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A
版
高
考
数
学
／
１０６
９．２ 椭圆及其性质
§
续表
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上
Ａ ａ Ａ ａ Ａ ａ Ａ ａ
考点一 椭圆的定义及标准方程 顶点坐标 １（－ ，０）， ２（ ，０） １（０，－ ）， ２（０， ）
Ｂ ｂ Ｂ ｂ Ｂ ｂ Ｂ ｂ
１．定义 １（０，－ ）， ２（０， ） １（－ ，０）， ２（ ，０）
范围 ｘ ａ ｙ ｂ ｘ ｂ ｙ ａ
平面内与两个定点Ｆ Ｆ 的距离的和 等于 常数 大于 ｜ ｜≤ ，｜ ｜≤ ｜ ｜≤ ，｜ ｜≤
１、 ２ ① （ 长轴长 Ａ Ａ ａ
｜ Ｆ １ Ｆ ２｜） 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点 ， 两 ｜ １ ２｜＝２
焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 短轴长 Ｂ Ｂ ｂ
｜ １ ２｜＝２
集合语言 ： Ｐ ＝｛ Ｍ ｜｜ ＭＦ １｜＋｜ ＭＦ ２｜＝２ ａ ，２ ａ ＞｜ Ｆ １ Ｆ ２｜｝，｜ Ｆ １ Ｆ ２｜ 焦距 ｜ Ｆ １ Ｆ ２｜＝２ ｃ
ｃ 其中ａ ｃ 且ａ ｃ为常数．
＝２ ，
注意 若
＞ ＞０
ａ
，
Ｆ
，
Ｆ 则动点的轨迹是线段Ｆ Ｆ 若 ａ ｅ
ｃ ｂ２
ｅ
２ ＝｜ １ ２｜， １ ２； ２ ＜ 离心率 ＝③ ａ ＝ １－ａ２ （０＜ ＜１），
Ｆ Ｆ 则动点的轨迹不存在．
｜ １ ２ ２ ． ｜ 标 ， 准方程 ｅ越接近于 １， 椭圆越扁 ； ｅ越接近于 ０， 椭圆越圆
２．常用结论
ｘ２
中心在坐标原点 焦点在ｘ轴上的椭圆的标准方程为 设Ｐ Ａ Ｂ是中心在原点的椭圆上不同的三点 其中Ａ Ｂ
（１） ， ａ２ （１） ， ， ， ，
两点关于原点对称 且直线ＰＡ ＰＢ的斜率都存在 则ｋ ｋ
ｙ２ ， 、 ， ＰＡ· ＰＢ＝
＋ｂ２ ＝１（
ａ
＞
ｂ
＞０）；
ｂ２
．
－ａ２
ｙ２
中心在坐标原点 焦点在ｙ轴上的椭圆的标准方程为 注意 适用于焦点在ｘ轴上 当焦点在ｙ轴上时 直线 ＰＡ
（２） ， ａ２ ， ，
ａ２
ｘ２
ａ ｂ ．
与ＰＢ的斜率之积为定值
－ｂ２
．
＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
Ｐ是椭圆上一点 Ｆ为椭圆的焦点 则 ＰＦ ａ ｃ ａ
注意 焦点位置的判断 （２） ， ， ｜ ｜∈［ － ， ＋
（１） ｃ 即椭圆上的点到焦点距离的最大值为ａ ｃ 最小值为ａ ｃ．
焦点在ｘ轴上
⇔
标准方程中含ｘ２ 项的分母较大
；
焦点在ｙ ］， ＋ ，
ｂ２
－
椭圆的通径 过焦点且垂直于长轴的弦 长为２ 通径
轴上 标准方程中含ｙ２ 项的分母较大． （３） （ ） ａ ，
⇔
ａ２ ｂ２ ｃ２ 即ａ最大． 是最短的焦点弦．
（２） ＝ ＋ ，
３．焦点三角形
考点三 直线与椭圆的位置关系
Ｐ是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点 Ｆ Ｆ 为椭
（１）
θ
， １， ２ １．直线与椭圆的位置关系的判断
圆的两焦点
，
则Ｓ
△ ＰＦ １ Ｆ ２ ＝
ｂ２
ｔａｎ ２ ，
其中
∠
Ｆ
１
ＰＦ
２＝
θ．
把椭圆方程 ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 与直线方程ｙ ｋｘ ｈ联立消
Ｐ是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点 Ｆ Ｆ 为椭 ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ＝ ＋
圆的
（
两
２
焦
）
点 则 ＰＦ Ｆ 的周长为 ａ ｃ ．
， １， ２ 去ｙ
，
整理成Ａｘ２
＋
Ｂｘ
＋
Ｃ
＝０（
Ａ
≠０）
的形式
，
则
：
， △ １ ２ ２（ ＋ ）
过焦点 Ｆ 的弦 ＡＢ 与椭圆另一个焦点 Ｆ 构成的 Δ Ｂ２ ＡＣ 直线与椭圆的位置关系
（３） １ ２ ＝ －４
ＡＢＦ 的周长为 ａ． Δ 直线与椭圆相交 有两个公共点
△ ２ ４ ＞０ ，
Δ 直线与椭圆相切 有一个公共点
考点二 椭圆的几何性质 ＝０ ，
Δ 直线与椭圆相离 无公共点
１．椭圆的方程与简单几何性质 ＜０ ，
知识拓展 点与椭圆的位置关系
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上
ｘ２ ｙ２
已知点Ｐ ｘ ｙ 椭圆 ａ ｂ 则
标准方程 ｘ２ ｙ２ （ａ ｂ ） ｙ２ ｘ２ ａ ｂ （ ０， ０）， ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０），
② ａ２＋ｂ２ ＝１ ＞ ＞０ ａ２＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
ｘ２ ｙ２
点Ｐ ｘ ｙ 在椭圆内 ０ ０
一般方程 Ａｘ２
＋
Ｂｙ２
＝１（
Ａ
＞０，
Ｂ
＞０，
Ａ
≠
Ｂ
）
（１） （ ０， ０） ⇔ａ２ ＋ｂ２＜１；
ｘ２ ｙ２
点Ｐ ｘ ｙ 在椭圆上 ０ ０
（２） （ ０， ０） ⇔ａ２ ＋ｂ２ ＝１；
图形 点Ｐ ｘ ｙ 在椭圆外
ｘ２
０
ｙ２
０ ．
（３） （ ０， ０） ⇔ａ２ ＋ｂ２＞１
２．弦长公式
设直线ｌ ｙ ｋｘ ｍ与椭圆交于Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ．
： ＝ ＋ （ １， １）， （ ２， ２）
焦点坐标 Ｆ １（－ ｃ ，０）， Ｆ ２（ ｃ ，０） Ｆ １（０，－ ｃ ）， Ｆ ２（０， ｃ ） 则
｜
ＡＢ
｜＝ （
ｘ
１－
ｘ
２）
２
＋（
ｙ
１－
ｙ
２）
２
；
专
题
九
平
面
解
析
几
何
／
１０７
ｙ ｙ
｜ ＡＢ ｜＝ １＋ ｋ２ ｜ ｘ １－ ｘ ２｜＝ １＋ ｋ２ （ ｘ １＋ ｘ ２） ２ －４ ｘ １ ｘ ２； 中点 ， 其中ｋ ＝ｘ １－ ｘ ２ （ ｘ １≠ ｘ ２） ．
１－ ２
｜ ＡＢ ｜＝ １＋ｋ １ ２ （ ｙ １＋ ｙ ２） ２ －４ ｙ １ ｙ ２（ ｋ ≠０） ． 若椭圆方程为 ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 则ｋ ｂ２ｘ ０．
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）， ＝－ａ２ｙ
注意 对于一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝０（ ａ ≠０）， Δ ≥０，｜ ｘ １－ ｘ ２｜＝
｜
ａ Δ
｜
．
若椭圆方程为
ｙ２ ｘ２
ａ ｂ 则ｋ
ａ２ｘ
０
０
．
３．弦中点问题 ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）， ＝－ｂ２ｙ
０
设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 为弦端点坐标 Ｐ ｘ ｙ 为线段ＡＢ
（ １， １）， （ ２， ２） ， （ ０， ０）
由题意，可知椭圆的左、右焦点坐标分别为 Ｆ （ ， ），
１ －２ ０
Ｆ（ ， ），ａ ，
２ ０ ＝２ ２
又由椭圆的定义可得 ＡＦ ＡＦ ， ＢＦ
考法一 与椭圆定义相关的问题 ｜ ｜ ＝４ ２－｜ １ ｜ ｜ ｜ ＝４ ２－
ＢＦ ，所以 ＡＢＦ的周长为 ＡＦ ＢＦ ＡＢ ＡＢ
例１ 已知点Ｐ是圆Ｆ ｘ ２ ｙ２ 上任意一点 ｜ １｜ △ ｜ ｜＋｜ ｜＋｜ ｜ ＝８ ２＋｜ ｜－
（１） １：（ ＋１） ＋ ＝１６ ， （ ＡＦ ＢＦ ），
点Ｆ 与点Ｆ 关于原点对称 线段ＰＦ 的垂直平分线ｍ分别与 ｜ １｜＋｜ １｜
ＰＦ ２ ＰＦ 交于 １ Ｍ Ｎ两点 则点 ， Ｍ的轨 ２ 迹方程为 ． 显然 ｜ ＡＦ １｜＋｜ ＢＦ １｜≥｜ ＡＢ ｜ ，当且仅当Ａ，Ｂ，Ｆ １ 三点共线时周
１， ２ ， ， 长最大，最大值为 ．
ｘ２ ｙ２ ８ ２
过点Ｍ 的直线ｌ交椭圆 于Ａ Ｂ两点 Ｆ ｘ２ ｙ２
（２） （０，１） ＋ ＝１ 、 ， 答案 （ ） （ ）
８ ４ １ ＋ ＝１ ２ ８ ２
为椭圆的右焦点 则 ＡＢＦ周长的最大值为 ． ４ ３
， △ 经典例题教师用书
解题导引 由于Ｐ在圆上 故 ＰＦ 为定值 Ｍ在ＰＦ
的垂直平分线 上
（１
则
）
ＭＦ ＭＰ
，
结
｜
合图
１｜
形可知
；
ＭＦ
２ 例 （２０１９浙江高考数学仿真卷，３）以双曲线 ｙ２
－
ｘ２
＝１
的顶点
， ｜ ２ ｜ ＝ ｜ ｜， ，｜ １ ｜＋ ３
ＭＦ ＭＦ ＭＰ ＰＦ 为定值 且大于 Ｆ Ｆ 则Ｍ的轨
｜ ２｜＝｜ １｜＋｜ ｜＝｜ １｜ ， ｜ １ ２｜， 为焦点 离心率为 ３的椭圆的标准方程为
迹是椭圆 进而求出方程．
， （ ）
， ３
（２）
要求
△
ＡＢＦ周长最值
，
一种方法是找到取最值的几何位
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
置 另一种方法是建立周长关于变量的函数 从而求最值 结合 Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝１
， ， ； ４ ３ ３ ４
本题
，
三边均变化
，
同时Ａ
，
Ｂ在椭圆上
，
考虑位置
，
由于
｜
ＡＢ
｜≤
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ＡＦ ＢＦ 当ＡＢ过Ｆ 时取 因此 ＡＢＦ的周长 ＡＢ Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１
｜ １｜＋｜ １｜， １ “＝”， △ ｜ ｜＋ ９ ６ ６ ９
ＢＦ ＡＦ ＡＦ ＢＦ ＡＦ ＢＦ ａ ａ为椭圆长半轴 解析 由题意得椭圆的焦点在ｙ轴上，且ｃ ，由椭圆的
｜ ｜＋｜ ｜≤｜ １｜＋｜ １｜＋｜ ｜＋｜ ｜＝４ （ ＝ ３
的长 ．
） ｃ ｘ２ ｙ２
解析 （ １ ）如图所示，连接ＭＦ ２ ，由题意知Ｆ ２ （ １ ， ０ ）． 离心率 ａ ＝ ３ ３ ⇒ ａ ＝３ ，所以所求椭圆的标准方程为 ６ ＋ ９ ＝１ ，
故选 ．
Ｄ
答案 Ｄ
考法二 椭圆离心率问题的求法
例２ （２０１９江西南康中学第二次大联考，１０）椭圆
（１）
ｘ２ ｙ２
Ｇ ａ ｂ 的两个焦点为Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ｍ是椭
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） １（－ ，０）， ２（ ，０），
直线ｍ是线段ＰＦ 的垂直平分线，
∴ ∵ ｜ ＭＰ ｜＝｜ ＭＦ ２｜ ，又知 ２ ｜ ＭＰ ｜＋｜ ＭＦ １｜＝４ ， 圆上的一点 ， 且满足Ｆ→ １ Ｍ · Ｆ→ ２ Ｍ ＝０， 则椭圆离心率ｅ的取值范围为
ＭＦ ＭＦ Ｆ Ｆ ．
∴ ｜ １｜＋｜ ２｜＝４＞｜ １ ２｜＝２ （ ）
点Ｍ的轨迹是以Ｆ ，Ｆ 为焦点的椭圆，且 ａ ， ｃ ． æ ù æ ö æ ö é ö
∴ １ ２ ２ ＝４ ２ ＝２ ç ２úú ç ２÷ ç ２ ÷ êê ２ ÷
∴
ｂ２
＝３
．
∴
点Ｍ的轨迹方程为
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
．
Ａ．è０
（
，
２０
２
２
û
０山东
Ｂ
济
．è
南
０，
６
２
月
ø
模拟，
Ｃ
１
．è
４）
２
已
，１
知
ø
Ｆ Ｆ
Ｄ．
分
ë
别
２
是
，１
椭
ø
圆
４ ３ （２） １， ２
（ ）设椭圆的左焦点为Ｆ ．如图所示，连接ＡＦ ，ＢＦ ， ｘ２ ｙ２
２ １ １ １ Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点 Ａ Ｂ是椭圆上关于ｘ轴对称
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 ， ，
的两点 ＡＦ 的中点Ｐ恰好落在ｙ轴上 若Ｂ→Ｐ Ａ→Ｆ 则椭圆Ｃ
， ２ ， · ２＝０， 的离心率为 ．
解析 （ ）解法一：设点Ｍ的坐标为（ｘ ，ｙ ）， Ｆ→Ｍ·Ｆ→Ｍ
１ ０ ０ ∵ １ ２
，Ｆ（ ｃ， ），Ｆ（ｃ， ）， （ｘ ｃ）·（ｘ ｃ） ｙ２ ，
＝０ １ － ０ ２ ０ ∴ ０＋ ０－ ＋ ０＝０
ｘ２ ｙ２
即ｘ２ ｙ２ ｃ２ ，又知点Ｍ在椭圆Ｇ上， ０ ０ ，
０＋ ０＝ ① ∴ ａ２ ＋ｂ２ ＝１②
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由 联立结合ａ２ ｂ２ ｃ２ 解得ｘ２ ａ２（ｃ２ － ｂ２） ，由椭圆的性 ∴ ｜ ＰＡ ｜＋｜ ＰＦ ｜ 的最小值为 ４ ２－ １７ ．
①② － ＝ ０＝ ｃ２
ＰＡ ＰＦ 的取值范围为［ ， ］．
ì
ï
ａ２（ｃ２
－
ｂ２）
，
∴
答案
｜ ｜
［
＋｜ ｜
，
４
］
２－ １７ ４ ２＋ １７
ï ｃ２ ≥０ {ｃ２ ｂ２， ４ ２－ １７ ４ ２＋ １７
质可得 ｘ２ ａ２，即í 即 ≥ 所以 ｃ２
０≤ ０≤ ï ï ａ２（ｃ２ － ｂ２） ａ２， ｃ２ － ｂ２ ≤ ｃ２， ≥ 考法三 直线与椭圆位置关系问题的解法
î ｃ２ ≤
ｘ２
例３ （２０２０山东临沂、枣庄考前练，２１）已知椭圆Ｃ
ｂ２，又知ｂ２ ａ２ ｃ２， ｃ２ ａ２ ｃ２，即 ｃ２ ａ２，解得ｅ２ １ ，又知 ：ａ２
＝ － ∴ ≥ － ２ ≥ ≥ ０
２
ｙ２
ａ ｂ 的离心率为 ３ 其左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ｐ
ｅ ， ２ ｅ ，故选 ． ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， 、 １， ２，
＜ ＜１ ∴ ≤ ＜１ Ｄ ２
２
解法二： ∵ Ｆ １ →Ｍ·Ｆ ２ →Ｍ ＝０ ， ∴ ＭＦ １⊥ ＭＦ ２ ，即 △ ＭＦ １ Ｆ ２ 是以Ｍ 为坐标平面内的一点 ， 且 Ｏ→Ｐ ＝ ２ ３ ， Ｐ→Ｆ １· Ｐ→Ｆ ２＝－ ４ ３ ， Ｏ为坐标
为直角顶点的直角三角形， ∵ ｜ ＭＦ １｜＋｜ ＭＦ ２｜＝２ ａ， ｜ Ｆ １ Ｆ ２｜＝２ ｃ， 原点．
ｃ Ｆ Ｆ 求椭圆Ｃ的方程
椭圆的离心率ｅ ２ ｜ １ ２｜ ， （１） ；
∴ ＝ ２ ａ＝ ｜ ＭＦ １｜＋｜ ＭＦ ２｜ （２） 设Ｍ为椭圆Ｃ的左顶点 ， Ａ ， Ｂ是椭圆Ｃ上两个不同的
又知（ ＭＦ ＭＦ ）２ （ ＭＦ ２ ＭＦ ２） Ｆ Ｆ ２
｜ １｜＋｜ ２｜ ≤２ ｜ １｜ ＋｜ ２｜ ＝２｜ １ ２｜ ＝ 点 直线ＭＡ ＭＢ的倾斜角分别为α β 且α β π．证明 直线
Ｆ Ｆ ｃ ， ， ， ， ＋ ＝ ：
ｃ２， ＭＦ ＭＦ ｃ， ｅ ｜ １ ２｜ ２ ２， ２
８ ∴ ｜ １｜＋｜ ２｜≤２ ２ ∴ ＝ ＭＦ ＭＦ ≥ ｃ＝ ＡＢ恒过定点 并求出该定点的坐标．
｜ １｜＋｜ ２｜ ２ ２ ２ ，
当且仅当 ｜ ＭＦ １｜＝｜ ＭＦ ２｜＝ ２ ｃ时，等号成立， 解析 （ １ ）设Ｐ点坐标为（ｘ ０ ，ｙ ０ ），Ｆ １ （ － ｃ， ０ ），Ｆ ２ （ｃ， ０ ），
又知 ｅ ， ｅ
é
êê ２， ÷
ö
．故选 ．
则Ｐ→Ｆ
１＝
（
－
ｃ
－
ｘ
０
，
－
ｙ
０
），Ｐ→Ｆ
２＝
（ｃ
－
ｘ
０
，
－
ｙ
０
），
０＜ ＜１ ∴ ∈ë １ø Ｄ ì
（ ）由于ＡＦ 的中点
２
Ｐ恰好落在ｙ轴上，Ａ，Ｂ是椭圆上关于
ï
ï
ｘ２
０＋
ｙ２
０＝
９ ，
２ ２ 由题意得í ４ 解得ｃ２ ． ｃ ．
ｘ轴对称的两点，所以ＡＢ过左焦点Ｆ ，且ＡＢ Ｆ Ｆ ，则不妨令 ï ＝３∴ ＝ ３
Ａ ( ｃ， ｂ２ ) ，Ｂ ( ｃ， ｂ２ ) ．因为Ｐ是ＡＦ １ 的中点 ⊥ ，则 １ Ｐ ２ ( ， ｂ２ ) ．又 î ï（ｘ ０＋ ｃ）（ｘ ０－ ｃ） ＋ ｙ２ ０＝－ ４ ３ ，
－ ａ － － ａ ２ ０ ａ ｃ
２ 又ｅ ３， ａ ， ｂ２ ａ２ ｃ２ ，
Ｆ（ｃ， ），所以Ａ→Ｆ
(
ｃ，
ｂ２ )
．因为Ｂ→Ｐ
(
ｃ，３
ｂ２ )
，Ｂ→Ｐ·Ａ→Ｆ ，
＝ ａ ＝
２
∴ ＝２ ∴ ＝ － ＝１
２ ０ ２＝ ２ － ａ ＝ ａ ２＝０ ｘ２
２ 所求椭圆Ｃ的方程为 ｙ２ ．
∴ ＋ ＝１
所以 ２ ｃ２ － ３ ａ ｂ４ ２ ＝０ ，即 ２ ｃ ＝ ３ ａ ｂ２ ．又 ｂ２ ＝ ａ２ － ｃ２，所以 ２ ａｃ ＝ ３ （ａ２ － （ ２ ）由题可知直线ＡＢ的斜 ４ 率存在，则设直线ＡＢ方程为ｙ ＝
２ {ｘ２
ｃ２），即
３
ｅ２
＋２
ｅ
－ ３＝０
，解得ｅ
＝
３或ｅ
＝－ ３
（舍去）． ｋｘ
＋
ｍ，Ａ（ｘ
１
，ｙ
１
），Ｂ（ｘ
２
，ｙ
２
）．联立得
４
＋
ｙ２
＝１
，
消去ｙ得，（
４
ｋ２
＋
３ ｙ ｋｘ ｍ，
＝ ＋
答案 （ ）Ｄ （ ） ３ ｋｍ ｍ２
１ ２ ）ｘ２ ｋｍｘ ｍ２ ， ｘ ｘ ８ ，ｘ ｘ ４ －４， α β
３ １ ＋８ ＋４ －４＝０ ∴ １＋ ２＝－ ｋ２ １ ２＝ ｋ２ ∵ ＋ ＝
经典例题教师用书 ４ ＋１ ４ ＋１
例 （２０２０四川南充顺庆月考，１５）设点Ｐ是椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２ π，
∴ ｔａｎ
α·
ｔａｎ
β
＝１
，
： ＋ ＝１ ２
８ ４ 设直线ＭＡ，ＭＢ的斜率分别为ｋ ，ｋ ，则ｋ ｋ ，
上的动点 Ｆ为Ｃ的右焦点 定点Ａ 则 ＰＡ ＰＦ 的取值 １ ２ １ ２＝１
， ， （２，１）， ｜ ｜＋｜ ｜ ｙ ｙ
范围是 ． １ · ２ ，即（ｘ ）（ｘ ） ｙ ｙ ，可化为（ｘ ）
∴ ｘ ｘ ＝１ １＋２ ２＋２ ＝ １ ２ １＋２
解析 如图，设椭圆左焦点为Ｆ′， １＋２ ２＋２
·（ｘ ） （ｋｘ ｍ）（ｋｘ ｍ），
２＋２ ＝ １＋ ２＋
（ｋ２ ）ｘ ｘ （ｋｍ ）（ｘ ｘ ） ｍ２ ，
∴ －１ １ ２＋ －２ １＋ ２ ＋ －４＝０
ｍ２ æ ｋｍ ö
（ｋ２ ）４ －４ （ｋｍ ）ç ８ ÷ ｍ２ ，
∴ －１ ｋ２ ＋ －２ è－ ｋ２ ø＋ －４＝０
４ ＋１ ４ ＋１
化简得 ｋ２ ｋｍ ｍ２ ，解得ｍ ｋ或ｍ １０ｋ．
２０ －１６ ＋３ ＝０ ＝２ ＝
３
当ｍ ｋ时，ｙ ｋｘ ｋ，过点（ ， ），不合题意（舍去）；
＝２ ＝ ＋２ －２ ０
( )
由椭圆方程
ｘ２ ｙ２
，得ａ ， 当ｍ １０ｋ时，ｙ ｋｘ １０ｋ，过点 １０， ， 直线ＡＢ恒过定
＋ ＝１ ＝２ ２ ＝ ＝ ＋ － ０ ∴
８ ４ ３ ３ ３ ( )
ＰＦ ａ ＰＦ′ ＰＦ′ ， 点 １０， ．
∴ ｜ ｜＝２ －｜ ｜＝４ ２－｜ ｜ － ０
则 ＰＡ ＰＦ （ ＰＡ ＰＦ′ ） （ ＰＦ′ ＰＡ ）． ３
｜ ｜＋｜ ｜＝４ ２＋ ｜ ｜－｜ ｜ ＝４ ２－ ｜ ｜－｜ ｜ 方法总结 １．判断直线与椭圆的位置关系 可通过讨论直
连接ＡＦ′，当Ｐ在ＡＦ′的延长线上时， ＰＡ ＰＦ′ 最大为 ，
｜ ｜－｜ ｜ ｜ 线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解组数来确定．一般通过
ＡＦ′ （ ）２ （ ）２ ，
｜＝ －２－２ ＋ ０－１ ＝ １７ 消元得关于ｘ 或ｙ 的一元二次方程 若Δ 则直线与椭圆相
∴ ｜ ＰＡ ｜＋｜ ＰＦ ｜ 的最大值为 ４ ２＋ １７ ； 交 ； 若Δ ＝０， 则 （ 直线 ） 与椭圆相切 ； 若Δ ＜ ， ０， 则直 ＞０ 线 ， 与椭圆相离．
当Ｐ在 Ｆ′Ａ 的延长线上时， ｜ ＰＦ′ ｜－｜ ＰＡ ｜ 最大为 ｜ ＡＦ′ ｜ ＝ ２．弦长公式 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 为直线与椭圆的两个交
： （ １， １）， （ ２， ２）
（ ）２ （ ）２ ， 点 直线ＡＢ的斜率存在 设为ｋ ｋ
－２－２ ＋ ０－１ ＝ １７ ， ， （ ≠０），
专
题
九
平
面
解
析
几
何
／
１０９
ｘ２ ｙ２
则
｜
ＡＢ
｜＝ １＋
ｋ２
｜
ｘ
１－
ｘ
２｜
或
｜
ＡＢ
｜＝ １＋ｋ
１
２ ｜
ｙ
１－
ｙ
２｜
． 解析 由题意可得点Ｐ为直线ｙ
＝
ａｘ（ａ
＞０
）与椭圆
９ ＋ ５ ＝
的交点，
３．设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 为椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 上两点 １
（ １， １）， （ ２， ２） ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， 联立ｙ ａｘ与 ｘ２ ｙ２ ，消去ｙ得ｘ２ ４５ ，则ｙ２ ４５ ａ２ ．
弦ＡＢ的中点为Ｐ ｘ ｙ 则ｘ ｘ １＋ ｘ ２ ｙ ｙ １＋ ｙ ２ 可通过根与
＝
９
＋
５
＝１ ＝
９
ａ２
＋５
＝
９
ａ２
＋５
（ ０， ０）， ０＝
２
， ０＝
２
，
因为 ＰＡＢ的内心到ｘ轴的距离为３ ３０，所以 ＰＡＢ的内
系数的关系来解决弦中点问题 解题方法就是常说的 设而不 △ △
， “ ２０
ì
ï
ｘ２
１
ｙ２
１ 切圆的半径ｒ ３ ３０，所以 ＰＡＢ的面积为 １ ＡＢ ｙ １
求 整体代入 也可以由í
ïａ２ ＋ｂ２ ＝１①，
用 将问题转化为
＝
２０
△
２
×｜ ｜×｜ ｜＝
２
×
， ”；
î
ï
ï ａ
ｘ２
２ ２ ＋
ｙ
ｂ
２
２ ２ ＝１②，
①－② ｒ
×
（
｜
ＡＢ
｜＋｜
ＰＡ
｜＋｜
ＰＢ
｜
），即
｜
ｙ
｜ ＝ ２
５ ｒ，则ｙ２
＝ ９
４
ａ
５
２
ａ
＋
２
５ ＝
２
４
５ｒ２
＝
２
４
５
×
斜率与中点坐标的关系来解决
（
称为点差法
）
． ２７，解得ａ２
＝３
，又ａ
＞０
，则ａ
＝ ３
．
４．在直线与椭圆的位置关系问题中 常涉及变量的求值和 ４０
，
答案
最值 范围 问题 通常要用方程和函数的思想方法 而恰当地选
（ ） ， ， ３
择函数的自变量至关重要． 方法总结 （ ）解析几何中涉及三角形内切圆问题，常利
１
经典例题教师用书 用内切圆的圆心与三角形三个顶点连线构成的小三角形的面积
例 （２０２０陕西汉中一模，１６）设Ａ Ｂ 若直线ｙ 和等于原三角形的面积求解；（ ）焦点三角形包含着很多关系，
（－２，０）， （２，０）， ＝ ２
ａｘ ａ 上存在一点Ｐ满足 ＰＡ ＰＢ 且 ＰＡＢ的内心到 解题时要多从椭圆或双曲线的定义和三角形的几何条件入手．
（ ＞０） ｜ ｜＋｜ ｜＝６， △
ｘ轴的距离为３ ３０ 则ａ ．
， ＝
２０
