文档文本内容
8.3 直线、平面垂直的判定与性质
考点清单
学生用书P63 知识结构化 考点清单化
考点 直线、平面垂直的判定与性质 ３.直线与平面所成的角
定义 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐
１.线面垂直的判定与性质 (１) :
角 叫做这条直线和这个平面所成的角.
ꎬ
图形 条件 结论 当一条直线垂直于平面时 规定它们所成的角是直角 当
(２) ꎬ ꎻ
一条直线和平面平行或在平面内时 规定它们所成的角为 °.
ꎬ ０
ｌ ａꎬｌ ｂꎬ 直线与平面所成角θ的取值范围
⊥ ⊥ (３)
ａ ｂ Ｏꎬ ｌ α
∩ ＝ ⊥
ａ ⊂ αꎬｂ ⊂ α 直线ｌ和平面α ｌ ⊂ α ｌ α ｌ和α
的位置关系 或ｌ α ⊥ 斜交
∥
判定
θ的取值范围 θ ° θ ° θ °
＝０ ＝９０° ０ < <９０
ａ ｂꎬ
ａ
∥
α
ｂ
⊥
α ４.二面角
⊥
二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图
(１) :
形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做
二面角的面.
二面角的平面角
ａ αꎬ
⊥ ａ ｂ (２)
ｂ α ⊥ 以二面角的棱上任意一点为垂足 过垂足在两个半平面内分别
⊂ ꎬ
作垂直于棱的两条射线 这两条射线所组成的角叫做二面角的平
ꎬ
面角.若记此角为θ 则当θ °时 二面角叫做直二面角.
ꎬ ＝９０ ꎬ
性质
ａ αꎬ
⊥ ａ ｂ
ｂ α ∥
⊥
２.面面垂直的判定与性质
图形 条件 结论
ＡＯＢ是二面角α
∠
定义 ｌ β的平面角ꎬ且 α β
－ － ⊥
ＡＯＢ °
∠ ＝９０
判
定
ｌ βꎬ
定理 ⊂ α β
ｌ α ⊥
⊥
α βꎬ
⊥
α β ａꎬ
∩ ＝ ｌ α
ｌ βꎬ ⊥
⊂
ｌ ａ
⊥
性质
第
八
α ∩ β ＝ ｌꎬ 章
α γꎬ ｌ γ
⊥ ⊥ 立
β γ
⊥ 体
几
何
与
空
间
向
量
１ ４９
知识补充 ( )三垂线定理
１
在平面内的一条直线ꎬ如果和穿过这个平面的一条斜线在
这个平面内的射影垂直ꎬ那么它也和这条斜线垂直(简记为
“垂影 垂斜”).
⇒
( )三垂线定理的逆定理
２
如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直ꎬ那么
这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影(简记为“垂斜
垂影”).
⇒
题型方法
学生用书P64 题型经典 方法实用
一、判定或证明直线与直线垂直的方法 由 可得ＯＰ ＣＨ 所以ＣＨ 平面ＰＯＭ.
(１) ⊥ ꎬ ⊥
１.利用线线垂直的定义进行判断 计算两直线所成的角的大小 故ＣＨ的长为点Ｃ到平面ＰＯＭ的距离.
(
为 ° .
９０ ) 由题设可知ＯＣ １ ＡＣ ＣＭ ２ ＢＣ ４ ２ ＡＣＢ °
２.利用平面几何中证明线线垂直的方法 特殊图形 正方 ＝ ＝２ꎬ ＝ ＝ ꎬ∠ ＝４５ ꎬ
:(１) ( ２ ３ ３
形 长方形 直角梯形等 中的垂直关系 等腰三角形底边
、 、 ) ꎻ(２) 所以ＯＭ ２ ５ ＣＨ ＯＣ ＭＣ ｓｉｎ∠ ＡＣＢ ４ ５.所以点Ｃ到平
中线的性质 勾股定理的逆定理等. ＝ ꎬ ＝ ＯＭ ＝
ꎻ(３) ３ ５
３.线面垂直的性质 ａ α ｂ α ａ ｂ 主要方法
:(１) ⊥ ꎬ ⊂ ⇒ ⊥ ( )ꎻ
ａ α ｂ α ａ ｂ. 面ＰＯＭ的距离为４ ５.
(２) ⊥ ꎬ ∥ ⇒ ⊥
５
４.向量法 证明两直线的方向向量ａ ｂ互相垂直 即ａ ｂ . 三、判定或证明平面与平面垂直的方法
: ꎬ ꎬ ＝０
例1 (２０１７江苏ꎬ１５ꎬ１４分)如图 在 １.利用面面垂直的判定定理 ａ β ａ α α β 主要方法 .
ꎬ : ⊥ ꎬ ⊂ ⇒ ⊥ ( )
三棱锥 Ａ ＢＣＤ 中 ＡＢ ＡＤ ＢＣ ２.利用面面垂直的定义 作出两平面所成的二面角的平面角
－ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ( ꎬ
ＢＤ 平面ＡＢＤ 平面ＢＣＤ 点Ｅ Ｆ Ｅ 并计算平面角的大小为 ° .
ꎬ ⊥ ꎬ ꎬ ( ９０ )
与Ａ Ｄ 不重合 分别在棱 ＡＤ ＢＤ ３.利用平行的传递关系 α β α γ β γ.
ꎬ ) ꎬ : ∥ ꎬ ⊥ ⇒ ⊥
上 且ＥＦ ＡＤ. ４.向量法 证明两个平面的法向量ｍ ｎ互相垂直 即ｍ ｎ .
ꎬ ⊥ : ꎬ ꎬ ＝０
求证 ＥＦ 平面ＡＢＣ 例3 (２０２１新高考 ꎬ１９ꎬ１２ 分)在四棱锥Ｑ ＡＢＣＤ中 底面
:(１) ∥ ꎻ Ⅱ － ꎬ
ＡＤ ＡＣ.
(２) ⊥ ＡＢＣＤ是正方形 若ＡＤ ＱＤ ＱＡ ＱＣ .
证明 在平面ＡＢＤ内 因为ＡＢ ＡＤ ＥＦ ＡＤ 所以ＥＦ ꎬ ＝２ꎬ ＝ ＝ ５ꎬ ＝３
(１) ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ 证明 平面ＱＡＤ 平面ＡＢＣＤ
ＡＢ. (１) : ⊥ ꎻ
∥ 求二面角Ｂ ＱＤ Ａ的余弦值.
又因为ＥＦ 平面ＡＢＣ ＡＢ 平面ＡＢＣ (２) － －
⊄ ꎬ ⊂ ꎬ
所以ＥＦ 平面ＡＢＣ.
∥
因为平面ＡＢＤ 平面ＢＣＤ 平面ＡＢＤ 平面ＢＣＤ ＢＤ ＢＣ
(２) ⊥ ꎬ ∩ ＝ ꎬ
平面ＢＣＤ ＢＣ ＢＤ 所以 ＢＣ 平面 ＡＢＤ.因为 ＡＤ 平面
⊂ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ⊂
ＡＢＤ 所以ＢＣ ＡＤ.又ＡＢ ＡＤ ＢＣ ＡＢ Ｂ ＡＢ 平面ＡＢＣ ＢＣ
ꎬ ⊥ ⊥ ꎬ ∩ ＝ ꎬ ⊂ ꎬ
平面ＡＢＣ 所以ＡＤ 平面ＡＢＣ.又因为ＡＣ 平面ＡＢＣ 所以
⊂ ꎬ ⊥ ⊂ ꎬ
ＡＤ ＡＣ. 解析 证明 取ＡＤ的中点Ｅ 连接ＱＥ ＣＥ.
⊥ (１) : ꎬ ꎬ
二、判定或证明直线与平面垂直的方法 由于ＱＤ ＱＡ 故ＱＥ ＡＤ.
＝ ꎬ ⊥
１.利用线面垂直的判定定理 ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ Ｍ ｂ α ｃ α
: ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ∩ ＝ ꎬ ⊂ ꎬ ⊂ 在 ＱＡＥ中 ＱＥ ＱＡ２ ＡＥ２ ２ ２ .
Ｒｔ△ ꎬ ＝ － ＝ ( ５) －１ ＝２
ａ α 主要方法
⇒ ⊥ ( )ꎻ 在 ＣＤＥ中 ＣＥ ＤＣ２ ＤＥ２ ２ ２ .
２.利用平行的传递性 ａ ｂ ａ α ｂ α Ｒｔ△ ꎬ ＝ ＋ ＝ ２ ＋１ ＝ ５
: ∥ ꎬ ⊥ ⇒ ⊥ ꎻ 在 ＱＣＥ中 ＱＥ２ ＣＥ２ ＱＣ２ ＱＥ ＣＥ
３.利用面面垂直的性质定理 α β α β ｌ ａ α ａ ｌ ａ β △ ꎬ ＋ ＝ ⇒ ⊥ ꎬ
: ⊥ ꎬ ∩ ＝ ꎬ ⊂ ꎬ ⊥ ⇒ ⊥ 又 ＣＥ ＡＤ Ｅ ＣＥ ＡＤ 平面ＡＢＣＤ
主要方法 ∵ ∩ ＝ ꎬ 、 ⊂ ꎬ
( )ꎻ ＱＥ 平面ＡＢＣＤ.
４.利用面面平行的性质 α β ａ β ａ α ∴ ⊥
: ∥ ꎬ ⊥ ⇒ ⊥ ꎻ 又ＱＥ 平面ＱＡＤ 平面ＱＡＤ 平面ＡＢＣＤ.
５.利用面面垂直的性质 α β α γ β γ ｌ ｌ α ⊂ ꎬ∴ ⊥
: ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ∩ ＝ ⇒⊥ ꎻ 以Ｅ为坐标原点建系 如图所示
６.向量法 证明直线的方向向量ａ与平面的法向量ｂ平行. (２) ꎬ ꎬ
:
例2 (２０１８ 课标 文ꎬ１９ꎬ１２ 分)如
Ⅱ
图 在三棱锥 Ｐ ＡＢＣ 中 ＡＢ ＢＣ
ꎬ － ꎬ ＝ ＝
ＰＡ ＰＢ ＰＣ ＡＣ Ｏ 为 ＡＣ 的
２ ２ꎬ ＝ ＝ ＝ ＝４ꎬ
中点.
证明 ＰＯ 平面ＡＢＣ
(１) : ⊥ ꎻ
若点Ｍ在棱ＢＣ上 且ＭＣ ＭＢ
年 (２) ꎬ ＝２ ꎬ
高 求点Ｃ到平面ＰＯＭ的距离. 则Ｂ (２ꎬ－１ꎬ０)ꎬ Ｑ (０ꎬ０ꎬ２)ꎬ Ｄ (０ꎬ１ꎬ０)ꎬ Ａ (０ꎬ－１ꎬ０) .Ｂ→Ｑ ＝(－２ꎬ
考 解析 (１) 证明 : 因为ＡＰ ＝ ＣＰ ＝ ＡＣ Ｂ→Ｄ .
１ꎬ２)ꎬ ＝(－２ꎬ２ꎬ０)
Ｏ为ＡＣ的中点 所以ＯＰ ＡＣ 且
年 ＝４ꎬ ꎬ ⊥ ꎬ 显然 ꎬ 平面ＱＡＤ的一个法向量为ｎ １＝(１ꎬ０ꎬ０) .
模 ＯＰ . 设平面ＢＱＤ的法向量为ｎ ｘ ｙ ｚ
拟
＝２ ３ ２＝( ꎬ ꎬ )ꎬ
连接ＯＢ ꎬ 因为ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ２ＡＣ ꎬ 则 {ｎ ２ Ｂ→Ｑ ＝０ꎬ即 { －２ ｘ ＋ ｙ ＋２ ｚ ＝０ꎬ可取ｎ .
所以 ＡＢＣ为等腰直角三
２
角形 且ＯＢ
ｎ
２
Ｂ→Ｄ
＝０ꎬ －２
ｘ
＋２
ｙ
＝０ꎬ
２＝(２ꎬ２ꎬ１)
△ ꎬ 设二面角Ｂ ＱＤ Ａ的大小为θ 易知θ为锐角
︵ － － ꎬ ꎬ
教 师 用 ⊥ 由 Ａ Ｏ Ｃ Ｐ ꎬ ２ Ｏ ＋ Ｂ Ｏ ＝ Ｂ２ ２ １ ＝ Ａ Ｐ Ｃ Ｂ ＝ ２ 知 ２ . ꎬ ＯＰ ⊥ ＯＢ. 则 ｃｏｓ θ ＝｜ｃｏｓ‹ ｎ １ꎬ ｎ ２›｜＝ ｜ ｜ ｎ ｎ １ １ ｜｜ ｎ ｎ ２ ２ ｜ ｜ ＝ １× ２ ３ ＝ ３ ２ ꎬ 故二面角Ｂ － ＱＤ
书 由ＯＰ ⊥ ＯＢ ꎬ ＯＰ ⊥ ＡＣ ꎬ ＯＢ ∩ ＡＣ ＝ Ｏ ꎬ 知ＰＯ ⊥ 平面ＡＢＣ. Ａ的余弦值为 ２ .
︶ 作ＣＨ ＯＭ 垂足为Ｈ. －
(２) ⊥ ꎬ ３
１ ５０
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点 直线、平面垂直的判定与性质 ＥＡ 且二面角Ｅ ＢＣ Ｄ的大小为 ° 求三棱锥Ａ ＢＣＤ的
＝２ ꎬ － － ４５ ꎬ －
体积.
学生用书P221
１.(２０２２全国乙ꎬ理 ７ꎬ文 ９ꎬ５ 分ꎬ综合性)在正方体 ＡＢＣＤ
－
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｅ Ｆ分别为ＡＢ ＢＣ的中点 则
１ １ １ １ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ( )
平面Ｂ ＥＦ 平面ＢＤＤ
Ａ. １ ⊥ １
平面Ｂ ＥＦ 平面Ａ ＢＤ
Ｂ. １ ⊥ １
平面Ｂ ＥＦ 平面Ａ ＡＣ
Ｃ. １ ∥ １
平面Ｂ ＥＦ 平面Ａ Ｃ Ｄ
Ｄ. １ ∥ １ １
答案 Ａ
２.(２０１４广东ꎬ７ꎬ５分ꎬ基础性)若空间中四条两两不同的直线 解析 (
１
)证明:在
△
ＡＢＤ中ꎬ
∵
ＡＢ
＝
ＡＤꎬＯ为ＢＤ的中点ꎬ
ｌ １ꎬ ｌ ２ꎬ ｌ ３ꎬ ｌ ４ꎬ 满足ｌ １⊥ ｌ ２ꎬ ｌ ２⊥ ｌ ３ꎬ ｌ ３⊥ ｌ ４ꎬ 则下列结论一定正确的是 ∴
ＢＤ
Ａ
ꎬ
Ｏ
Ａ
⊥
Ｏ
ＢＤ
平
ꎬ又
面
∵
ＡＢ
平
Ｄ
面
ꎬ
Ａ
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ｄ ⊥
平
平
面
面
Ｂ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ｄ
Ｄ
ꎬ
ꎬ
又
平
Ｃ
面
Ｄ
ＡＢ
平
Ｄ ∩
面
平
ＢＣ
面
Ｄꎬ
ＢＣＤ
Ａ
＝
Ｏ
⊂ ∴ ⊥ ⊂ ∴
( )
ＣＤ.
ｌ ｌ ⊥
Ａ. １⊥４ ( )在 ＡＢＤ中ꎬ过Ｅ作ＥＮ ＡＯ交ＢＤ
ｌ ｌ ２ △ ∥
Ｂ. １∥４ 于Ｎꎬ
ｌ 与ｌ 既不垂直也不平行
Ｃ. １ ４ 则由ＡＯ 平面ＢＣＤ得ＥＮ 平面ＢＣＤꎬ
ｌ 与ｌ 的位置关系不确定 ⊥ ⊥
Ｄ. １ ４ ＥＮ ＢＣꎬ
答案 Ｄ ∴ ⊥
ＯＢ ＯＤ ＯＣ ꎬ ＢＣＤ °ꎬ即
３.(２０２１ 浙江ꎬ６ꎬ４ 分ꎬ基础性)如图 已知正方体 ＡＢＣＤ ∵ ＝ ＝ ＝１ ∴ ∠ ＝９０
ꎬ －
ＤＣ ＢＣ.
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｍ Ｎ分别是Ａ Ｄ Ｄ Ｂ的中点 则 ⊥
１ １ １ １ꎬ ꎬ １ ꎬ １ ꎬ ( ) 在 ＢＣＤ中ꎬ过Ｎ作ＮＭ ＣＤ交ＢＣ于Ｍꎬ则ＮＭ ＢＣ.
直线Ａ Ｄ与直线Ｄ Ｂ垂直 直线ＭＮ △ ∥ ⊥
Ａ. １ １ ꎬ 连接ＥＭꎬ ＢＣ ＥＮꎬＢＣ ＮＭꎬＥＮ ＮＭ Ｎꎬ
平面ＡＢＣＤ ∵ ⊥ ⊥ ∩ ＝
∥ ＢＣ 平面ＥＭＮꎬ ＥＭ ＢＣꎬ
直线Ａ Ｄ与直线Ｄ Ｂ平行 直线ＭＮ ∴ ⊥ ∴ ⊥
Ｂ. １ １ ꎬ ＥＭＮ为二面角Ｅ ＢＣ Ｄ的平面角ꎬ又知二面角Ｅ ＢＣ Ｄ
平面ＢＤＤ Ｂ ∴ ∠ － － － －
⊥ １ １ 的大小为 °ꎬ
直线Ａ Ｄ与直线Ｄ Ｂ相交 直线ＭＮ ４５
Ｃ. １ １ ꎬ ＥＭＮ °ꎬ ＥＭＮ为等腰直角三角形ꎬ
平面ＡＢＣＤ ∴ ∠ ＝４５ ∴ △
∥
直线Ａ Ｄ与直线Ｄ Ｂ异面 直线ＭＮ 又由ＤＥ ＥＡ 得 ＤＮ ＮＯꎬ ＭＮ ２ ＣＤ ２ ＥＮ ＮＤꎬ
Ｄ. １ １ ꎬ ＝２ ＝２ ∴ ＝ ＝ ＝ ＝
平面ＢＤＤ Ｂ ３ ３
⊥ １ １
答案 Ａ
ＡＯ ＯＤ ꎬ Ｖ １ Ｓ ＡＯ １ １ ３.
４.(２０１９课标 ꎬ文８ꎬ理８ꎬ５分ꎬ综合性)如图 点Ｎ为正方形 ∴ ＝ ＝１ ∴ Ａ － ＢＣＤ＝ △ ＢＣＤ ＝ × ×１× ３×１＝
Ⅲ ꎬ ３ ３ ２ ６
ＡＢＣＤ的中心 ＥＣＤ为正三角形 平面 ＥＣＤ 平面 ＡＢＣＤ Ｍ
ꎬ△ ꎬ ⊥ ꎬ 故三棱锥Ａ ＢＣＤ的体积为 ３.
是线段ＥＤ的中点 则 －
ꎬ ( ) ６
７.(２０２１全国乙文ꎬ１８ꎬ１２分ꎬ综合性)如图 四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ的
ꎬ －
底面是矩形 ＰＤ 底面ＡＢＣＤ Ｍ为ＢＣ的中点 且ＰＢ ＡＭ.
ꎬ ⊥ ꎬ ꎬ ⊥
证明 平面ＰＡＭ 平面ＰＢＤ
(１) : ⊥ ꎻ
若ＰＤ ＤＣ 求四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ的体积.
(２) ＝ ＝１ꎬ －
ＢＭ ＥＮ 且直线ＢＭ ＥＮ是相交直线
Ａ. ＝ ꎬ ꎬ
ＢＭ ＥＮ 且直线ＢＭ ＥＮ是相交直线
Ｂ. ≠ ꎬ ꎬ
ＢＭ ＥＮ 且直线ＢＭ ＥＮ是异面直线
Ｃ. ＝ ꎬ ꎬ
ＢＭ ＥＮ 且直线ＢＭ ＥＮ是异面直线
Ｄ. ≠ ꎬ ꎬ
答案 Ｂ
５.(２０１９北京ꎬ文１３ꎬ理１２ꎬ５分ꎬ基础性)已知ｌ ｍ是平面α外
ꎬ
的两条不同直线.给出下列三个论断 解析 ( )证明:由于ＰＤ 平面ＡＢＣＤꎬＡＭ 平面ＡＢＣＤꎬ则 第
: １ ⊥ ⊂ 八
ｌ ｍ ｍ α ｌ α. ＰＤ ＡＭꎬ又 ＰＢ ＡＭꎬＰＢ ＰＤ ＰꎬＰＢ、ＰＤ 平面 ＰＢＤꎬ所以
①⊥ ꎻ② ∥ ꎻ③⊥ ⊥ ⊥ ∩ ＝ ⊂ 章
以其中的两个论断作为条件 余下的一个论断作为结论 写出 ＡＭ 平面 ＰＢＤꎬ因为 ＡＭ 平面 ＰＡＭꎬ所以平面 ＰＡＭ 平
ꎬ ꎬ ⊥ ⊂ ⊥ 立
一个正确的命题 . 面ＰＢＤ.
: 体
答案 若ｌ ｍꎬｌ αꎬ则ｍ α(答案不唯一) ( )由( )知ＡＭ 平面ＰＢＤꎬ因为ＢＤ 平面ＰＢＤꎬ所以ＡＭ 几
⊥ ⊥ ∥ ２ １ ⊥ ⊂ ⊥ 何
６.(２０２１新高考 Ⅰ ꎬ２０ꎬ１２分ꎬ综合性)如图 ꎬ 在三棱锥Ａ － ＢＣＤ ＢＤꎬ所以 ∠ ＭＡＢ ＋∠ ＡＢＤ ＝９０ °ꎬ因为四边形ＡＢＣＤ为矩形ꎬ所以 与
中 平面ＡＢＤ 平面ＢＣＤ ＡＢ ＡＤ Ｏ为ＢＤ的中点. ＤＡＢ ＡＢＭꎬ所以 ＭＡＢ ＡＭＢ °ꎬ所以 ＡＢＤ 空
ꎬ ⊥ ꎬ ＝ ꎬ ∠ ＝ ∠ ∠ ＋∠ ＝ ９０ ∠ ＝ 间
(１) 证明 : ＯＡ ⊥ ＣＤ ꎻ ＡＭＢꎬ则 ＤＡＢ ＡＢＭꎬ则 ＤＡ ＡＢ ꎬ又ＡＢ ＤＣ ꎬＭ为ＢＣ 向
若 ＯＣＤ是边长为 的等边三角形 点Ｅ在棱ＡＤ上 ＤＥ ∠ △ ∽△ ＡＢ＝ＢＭ ＝ ＝１ 量
(２) △ １ ꎬ ꎬ
１ ５１
的中点ꎬ ＡＤ ꎬ 解析 ( )证明:由已知得 Ｂ Ｃ 平面 ＡＢＢ Ａ ꎬＢＥ 平面
∴ ＝ ２ １ １ １⊥ １ １ ⊂
ＡＢＢ Ａ ꎬ故Ｂ Ｃ ＢＥ.又ＢＥ ＥＣ ꎬ所以ＢＥ 平面ＥＢ Ｃ .
Ｓ ＡＢＡＤ ꎬ Ｖ １ Ｓ ＰＤ １ １ １ １ １⊥ ⊥ １ ⊥ １ １
∴ 矩形ＡＢＣＤ＝ ＝ ２ ∴ 四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ＝ 矩形ＡＢＣＤ ＝ ×
３ ３
２.
２×１＝
３
８.(２０１９ 课标 文ꎬ１７ꎬ１２ 分ꎬ综合性)如图 长方体 ＡＢＣＤ
Ⅱ ꎬ －
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的底面ＡＢＣＤ是正方形 点Ｅ在棱ＡＡ 上 ＢＥ ＥＣ .
１ １ １ １ ꎬ １ ꎬ ⊥ １
证明 ＢＥ 平面ＥＢ Ｃ
(１) : ⊥ １ １ꎻ
若ＡＥ Ａ Ｅ ＡＢ 求四棱锥Ｅ ＢＢ Ｃ Ｃ的体积.
(２) ＝ １ ꎬ ＝３ꎬ － １ １
( )由( )知 ＢＥＢ °.由题设知 ＡＢＥ Ａ Ｂ Ｅꎬ所以
２ １ ∠ １＝９０ Ｒｔ△ ≌Ｒｔ△ １ １
ＡＥＢ Ａ ＥＢ °ꎬ故ＡＥ ＡＢ ꎬＡＡ ＡＥ .作ＥＦ ＢＢ ꎬ
∠ ＝∠ １ １＝４５ ＝ ＝３ １＝２ ＝６ ⊥ １
垂足为Ｆꎬ则ＥＦ 平面ＢＢ Ｃ Ｃꎬ且ＥＦ ＡＢ .所以ꎬ四棱锥Ｅ
⊥ １ １ ＝ ＝３ －
ＢＢ Ｃ Ｃ的体积Ｖ １ .
１ １ ＝ ×３×６×３＝１８
３
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ５２
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P222
考点 直线、平面垂直的判定与性质 直线Ｃ Ｄ与平面ＢＢ Ｃ Ｃ所成角的正切值为
Ｃ. １ １ １ ２
１.(２０２２广东湛江二模ꎬ４)已知 α β 是两个不同的平面 ｍ ｎ
ꎬ ꎬ ꎬ 三棱锥Ｅ Ｃ ＤＦ的体积为 ２
是两条不同的直线 且α β ｍ 则 ｍ ｎ 是 ｎ β 的 Ｄ. － １
ꎬ ∩ ＝ ꎬ “ ⊥ ” “ ⊥ ” ２
答案 ＢＣＤ
( )
充分不必要条件 ４.(多选)(２０２２ 福建４ 月百校联合测评ꎬ１１)已知三棱锥 Ｐ
Ａ. －
必要不充分条件 ＡＢＣ外接球的球心为Ｏ 外接球的半径为 ＡＢ ＡＣ ＰＢ
Ｂ. ꎬ ４ꎬ ＝ ＝４ꎬ ＝
充要条件 ＰＣ ＢＣ ｍ ｍ为正数 则下列命题是真命题的是
Ｃ. ꎬ ＝ ( )ꎬ ( )
既不充分也不必要条件
Ｄ. 若ｍ 则三棱锥Ｐ ＡＢＣ的体积的最大值为３２＋１６ ２
答案 Ｂ Ａ. ＝４ ２ꎬ －
３
２.(２０２２福建龙岩一模ꎬ４)已知互不重合的直线ａ ｂ 互不重合 若Ｐ Ｏ Ａ不共线 则平面ＰＯＡ 平面ＡＢＣ
ꎬ ꎬ Ｂ. ꎬ ꎬ ꎬ ⊥
的平面α β γ 给出下列四个命题 错误的命题是 存在唯一一点Ｐ 使得ＯＰ 平面ＡＢＣ
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ( ) Ｃ. ꎬ ⊥
若ａ α ａ β α β ｂ 则ａ ｂ
Ａ. ∥ ꎬ ∥ ꎬ ∩ ＝ ꎬ ∥ ｍ的最大值为
Ｄ. ４ ２
Ｂ. 若α ⊥ β ꎬ ａ ⊥ α ꎬ ｂ ⊥ β ꎬ 则ａ ⊥ ｂ 答案 ＡＢ
Ｃ. 若α ⊥ β ꎬ α ⊥ γ ꎬ β ∩ γ ＝ ａ ꎬ 则ａ ⊥ α ５.(２０２０ 湘赣皖十五校第二次联考ꎬ３)棱长为 的正方体
１
若α β ａ α 则ａ β Ｄ. ∥ ꎬ ∥ ꎬ ∥ ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｐ 为正方体表面上的一个动点 且总有
答案 Ｄ － １ １ １ １ ꎬ ꎬ
ＰＣ ＢＤ 则动点Ｐ的轨迹所围成的图形的面积为
３.(多选)(２０２２ 长沙雅礼中学 ⊥ １ꎬ ( )
第七次月考ꎬ１１)如图 已知长 ３
ꎬ Ａ. ３ Ｂ.３ ２ Ｃ. Ｄ.１
方体 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 四边 ２
形ＡＢＣＤ为
－
正
１
方
１
形
１
Ａ
１
Ｂ
ꎬ
ＡＡ
答案 Ｃ
Ｅ Ｆ 分别为 ꎬ ＡＢ Ｂ ＝ Ｃ ２ꎬ 的中 １ ６ 面 .( Ａ ２ Ｂ ０ Ｃ ２１ Ｄ 重 Ａ 庆 Ｂ 一 Ｃ 模 Ｄ ꎬ Ａ １６ Ｂ )在四 ＢＣ 棱柱 ＣＤ ＡＢ Ｄ ＣＤ Ａ － Ａ Ａ １ Ａ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ 以 １ 中 Ｃ ꎬ Ｄ Ａ 的 Ａ １⊥ 中 平 点
点 ＝ ２ 则 ꎬ ꎬ ꎬ Ｏ为球心 ꎬ ＯＤ ∥ 的长 ꎬ 为 ＝ 半 ４ 径 ꎬ 的 ＝ 球Ｏ ＝ 截侧 ＝ 面Ａ １ Ｂ ＝ Ｂ ２ꎬ Ａ 所得图形的
ꎬ ( ) ꎬ １ １ １
Ａ Ｅ ＤＦ 面积为 . Ａ. １ ⊥
点Ａ Ｅ Ｆ Ｃ 四点共面 答案
Ｂ. １、 、 、 １ π
B组 综合应用题组 学生用书P223
40分钟 50分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共１５分) 若ＡＢ ＢＣ 则存在无数条直线ＥＦ 使得ＥＦ ＢＣ
Ｃ. ⊥ ꎬ ꎬ ⊥
１.(２０２２重庆一中３月月考ꎬ２)已知ｍ ｎ为两条不同的直线 若ＡＢ ＢＣ 则存在线段ＥＦ 使得四边形ＢＢ Ｃ Ｃ的面积为
ꎬ ꎬ Ｄ. ⊥ ꎬ ꎬ １ １
α β为两个不同的平面 则下列结论正确的是 ＢＣ ＥＦ
ꎬ ꎬ ( )
若α β ｍ α 则ｍ β 答案 ＢＣＤ
Ａ. ∥ ꎬ ∥ ꎬ ∥
若ｍ α ｎ β α β 则ｍ ｎ 三、填空题(每小题５分ꎬ共１０分)
Ｂ. ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ∥ ꎬ ∥
若α β ｍ α 则ｍ β ６.(２０２２山东枣庄一模ꎬ１４)如图 等腰 ＰＡＤ与矩形 ＡＢＣＤ
Ｃ. ⊥ ꎬ ⊂ ꎬ ⊥ ꎬ Ｒｔ△
若ｍ α ｎ β ｍ ｎ 则α β 所在平面垂直 且ＰＡ ＰＤ ＡＢ 则四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ的外接
Ｄ. ⊥ ꎬ ⊂ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ＝ ＝ ＝２ꎬ －
答案 Ｂ 球的表面积为 .
２.(２０２２ 黑龙江哈尔滨三中二
模ꎬ１１)如图 直四棱柱 ＡＢＣＤ
ꎬ －
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的底面是边长为 的
１ １ １ １ ３
正方形 侧棱长为 Ｅ Ｆ 分别
ꎬ ４ꎬ ꎬ
在ＡＢ ＢＣ上 且→ＡＥ １→ＡＢ Ｃ→Ｆ
ꎬ ꎬ ＝ ꎬ ＝
３
１ Ｃ→Ｂ 过 Ｄ Ｅ Ｆ 的平面记为
ꎬ １ꎬ ꎬ 答案
３ １２π
α 则下列说法中正确的个数是 ７.(２０２２ 海南文昌中学 ４ 月段考ꎬ１６)已知正方体 ＡＢＣＤ
ꎬ ( ) －
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱长为 点Ｍ Ｎ分别是棱ＢＣ Ｃ Ｄ 的中点 点Ｐ
Ｄ Ｆ与平面ＡＢＣＤ所成角的正切值为２ １０ １ １ １ １ ２ꎬ ꎬ ꎬ １ １ ꎬ
① １ ꎻ 在平面Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 内 点Ｑ在线段Ａ Ｎ上 若ＰＭ 则ＰＱ长
５ １ １ １ １ ꎬ １ ꎬ ＝ ５ꎬ
平面α截直四棱柱ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 所得截面的形状为四 度的最小值为 .
② － １ １ １ １
边形
ꎻ
平面α将直四棱柱分割成的上 下两部分的体积之比为
③ 、 ３
∶ １ꎻ
平面 α 截直四棱柱 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 所得截面的面积为
④ － １ １ １ １
.
７ ３
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
答案 Ｂ
３.(２０２１江苏南通期末ꎬ３)已知直线ｍ 平面α 则直线ｌ 平面α
⊂ ꎬ ⊥
是直线ｌ ｍ的 答案 ３ ５
⊥ ( ) －１
充要条件 ５
Ａ. 四、解答题(共１５分)
充分不必要条件
Ｂ. ８.(２０２２重庆第七次质检ꎬ２０)如图 在四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ中 ＡＢ
必要不充分条件 ꎬ － ꎬ
Ｃ. 平面ＰＡＤ ＰＡＤ是正三角形 ＤＣ ＡＢ ＤＡ ＤＣ ＡＢ .
既不充分又不必要条件 ⊥ ꎬ△ ꎬ ∥ ꎬ ＝ ＝２ ＝４
Ｄ. 求证 平面ＰＢＣ 平面ＰＣＤ
答案 Ｂ (１) : ⊥ ꎻ
求平面ＰＡＣ与平面ＰＢＤ所成二面角的正弦值.
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１０分) (２)
４.(２０２２湖北八市联考ꎬ１１)我们把经过同一顶点的三条棱两
两垂直的三棱锥 称作直角三棱锥.在直角三棱锥Ｓ ＡＢＣ中
ꎬ － ꎬ
侧棱ＳＡ ＳＢ ＳＣ两两垂直 设ＳＡ ａ ＳＢ ｂ ＳＣ ｃ 点Ｓ在底面
、 、 ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ
ＡＢＣ的射影为点Ｄ 三条侧棱ＳＡ ＳＢ ＳＣ与底面所成的角分别
ꎬ 、 、
为α β γ 下列结论正确的有
、 、 ꎬ ( )
Ｄ为 ＡＢＣ的外心
Ａ. △
ＡＢＣ为锐角三角形
Ｂ.△
Ｃ. 若ａ > ｂ > ｃ ꎬ 则α < β < γ 解析 ( )证明:取ＰＣ的中点ＥꎬＰＤ的中点Ｆꎬ连接ＢＥꎬＡＦꎬ
１
Ｄ.ｓｉｎ ２α ＋ｓｉｎ ２β ＋ｓｉｎ ２γ ＝１ ＥＦꎬ ＰＡＤ是正三角形ꎬ ＡＦ ＰＤ. 第
答案 ＢＣＤ ∵ △ ∴ ⊥ 八
５ 中 .(２ 平 ０２ 面 ２ 湖 ＡＣ 南 Ｃ 三 Ａ 湘名 平 校 面 联 ＡＢ 盟 Ｃ 联 Ａ 考 Ａ ꎬ１ Ａ ２) Ｃ 在 .Ｅ 三 Ｆ 棱 分 柱 别 Ａ 是 ＢＣ 线 － 段 Ａ １ Ｂ Ａ １ Ｃ Ｃ １ ∵ ∴
Ａ
Ａ
Ｂ
Ｆ ⊥ ⊥
平
ＤＣ
面
ꎬ又
ＰＡ
Ｐ
Ｄ
Ｄ
ꎬ
∩
ＤＣ
Ｄ ∥ Ｃ ＝
ＡＢ
Ｄ
ꎬ
ꎬ
Ａ
∴
Ｆ
Ａ ⊂ Ｆ
平
⊥
面
平面
ＰＡ
Ｐ
Ｄ
Ｄ
ꎬ
Ｃ. 章 立
ꎬ １ １⊥ ꎬ １ ＝ １ ꎬ ꎬ ＥꎬＦ分别是ＰＣꎬＰＤ的中点ꎬ ＥＦ ＤＣꎬＥＦ １ ＤＣꎬ 体
Ａ Ｂ 上的点.下列结论成立的是 ∵ ∴ ∥ ＝ 几
１ 若 １ ＡＡ ＡＣ 则存在唯一直线ＥＦ 使得ＥＦ Ａ Ｃ ( ) ２ 何
Ａ. １＝ ꎬ ꎬ ⊥ １ 又ＡＢ ＤＣꎬＡＢ １ ＤＣꎬ ＡＢ ＥＦꎬＡＢ ＥＦꎬ 与
若ＡＡ ＡＣ 则存在唯一线段ＥＦ 使得四边形ＡＣＣ Ａ 的面积 ∥ ＝ ∴ ∥ ＝ 空
Ｂ. １＝ ꎬ ꎬ １ １ ２ 间
四边形ＥＦＡＢ为平行四边形ꎬ ＢＥ ＡＦꎬ
为２ ３ＥＦ２ ∴ ∴ ∥ 向
ＢＥ 平面ＰＣＤꎬ ＢＥ 平面ＰＢＣꎬ 量
３ ∴ ⊥ ∵ ⊂
１ ５３
平面ＰＢＣ 平面ＰＣＤ. 设平 面 ＰＡＣ 的 法 向 量 为 ｎ ( ｘ ꎬ ｙ ꎬ ｚ )ꎬ 由
∴ ⊥ １ ＝ １ １ １
{ →ＰＡｎ ꎬ { ｘ ｚ ꎬ
１＝０ 得 ２ １－２ ３ １＝０
Ｐ→Ｃｎ ꎬ ｘ ｙ ｚ ꎬ
１＝０ －２ １＋４ １－２ ３ １＝０
令ｘ ꎬ则ｙ ꎬｚ ꎬ则ｎ ( ꎬ ꎬ ).
１＝ ３ １＝ ３ １＝１ １＝ ３ ３ １
易知Ｐ→Ｂ ( ꎬ ꎬ )ꎬＰ→Ｄ ( ꎬ ꎬ ).
＝ ２ ２ －２ ３ ＝ －２ ０ －２ ３
设 平 面 ＰＢＤ 的 法 向 量 为 ｎ ( ｘ ꎬ ｙ ꎬ ｚ )ꎬ 由
２ ＝ ２ ２ ２
{Ｐ→Ｂｎ ꎬ { ｘ ｙ ｚ ꎬ
２＝０ 得 ２ ２＋２ ２－２ ３ ２＝０
Ｐ→Ｄｎ ꎬ ｘ ｚ ꎬ
( )取ＡＤ的中点Ｏꎬ取ＢＣ的中点Ｍꎬ连接ＯＭꎬＯＰꎬ易知ＯＰꎬ
２＝０ －２ ２－２ ３ ２＝０
２ 令ｘ ꎬ则ｙ ꎬｚ ꎬ
ＯＡꎬＯＭ两两垂直ꎬ以 Ｏ 为原点ꎬ分别以Ｏ→ＡꎬＯ→ＭꎬＯ→Ｐ的方向为
则ｎ
２＝
(
３
ꎬ
２＝
ꎬ
－２
)
３
.
２＝－１
ｘꎬｙꎬｚ轴正方向建立空间直角坐标系ꎬ则Ａ( ꎬ ꎬ )ꎬＢ( ꎬ ꎬ )ꎬ ２＝ ３ －２ ３ －１
２ ０ ０ ２ ２ ０ 设平面ＰＡＣ与平面ＰＢＤ所成二面角为θꎬ
Ｃ(
－２
ꎬ
４
ꎬ
０
)ꎬＤ(
－２
ꎬ
０
ꎬ
０
)ꎬＰ(
０
ꎬ
０
ꎬ
２ ３
)ꎬ则→ＰＡ
＝
(
２
ꎬ
０
ꎬ
－２ ３
)ꎬ
θ ｜
ｎ
１
ｎ
２｜ ７ꎬ则 θ ４２.
Ｐ→Ｃ ( ꎬ ꎬ ). ∴ ｜ｃｏｓ ｜＝ ｎ ｎ ＝ ｓｉｎ ＝
＝ －２ ４ －２ ３ ｜ １｜ ｜ ２｜ ７ ７
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ５４
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P224
１.(２０２２ ５３原创题)如图 在圆锥ＳＯ中 ＡＢ是底面圆Ｏ的 答案 Ｄ
ꎬ ꎬ
直径 Ｃ为母线ＳＡ的中点 Ｐ为圆Ｏ上一个动点 若ＳＯ ２.(２０２２ ５３原创题)如图 在正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 点
ꎬ ꎬ ꎬ ＝２ ２ꎬ ꎬ － １ １ １ １ ꎬ
Ｐ是线段ＢＣ 上的一个动点 有下列三个结论
ＡＢ ＝４ ２ꎬ 则 ( ) １ ꎬ :
对任意点Ｐ 都有ＢＳ 平面ＰＯＣ Ａ Ｐ 平面ＡＣＤ Ｂ Ｄ Ａ Ｐ 若点Ｐ与Ｂ不重合 则平
Ａ. ꎬ ∥ ① １ ∥ １ꎻ② １ ⊥ １ ꎻ③ ꎬ
存在点Ｐ 使得平面ＰＳＣ 平面ＰＳＯ 面Ａ ＰＢ 平面Ｂ ＣＤ.
Ｂ. ꎬ ⊥ １ ⊥ １
ＰＳＣ面积的取值范围为 其中正确结论的个数为
Ｃ.△ (０ꎬ５] ( )
[ ]
二面角Ｓ ＰＯ Ｃ的平面角的取值范围为 π Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.２ Ｄ.３
Ｄ. － － ０ꎬ 答案 Ｄ
４
