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第 01 讲 数列的概念与简单表示法
(精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）已知数列1， ，5， ，9，…，则该数列的第10项为（ ）
A． B． C．19 D．21
【答案】B
解：依题意可得该数列的通项公式可以为 ，所以 .
故选：B
2．（2022·广西·高二学业考试）数列 的前4项为： ，则它的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
将 可以写成 ，
所以 的通项公式为 ；
故选:C
3．（2022·广西·高二学业考试）一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称
为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（ ）
A．1 B．6 C．10 D．20
【答案】C
根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为： .
故选：C
4．（2022·陕西·绥德中学高一阶段练习）已知数列 满足 ，对任意的 都有 ，
则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
由 得： ，
， ， ，…， ，
各式作和得： ，
， .
故选：C.
5．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对
时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即 ，
此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的
数列 ，则 的值为（ ）
A．2696 B．2697 C．2698 D．2700
【答案】A
解：由题意得：数列 为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
所以该数列的周期为6，
所以 ，
，
，
故选：A
6．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）若数列 的通项公式是 ，则
（ ）
A． B． C．15 D．16
【答案】A
数列 的通项公式 ，
则
则
故选：A7．（2022·山西太原·三模（理））已知数列 的前n项和 则数列 的前n项和 =
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
当 时， 符合上式，
所以 ，所以 ，
则数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
故 .
故选：A.
8．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）已知对任意 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为对任意 ，
所以当 时， ，
当 时，得 ，
两式相减得 ，即 ，
又 适合上式，
所以 ，所以 .
故选：A
二、多选题
9．（2022·吉林·长春市第二中学高二阶段练习）已知数列{an}中，a＝3，an ＝－ ，能使an＝3的n
1 ＋1
可以为（ ）
A．22 B．24
C．26 D．28
【答案】AD
解：由a＝3，an ＝－ ，得a＝－ ，a＝－ ，a＝3．
1 ＋1 2 3 4
所以数列{an}是周期为3的数列，故a ＝a ＝3．
22 28
故选：AD
10．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 的通项公式为 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
解：因为 ，所以 ， ， ， ， ， ， ，所
以A错误，B正确，
，故C正确；
因为 ，所以 ，所以 ，故D错误；
故选：BC
三、填空题
11．（2022·广西·南宁三中二模（文））写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 的通项
公式： __________．
（1）数列 是无穷等比数列；（2）数列 不单调；（3）数列 单调递减．
【答案】 （答案不唯一）
由题意可得， 满足（1）数列 是无穷等比数列；（2）数列 不单调；（3）数列 单
调递减，故答案为：
12．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知数列 是严格递减数列，n为正整
数，则实数k的取值范围是____________．
【答案】
因为 是严格递减数列，
所以 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，解得 .
故答案为： .
四、解答题
13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，若数列 为递增数列，求
的取值范围．
【答案】
依题意对于 ，都有 ，
即 ， ，
，∴ ，
故答案为： .
14．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 的前 项和 满足： .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
(1)由题意： ，
当 时，可得 ，
两式相减得到
又 ， 是首项为 ，公比为 的等比数列
的通项公式为 .
B 能力提升
一、单选题
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））设数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
当 时， ，解得 .
当 时， ，
所 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列，则 ，
从而 ，故 .
故选：C
2．（2022·北京四中三模）已知数列{ }的通项为 ，则“ ”是“ ， ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
由题意，数列 的通项为 ，
则 ，
即 ，对 恒成立，
当 时， 取得最小值 ，所以 ，
所以“ ”是“ ， ”的充分不必要条件.
故选：A.
二、填空题
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知数列 满足 ，则数
列 的前2022项的和为___________.
【答案】
由题意可知，满足 ，
当 时， ，
，以上各式累加得，.
，
当 时， 也满足上式，∴ ，则 .
∴数列 的前n项和为 ，
∴ .
故答案为： .
4．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（理））如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，
此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到．依次类推，则该数表中，第n
行第1个数是____________．
【答案】
观察数表，得出每一行都成等差数列，且第n行公差为 ，
因此设第n行第1个数是 ，则第n行第2个数是 ，
从而可得 ，从而 ，
所以 是等差数列，公差为 ，
所以 ．
故答案为： ．
三、解答题
5．（2022·湖南师大附中三模）已知数列 的前三项与数列 的前三项对应相同，且
对任意的 都成立，数列 是等差数列.
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)证明：不存在 ，使得 .【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(1)因为 ①，
则当 时， ②，
①—②，得 ，则 ，
在①中令 ，可得 ，所以 .
由题设， ， ， ，则 ， ，
数列 的公差为 ，
，
所以 .
(2) ，
当 时， 单调递增，且 ，
所以 时， ，
又 ，所以不存在 ，使得 .
6．（2022·山东·安丘市普通教育教学研究室高二期中）已知正项数列 的前 项和为 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
的最小值.
【答案】(1)
(1) ①；
当 时，代入①得 .
当 时， ②；
①-②得 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 为等差数列，公差为1，
所以 .7．（2022·全国·高三专题练习）问题：已知 ，数列 的前n项和为 ，是否存在数列 ，满足
，__________﹖若存在．求通项公式 ﹔若不存在，说明理由．
在① ﹔② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在上面
问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选①： ；选②： ；选③：
选①：
，即 是以2为公差，1为首项的等差数列
，即
当 时，
显然， 时，上式不成立，所以 .
选②：当 时， ，即
所以
整理得
又 ，
所以 从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列
当 时， ，即
显然， 时，上式成立，所以
选③：
又
是以2为公比和首项的等比数列
，即
C 综合素养
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测.推背图以天干地支的名称
进行排列，共有60象，其中天干分别为甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸，地支分别为子､丑､寅､卯､辰､
已､午､未､申､酉､戌､亥.该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸
酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推
2023年是“癸卯”年，正值哈尔滨市第三中学建校100周年，那么据此推算，哈三中建校的年份是（
）
A．癸卯年 B．癸亥年 C．辛丑年 D．辛卯年
【答案】B
依题意可知，天干的周期为 ，地支的周期为 ，
因为 ，所以哈三中建校的年份的天干也是癸；
因为 ，所以哈三中建校的年份的地支为亥，
哈三中建校的年份是“癸亥年”.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于
解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量
总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、
24、32、40、50，则此数列的第21项是（ ）
A．200 B．210 C．220 D．242
【答案】C
根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、12、24、
40，有
故其奇数项上的通项公式为 故 ，
故选：C
3．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前 项为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，通项公式为 ，
若把这个数列 排成下侧形状，并记 表示第 行中从左向右第 个数，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题可知，设数阵第 行的项数为 ，则数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，
数列 的前 项和为 ，
所以， 是数列 的第 项，因此， .
故选：D.
4．(多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，
（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数 （k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，
例如： ， ， ， ．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么
，例如： ，则（ ）
A．
B．数列 是等比数列
C．数列 不是递增数列
D．数列 的前n项和小于
【答案】ABD
，A对；
∵2为质数，∴在不超过 的正整数中，所有偶数的个数为 ，
∴ 为等比数列，B对；
∵与 互质的数为共有 个，∴
又∵ = ，∴ 一定是单调增数列，C错；
， 的前n项和为
，D对.
故选：ABD．
5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的
一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，
一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫
在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分
成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个
正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________.
【答案】
由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的 ，边数是上一个图形的4倍，
则周长之间的关系为 ，
所以{ }是公比为 的等比数列，而首项 ，所以 ，
当 时，“雪花”状多边形的周长为 .
故答案为：
