.(2020河南百所名校大联考,19)已知各项均为正数的数列{a}的前n项和为S,a=2,且满足
a2
n n 1 2 n
=S+S (n≥2).
n n-1
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)若数列{b}满足baa =2,求数列{b}的前n项和T.
n n n n+1 n n
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1
解析 (1)因为
a2
=S+S (n≥2),
2 n n n-1
1
所以当n≥3时,
a2
=S +S ,
2 n-1 n-1 n-2
1 1
两式相减得 a2 - a2 =(S-S )+(S -S )(n≥3),所以a2-a2 =2(a+a )(n≥3),
2 n 2 n-1 n n-1 n-1 n-2 n n-1 n n-1
即(a+a )(a-a )=2(a+a )(n≥3).
n n-1 n n-1 n n-1
又因为各项均为正数,所以a+a >0,
n n-1
故a-a =2(n≥3).
n n-1
1 1
又
a2
=S+S,S=a=2,所以
a2
=4+a,又a>0,解得a=4,从而a-a=4-2=2.
2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1
故{a}是公差为2的等差数列,而a=2,
n 1
所以a
n
=2n(n∈N*).
(2)由(1)及b
n
a
n
a
n+1
=2知,b
n
= 2 = 2 = 1 =1(1
-
1 ),
a a 2n·2(n+1) 2n(n+1) 2 n n+1
n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
所以T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=2 1-2+2-3+3-4+…+n-n+1 =2(n+1).
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