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第3讲 直线、平面平行的判定及性质
复习要点 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、
面面平行的有关性质定理与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空
间图形的平行关系的简单命题．
一 直线与平面平行
1．直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．
2．判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平
判定
面内的一条直线平行，那么 a∥α
定理
该直线与此平面平行
⇒
一条直线与一个平面平行，
性质 如果过该直线的平面与此平
a∥b
定理 面相交，那么该直线与交线
⇒
平行
二 平面与平面平行
1．平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面．
2．判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条
判定 相交直线与另一个平面
定理 平行，那么这两个平面 α∥β
平行
⇒
两个平面平行，如果另
性质 一个平面与这两个平面
定理 相交，那么两条交线平 a∥b
行
⇒
常/用/结/论
1．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
2．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
4．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
1．判断下列结论是否正确．(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．()
(3)若直线a 平面α，直线b 平面β，a∥b，则α∥β.()
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)
⊂ ⊂
2．(2024·广东深圳福田区统考)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的
平面，有以下说法：
①若m∥α，m⊥β，则α⊥β；
②若m α，n β，m∥β，n∥α，则α∥β；
③若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n；
⊂ ⊂
④若m α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n.
其中正确的说法是( )
⊂
A．①④ B．①②④
C．①②③ D．②③④
解析：对于①，由m∥α，则存在直线a α，使得m∥a，∵m⊥β，∴a⊥β，则α⊥β，
故①正确；
⊂
对于②，假设m∥n时，存在α∩β＝b，m α，n β，m∥b，n∥b，且m⊄β，n⊄α，符合
条件，但α与β相交，故②错误；
⊂ ⊂
对于③，由α⊥β，设α∩β＝c，当m∥c∥n，且m⊄α，n⊄β时，m∥α，n∥β，故③错误；
对于④，由m∥β，则任意直线 d β，直线d与直线m的位置关系为异面或平行，
∵m α，且α∩β＝n，∴m∥n，故④正确．故选A.
⊂
答案：A
⊂
3．在三棱柱 ABCABC 中，D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若 AC∥平面
1 1 1 1
BC D，则D为( )
1
A．棱AB的中点 B．棱AB 的中点
1 1
C．棱BC的中点 D．棱AA 的中点
1
解析： 如图，当 D 为棱 AB 的中点时，取 AB 的中点 E，连接 AE，EC，易知
1 1 1
AE∥BD，DC ∥EC，又DC ∩BD＝D，AE∩EC＝E，∴平面ACE∥平面BC D，又AC
1 1 1 1 1 1 1
平面ACE，则AC∥平面BC D.故选B.
1 1 1 ⊂
答案：B
4．如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的
形状为________．解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面
DCGH＝HG，
∴EF∥HG.
同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
答案：平行四边形
题型 线面平行的判定与性质
典例1(2023·全国乙卷，文)如图，在三棱锥PABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB
＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， 点 F 在 AC 上， BF ⊥ AO .
本题的核心条件，特殊的位置关系，必有点F特殊的数量关系．
(1)求证：EF∥平面ADO；
(2) 若 ∠ POF ＝ 120° ，求三棱锥PABC的体积．此条件暗示△POF的特殊性，即平面
POF⊥平面ABC.
(1)证明：如图，连接DE.设AF＝tAC，t∈[0,1]，则BF＝BA＋AF＝(1－t)BA＋tBC，
AO＝－BA＋BC.由BF⊥AO，AB⊥BC，
得 BF · AO ＝ [(1 － t ) BA ＋ t BC ]· ＝ ( t－1)BA2＋tBC2＝4(t－1)＋4t＝0，
以{BA，BC}为基底，进行数量积的运算，从而求得点F的特殊数量关系. 以上计算集
中于△ABC中．
解得 t ＝，则 F 为 AC 的中点 ．
另一种有意义的逆推：因为 PC∥平面DAO，若EF不平行于PC，且满足EF∥平面
DAO 平面PAC∥平面DAO，显然错误！从而判断EF∥PC.
由D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点，
⇒
可得DE∥AB，DE＝AB，OF∥AB，OF＝AB，即DE∥OF，DE＝OF，
则四边形ODEF为平行四边形，
所以EF∥DO，又EF⊄平面ADO，DO 平面ADO，
所以EF∥平面ADO.
⊂(2)解：过P作PM垂直FO的延长线交于点M.
因为PB＝PC，O是BC的中点，所以PO⊥BC，
在Rt△PBO中，PB＝，BO＝BC＝，
所以PO＝＝＝2.
因为AB⊥BC，OF∥AB，所以OF⊥BC.
又PO∩OF＝O，PO，OF 平面POF， 所以 BC ⊥ 平面 POF .可推得平面POF⊥平面
ABC，从而作PM⊥平面ABC时点M在FO的延长线上．
⊂
又PM 平面POF，所以BC⊥PM.
又BC∩FM＝O，BC，FM 平面ABC，所以PM⊥平面ABC，即三棱锥PABC的高为
⊂
PM.
⊂
因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°，
所以PM＝POsin 60°＝2×＝.
又S ＝AB·BC＝×2×2＝2，
△ABC
所以V ＝S ·PM＝×2×＝.
PABC △ABC
判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b α，a∥b a∥α)．
(3)利用面面平行定义的逆定理(α∥β，a α a∥β)．
⊂ ⇒
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α a∥β)．
⊂ ⇒
对点练1(1)(2024·四川成都模拟)如图，在四棱锥PABCD中，△BCD为等边三角形，
⇒
∠DAB＝120°，AD＝AB＝PD＝PB＝2，点E为PC的中点．证明：BE∥平面PAD.
(2)(2024·福建厦门双十中学月考)如图1所示，在四边形ABCD中，BC⊥CD，E为BC
上一点，AE＝BE＝AD＝2CD＝2，CE＝，将四边形AECD沿AE折起，使得BC＝，得到如
图2所示的四棱锥．若平面BCD∩平面ABE＝l，证明：CD∥l.图1 图2
(1)证明：如图，取CD的中点M，连接EM，BM，
∵E为PC中点，∴EM∥PD，
又EM⊄平面PAD，PD 平面PAD，
∴EM∥平面PAD.
⊂
∵△BCD为等边三角形，∴MB⊥CD，
∵∠DAB＝120°，AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°，
∴AD⊥CD，∴MB∥AD.
又MB⊄平面PAD，AD 平面PAD，
∴MB∥平面PAD.
⊂
∵EM∩MB＝M，EM，MB 平面EMB，
∴平面EMB∥平面PAD，∵EB 平面EMB，∴EB∥平面PAD.
⊂
(2)证明：连接DE(图略)，因为CE⊥CD，CE＝，CD＝1，
⊂
所以DE＝2，sin∠CDE＝，又∠CDE∈，所以∠CDE＝，
因为DE＝2，AE＝AD＝2，所以△ADE是等边三角形，所以∠DEA＝，故CD∥AE.
又AE 平面ABE，CD⊄平面ABE，所以CD∥平面ABE，
因为CD 平面BCD，平面BCD∩平面ABE＝l，所以CD∥l.
⊂
⊂
题型 面面平行的判定与性质
典例2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱ABCABC 中，E，F，G，H分别是
1 1 1
AB，AC，AB，AC 的中点．求证：
1 1 1 1(1)B，C，H，G四点共面；
(2) 平面 EFA ∥ 平面 BCHG .
1
思考判定定理，即需要两组平行线的关系．
证明：(1)∵G，H分别是AB，AC 的中点，
1 1 1 1
∴GH是△ABC 的中位线，
1 1 1
∴GH∥BC ，
1 1
又在三棱柱ABCABC 中，BC ∥BC，
1 1 1 1 1
∴ GH ∥ BC ， ∴ B ， C ， H ， G 四点共面 ．
两条平行线确定一个平面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴ EF ∥ 平面 BCHG .
⊂
∵在三棱柱ABCABC 中，AB 綉AB，
1 1 1 1 1
∴AG∥EB，AG＝AB＝AB＝EB，
1 1 1 1
∴四边形AEBG是平行四边形，∴AE∥GB.
1 1
∵AE⊄平面BCHG，GB 平面BCHG，
1
∴A E ∥ 平面 BCHG .应用判定定理. 平面AEF内两条相交直线AE，EF都平行于平面
1 ⊂ 1 1
BCHG.
∵AE∩EF＝E，AE，EF 平面EFA，
1 1 1
∴平面EFA∥平面BCHG.
1 ⊂
证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么
这两个平面平行．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
(6)向量法：证明两平面的法向量平行．
对点练2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体ABCDABC D 的棱长为a，P是棱
1 1 1 1
AD上一点，且AP＝，过B ，D ，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ
1 1
＝( )A.a B.a C.a D.a
解析：如图，连接BD，PD ，PB ，在正方体ABCDABC D 中，BB∥DD ，BB ＝
1 1 1 1 1 1 1 1 1
DD ，
1
∴四边形DD BB是平行四边形，
1 1
∴BD∥BD.
1 1
又∵在正方体ABCDABC D 中，平面ABC D∥平面ABCD，
1 1 1 1 1 1 1 1
平面BDP∩平面ABC D＝BD，平面BDP∩平面ABCD＝PQ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴BD∥PQ，∴PQ∥BD，
1 1
∴∠PQD＝∠BDC，
又∵∠PDQ＝∠BCD＝90°，
∴△PDQ∽△BCD，∴＝.
又∵正方体ABCDABC D 的棱长为a，∴BC＝a，PD＝AD－AP＝a－＝，BD＝a，
1 1 1 1
∴PQ＝＝＝a.故选A.
答案：A
题型 平行关系的综合应用
典例3 (2024·河北邯郸一中模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面
ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝3，CD＝2，PD＝AD＝5，E是PD上的一点．
(1) 若 PB ∥ 平面 ACE ，求的值 ；
此问关键在于由位置关系，推导数量关系．
(2)若E是PD的中点，过点E作平面α∥平面PBC，平面α与棱PA交于点F，求三棱
锥PCEF的体积．
解：(1)连接BD交AC于点O，在△PBD中，连接OE(图略)，
∵OE 平面ACE，PB⊄平面ACE， PB ∥ 平面 ACE ， ∴ OE ∥ PB .∵AB＝3，CD＝2，
利用PB∥平面ACE，由性质定理，作辅助面．平面PBD∩平面EAC＝OE，这样OE∥
⊂
PB.
∴＝＝＝，∴的值为.(2) 过点 E 作 EM ∥ PC 交 CD 于点 M ，过点 M 作 MN ∥ BC 交 AB 于点 N ，连接 EN ，则平
面 EMN 即平面 α ，
逆推：⇒EM∥PC.
同理：α∩平面ABCD＝MN MN∥BC.
NF∥PB，
⇒
由此E为中点→M为中点→N为3等分点→F为3等分点．
⇒
易证平面α与平面PAB的交线与PB平行，过点N作NF∥PB交PA于点F，连接CF，
EF，CE，
∵E是PD的中点，CD＝2，∴CM＝1，则BN＝CM＝1，又AB＝3，∴＝2, 则＝2，
∵PD＝AD＝5，∴F到平面PCD的距离为，则V ＝V ＝×××2×＝.
PCEF FPCE
平行关系的互相转化
对点练3如图所示，空间四面体ABCD的两条对棱AC＝5，BD＝4，求平行于两条对
棱的截面四边形EFGH在平移过程中，截面周长的取值范围．
解：∵直线AC∥平面EFGH, AC 平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EF，
∴EF∥AC，
⊂
同理可证，HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，EF∥HG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
设＝＝k(0
