文档文本内容
8.2 直线、平面平行的判定与性质
考点清单
学生用书P60 知识结构化 考点清单化
考点 直线、平面平行的判定与性质 续表
１.平面的基本性质
判
基本事实 过不在一条直线上的三个点 有且只有一个平面.
１: ꎬ 定 平行于同一个平 α β}
基本事实 如果一条直线上的两个点在一个平面内 那么这 ∥
２: ꎬ 定 面的两 个 平 面 β γ
条直线在这个平面内.可作为判断直线是否在平面内的依据 ∥
ꎻ 理 平行 α γ
基本事实 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们 ⇒ ∥
３: ꎬ
有且只有一条过该点的公共直线. ３
基本事实 平行于同一条直线的两条直线平行.
４:
性质定理
推论 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面.
(２)
１: ꎬ
推论 经过两条相交直线 有且只有一个平面. 文字语言 图形语言 符号语言
２: ꎬ
推论 经过两条平行直线 有且只有一个平面.
３: ꎬ
２.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行 那么 性 如果两个平面平
: ꎬ
这两个角相等或互补. 质 行ꎬ那么在一个平 α β且
∥
３.线面平行的判定与性质 定 面内的所有直线 ａ α
⊂
理 都平行于另一个 ａ β
文字语言 图形语言 符号语言 ⇒ ∥
平面
如果平面外一条 １
判 ｌ ａ}
直线与此平面内 ∥
定 ｌ α
的一条直线平行ꎬ ⊄
定 ａ α 性 两个平面平行ꎬ如
那么该直线与此 ⊂ α β }
理 ｌ α 质 果另一个平面与 ∥
平面平行 ⇒∥ α γ ａ
定 这两个平面相交ꎬ ∩ ＝
一条直线与一个 理 那么两 条 交 线 β ∩ γ ＝ ｂ
性 平面平行ꎬ如果过 ａ α } 平行 ⇒ ａ ∥ ｂ
∥
质 该直线的平面与 ａ β ２
⊂
定 此平面相交ꎬ那么 α β ｂ
∩ ＝
理 该直线 与 交 线 ａ ｂ
⇒ ∥ 性 如果两个平行平
平行
质 面中有一个垂直 α β且
∥
４.面面平行的判定与性质 定 于一条直线ꎬ那么 ｌ α
⊥
判定定理 理 另一个平面也垂 ｌ β
(１) ⇒⊥
直于这条直线
文字语言 图形语言 符号语言
３
ａ α ü
判 如果一个平面内 ⊂ ï
定 的两条相交直线
ｂ
⊂
α ïï
ａ ｂ Ｐý
定 与另一个平面平 ∩ ＝ ï
ａ β
理 行ꎬ那么这两个平 ∥ ï
ｂ β þ
面平行 ∥
１ α β
⇒ ∥
续表
文字语言 图形语言 符号语言
判
如果两个平面同
定 ｌ α}
垂直于一条直线ꎬ ⊥
定 ｌ β
那么这两个平面 ⊥ 第
理 α β 八
平行 ⇒ ∥
章
２
立
体
几
何
与
空
间
向
量
１ ４１
题型方法
学生用书P61 题型经典 方法实用
一、判定或证明线面平行的方法
１.利用线面平行的定义 此法一般伴随反证法来证明 .
( )
２.利用线面平行的判定定理 应用此法的关键是在平面内找与
ꎬ
已知直线平行的直线.可先判断平面内是否已有符合条件的直
线 若没有 则需作出该直线 常考虑三角形的中位线 平行四
ꎬ ꎬ ꎬ 、
边形的对边等.
３.利用面面平行的性质 当两个平面平行时 其中一个平面内
: ꎬ
的任意直线都平行于另一个平面. 二、判定或证明平面与平面平行的方法
４.向量法 利用直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂 １.利用面面平行的定义 此法一般伴随反证法来证明 .
: ( )
直 或证明直线的一个方向向量能被平面上的两个不共线向量 ２.利用面面平行的判定定理 证明一个平面内两条相交直线均
ꎬ :
线性表示. 平行于另一个平面.
例1 如图 已知点Ｐ是平行四边形ＡＢＣＤ所在平面外的一点 ３.转化为证明线线平行 证明一个平面内的两条相交直线与另
ꎬ ꎬ :
Ｅ Ｆ分别是ＰＡ ＢＤ上的点且ＰＥ ＥＡ ＢＦ ＦＤ.求证 ＥＦ 平 一个平面内的两条相交直线对应平行.
ꎬ ꎬ ∶ ＝ ∶ : ∥
面ＰＢＣ. ４.利用面面平行的传递性 若α β β γ 则α γ.
: ∥ ꎬ ∥ ꎬ ∥
５.向量法 证明两平面的法向量共线.
:
例2 如图所示 三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 的侧棱垂直于底面 且底
ꎬ － １ １ １ ꎬ
面是边长为 的正三角形 ＡＡ 点Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ分别是所在棱
２ ꎬ １＝３ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
的中点.
证明 平面ＢＥＦ 平面ＤＡ Ｃ
(１) : ∥ １ １ꎻ
求三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 夹在平面ＢＥＦ和平面ＤＡ Ｃ 之间
(２) － １ １ １ １ １
的部分的体积.
证明 证法一 连接ＡＦ 并延长交ＢＣ于Ｇ 连接ＰＧ
: ꎬ ꎬ ꎬ
附 台体的体积Ｖ １ Ｓ ＳＳ′ Ｓ′ ｈ 其中Ｓ和Ｓ′分别是上
: ＝ ( ＋ ＋ ) ꎬ 、
３
下底面面积 ｈ是台体的高.
ꎬ
ＦＧ ＦＢ
ＢＣ ＡＤ
∵ ∥ ꎬ∴ ＦＡ＝ＦＤꎬ
解析 证明 因为Ｅ Ｆ分别是Ａ Ｂ 和Ｂ Ｃ 的中点 所
ＰＥ ＢＦ ＰＥ ＧＦ (１) : ꎬ １ １ １ １ ꎬ
又 ＥＦ ＰＧ. 以ＥＦ Ａ Ｃ .因为ＥＦ 平面ＤＡ Ｃ Ａ Ｃ 平面ＤＡ Ｃ
∵ ＥＡ＝ＦＤꎬ∴ ＥＡ＝ＦＡꎬ∴ ∥ ∥ １ １ ⊄ １ １ꎬ １ １⊂ １ １ꎬ
所以ＥＦ 平面ＤＡ Ｃ .
又 ＰＧ 平面ＰＢＣ ＥＦ 平面ＰＢＣ ∥ １ １
∵ ⊂ ꎬ ⊄ ꎬ 因为Ｄ Ｅ分别是ＡＢ和Ａ Ｂ 的中点 所以ＤＢ Ａ Ｅ 且ＤＢ
ＥＦ 平面ＰＢＣ. ꎬ １ １ ꎬ ∥ １ ꎬ ＝
∴ ∥ Ａ Ｅ 所以四边形ＢＤＡ Ｅ是平行四边形 所以ＢＥ Ａ Ｄ.
证法二 过Ｆ作ＦＭ ＡＤ 交ＡＢ于Ｍ 连接ＥＭ １ ꎬ １ ꎬ ∥ １
: ∥ ꎬ ꎬ ꎬ 因为ＢＥ 平面ＤＡ Ｃ Ａ Ｄ 平面ＤＡ Ｃ
ＦＭ ＡＤ ＡＤ ＢＣ ⊄ １ １ꎬ １ ⊂ １ １ꎬ
∵ ∥ ꎬ ∥ ꎬ 所以ＢＥ 平面ＤＡ Ｃ .
ＦＭ ＢＣ ∥ １ １
∴ ∥ ꎬ 又因为ＢＥ ＥＦ Ｅ
又 ＦＭ 平面ＰＢＣ ＢＣ 平面ＰＢＣ ∩ ＝ ꎬ
∵ ⊄ ꎬ ⊂ ꎬ 所以平面ＢＥＦ 平面ＤＡ Ｃ .
ＢＭ ＢＦ ∥ １ １
ＦＭ 平面ＰＢＣ 由ＦＭ ＡＤ得 由题图可知 三棱柱 ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 夹在平面 ＢＥＦ 和平面
∴ ∥ ꎬ ∥ ＭＡ＝ＦＤꎬ (２) ꎬ － １ １ １
ＤＡ Ｃ 之间的部分 可看作三棱台ＤＢＧ Ａ Ｂ Ｃ 截去三棱锥Ｂ
年 又 ＰＥ ＢＦ Ｂ Ｅ １ Ｆ １ 剩余的部分. ꎬ － １ １ １ －
∵ ＥＡ＝ＦＤꎬ
高 １
考 ＰＥ ＢＭ
∴ ＥＡ＝ＭＡꎬ∴ ＥＭ ∥ ＰＢ. 因为Ｓ △ ＤＢＧ＝ Ｓ △ Ｂ １ ＥＦ＝ ３ ×１ ２ ＝ ３ ꎬ Ｓ △ Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ ＝ ３ ×２ ２ ＝ ３ꎬ 所以三棱
４ ４ ４
年
ＰＢ 平面ＰＢＣ ＥＭ 平面ＰＢＣ æ ö
模 ∵ ⊂ ꎬ ⊄ ꎬ 台ＤＢＧ Ａ Ｂ Ｃ 的体积Ｖ １ ç ３ ３ ÷ ７ ３.
拟 ＥＭ 平面ＰＢＣ － １ １ １ １＝ ×è ＋ ＋ ３ø×３＝
∴ ∥ ꎬ ３ ４ ４ ４
ＥＭ ＦＭ Ｍ ＥＭ ＦＭ 平面ＥＦＭ
∵ ∩ ＝ ꎬ ꎬ ⊂ ꎬ 三棱锥Ｂ Ｂ ＥＦ的体积Ｖ １ ３ ３
∴ 平面ＥＦＭ ∥ 平面ＰＢＣ ꎬ － １ ２＝ ３ × ４ ×３＝ ４ ꎬ
ＥＦ 平面ＥＦＭ
︵ ∵ ⊂ ꎬ
教
师 ∴
ＥＦ
∥
平面ＰＢＣ. 所以所求的体积Ｖ ＝ Ｖ １－ Ｖ ２＝ ７
４
３ －
４
３ ＝ ３
２
３.
用
书
︶
１ ４２
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点 直线、平面平行的判定与性质 ＰＯ ꎬＰＡ ꎬ 结合( )可知ＯＡ ＯＢ ꎬ
∵ ＝３ ＝５ ∴ １ ＝ ＝４
学生用书P216 又 ＡＢＯ ＣＢＯ °ꎬ ＯＭ ꎬＭＢ ꎬ
∠ ＝∠ ＝３０ ∴ ＝２ ＝２ ３
１.(２０１８课标 理ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)已知正方体的棱长为 每 ( )
Ⅰ １ꎬ Ｐ( ꎬ ꎬ )ꎬＢ( ꎬ ꎬ )ꎬＡ( ꎬ ꎬ )ꎬＥ ꎬ ꎬ３ ꎬ
条棱所在直线与平面α所成的角都相等 则α截此正方体所得截 ∴ ０ ２ ３ ２ ３ ０ ０ －２ ３ ０ ０ ３ １
ꎬ ２
面面积的最大值为 ＡＢ ＡＣꎬ ＣＢＡ °ꎬＡＢ ꎬ
( ) ∵ ⊥ ∠ ＝６０ ＝４ ３
ＡＣ ꎬＣ( ꎬ ꎬ ).
３ ３ ２ ３ ３ ２ ３ ∴ ＝１２ －２ ３ １２ ０
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 设平面ＡＥＢ的法向量为ｎ (ｘ ꎬｙ ꎬｚ )ꎬ
答 ４ 案 Ａ ３ ４ ２ ( １＝ １ ) １ １
２.(２０２２新高考 Ⅱ ꎬ２０ꎬ１２ 分ꎬ综合性)如图 ꎬ ＰＯ 是三棱锥 Ｐ － →ＡＢ ＝ ( ４ ３ ꎬ ０ ꎬ ０ )ꎬ→ＡＥ ＝ ３ ３ ꎬ １ ꎬ３ ２ ꎬ
ＡＢＣ
证
的
明
高 ꎬ
Ｏ
Ｐ
Ｅ
Ａ ＝ Ｐ
平
Ｂ
面
ꎬ ＡＢ
ＰＡ
⊥
Ｃ
ＡＣ ꎬ Ｅ为ＰＢ的中点. { →ＡＢｎ
１＝０
ꎬ
即
{ｘ １＝０ ꎬ
(１) : ∥ ꎻ
(
的
２
正
)
若
弦
∠
值
Ａ
.
ＢＯ
＝∠
ＣＢＯ
＝３０
°
ꎬ
ＰＯ
＝３ꎬ
ＰＡ
＝５ꎬ
求二面角Ｃ
－
ＡＥ
－
Ｂ ∴ →ＡＥｎ
１＝０
ꎬ
３ ３
ｘ
１＋
ｙ
１＋
２
３ ｚ
１＝０
ꎬ
令ｙ ꎬ则ｚ ꎬ ｎ ( ꎬ ꎬ ).
１＝３ １＝－２ ∴ １＝ ０ ３ －２
设平面ＡＥＣ的法向量为ｎ (ｘ ꎬｙ ꎬｚ )ꎬ
２＝ ２ ２ ２
→ＡＣ ( ꎬ ꎬ )ꎬ
＝ ０ １２ ０
{ →ＡＣｎ
２＝０
ꎬ
即
{ｙ ２＝０ ꎬ
解析 ( １ )证法一:连接ＯＡꎬ ∴ →ＡＥｎ ２＝０ ꎬ ３ ３ ｘ ２＋ ｙ ２＋
２
３ ｚ ２＝０ ꎬ
ＰＯ是三棱锥Ｐ ＡＢＣ的高ꎬ ＰＯ 平面ＡＢＣꎬ
∵ － ∴ ⊥ 令ｘ ꎬ则ｚ ꎬ ｎ ( ꎬ ꎬ )ꎬ
ＰＯ ＯＡꎬＰＯ ＯＢꎬ ＰＯＡ ＰＯＢ °ꎬ ２＝ ３ ２＝－６ ∴ ２＝ ３ ０ －６
∴ ⊥ ⊥ ∴ ∠ ＝∠ ＝９０ ｎ ｎ
又ＰＡ ＰＢꎬＰＯ ＰＯꎬ ＰＯＡ ＰＯＢꎬ ＯＡ ＯＢꎬ ‹ｎ ꎬｎ › １ ２ １２ ４ ３ꎬ
＝ ＝ ∴ △ ≌△ ∴ ＝ ∴ ｃｏｓ １ ２ ＝ ｎ ｎ ＝ ＝
取ＡＢ的中点Ｄꎬ连接ＯＤ、ＤＥꎬ则ＯＤ ＡＢꎬ ｜ １｜ ｜ ２｜ １３× ３９ １３
⊥
设二面角Ｃ ＡＥ Ｂ的平面角为θꎬ则 θ ２θ １１ꎬ
－ － ｓｉｎ ＝ １－ｃｏｓ ＝
１３
二面角Ｃ ＡＥ Ｂ的正弦值为１１.
∴ － －
１３
３.(２０２０江苏ꎬ１５ꎬ１４分ꎬ综合性)在三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 中 ＡＢ
又 ＡＢ ＡＣꎬ ＯＤ ＡＣꎬ － １ １ １ ꎬ
∵ ⊥ ∴ ∥ ＡＣ Ｂ Ｃ 平面ＡＢＣ Ｅ Ｆ分别是ＡＣ Ｂ Ｃ的中点.
又 ＯＤ 平面ＰＡＣꎬＡＣ 平面ＰＡＣꎬ ⊥ ꎬ １ ⊥ ꎬ ꎬ ꎬ １
∵ ⊄ ⊂ 求证 ＥＦ 平面ＡＢ Ｃ
ＯＤ 平面ＰＡＣꎬ (１) : ∥ １ １ꎻ
∴ ∥ 求证 平面ＡＢ Ｃ 平面ＡＢＢ .
又Ｄ、Ｅ分别为ＡＢ、ＰＢ的中点ꎬ ＤＥ ＰＡꎬ (２) : １ ⊥ １
∴ ∥
又 ＤＥ 平面ＰＡＣꎬＰＡ 平面ＰＡＣꎬ ＤＥ 平面ＰＡＣꎬ
∵ ⊄ ⊂ ∴ ∥
又ＯＤ、ＤＥ 平面ＯＤＥꎬＯＤ ＤＥ Ｄꎬ
⊂ ∩ ＝
平面ＯＤＥ 平面ＰＡＣꎬ
∴ ∥
又ＯＥ 平面ＯＤＥꎬ ＯＥ 平面ＰＡＣ.
⊂ ∴ ∥
证法二:连接ＯＡꎬ ＰＯ是三棱锥Ｐ ＡＢＣ的高ꎬ
∵ －
ＰＯ 平面ＡＢＣꎬ ＰＯ ＯＡꎬＰＯ ＯＢꎬ
∴ ⊥ ∴ ⊥ ⊥
ＰＯＡ ＰＯＢ °ꎬ又ＰＡ ＰＢꎬＰＯ ＰＯꎬ 证明 ( )因为 ＥꎬＦ 分别是 ＡＣꎬＢ Ｃ 的中点ꎬ所以 ＥＦ
∴ ∠ ＝∠ ＝９０ ＝ ＝ １ １ ∥
ＰＯＡ ＰＯＢꎬ ＯＡ ＯＢꎬ ＡＢ ꎬ又 ＥＦ 平面 ＡＢ Ｃ ꎬＡＢ 平面 ＡＢ Ｃ ꎬ所以 ＥＦ 平
∴ △ ≌△ ∴ ＝ １ ⊄ １ １ １⊂ １ １ ∥
延长ＢＯ交ＡＣ于点Ｆꎬ连接ＰＦꎬ 面ＡＢ Ｃ .
１ １
易知在 ＡＢＦ中ꎬＯ为ＢＦ的中点ꎬ ( )因为Ｂ Ｃ 平面ＡＢＣꎬＡＢ 平面ＡＢＣꎬ所以Ｂ Ｃ ＡＢ.又ＡＢ
Ｒｔ△ ２ １ ⊥ ⊂ １ ⊥
Ｅ为ＰＢ的中点ꎬ ＯＥ ＰＦꎬ ＡＣꎬＢ Ｃ 平面ＡＢ ＣꎬＡＣ 平面ＡＢ ＣꎬＢ Ｃ ＡＣ Ｃꎬ所以ＡＢ
∵ ∴ ∥ ⊥ １ ⊂ １ ⊂ １ １ ∩ ＝
又ＯＥ 平面ＰＡＣꎬＰＦ 平面ＰＡＣꎬ 平面 ＡＢ Ｃꎬ又因为 ＡＢ 平面 ＡＢＢ ꎬ所以平面 ＡＢ Ｃ 平
⊄ ⊂ ⊥ １ ⊂ １ １ ⊥
ＯＥ 平面ＰＡＣ. 面ＡＢＢ . 第
∴ ∥ １
( )取ＡＢ的中点Ｍꎬ连接ＯＭꎬＯＡꎬ以Ｍ为坐标原点ꎬＭＢꎬＭＯ ４.(２０１９课标 理ꎬ１８ꎬ１２ 分ꎬ综合性)如图 直四棱柱 ＡＢＣＤ 八
２ Ⅰ ꎬ － 章
所在直线分别为ｘꎬｙ轴ꎬ过点Ｍ且与平面ＡＢＣ垂直的直线为ｚ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的底面是菱形 ＡＡ ＡＢ ＢＡＤ ° Ｅ Ｍ Ｎ
１ １ １ １ ꎬ １＝４ꎬ ＝２ꎬ∠ ＝６０ ꎬ ꎬ ꎬ
轴建立如图所示的空间直角坐标系. 分别是ＢＣ ＢＢ Ａ Ｄ的中点. 立
ꎬ １ꎬ １ 体
证明 ＭＮ 平面Ｃ ＤＥ
(１) : ∥ １ ꎻ 几
求二面角Ａ ＭＡ Ｎ的正弦值. 何
(２) － １－ 与
空
间
向
量
１ ４３
解析 ( )证明:连接Ｂ ＣꎬＭＥ.因为ＭꎬＥ分别为ＢＢ ꎬＢＣ的 证明 因为Ｄ Ｅ分别为ＢＣ ＡＣ的中点 所以ＥＤ ＡＢ.
１ １ １ (１) ꎬ ꎬ ꎬ ∥
在直三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 中 ＡＢ Ａ Ｂ 所以Ａ Ｂ ＥＤ.又因
中点ꎬ所以ＭＥ Ｂ Ｃꎬ且ＭＥ １ Ｂ Ｃ.又因为Ｎ为Ａ Ｄ的中点ꎬ － １ １ １ ꎬ ∥ １ １ꎬ １ １∥
∥ １ ＝ １ １ 为ＥＤ 平面ＤＥＣ Ａ Ｂ 平面ＤＥＣ
２ ⊂ １ꎬ １ １⊄ １ꎬ
所以Ａ Ｂ 平面ＤＥＣ .
所以ＮＤ ＝ １ Ａ １ Ｄ.由题设知Ａ １ Ｂ １ ＤＣꎬ所以四边形Ａ １ Ｂ １ ＣＤ是 因为 １ １ Ａ ∥ Ｂ ＢＣ Ｅ为 １ ＡＣ的中点 所以ＢＥ ＡＣ.
２ (２) ＝ ꎬ ꎬ ⊥
平行四边形ꎬ所以Ｂ Ｃ Ａ Ｄꎬ故ＭＥ ＮＤꎬ因此四边形ＭＮＤＥ 因为三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 是直棱柱 所以Ｃ Ｃ 平面ＡＢＣ.又因
为平行四边形ꎬ所以 １ ＭＮ １ ＥＤ.又ＭＮ 平面Ｃ ＤＥꎬ所以ＭＮ 为ＢＥ 平面ＡＢＣ － 所 １ 以 １ １ Ｃ Ｃ ＢＥ. ꎬ １ ⊥
平面Ｃ ＤＥ. ∥ ⊄ １ ∥ 因为Ｃ ⊂ Ｃ 平面Ａ ꎬ ＡＣＣ Ａ １ Ｃ ⊥ 平面Ａ ＡＣＣ Ｃ Ｃ ＡＣ Ｃ 所以
１ １ ⊂ １ １ꎬ ⊂ １ １ꎬ １ ∩ ＝ ꎬ
( )由已知可得ＤＥ ＤＡ.以Ｄ为坐标原点ꎬＤ→ＡꎬＤ→ＥꎬＤ→Ｄ 的方向 ＢＥ 平面Ａ ＡＣＣ .
２ ⊥ １ ⊥ １ １
为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬｚ轴的正方向ꎬ建立如图所示的空间直角坐标系 因为Ｃ Ｅ 平面Ａ ＡＣＣ 所以ＢＥ Ｃ Ｅ.
１ ⊂ １ １ꎬ ⊥ １
Ｄｘｙｚꎬ ６.(２０２０课标 文ꎬ２０ꎬ１２分ꎬ综合性)如图 已知三棱柱ＡＢＣ
Ⅱ ꎬ －
则Ａ( ꎬ ꎬ )ꎬＡ( ꎬ ꎬ )ꎬＭ( ꎬ ꎬ )ꎬＮ( ꎬ ꎬ )ꎬ则Ａ→Ａ ( ꎬ ꎬ Ａ Ｂ Ｃ 的底面是正三角形 侧面ＢＢ Ｃ Ｃ是矩形 Ｍ Ｎ分别为
２ ０ ０ １ ２ ０ ４ １ ３ ２ １ ０ ２ １ ＝ ０ ０ １ １ １ ꎬ １ １ ꎬ ꎬ
ＢＣ Ｂ Ｃ 的中点 Ｐ为 ＡＭ 上一点.过 Ｂ Ｃ 和 Ｐ 的平面交 ＡＢ
－４ )ꎬＡ １ →Ｍ ＝ ( －１ ꎬ ３ ꎬ －２ )ꎬＡ→ １ Ｎ ＝ ( －１ ꎬ ０ ꎬ －２ )ꎬＭ→Ｎ ＝ ( ０ ꎬ － ３ ꎬ ０ ). 于 ꎬ Ｅ １ 交 １ ＡＣ于Ｆ. ꎬ １ １
ꎬ
证明 ＡＡ ＭＮ 且平面Ａ ＡＭＮ 平面ＥＢ Ｃ Ｆ
(１) : １∥ ꎬ １ ⊥ １ １ ꎻ
设 Ｏ 为 Ａ Ｂ Ｃ 的中心.若 ＡＯ ＡＢ ＡＯ 平面
(２) △ １ １ １ ＝ ＝ ６ꎬ ∥
ＥＢ Ｃ Ｆ 且 ＭＰＮ π 求四棱锥Ｂ ＥＢ Ｃ Ｆ的体积.
１ １ ꎬ ∠ ＝ ꎬ － １ １
３
{ｍＡ→Ｍ ꎬ
设ｍ (ｘꎬｙꎬｚ)为平面Ａ ＭＡ的法向量ꎬ则 １ ＝０
＝ １ ｍＡ→Ａ .
１ ＝０
{
ｘ ｙ ｚ ꎬ
所以 － ＋ ３ －２ ＝０ 可取ｍ ( ꎬ ꎬ ).
ｚ . ＝ ３ １ ０ 解析 ( )证明:因为 ＭꎬＮ 分别为 ＢＣꎬＢ Ｃ 的中点ꎬ所以
－４ ＝０ １ １ １
设ｎ (ｐꎬｑꎬｒ)为平面Ａ ＭＮ的法向量ꎬ则 {ｎＭ→Ｎ ＝０ ꎬ Ｍ 因 Ｎ 为 ∥ Ｃ Ａ Ｃ １ Ｂ .又 Ｃ 由 是 已知 正 得 三角 ＡＡ 形 １∥ ꎬ Ｃ Ｎ Ｃ １ 为 ꎬ故 Ｂ Ａ Ｃ Ａ １∥ 的 Ｍ 中 Ｎ 点 . ꎬ所以 Ｂ Ｃ
＝ １ ｎＡ→Ｎ . △ １ １ １ １ １ １ １⊥
１ ＝０ Ａ Ｎ.又Ｂ Ｃ ＭＮꎬＡ Ｎ ＭＮ Ｎꎬ故Ｂ Ｃ 平面Ａ ＡＭＮ.因为
{ ｑ ꎬ １ １ １⊥ １ ∩ ＝ １ １⊥ １
所以 － ３ ＝０ 可取ｎ ( ꎬ ꎬ ). Ｂ Ｃ 平面ＥＢ Ｃ Ｆꎬ所以平面Ａ ＡＭＮ 平面ＥＢ Ｃ Ｆ.
ｐ ｒ . ＝ ２ ０ －１ １ １⊂ １ １ １ ⊥ １ １
－ －２ ＝０
ｍｎ
于是 ‹ｍꎬｎ› ２ ３ １５ꎬ
ｃｏｓ ＝ ｍ ｎ ＝ ＝
｜ ｜｜ ｜ ２× ５ ５
年
所以二面角Ａ ＭＡ Ｎ的正弦值为 １０.
高 － １－
考 ５
５.(２０１９ 江苏ꎬ１６ꎬ１４ 分ꎬ综合性)如图 在直三棱柱 ＡＢＣ
ꎬ －
年 Ａ Ｂ Ｃ 中 Ｄ Ｅ分别为ＢＣ ＡＣ的中点 ＡＢ ＢＣ.求证
模 １ １ １ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ＝ :
Ａ Ｂ 平面ＤＥＣ
拟 (１) １ １∥ １ꎻ
ＢＥ Ｃ Ｅ.
(２) ⊥ １ ( )ＡＯ 平面ＥＢ Ｃ ＦꎬＡＯ 平面Ａ ＡＭＮꎬ平面Ａ ＡＭＮ 平面
２ ∥ １ １ ⊂ １ １ ∩
ＥＢ Ｃ Ｆ ＰＮꎬ所以ＡＯ ＰＮ.又ＡＰ ＯＮꎬ所以四边形ＡＰＮＯ是
１ １ ＝ ∥ ∥
︵ 平行四边形ꎬ所以 ＰＮ ＡＯ ꎬＡＰ ＯＮ １ ＡＭ ꎬＰＭ
教 ＝ ＝６ ＝ ＝ ＝ ３ ＝
３
师
用 ２ ＡＭ ꎬＥＦ １ ＢＣ .
＝２ ３ ＝ ＝２
书 ３ ３
︶ 易证ＢＣ 平面ＥＢ Ｃ Ｆꎬ
∥ １ １
１ ４４
所 点 以 Ｍ 四 到 棱 底 锥 面 Ｂ Ｅ － Ｂ Ｅ Ｃ Ｂ １ Ｆ Ｃ １ 的 Ｆ 距 的 离 顶 . 点Ｂ到底面ＥＢ １ Ｃ １ Ｆ的距离等于 ( 底 ２ 建 )不 立 妨 空 设 间 正 直 方 角 体 坐 的 标 棱 系 长 Ａ 为 ｘｙｚ ２ ꎬ ꎬ如图ꎬ以{Ａ→Ｄꎬ→ＡＢꎬＡ→Ａ １ }为正交基
１ １
作ＭＴ ＰＮꎬ垂足为Ｔꎬ则由( )知ꎬＭＴ 平面ＥＢ Ｃ Ｆꎬ
⊥ １ ⊥ １ １
故ＭＴ ＰＭ ＭＰＮ .
＝ ｓｉｎ∠ ＝３
底面ＥＢ Ｃ Ｆ的面积为 １ (Ｂ Ｃ ＥＦ)ＰＮ １ ( )
１ １ × １ １＋ ＝ × ６＋２ ×６＝
２ ２
.所以四棱锥Ｂ ＥＢ Ｃ Ｆ的体积为 １ .
２４ － １ １ ×２４×３＝２４
３
７.(２０２０ 北京ꎬ１６ꎬ１３ 分ꎬ综合性)如图 在正方体 ＡＢＣＤ
ꎬ －
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｅ为ＢＢ 的中点.
１ １ １ １ ꎬ １
求证 ＢＣ 平面ＡＤ Ｅ
(１) : １∥ １ ꎻ
求直线ＡＡ 与平面ＡＤ Ｅ所成角的正弦值.
(２) １ １
则Ａ( ꎬ ꎬ )ꎬＡ( ꎬ ꎬ )ꎬＤ( ꎬ ꎬ )ꎬＥ( ꎬ ꎬ )ꎬ
０ ０ ０ １ ０ ０ ２ １ ２ ０ ２ ０ ２ １
Ａ→Ａ ( ꎬ ꎬ )ꎬＡ→Ｄ ( ꎬ ꎬ )ꎬ→ＡＥ ( ꎬ ꎬ ).
∴ １＝ ０ ０ ２ １＝ ２ ０ ２ ＝ ０ ２ １
设平面ＡＤ Ｅ的法向量为ｎ (ｘꎬｙꎬｚ)ꎬ
１ ＝
直线ＡＡ 与平面ＡＤ Ｅ所成的角为θꎬ
１ １
{ｎＡ→Ｄ ꎬ { ｘ ｚ ꎬ {ｘ ꎬ
则 １＝０ 即 ２ ＋２ ＝０ 令ｚ ꎬ则 ＝２
ｎ→ＡＥ
＝０
ꎬ
２
ｙ
＋
ｚ
＝０
ꎬ ＝－２ ｙ
＝１
ꎬ
解析 ( )证明: ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 为正方体ꎬ 此时ｎ ( ꎬ ꎬ )ꎬ
１ ∵ － １ １ １ １ ＝ ２ １ －２
∴ 又 Ｄ Ａ １ Ｂ Ｃ １∥ Ａ Ａ Ｂ １ Ｂ ꎬ １ Ａ ꎬ Ｂ Ｄ １ Ｃ Ａ １＝ Ｂ Ａ ꎬ １ Ｂ １ . θ ‹ｎꎬＡ→Ａ › ｜ ｎＡ→Ａ １｜ ｜－４｜ ２ ꎬ
Ｄ Ｃ ∥ １ ＡＢ １ ꎬＤ Ｃ ＝ １ ＡＢ １ ꎬ ∴ ｓｉｎ ＝｜ｃｏｓ １ ｜＝ ｜ ｎ ｜｜ Ａ→Ａ １｜ ＝ ４＋１＋４×２ ＝ ３
∴ １ １∥ １ １＝
四边形ＡＢＣ Ｄ 为平行四边形ꎬ 直线ＡＡ 与平面ＡＤ Ｅ所成角的正弦值为 ２ .
∴ １ １ ∴ １ １
ＡＤ ＢＣ ꎬ又ＡＤ 平面ＡＤ ＥꎬＢＣ 平面ＡＤ Ｅꎬ ３
∴ １∥ １ １⊂ １ １⊄ １
ＢＣ 平面ＡＤ Ｅ.
∴ １∥ １
第
八
章
立
体
几
何
与
空
间
向
量
１ ４５
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P217
考点 直线、平面平行的判定与性质
１ ２ ３
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.２
１.(２０２２湖北八市３月联考ꎬ６)设α β为两个不同的平面 则α ２ ３ ２
ꎬ ꎬ 答案 Ａ
β的一个充要条件可以是
∥ ( ) ３.(多选)(２０２２河北邯郸一模ꎬ１０)如图 在空间四边形ＡＢＣＤ
α内有无数条直线与β平行 ꎬ
Ａ.
中 Ｅ Ｆ分别为ＡＢ ＡＤ的中点 Ｇ Ｈ分别在ＢＣ ＣＤ上 且ＢＧ
α β垂直于同一个平面 ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
Ｂ. ꎬ
ＧＣ ＤＨ ＨＣ 则
α β平行于同一条直线 ∶ ＝ ∶ ＝１ ∶ ２ꎬ ( )
Ｃ. ꎬ
α β垂直于同一条直线
Ｄ. ꎬ
答案 Ｄ
２.(２０２２长沙雅礼中学第七次月考ꎬ５)如图 在正方体ＡＢＣＤ
ꎬ －
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｅ 是棱 ＣＣ 的中点 则平面 ＡＤ Ｅ 与平面 ＡＢＣＤ
１ １ １ １ ꎬ １ ꎬ １
的交线与直线Ｃ Ｄ 所成角的正切值为
１ １ ( )
ＢＤ 平面ＥＧＨＦ
Ａ. ∥
ＦＨ 平面ＡＢＣ
Ｂ. ∥
ＡＣ 平面ＥＧＨＦ
Ｃ. ∥
直线ＧＥ ＨＦ ＡＣ交于一点
Ｄ. ꎬ ꎬ
答案 ＡＤ
４.(多选)(２０２２华大新高考联盟３月教学质量测评ꎬ９)已知ｌ
ꎬ
ｍ ｎ是空间中三条不同的直线 α β 是空间中两个不同的平
ꎬ ꎬ ꎬ
面 则下列说法错误的是
ꎬ ( )
若ｌ α ｍ α ｌ ｎ ｍ ｎ 则ｎ α
Ａ. ⊂ ꎬ ⊂ ꎬ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥
若α β ｌ α ｌ ｍ ｍ α 则ｍ β Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱长为 点 Ｎ 是棱 Ａ Ｂ 的中点 点 Ｔ 是棱 ＣＣ
Ｂ. ∥ ꎬ⊥ ꎬ⊥ ꎬ ⊄ ꎬ ∥ １ １ １ １ ３ꎬ １ １ ꎬ １
若α β α β ｌ ｍ α ｎ β ｍ ｌ 则ｍ ｎ 上靠近点Ｃ的三等分点 动点Ｑ在正方形Ｄ ＤＡＡ 包含边界
Ｃ. ⊥ ꎬ ∩ ＝ ꎬ ⊂ ꎬ ∥ ꎬ ⊥ꎬ ⊥ ꎬ １ １( )
若ｌ α ｍ β α β ｎ ｌ 则ｍ ｎ 内运动 且 ＱＢ 平面 Ｄ ＮＴ 则动点 Ｑ 所形成的轨迹的长
Ｄ. ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ∥ꎬ ∥ ꎬ ∥ １ ꎬ
答案 ＡＢＤ 为 .
５.(２０２０ 福建漳州适应性测试ꎬ１６)已知正方体 ＡＢＣＤ 答案
－ １０
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ４６
B组 综合应用题组 学生用书P218
50分钟 65分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共１５分) Ｇ Ｈ分别是空间四边形ＡＢＣＤ各边上的点 不与各边的端点重
ꎬ (
１.(２０２２湖南益阳调研ꎬ７)已知正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｅ 合 且ＡＥ ＥＢ ＡＨ ＨＤ ｍ ＣＦ ＦＢ ＣＧ ＧＤ ｎ ＡＣ ＢＤ
－ １ １ １ １ ꎬ ꎬ )ꎬ ∶ ＝ ∶ ＝ ꎬ ∶ ＝ ∶ ＝ ꎬ ⊥ ꎬ
Ｆ分别是ＡＢ ＢＣ的中点 则下列说法错误的是 ＡＣ ＢＤ 则下列结论正确的是
ꎬ ꎬ ( ) ＝４ꎬ ＝６ꎬ ( )
ＡＤ Ａ Ｅ ＥＦ Ａ Ｃ
Ａ. ⊥ １ Ｂ. ∥ １ １
Ａ Ｅ Ｂ Ｆ Ｂ Ｆ 平面Ａ ＡＤ
Ｃ. １ ∥ １ Ｄ. １ ∥ １
答案 Ｃ
２.(２０２２广东茂名一模ꎬ３)下面四个命题中 正确的命题是
ꎬ
( )
ｐ 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交
１: ꎬ
线平行
Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ一定共面
ｐ 两个平面垂直 如果有一条直线垂直于这两个平面的交线 Ａ. ꎬ ꎬ ꎬ
２: ꎬ ꎬ 若直线ＥＦ与ＧＨ有交点 则交点一定在直线ＡＣ上
那么这条直线与其中一个平面垂直 Ｂ. ꎬ
ＡＣ 平面ＥＦＧＨ
ｐ 一条直线与一个平面平行 如果过该直线的平面与此平面 Ｃ. ∥
３: ꎬ 当ｍ ｎ时 四边形ＥＦＧＨ的面积有最大值
相交 那么该直线与交线平行 Ｄ. ＝ ꎬ ６
ꎬ 答案 ＡＢＤ
ｐ 一条直线与一个平面内的一条直线平行 则这条直线就与
４: ꎬ ６.(２０２１山东淄博二模ꎬ９)已知 α β 是两个不同的平面 ｍ ｎ
这个平面平行 ꎬ ꎬ ꎬ
是两条不同的直线 且ｍ ｎ α ｍ ｎ β 给出下列四个论断
ｐ 与ｐ ｐ 与ｐ ꎬ ꎬ ⊄ ꎬ ꎬ ⊄ ꎬ :
Ａ. １ ２ Ｂ. ２ ３ α β ｍ ｎ ｍ α ｎ β.以其中三个论断为条件
ｐ 与ｐ ｐ 与ｐ ① ∥ ꎻ② ∥ ꎻ③ ∥ ꎻ④ ∥ ꎬ
Ｃ. ３ ４ Ｄ. １ ３ 剩余论断为结论组成四个命题.其中正确的命题是
答案 Ｄ ( )
Þ Þ
３.(２０２１浙江湖州期末ꎬ４)设α β是两个不同的平面 ｍ是直 Ａ.①②③ ④ Ｂ.①③④ ②
ꎬ ꎬ Þ Þ
线且ｍ α 则 ｍ β 是 α β 的 Ｃ.①②④ ③ Ｄ.②③④ ①
⊂ ꎬ “ ∥ ” “ ∥ ” ( ) 答案 ＡＣ
充分而不必要条件
Ａ. 三、填空题(每小题５分ꎬ共１０分)
必要而不充分条件
Ｂ. ７.(２０２２东北三省三校第二次联考ꎬ１６)如图 多面体ＡＢＣＤＥＦ
充分必要条件 ꎬ
Ｃ. 中 四边形ＡＢＣＤ为正方形 ＤＥ 平面ＡＢＣＤ ＣＦ ＤＥ 且ＡＢ
既不充分也不必要条件 ꎬ ꎬ ⊥ ꎬ ∥ ꎬ ＝
Ｄ. ＤＥ ＣＦ Ｇ为棱ＢＣ的中点 Ｈ为棱ＤＥ上的动点 有下列
答案 Ｂ ＝２ꎬ ＝１ꎬ ꎬ ꎬ
结论
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１５分) :
４.(２０２２重庆巴蜀中学３月适应考(八)ꎬ１２)如图甲 在边长为
ꎬ
的正方形ＡＢＣＤ中 点Ｅ Ｆ分别是 ＡＢ ＢＣ 的中点 点 Ｍ 是
２ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
ＡＤ上靠近 Ａ的四等分点.现将 ＡＥＤ ＤＣＦ 分别沿 ＤＥ ＤＦ
△ ꎬ△ ꎬ
折起 使Ａ Ｃ两点重合于Ｐ 连接ＰＢ 如图乙所示 则下列说法
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
正确的是
( )
当Ｈ为棱ＤＥ的中点时 ＧＨ 平面ＡＢＥ
① ꎬ ∥ ꎻ
存在点Ｈ 使得ＧＨ ＡＥ
② ꎬ ⊥ ꎻ
三棱锥Ｂ ＧＨＦ的体积为定值
③ － ꎻ
三棱锥Ａ ＢＣＦ的外接球表面积为 .
④ － ９π
其中正确结论的序号为 . 填写所有正确结论的序号
( )
ＰＢ 平面ＥＦＭ 答案
Ａ. ∥ ①③④
ＰＤ ＰＢ ８.(２０２２湘赣皖长郡十五校联盟第二次联考ꎬ１６)如图 在正方
Ｂ. ⊥ ꎬ
体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｍ Ｎ Ｐ Ｑ分别是Ｃ Ｄ ＡＡ ＡＢ Ｂ Ｃ
平面ＥＦＭ与平面ＢＦＤＥ所成角的余弦值为 ６ － １ １ １ １ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ １ １ꎬ １ꎬ ꎬ １ １
Ｃ. 的中点 给出下列四个命题
３ ꎬ :
Ａ Ｃ 平面ＰＭＮ ＰＮ与ＱＭ所成的角为 ° 点Ｂ Ｄ到
点Ｐ到平面ＢＦＤＥ的距离为 ２ ① １ １∥ ꎻ② ６０ ꎻ③ ꎬ Ｄ. 平面ＰＭＮ的距离相等 平面ＰＭＮ截该正方体的截面为正六
３ ꎻ④
答案 ＡＣＤ 边形.则正确命题的序号为 .
５.(２０２２湖南新高考教学教研联盟第一次联考ꎬ１２)如图 Ｅ Ｆ
ꎬ ꎬ ꎬ
１０.(２０２２辽宁名校联盟３ 月联考ꎬ１９)如图 直三棱柱 ＡＢＣ
ꎬ －
答案 Ａ Ｂ Ｃ 的底面为直角三角形 ＡＡ ＡＢ ＢＣ Ｅ Ｆ分别为
四、解答 题 ① ( ② 共 ④ ２５分) ＡＢ １ １ ＣＣ １ 的中点. ꎬ １＝２ ＝２ ＝２ꎬ ꎬ
９.(２０２２ 长沙雅礼中学第七次月考ꎬ１９)如图 在多面体 ꎬ
证明
１
ＥＦ 平面ＡＢ Ｃ
ꎬ
ＡＢＣＤＥＦ中 四边形ＡＢＣＤ是正方形 ＡＢ ＤＥ ＢＦ ＢＦ ＤＥ (１) : ∥ １ １ꎻ
ꎬ ꎬ ＝２ꎬ ＝ ꎬ ∥ ꎬ 求二面角Ａ Ｂ Ｃ Ｂ的平面角的余弦值.
Ｍ为棱ＡＥ的中点. (２) － １ １－
求证 平面ＢＭＤ 平面ＥＦＣ
(１) : ∥ ꎻ
若 ＥＤ 平面 ＡＢＣＤ ＢＭ ＣＦ 求二面角 Ｅ ＡＦ Ｂ 的余 解析 ( )证明:连接Ａ Ｂꎬ与ＡＢ 交于点Ｍꎬ
(２) ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ － － １ １ １
弦值. 则Ｍ为ＡＢ 的中点ꎬ连接ＭＥꎬＣ Ｍꎬ
１ １
解析 ( )证明:连接ＡＣꎬ交ＢＤ于点Ｎꎬ 因为Ｅ为ＡＢ的中点ꎬ所以ＭＥ为 ＡＢＢ 的中位线ꎬ
Ｎ为 ＡＣ １ 的中点ꎬ连接ＭＮꎬ Ｍ为棱ＡＥ的中点ꎬ △ １
∴ ∵ 所以ＭＥ ＢＢ ꎬ且ＭＥ １ ＢＢ ꎬ
ＭＮ ＥＣ. ∥ １ ＝ １
∴ ∥ ２
ＭＮ 平面ＥＦＣꎬＥＣ 平面ＥＦＣꎬ ＭＮ 平面ＥＦＣ. 又Ｆ为ＣＣ 的中点ꎬＢＢ ＣＣ ꎬ
∵ ＢＦ ⊄ ＤＥꎬＢＦ ＤＥꎬ ⊂ 四边形ＢＤＥ ∴ Ｆ为平 ∥ 行四边形ꎬ １ １ １
∵ ∥ ＝ ∴ 所以Ｃ Ｆ ＢＢ ꎬ且Ｃ Ｆ １ ＢＢ ꎬ
ＢＤ ＥＦ.又ＢＤ 平面ＥＦＣꎬＥＦ 平面ＥＦＣꎬ １ ∥ １ １ ＝ １
∴ ∥ ⊄ ⊂ ２
ＢＤ 平面ＥＦＣꎬ又ＭＮ ＢＤ Ｎꎬ 则ＭＥ Ｃ Ｆꎬ且ＭＥ Ｃ Ｆꎬ
∴ 平面 ∥ ＢＭＤ 平面ＥＦＣ. ∩ ＝ 所以四 ∥ 边形 １ ＥＦＣ Ｍ为 ＝ 平 １ 行四边形ꎬ所以ＥＦ Ｃ Ｍꎬ
∴ ( ) ＥＤ 平 ∥ 面ＡＢＣＤꎬ四边形ＡＢＣＤ是正方形ꎬ 因为ＥＦ 平面Ａ １ Ｂ Ｃ ꎬＣ Ｍ 平面ＡＢ Ｃ ꎬ ∥ １
２ ＥＤ ∵ ꎬＡＤ ⊥ ꎬＣＤ两两垂直.分别以ＤＡ、ＤＣ、ＤＥ所在直线为ｘ轴、ｙ 所以ＥＦ ⊄ 平面ＡＢ １ Ｃ １ . １ ⊂ １ １
∴ 轴、ｚ轴ꎬ建立空间直角坐标系ꎬ则Ｂ( ２ ꎬ ２ ꎬ ０ )ꎬＣ( ０ ꎬ ２ ꎬ ０ )ꎬＡ( ２ ꎬ ( )由题 ∥ 意可知ꎬＡＢ １ １ ＢＣꎬＢＢ ＡＢꎬＢＢ ＢＣꎬ
０ ꎬ ０ )ꎬ设ＥＤ ＝２ ａꎬａ >０ ꎬ则Ｍ( １ ꎬ ０ ꎬａ)ꎬＦ( ２ ꎬ ２ ꎬ ２ ａ)ꎬＥ( ０ ꎬ ０ ꎬ ２ ａ)ꎬ 所
２
以以Ｂ为坐标原点
⊥
ꎬ以 ＢＣꎬ
１⊥
ＢＡꎬＢＢ 所
１⊥
在直线分别为 ｘꎬｙꎬｚ
１
Ｂ→Ｍ ( ꎬ ꎬａ)ꎬＣ→Ｆ ( ꎬ ꎬ ａ). ＢＭ ＣＦꎬ ａ ａ 轴建立如图所示的空间直角坐标系ꎬ
∴ ＝ －１ －２ ＝ ２ ０ ２ ∵ ⊥ ∴ －１×２＋ ×２
ꎬ ａ ꎬ
＝０ ∴ ＝１
→ＥＡ ( ꎬ ꎬ )ꎬ→ＡＦ ( ꎬ ꎬ ).
∴ ＝ ２ ０ －２ ＝ ０ ２ ２
{ｍ→ＥＡ ꎬ
设平面 ＥＡＦ 的法向量为 ｍ (ｘꎬｙꎬｚ)ꎬ则 ＝０ 即
＝ ｍ→ＡＦ ꎬ
＝０
{ ｘ ｚ ꎬ
２ －２ ＝０ ｍ ( ꎬ ꎬ ).
ｙ ｚ .∴ ＝ １ －１ １
２ ＋２ ＝０
ＢＦ ＤＥꎬＤＥ 平面ＡＢＣＤꎬ
∵ ∥ ⊥
ＢＦ 平面ＡＢＣＤ.
∴ ⊥ 第
又ＤＡ 平面ＡＢＣＤꎬ 八
⊂
章
ＢＦ ＤＡꎬ又ＤＡ ＡＢꎬＢＦ ＡＢ Ｂꎬ
∴ ⊥ ⊥ ∩ ＝ 则Ｂ( ꎬ ꎬ )ꎬＡ( ꎬ ꎬ )ꎬＢ( ꎬ ꎬ )ꎬＣ( ꎬ ꎬ )ꎬ
ＤＡ 平面ＡＦＢꎬ 平面ＡＦＢ的一个法向量为Ｄ→Ａ ( ꎬ ꎬ ). ０ ０ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ ２ １ １ ０ ２ 立
∴ ⊥ ∴ ＝ ２ ０ ０ 所以→ＢＡ ( ꎬ ꎬ )ꎬＡ→Ｂ ( ꎬ ꎬ )ꎬＢ→Ｃ ( ꎬ ꎬ )ꎬ 体
＝ ０ １ ０ １＝ ０ －１ ２ １ １＝ １ ０ ０ 几
∵ ｃｏｓ
‹ｍꎬＤ→Ａ›
＝
２
＝
３ꎬ 设平面ＡＢ
１
Ｃ
１
的法向量为ｍ
＝
(ｘꎬｙꎬｚ)ꎬ
何
由图可知二面角Ｅ １ － ＋ Ａ １ Ｆ ＋ － １ Ｂ ×２ 为钝 ３ 二面角ꎬ 由 {ｍＡ→Ｂ １＝０ ꎬ 得 { － ｙ ＋２ ｚ ＝０ ꎬ 与 空
二面角Ｅ ＡＦ Ｂ的余弦值为 ３.
ｍＢ
１
→Ｃ
１＝０
ꎬ ｘ
＝０
ꎬ 间
向
∴ － － － 取ｙ ꎬ则ｚ ꎬ则ｍ ( ꎬ ꎬ )ꎬ 量
３ ＝２ ＝１ ＝ ０ ２ １
１ ４７
易知ＡＢ ⊥ 平面ＢＣＣ １ Ｂ １ ꎬ所以平面ＢＣＣ １ Ｂ １ 的一个法向量为→ＢＡ 由图形可知ꎬ二面角Ａ － Ｂ １ Ｃ １－ Ｂ的平面角为锐角ꎬ
( ꎬ ꎬ )ꎬ
＝ ０ １ ０ 故二面角Ａ Ｂ Ｃ Ｂ的平面角的余弦值为２ ５.
－ １ １－
５
因为 ‹→ＢＡꎬｍ› ２ ２ ５ꎬ
ｃｏｓ ＝ ＝
５ ５
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ４８
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P220
１.(２０２２ ５３原创题)在棱长为 的正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 则正确结论的个数为
２ － １ １ １ １ ( )
中 点Ｍ是体对角线ＡＣ 上的点 点Ｍ与Ａ Ｃ 不重合 有以
ꎬ １ ( 、 １ )ꎬ Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.２ Ｄ.３
下四个结论 答案 Ｄ
:
２.(２０２２５３原创题)如图 已知正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱
ꎬ － １ １ １ １
长为 Ｍ Ｅ分别是棱ＢＢ 和ＣＣ 的中点 Ｆ是侧面ＢＣＣ Ｂ 内
４ꎬ ꎬ １ １ ꎬ １ １
的动点 且Ａ Ｆ 平面Ｄ ＡＥ 当 Ａ Ｂ Ｆ的外接圆面积最小时
ꎬ １ ∥ １ ꎬ △ １ １ ꎬ
三棱锥Ａ Ｂ ＭＦ的外接球的表面积为 .
１－ １
存在点Ｍ 使得平面Ａ ＤＭ 平面ＢＣ Ｄ
① ꎬ １ ⊥ １ ꎻ
存在点Ｍ 使得ＤＭ 平面Ｂ Ｄ Ｃ
② ꎬ ∥ １ １ ꎻ
若 Ａ ＤＭ的周长为Ｌ 则Ｌ的最小值为４ ６＋６ ２
③ △ １ ꎬ ꎻ
３
æ ö 答案
若 Ａ ＤＭ的面积为Ｓ 则Ｓ ç２ ３ ÷. ２０π
④ △ １ ꎬ ∈è ꎬ２ ３ø
３
