文档内容
§6.1 数列的概念
考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是
自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a ＞a
n＋1 n
递减数列 a ＜a 其中n∈N*
n＋1 n
项与项间的
常数列 a ＝a
n＋1 n
大小关系
从第二项起，有些项大于它的前一项，
摆动数列
有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
如果数列{a}的第n项a 与它的 序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式
n n
子叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个
数列的递推公式．
常用结论
1．已知数列{a}的前n项和S，则a＝
n n n
2．在数列{a}中，若a 最大，则(n≥2，n∈N*)；若a 最小，则(n≥2，n∈N*)．
n n n思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × )
(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(4)如果数列{a}的前n项和为S，则对任意n∈N*，都有a ＝S －S.( √ )
n n n＋1 n＋1 n
教材改编题
1．若数列{a}满足a＝2，a ＝，则a 的值为( )
n 1 n＋1 2 023
A．2 B．－3 C．－ D.
答案 C
解析 因为a＝2，a ＝，
1 n＋1
所以a＝＝－3，
2
同理可得a＝－，a＝，a＝2，…，
3 4 5
可得a ＝a，则a ＝a ＝a＝－.
n＋4 n 2 023 505×4＋3 3
2．数列，，，，，…的通项公式是a＝________.
n
答案 ，n∈N*
解析 ∵a＝＝，
1
a＝＝，
2
a＝＝，
3
a＝＝，
4
a＝＝，
5
∴通过观察，我们可以得到如上的规律，
则a＝，n∈N*.
n
3．已知数列{a}的前n项和S＝2n2－3n，则数列{a}的通项公式a＝________.
n n n n
答案 4n－5
解析 a＝S＝2－3＝－1，
1 1
当n≥2时，a＝S－S
n n n－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
＝4n－5，
因为a 也适合上式，所以a＝4n－5.
1 n
题型一 由a 与S 的关系求通项公式
n n
例1 (1)设S 为数列{a}的前n项和，若2S＝3a－3，则a 等于( )
n n n n 4
A．27 B．81C．93 D．243
答案 B
解析 根据2S＝3a－3，
n n
可得2S ＝3a －3，
n＋1 n＋1
两式相减得2a ＝3a －3a，
n＋1 n＋1 n
即a ＝3a，
n＋1 n
当n＝1时，2S＝3a－3，解得a＝3，
1 1 1
所以数列{a}是以3为首项，3为公比的等比数列，
n
所以a＝aq3＝34＝81.
4 1
(2)设数列{a}满足a＋3a＋…＋(2n－1)a＝2n，则a＝________.
n 1 2 n n
答案
解析 当n＝1时，a＝21＝2.
1
∵a＋3a＋…＋(2n－1)a＝2n，①
1 2 n
∴a＋3a＋…＋(2n－3)a ＝2n－1(n≥2)，②
1 2 n－1
由①－②得，(2n－1)·a＝2n－2n－1＝2n－1，
n
∴a＝(n≥2)．
n
显然n＝1时不满足上式，∴a＝
n
教师备选
1．已知数列{a}的前n项和S＝n2＋2n，则a＝________.
n n n
答案 2n＋1
解析 当n＝1时，a ＝S ＝3.当n≥2时，a ＝S －S ＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.
1 1 n n n－1
由于a＝3适合上式，∴a＝2n＋1.
1 n
2．已知数列{a}中，S 是其前n项和，且S＝2a＋1，则数列的通项公式a＝________.
n n n n n
答案 －2n－1
解析 当n＝1时，a＝S＝2a＋1，
1 1 1
∴a＝－1.
1
当n≥2时，S＝2a＋1，①
n n
S ＝2a ＋1.②
n－1 n－1
①－②得S－S ＝2a－2a ，
n n－1 n n－1
即a＝2a－2a ，
n n n－1
即a＝2a (n≥2)，
n n－1
∴{a}是首项为a＝－1，公比为q＝2的等比数列．
n 1
∴a＝a·qn－1＝－2n－1.
n 1
思维升华 (1)已知S 求a 的常用方法是利用a＝转化为关于a 的关系式，再求通项公式．
n n n n(2)S 与a 关系问题的求解思路
n n
方向1：利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
方向2：利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
跟踪训练1 (1)已知数列{a}的前n项和为S，且S＝2n2＋n＋1，n∈N*，则a＝________.
n n n n
答案
解析 根据题意，
可得S ＝2(n－1)2＋(n－1)＋1.
n－1
由通项公式与求和公式的关系，
可得a＝S－S ，
n n n－1
代入化简得
a＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1.
n
经检验，当n＝1时，S＝4，a＝3，
1 1
所以S≠a，
1 1
所以a＝
n
(2)设S 是数列{a}的前n项和，且a＝－1，a ＝SS ，则a＝________.
n n 1 n＋1 n n＋1 n
答案
解析 由已知得a ＝S －S＝S S，
n＋1 n＋1 n n＋1 n
两边同时除以S S，
n＋1 n
得－＝－1.
故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，
则＝－1－(n－1)＝－n.
所以S＝－.
n
当n≥2时，
a＝S－S ＝－＋＝，
n n n－1
故a＝
n
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 在数列{a}中，a＝2，a ＝a＋ln，则a 等于( )
n 1 n＋1 n n
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案 A
解析 因为a －a＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，
n＋1 n
所以a－a＝ln 2－ln 1，
2 1
a－a＝ln 3－ln 2，
3 2a－a＝ln 4－ln 3，
4 3
……
a－a ＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
n n－1
把以上各式分别相加得a－a＝ln n－ln 1，
n 1
则a＝2＋ln n(n≥2)，且a＝2也适合，
n 1
因此a＝2＋ln n(n∈N*)．
n
命题点2 累乘法
例3 若数列{a}满足a＝1，na ＝(n＋1)·a(n≥2)，则a＝________.
n 1 n－1 n n
答案
解析 由na ＝(n＋1)a(n≥2)，
n－1 n
得＝(n≥2)．
所以a＝···…···a＝×××…×××1＝，
n 1
又a＝1满足上式，所以a＝.
1 n
教师备选
1．在数列{a}中，a＝3，a ＝a＋，则通项公式a＝________.
n 1 n＋1 n n
答案 4－
解析 ∵a －a＝＝－，
n＋1 n
∴当n≥2时，a－a ＝－，
n n－1
a －a ＝－，
n－1 n－2
……
a－a＝1－，
2 1
∴以上各式相加得，a－a＝1－，
n 1
∴a＝4－，a＝3适合上式，
n 1
∴a＝4－.
n
2．若{a}满足2(n＋1)·a＋(n＋2)·a·a －n·a＝0，且a>0，a＝1，则a＝________.
n n n＋1 n 1 n
答案 n·2n－1
解析 由2(n＋1)·a＋(n＋2)·a·a －n·a＝0得
n n＋1
n(2a＋a·a －a)＋2a(a＋a )＝0，
n n＋1 n n n＋1
∴n(a＋a )(2a－a )＋2a(a＋a )＝0，
n n＋1 n n＋1 n n n＋1
(a＋a )[(2a－a )·n＋2a]＝0，
n n＋1 n n＋1 n
又a>0，
n
∴2n·a＋2a－n·a ＝0，
n n n＋1
∴＝，
又a＝1，
1∴当n≥2时，
a＝··…···a
n 1
＝×××…×××1＝2n－1·n.
又n＝1时，a＝1适合上式，
1
∴a＝n·2n－1.
n
思维升华 (1)形如a －a ＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式a ＝(a －a )＋(a －
n＋1 n n n n－1 n－1
a )＋…＋(a－a)＋a(n≥2)，即可求数列{a}的通项公式．
n－2 2 1 1 n
(2)形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式
相乘，利用a＝a···…·(n≥2)即可求数列{a}的通项公式．
n 1 n
跟踪训练 2 (1)已知数列{a}的前 n项和为 S ，若 a ＝2，a ＝a ＋2n－1＋1，则 a ＝
n n 1 n＋1 n n
________.
答案 2n－1＋n
解析 ∵a ＝a＋2n－1＋1，
n＋1 n
∴a －a＝2n－1＋1，
n＋1 n
∴当n≥2时，a＝(a－a )＋(a －a )＋…＋(a－a)＋(a－a)＋a＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋
n n n－1 n－1 n－2 3 2 2 1 1
1＋a＋n－1＝＋2＋n－1＝2n－1＋n.
1
又∵a＝2满足上式，
1
∴a＝2n－1＋n.
n
(2)(2022·莆田模拟)已知数列{a}的前n项和为S ，a ＝1，S ＝n2a(n∈N*)，则数列{a}的通
n n 1 n n n
项公式为________．
答案 a＝
n
解析 由S＝n2a，
n n
可得当n≥2时，S ＝(n－1)2a ，
n－1 n－1
则a＝S－S ＝n2a－(n－1)2a ，
n n n－1 n n－1
即(n2－1)a＝(n－1)2a ，
n n－1
易知a≠0，故＝(n≥2)．
n
所以当n≥2时，
a＝×××…×××a
n 1
＝×××…×××1
＝.
当n＝1时，a＝1满足a＝.
1 n
故数列{a}的通项公式为a＝.
n n
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性例4 已知数列{a}的通项公式为a ＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{a}为递增数
n n n
列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若数列{a}为递增数列，
n
则有a －a>0，
n＋1 n
∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn
＝2n＋1－2λ>0，
即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，
于是有λ< ＝，
min
∵由λ<1可推得λ<，
但反过来，由λ<不能得到λ<1，
因此“λ<1”是“数列{a}为递增数列”的充分不必要条件．
n
命题点2 数列的周期性
例5 (2022·广州四校联考)数列{a}满足a＝2，a ＝(n∈N*)，则a 等于( )
n 1 n＋1 2 023
A．－2 B．－1
C．2 D.
答案 C
解析 ∵数列{a}满足a＝2，
n 1
a ＝(n∈N*)，
n＋1
∴a＝＝－1，
2
a＝＝，
3
a＝＝2，…，
4
可知此数列有周期性，周期T＝3，
即a ＝a，则a ＝a＝2.
n＋3 n 2 023 1
命题点3 数列的最值
例6 已知数列{a}的通项公式a＝(n＋1)·n，则数列{a}的最大项为( )
n n n
A．a 或a B．a 或a
8 9 9 10
C．a 或a D．a 或a
10 11 11 12
答案 B
解析 结合f(x)＝(x＋1)x的单调性，
设数列{a}的最大项为a，
n n所以
所以
解不等式组可得9≤n≤10.
所以数列{a}的最大项为a 或a .
n 9 10
教师备选
1．已知数列{a}的通项公式为a＝，若数列{a}为递减数列，则实数k的取值范围为( )
n n n
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
答案 D
解析 因为a －a＝－
n＋1 n
＝，
由数列{a}为递减数列知，
n
对任意n∈N*，a －a＝<0，
n＋1 n
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，
所以k∈(0，＋∞)．
2．在数列{a}中，a＝1，aa ＝1，则log a＋log a＋…＋log a 等于( )
n 1 n n＋3 5 1 5 2 5 2 023
A．－1 B．0
C．log 3 D．4
5
答案 B
解析 因为aa ＝1，所以a a ＝1，所以a ＝a，所以{a}是周期为6的周期数列，
n n＋3 n＋3 n＋6 n＋6 n n
所以log a＋log a＋…＋log a
5 1 5 2 5 2 023
＝log (aa…a )
5 1 2 2 023
＝log [(aa…a)337·a]，
5 1 2 6 1
又因为aa＝aa＝aa＝1，
1 4 2 5 3 6
所以aa…a＝1，
1 2 6
所以原式＝log (1337×1)＝log 1＝0.
5 5
思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据a －a 的符号判断数列{a}是递增数列、递减数列还是常数列．
n＋1 n n
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(3)求数列的最大项与最小项的常用方法
①函数法，利用函数的单调性求最值．
②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
跟踪训练3 (1)在数列{a}中，a ＝若a＝，则a 的值为( )
n n＋1 1 2 023A. B.
C. D.
答案 D
解析 a＝>，
1
∴a＝2a－1＝>，
2 1
∴a＝2a－1＝<，
3 2
∴a＝2a＝<，
4 3
∴a＝2a＝，
5 4
……
可以看出四个循环一次，
故a ＝a ＝a＝.
2 023 4×505＋3 3
(2)(2022·沧州七校联考)已知数列{a}满足a＝(n∈N*)，则数列{a}的最小项是第________项．
n n n
答案 5
解析 a＝＝，
n
当n>5时，a>0，且单调递减；
n
当n≤5时，a<0，且单调递减，
n
∴当n＝5时，a 最小．
n
课时精练
1．数列{a}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是( )
n
A．a＝ B．a＝
n n
C．a＝ D．a＝
n n
答案 A
解析 数列为，，，，，…，其分母为2，分子是以首项为1，公差为5的等差数列，故数
列{a}的通项公式为a＝.
n n
2．在数列{a}中，a＝1，a＝1＋(n≥2)，则a 等于( )
n 1 n 5
A. B. C. D.
答案 D
解析 a＝1＋＝2，a＝1＋＝，
2 3
a＝1＋＝3，a＝1＋＝.
4 5
3．已知数列{a}的前n项积为T，且满足a ＝(n∈N*)，若a＝，则T 为( )
n n n＋1 1 2 023
A．－4 B．－
C．－ D.答案 C
解析 由a ＝，a＝，
n＋1 1
得a＝，a＝－4，a＝－，a＝，…，
2 3 4 5
所以数列{a}具有周期性，周期为4，
n
因为T＝a·a·a·a＝1,2 023＝4×505＋3，
4 1 2 3 4
所以T ＝(aaaa)…(a a a )
2 023 1 2 3 4 2 021 2 022 2 023
＝××(－4)＝－.
4．若数列{a}的前n项和S＝2a－1(n∈N*)，则a 等于( )
n n n 5
A．8 B．16 C．32 D．64
答案 B
解析 数列{a}的前n项和S＝2a－1(n∈N*)，
n n n
则S ＝2a －1(n≥2)，
n－1 n－1
两式相减得a＝2a (n≥2)，
n n－1
由此可得，数列{a}是等比数列，
n
又S＝2a－1＝a，所以a＝1，
1 1 1 1
故数列{a}的通项公式为a＝2n－1，
n n
令n＝5，得a＝16.
5
5．(多选)已知数列{a}的通项公式为a＝(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
n n
A．这个数列的第10项为
B.是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间内
D．数列{a}是单调递减数列
n
答案 BC
解析 a＝＝
n
＝，
令n＝10得a ＝，故A错误；
10
令＝得n＝33∈N*，
故是数列中的项，故B正确；
因为a＝＝＝1－，
n
又n∈N*.
所以数列{a}是单调递增数列，
n
所以≤a＜1，故C正确，D不正确．
n
6．(多选)若数列{a}满足：对任意正整数n，{a －a}为递减数列，则称数列{a}为“差递
n n＋1 n n
减数列”．给出下列数列{a}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有( )
nA．a＝3n B．a＝n2＋1
n n
C．a＝ D．a＝ln
n n
答案 CD
解析 对于A，若a ＝3n，则a －a ＝3(n＋1)－3n＝3，所以{a －a}不为递减数列，故
n n＋1 n n＋1 n
A错误；
对于B，若a＝n2＋1，
n
则a －a＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，
n＋1 n
所以{a －a}为递增数列，故B错误；
n＋1 n
对于C，若a＝，
n
则a －a＝－＝，
n＋1 n
所以{a －a}为递减数列，故C正确；
n＋1 n
对于D，若a＝ln ，
n
则a －a＝ln －ln
n＋1 n
＝ln＝ln，
由函数y＝ln在(0，＋∞)上单调递减，所以{a －a}为递减数列，故D正确．
n＋1 n
7．数列{a}的前n项和为S，若a＝1，a ＝3S(n∈N*)，则a＝________.
n n 1 n＋1 n n
答案
解析 ∵a ＝3S(n∈N*)，
n＋1 n
∴当n＝1时，a＝3；
2
当n≥2时，a＝3S ，
n n－1
∴a －a＝3a，
n＋1 n n
得a ＝4a，
n＋1 n
∴数列{a}从第二项起为等比数列，
n
当n≥2时，a＝3·4n－2，
n
故a＝
n
8．(2022·临沂模拟)已知a ＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{a}是递增数列，则实数λ
n n
的取值范围是________．
答案 (－3，＋∞)
解析 因为{a}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有a >a，
n n＋1 n
即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，
整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n∈N*，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
9．已知数列{a}中，a＝1，前n项和S＝a.
n 1 n n
(1)求a，a；
2 3(2)求{a}的通项公式．
n
解 (1)由S＝a 得3(a＋a)＝4a，
2 2 1 2 2
解得a＝3a＝3，
2 1
由S＝a，得3(a＋a＋a)＝5a，
3 3 1 2 3 3
解得a＝(a＋a)＝6.
3 1 2
(2)由题设知当n＝1时，a＝1.
1
当n≥2时，有
a＝S－S ＝a－a ，
n n n－1 n n－1
整理得a＝a ，
n n－1
于是a＝a，a＝a，…，a ＝a ，
2 1 3 2 n－1 n－2
a＝a ，
n n－1
将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，整理得a＝.
n
当n＝1时，a＝1满足a＝.
1 n
综上可知，{a}的通项公式为a＝.
n n
10．求下列数列{a}的通项公式．
n
(1)a＝1，a ＝a＋3n；
1 n＋1 n
(2)a＝1，a ＝2na.
1 n＋1 n
解 (1)由a ＝a＋3n得a －a＝3n，
n＋1 n n＋1 n
当n≥2时，a＝a＋(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a )
n 1 2 1 3 2 4 3 n n－1
＝1＋31＋32＋33＋…＋3n－1
＝＝，
当n＝1时，a＝1＝，满足上式，
1
∴a＝(n∈N*)．
n
(2)由a ＝2na 得＝2n，
n＋1 n
当n≥2时，a＝a××××…×
n 1
＝1×2×22×23×…×2n－1
＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝ .
当n＝1时，a＝1满足上式，
1
∴a＝ (n∈N*)．
n
11．已知数列{a}满足a＝且{a}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
n n n
A. B.C．(1,3) D．(2,3)
答案 D
解析 若{a}是递增数列，则
n
即
解得2a ，
n n－1
但当1＋<0时，b1，显然a 是单调递减的，
n n
因此b＝a－也是单调递减的，
n n
即b>b>b>…，
1 3 5
∴{b}的奇数项中有最大值为b＝－＝>0，
n 1
∴b＝是数列{b}(n∈N*)中的最大值，D正确．
1 n
13．已知数列{a}的通项公式a ＝，若a·a·…·a≤a·a·…·a 对n∈N*恒成立，则正整数k
n n 1 2 n 1 2 k
的值为________．
答案 5
解析 a＝，当n≤5时，a>1；
n n
当n≥6时，a<1，
n由题意知，a·a·…·a 是{a}的前n项乘积的最大值，所以k＝5.
1 2 k n
14．(2022·武汉模拟)已知数列{a}中，a＝1，－＝n＋1，则其前n项和S＝________.
n 1 n
答案
解析 ∵－＝2，－＝3，
－＝4，…，－＝n，
累加得－＝2＋3＋4＋…＋n，
得＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，
∴a＝＝2，
n
∴S＝2＝.
n
15．(多选)若数列{a}满足a ＝1，a ＝3，aa ＝a (n≥3)，记数列{a}的前n项积为T ，
n 1 2 n n－2 n－1 n n
则下列说法正确的有( )
A．T 无最大值 B．a 有最大值
n n
C．T ＝1 D．a ＝1
2 023 2 023
答案 BCD
解析 因为a＝1，a＝3，
1 2
aa ＝a (n≥3)，
n n－2 n－1
所以a＝3，a＝1，a＝，a＝，a＝1，a＝3，…
3 4 5 6 7 8
因此数列{a}为周期数列，a ＝a，
n n＋6 n
a 有最大值3，
n
a ＝a＝1，
2 023 1
因为T＝1，T＝3，T＝9，T＝9，T＝3，T＝1，T＝1，T＝3，…，
1 2 3 4 5 6 7 8
所以{T}为周期数列，T ＝T，T 有最大值9，
n n＋6 n n
T ＝T＝1.
2 023 1
16．已知数列{a}中，a＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．
n n
(1)若a＝－7，求数列{a}中的最大项和最小项的值；
n
(2)若对任意的n∈N*，都有a≤a 成立，求a的取值范围．
n 6
解 (1)∵a＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
n
又a＝－7，∴a＝1＋(n∈N*)．
n
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知1>a>a>a>a，a>a>a>…＞a>1(n∈N*)．
1 2 3 4 5 6 7 n
∴数列{a}中的最大项为a＝2，
n 5
最小项为a＝0.
4(2)a＝1＋＝1＋，
n
已知对任意的n∈N*，都有a≤a 成立，
n 6
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5<<6，即－10
