北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8.2 空间点、线、面的位置关系
考点一 点、线、面的位置关系
1.(2015安徽理,5,5分)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
··· ···
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
··· ···
答案 D 若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行
于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α
内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直
的性质定理知m∥n,故D正确.
2.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.( )
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m
答案 A 对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可
能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于α与β的交线时,l∥β,但此时α与β相
交,所以选项C错误;对于选项D,若α∥β,则l与m可能平行,也可能异面,所以选项D错误.故选A.
3.(2015广东,6,5分)若直线l 和l 是异面直线,l 在平面α内,l 在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列
1 2 1 2
命题正确的是( )
A.l与l,l 都不相交
1 2
B.l与l,l 都相交
1 2
C.l至多与l,l 中的一条相交
1 2
D.l至少与l,l 中的一条相交
1 2
答案 D 解法一:如图1,l 与l 是异面直线,l 与l平行,l 与l相交,故A,B不正确;如图2,l 与l 是异面直
1 2 1 2 1 2
线,l,l 都与l相交,故C不正确,选D.
1 2
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解法二:因为l分别与l,l 共面,故l与l,l 要么都不相交,要么至少与l,l 中的一条相交.若l与l,l 都不相交,则
1 2 1 2 1 2 1 2
l∥l,l∥l,从而l∥l,与l,l 是异面直线矛盾,故l至少与l,l 中的一条相交,选D.
1 2 1 2 1 2 1 2
4.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
答案 B 若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故
C错误;若m∥α,m⊥n,则n与α可能平行、相交或n⊂α,故D错误.因此选B.
5.(2014广东理,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l,l,l,l,满足l⊥l,l⊥l,l⊥l,则下列结论一定正确的是
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
( )
A.l⊥l
1 4
B.l∥l
1 4
C.l 与l 既不垂直也不平行
1 4
D.l 与l 的位置关系不确定
1 4
答案 D 由l⊥l,l⊥l 可知l 与l 的位置不确定,
1 2 2 3 1 3
若l∥l,则结合l⊥l,得l⊥l,所以排除选项B、C,
1 3 3 4 1 4
若l⊥l,则结合l⊥l,知l 与l 可能不垂直,所以排除选项A.故选D.
1 3 3 4 1 4
评析 本题考查了空间直线之间的位置关系,考查学生的空间想象能力、思维的严密性.
6.(2014浙江文,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
答案 C 对于选项A、B、D,均能举出m∥α的反例;对于选项C,若m⊥β,n⊥β,则m∥n,又n⊥α,∴m⊥α,故
选C.
7.(2013课标Ⅱ理,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )
A.α∥β且l∥α
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B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
答案 D 若α∥β,则m∥n,这与m、n为异面直线矛盾,所以A不正确,α与β相交.将已知条件转化到正方体
中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,从而排除B、C.故选D.
导师点睛 对于此类题,放入正方体中判断起来比较快捷.
8.(2013广东理,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
答案 D 若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m与n可能平行,故A错;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m与n可能平行,也可能异面,
故B错;若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α与β可能相交,也可能平行,故C错;对于D项,由m⊥α,m∥n,得n⊥α,又知
n∥β,故α⊥β,所以D项正确.
9.(2011辽宁理,8,5分)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是(
)
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
答案 D ∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
又∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AC.
其中SD∩BD=D,∴AC⊥面SDB,从而AC⊥SB.故A正确.易知B正确.
设AC与DB交于O点,连接SO.
则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,
又OA=OC,SA=SC,∴∠ASO=∠CSO.故C正确.
由排除法可知选D.
评析 本题主要考查了线面平行与垂直的判断及线面角、线线角的概念.属中档题.
10.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
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A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
答案 C ∵α∩β=l,∴l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.
11.(2016课标Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
答案 ②③④
解析 若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α与β可能平行或相交,故①错误;②显然成立;若α∥β,m⊂α,则m与β无公共点,
因而m∥β,故③正确;由线面角的定义、等角定理及面面平行的性质可知④正确.
考点二 异面直线所成的角
1.(2016课标Ⅰ,理11,文11,5分)平面α过正方体ABCD-ABCD 的顶点A,α∥平面CBD,α∩平面
1 1 1 1 1 1
ABCD=m,α∩平面ABBA=n,则m,n所成角的正弦值为( )
1 1
√3 √2 √3 1
A. B. C. D.
2 2 3 3
答案 A 如图,延长BA 至A,使AA=BA,延长DA 至A,使AA=DA,连接AA,AA,AA,AB,AD.易
1 1 2 2 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 2 3 2 3 1 1
证AA∥AB∥DC,AA∥AD∥BC.
2 1 1 3 1 1
∴平面AAA∥平面CBD,即平面AAA 为平面α.
2 3 1 1 2 3
√3
于是m∥AA,直线AA 即为直线n.显然有AA=AA=AA,于是m,n所成的角为60°,其正弦值为 .选A.
2 3 2 2 3 2 3
2
2.(2014大纲全国理,11,5分)已知二面角α-l-β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面
直线AB与CD所成角的余弦值为( )
1 √2 √3 1
A. B. C. D.
4 4 4 2
答案 B 在平面α内过点C作CE∥AB,则∠ECD为异面直线AB与CD所成的角(或其补角),不妨取CE=1,
过点E作EO⊥β于点O.
在平面β内过点O作OH⊥CD于点H,连接EH,则EH⊥CD.
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因为AB∥CE,AB⊥l,所以CE⊥l,又因为EO⊥β,所以CO⊥l.
所以∠ECO为二面角α-l-β的平面角,即∠ECO=60°.
因为∠ACD=135°,CD⊥l,所以∠OCH=45°.
1
在Rt△ECO中,CO=CEcos∠ECO=1×cos 60°= .
2
1 √2
在Rt△COH中,CH=COcos∠OCH= cos 45°= .
2 4
√2
CH √2
在Rt△ECH中,cos∠ECH= = 4 = .
CE 4
1
√2
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .选B.
4
3.(2014大纲全国文,4,5分)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为
( )
1 √3 1 √3
A. B. C. D.
6 6 3 3
答案 B 如图,取AD的中点F,连接EF、CF.
1
因为E、F分别是AB、AD的中点,所以EF BD,故∠CEF或其补角是异面直线CE、BD所成的角.
2
√3 1
设正四面体ABCD的棱长为a,易知CE=CF= a,EF= a.在△CEF中,由余弦定理可得cos∠CEF=
2 2
(√3 ) 2 (1 ) 2 (√3 ) 2
a + a - a
2 2 2 =√3.故选B.
√3 1 6
2× a× a
2 2
4.(2015浙江,13,5分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,
则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是 .
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7
答案
8
解析 连接DN,取DN的中点H,连接HM,由N、M、H均为中点,知|cos∠HMC|即为所求.因为
AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,又M,N为AD,BC的中点,所以CM⊥AD,AN⊥BC,所以CM=
1
√CD2-M D2=2√2,AN=√AC2-NC2=2√2,MH= AN=√2,HC=√NC2+N H2=√3,则
2
CM2+M H2-HC2 7 7
cos∠HMC= = .故异面直线AN,CM所成角的余弦值为 .
2CM·MH 8 8
5.(2011北京文,17,14分)如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中
点.
(1)求证:DE∥平面BCP;
(2)求证:四边形DEFG为矩形;
(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.
解析 (1)证明:因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP,PC⊂平面BCP,
所以DE∥平面BCP.
(2)证明:因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,
所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF.
所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB,
所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形.
(3)存在点Q满足条件.理由如下:
连接DF,EG,设Q为EG的中点.
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1
由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG= EG.
2
分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.
1
与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN= EG,所以Q为满足条件的
2
点.
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