曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
9.2 直线、圆的位置关系
三年模拟
一、选择题
1.(2022广西第一次适应性测试,7)已知直线l:(m+2)x-(m+1)y+m-1=0(m∈R)与圆C:(x-1)2+
(y-2)2=9交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A.√5B.2√3C.√7D.2√7
答案 D (m+2)x-(m+1)y+m-1=0(m∈R)变形为(x-y+1)m+(2x-y-1)=0,由
{x- y+1=0,
得
{x=2,
所以直线l恒过定点P(2,3).设圆心C(1,2)到直线l的距离为d,圆的半径为r,所以|AB|=2√r2-d2=2√9-d2
2x- y-1=0 y=3,
所以当d取得最大值时,|AB|取得最小值,而当CP⊥l时,d
max
=|CP|=
.故选D.
√(1-2)2+(2-3)2=√2,所以|AB|min=2√9-2=2√7
2.(2022内蒙古赤峰二模,10)在平面直角坐标系xOy中,直线√3xcos α+√2ysin
1
α=1(α∈R)与圆O:x2+y2= 的位置关系为( )
2
A.相切 B.相交
C.相离 D.相交或相切
答案 D 圆心到直线的距离d= 1
=
1 ≤√2
,当α=
π时,等号
√3cos2α+2sin2α √2+cos2α 2 2
成立,所以直线与圆相交或相切.
3.(2022陕西宝鸡二模,8)已知直线y=x+a与曲线y= 有两个不同的交点,则实数a的
√2-x2
取值范围是( )
A.(-2,2) B.(0,2)
C.(√2,2)D.[√2,2)
答案 D 曲线 y=
|a|
√2-x2 是以(0,0)为圆心,√2为半径的位于x轴上方的半圆(包含与x轴的交点).如图所示,当直线l过点A(-√2,0)时,直线l与曲线有两个不同的交点,此时有0=-√2+a,解得a=√2;当直线l与曲线相切时,直线和圆有一个交点,圆心到直线x- y+a=0的距离d= =√2,解得a=2或a=-2(舍去).若曲线C和直线l有且仅有两个不同的交点,则√2
√2
≤a<2,故选D.
4.(2022贵阳一模,9)由直线x+2y-7=0上的一点P引圆C:x2+y2-2x+4y+2=0的一条切线,切
点为A,则|PA|的最小值为( )
A.2√13B.√17C.2√5D.2√7
答案 B 解法一:化圆的一般方程为标准方程,得(x-1)2+(y+2)2=3,则该圆的圆心C的坐
标为(1,-2).易知当PC与直线x+2y-7=0垂直时,|PC|取得最小值,且|PC| =
min
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|1-2×2-7| ,由切线的性质得|PA|2=|PC|2-3,所以|PA =|PC
=2√5 |2
√12+22 min
,故选B.
|2 -3=17,所以|PA|的最小值为√17
min
解法二:设P(x ,y ),则x +2y -7=0,所以|PA|=
0 0 0 0
≥
√x2+ y2-2x +4 y +2=√(7-2y )2+ y2-2(7-2y )+4 y +2=√5(y -2)2+17
0 0 0 0 0 0 0 0 0
,故选B.
√17,当且仅当y0=2,x0=3时取等号,所以|PA|的最小值为√17
5.(2022太原一模,10)在平面直角坐标系中,从x轴上点P(t,0)向圆C:(x-2)2+(y-3)2=5作一
条切线,设切线长为m,点P到直线x-2y-6=0的距离为n,当m+n取最小值时,t的值为(
)
7
A.2 B.3 C. D.4
2
答案 B 圆(x-2)2+(y-3)2=5的圆心坐标为C(2,3),半径r=√5,过点P作圆的切线PA,切点
为A,连接PC,AC,则有AC⊥PA,∴m=|PA|=
,∴m表示动点P到点M(2,2)的距离.令直
√|PC|2-r2=√(t-2)2+32-5=√(t-2)2+22
线x-2y-6=0为直线l,过P作PR⊥l于点R,则n=|PR|,过点M作MN⊥l于N,交x轴于点Q,
连接MR,则m+n=|PM|+|PR|≥|MN|=|MQ|+|QN|,当且仅当P,Q两点重合时取等号,此时
k =-2,其方程为y-2=-2(x-2),即y=-2x+6,令y=0,得x=3,即t=3,∴当m+n取最小值时,t的
MN
值为3,故选B.
6.(2020天津一中统练(19),2)“m=-1”是“直线l :mx+(2m-1)y+1=0与直线l :3x+my+3=0
1 2
垂直”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 若直线l 与直线l 垂直,
1 2
则3m+m(2m-1)=0,解得m=0或m=-1,
所以“m=-1”是“直线l :mx+(2m-1)y+1=0与直线l :3x+my+3=0垂直”的充分不必要条
1 2
件,故选A.
7.(2020天津和平阶段性评估检测,3)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直
线ax-y+1=0垂直,则a等于( )
1 1
A.- B.1C.2D.
2 2
答案 C 因为点P(2,2)满足圆(x-1)2+y2=5的方程,所以点P在圆上,又过点P(2,2)的直线
与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,所以切点与圆心的连线与直线ax-y+1=0
2-0
的斜率相同,所以直线ax-y+1=0的斜率为a= =2.
2-1
8.(2022河南顶尖计划联考,7)若a,b为实数,圆O :(x+a)2+y2=4和圆O :x2+(y-b)2=1有三条
1 2
公切线,则|a|+|b|的最大值为( )
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A.3√2 B.3
C.2√2 D.6
答案 A 易得圆O 的圆心为(-a,0),半径r =2,圆O 的圆心为(0,b),半径r =1.
1 1 2 2
∵两圆恰有三条公切线,∴两圆外切,
∴|O O |=r +r =3,即 =3,
1 2 1 2 √a2+b2
∴a2+b2=|a|2+|b|2=9,
∴(|a|+|b|)2≤2(|a|2+|b|2)=18,
3√2
∴|a|+|b|≤3√2,当且仅当|a|=|b|= 时取等号.
2
故选A.
疑难突破 根据两圆的公切线条数确定两圆位置关系,进而得到a2+b2=|a|2+|b|2=9,再把|a|
+|b|平方后利用重要不等式求最值即可.
9.(2022九师联盟核心模拟卷六,10)已知A,B为圆O:x2+y2=4上的两动点,|AB|=2√3,点P
是圆C:(x+3)2+(y-4)2=1上的一点,则|⃗PA+⃗PB|的最小值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 C 设M是AB的中点,因为|AB|=2√3,所以|OM|=√4-3=1,即M在以O为圆
心,1为半径的圆上.⃗PA+⃗PB=⃗PM+⃗MA+⃗PM+⃗MB=2⃗PM,所以|⃗PA+⃗PB|=2|
-1=4,所以|PM| =|PO| -1=4-1=3,所以| +
⃗PM|.又|PO|min=|OC|-1=√32+42 min min ⃗PA
| =2×3=6.故选C.
⃗PB min
10.(多选)(2020江苏启东检测,9)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是
( )
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
答案 AC 对于A项,当a=-1时,直线l为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,所以正确;对
于B项,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)·(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,所以不正确;
对于C项,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),所以正确;对于D项,当a=0时,直线l的方
程为x-y+1=0,在两坐标轴上的截距分别是-1,1,所以不正确.故选AC.
二、填空题
11.(2022河南天一第六次联考,16)已知动点A到P(1,3)的距离是到Q(4,0)的距离的2倍,
1
记动点A的轨迹为C,直线l:x-ty-4=0与C交于E,F两点,若S = S (点O为坐标原
△OQF
3
△OQE
点,S表示面积),则t= .
答案 -1
解析 设A(x, y),
则 ,
√(x-1)2+(y-3)2=2√(x-4)2+ y2
整理得(x-5)2+(y+1)2=8.设E(x ,y ),F(x ,y ),
1 1 2 2
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联立
{(x-5)2+(y+1)2=8, 2t-2 6
整理得(t2+1)y2-(2t-2)y-6=0,故y1+ y2= ①,y1y2=-
x=ty+4, t2+1 t2+1
1
②.因为S = S ,所以y =-3y ③.联立①②③,解得t =t =-1.
△OQF
3
△OQE 1 2 1 2
12.(2022江西二模,16)若点P为直线x-y+4=0上的一个动点,从点P引圆C:x2+y2=2的两
条切线PM,PN(M,N为切点),则直线MN恒过定点E的坐标为 .
答案 ( 1 1)
- ,
2 2
解析 设P(x ,x +4),M(x ,y ),N(x ,y ),则 过点 M 的切线方程为 xx +yy =2,证明如下:
0 0 1 1 2 2 1 1
若过点M的切线斜率存在,则切线的斜率k=-x ,
1
y
1
故切线方程为y-y =-x (x-x ),即x x+y y= + ,
1 1 1 1 1 x2 y2
y 1 1
1
又点M在圆x2+y2=2上,∴ + =2,则过点M的切线方程为x x+y y=2;
x2 y2 1 1
1 1
若过点M的斜率不存在,则M的坐标为(-
,也满足x x+y y=2.
√2,0)或(√2,0),对应切线方程为x=-√2或x=√2 1 1
综上所述,过点M的切线方程为x x+y y=2.
1 1
同理可得,过点N的切线方程为x x+y y=2.
2 2
∵两切线均过点P,
∴x x +(x +4)y =2,x x +(x +4)y =2,
0 1 0 1 0 2 0 2
1
{x=- ,
故直线MN的方程为x x+(x +4)y=2,即x (x+y)+4y=2,联立{x+ y=0, 2
0 0 0 解得
4 y=2, 1
y= ,
2
则直线MN恒过定点E( 1 1).
- ,
2 2
一题多解 如图,连接OM,ON,则OM⊥PM,ON⊥PN,
所以O,M,P,N四点共圆且直径为OP.
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设P(x ,y ),以OP为直径的圆上任意一点Q(x,y),则⃗PQ·⃗OQ=0,
0 0
可得以OP为直径的圆的方程为x2+y2-x x-y y=0,
0 0
又M、N在圆x2+y2=2上,
∴直线MN的方程为x x+y y=2.
0 0
又∵x -y +4=0,∴x x+(x +4)y=2,即x (x+y)+4y-2=0,
0 0 0 0 0
1
{x=- ,
由{ x+ y=0, 2 ( 1 1).
得 ∴直线MN过定点 - ,
4 y-2=0, 1 2 2
y= .
2
解后反思 本题考查过圆上一点的切线方程的求解,以及直线恒过定点问题的处理,处理
问题的关键是要掌握过圆上一点的切线方程的推导过程,记住结论(见知识清单)更有利
于做小题.
13.(2022陕西咸阳一模,13)直线y=√3x+m与圆x2+(y+1)2=1相切,则m= .
答案 -3或1
解析 因为直线y=√3x+m与圆x2+(y+1)2=1相切,
所以
|√3×0-(-1)+m|
=1,即|m+1|=2,所以m=-3或m=1.
√(√3)2+(-1)2
14.(2022哈尔滨三中二模,14)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|
AB|=2√3,则圆C的面积为 .
答案 4π
解析 易得圆心为C(0,a),半径r=
√a2+2,所以圆心C到直线y=x+2a的距离d= |2a-a| = |a|,则( |a| ) 2 +3=a2+2,
√2 √2 √2
解得a2=2,所以圆C的面积S=πr2=(2+2)π=4π.
一年创新
1.(2022成都七中二诊,10)阿波罗尼斯(约公元前262年—公元前190年),古希腊人,与阿
基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题,
其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题:已知平面上两点A,B,则所有满足
|PA|
=λ(λ>0,且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆.已知平面内的两个相异定点P,Q,动点M满
|PB|
足|MP|=2|MQ|,记M的轨迹为C,若与C无公共点的直线l上存在点R,使得|MR|的最小值
为6,且最大值为10,则C的长度为( )
A.2π B.4π C.8π D.16π
答案 B 依题意,知M的轨迹C是圆,设其圆心为点D,半径为r,显然直线l与圆C相离,
{d-r=6,
令点D到直线l的距离为d,由圆的性质得 解得d=8,r=2,所以C的长度为4π.
d+r=10,
故选B.
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