北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
专题十五 机械振动 机械波
考点一 机械振动
1.(2020浙江7月选考,15,2分)(多选)如图所示,x轴上-2 m、12 m处有两个振动周期均为
4 s、振幅均为1 cm的相同的波源S 、S ,t=0时刻同时开始竖直向下振动,产生波长均为
1 2
4 m沿x轴传播的简谐横波。P、M、Q分别是x轴上2 m、5 m和8.5 m的三个点,下列
说法正确的是( )
A.6.0 s时P、M、Q三点均已振动
B.8.0 s后M点的位移始终是2 cm
C.10.0 s后P点的位移始终是0
D.10.5 s时Q点的振动方向竖直向下
λ
答案 CD 波速v= =1 m/s,则6.0 s时波传播的距离为6 m,而M点到S 、S 的距离均
T 1 2
为7 m,故波还未传到M点,所以A选项错误。S M-S M=0,即M点的振动始终是加强的,
1 2
振幅为2 cm,但位移并不是始终为2 cm,故B选项错误。10.0 s后P点在两波作用下振
动,S P-S P=6 m,为半波长的3倍,故P点的振动始终是减弱的,振幅为零,故位移也始终为
2 1
零,C选项正确。10.5 s内波传播的距离为10.5 m,故波源S 产生的波刚好传到Q点,波源
1
7
S 传播到Q点后又完成了 个周期的振动,故Q点正在向下振动,故D选项正确。
2 4
2.[2019江苏单科,13B(1)](多选)一单摆做简谐运动,在偏角增大的过程中,摆球的( )
A.位移增大 B.速度增大
C.回复力增大 D.机械能增大
答案 AC 本题考查了机械振动的基本规律,体现了科学推理的核心素养。
做简谐运动的单摆在偏角增大过程中距平衡位置的位移x增大,选项A正确。速度减小,
选项B错误。回复力F=-kx,随x增大,回复力增大,选项C正确。单摆在摆动过程中悬线
拉力不做功,故摆球机械能守恒,选项D错误。
第1页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
3.(2018天津理综,8,6分)(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振
子的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为0.1 m,则( )
2
A.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s
3
4
B.若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s
5
C.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为4 s
D.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为6 s
(2π )
答案 AD 本题考查简谐运动的多解问题。简谐运动的位移方程为x=A sin t+θ ,
T
π (2π π)
当振幅A=0.1 m时,由t=0时x=-0.1 m得θ=- ;由t=1 s时x=0.1 m有sin - =1,则
2 T 2
2π π π 2 2
- =2kπ+ (k=0,1,2,…),k=0时,T=2 s;k=1时,T= s;k=2时,T= s。由以上分析可见,A
T 2 2 3 5
项正确,B项错误。
π 5π π
当振幅A=0.2 m时,由t=0时x=-0.1 m得θ=- 或θ=- ;若θ=- ,由t=1 s时x=0.1 m有
6 6 6
(2π π) 1 2π π π 2π π 5 5π
sin - = ,则当 - = 时,T=6 s;当 - = π时,T=2 s。同理,若θ=- ,则周期
T 6 2 T 6 6 T 6 6 6
T最大值为2 s。由以上分析可见C项错误,D项正确。
T 2 2
一题多解 若振幅为0.1 m,则有nT+ =1 s,n=1时,T= s;n=2时,T= s,可见A对,B错。
2 3 5
第2页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
若振幅为0.2 m,则下图反映振动的一种可能情况,由0.2 sin θ m=0.1 m,得θ=30°,由此可知,
T 1
= s,T=6 s,故D正确。
12 2
T
若振幅为0.2 m,周期为4 s,则在Δt=1 s= 时间内,振子不可能从位移为-0.1 m处运动到位
4
移为0.1 m处,故C错误。
疑难突破 解多解问题的方法
对于多解问题,一般先分析各种可能的情况,写出通式,然后再由通式得到各种可能的
解。
4.(2016北京理综,15,6分)如图所示,弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O
为原点,建立Ox轴。向右为x轴正方向。若振子位于N点时开始计时,则其振动图像为(
)
答案 A 振子在N点时开始计时,其位移为正向最大,并按余弦规律变化,故选项A正确。
5.(2016海南单科,17,6分)(多选)下列说法正确的是( )
A.在同一地点,单摆做简谐运动的周期的平方与其摆长成正比
B.弹簧振子做简谐运动时,振动系统的势能与动能之和保持不变
C.在同一地点,当摆长不变时,摆球质量越大,单摆做简谐运动的周期越小
D.系统做稳定的受迫振动时,系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
E.已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期,就可知振子在任意时刻运动速度的方向
√L
答案 ABD 在同一地点,重力加速度g为定值,根据单摆周期公式T=2π 可知,周期的
g
平方与摆长成正比,故选项A正确;弹簧振子做简谐运动时,只有动能和势能参与转化,根
第3页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
据机械能守恒条件可知,振动系统的势能与动能之和保持不变,故选项B正确;根据单摆
√L
周期公式T=2π 可知,单摆的周期与摆球质量无关,故选项C错误;当系统做稳定的受
g
迫振动时,系统振动的频率等于周期性驱动力的频率,故选项D正确;若弹簧振子初始时
刻在波峰或波谷位置,知道周期后,可以确定任意时刻运动速度的方向,若弹簧振子初始时
刻不在波峰或波谷位置,则无法确定,故选项E错误。
6.[2015山东理综,38(1)](多选)如图,轻弹簧上端固定,
下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块简谐运动的
表达式为y=0.1 sin (2.5πt)m。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6 s时,小球
恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g=10 m/s2。以下判断正确的是( )
a.h=1.7 m
b.简谐运动的周期是0.8 s
c.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
d.t=0.4 s时,物块与小球运动方向相反
2π
答案 ab 由小物块的运动方程可知, =2.5π rad/s,T=0.8 s,故b正确。0.6 s内物块运
T
3
动了 个周期,故路程应为0.3 m,c错。t=0.4 s时物块运动了半个周期,正向下运动,与小
4
1
球运动方向相同,故d错。t=0.6 s时,物块的位移y=-0.1 m,小球下落距离H= gt2=1.8 m,
2
由题图可知,h=H+y=1.7 m,故a正确。
7.(2014安徽理综,14,6分)在科学研究中,科学家常将未知现象同已知现象进行比较,找出
其共同点,进一步推测未知现象的特性和规律。法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸
引力问题时,曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地
第4页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
心距离的关系。已知单摆摆长为l,引力常量为G,地球质量为M,摆球到地心的距离为r,
则单摆振动周期T与距离r的关系式为( )
√GM √ l
A.T=2πr B.T=2πr
l GM
2π √GM √ r
C.T= D.T=2πl
r l GM
√ l √ l
答案 B 由单摆周期公式T=2π 及黄金代换式GM=gr2,得T=2πr 。
g GM
8.(2013上海单科,4,2分)做简谐运动的物体,当它每次经过同一位置时,可能不同的物理
量是( )
A.位移 B.速度 C.加速度 D.回复力
答案 B 做简谐运动的物体,经过同一位置时,位移、回复力和加速度是确定不变的,而
速度的方向可能不同,故A、C、D错误,B正确。
9.(2012北京理综,17,6分)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动,取平衡位置O为x轴坐标原
点。从某时刻开始计时,经过四分之一周期,振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正
确反映振子位移x与时间t关系的图像是( )
T
答案 A 如图所示,O为平衡位置,由题意知t= 时,振子具有正向最大加速度,故此时振
4
子应在A处,位移x为负的最大值。分析各图像知,只有A项正确。
第5页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
10.[2013课标Ⅱ,34(1),5分,0.43]如图,一轻弹簧一端固定,另一端连接一物块构成弹簧振
子,该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动,振幅
为A ,周期为T 。当物块向右通过平衡位置时,a、b之间的粘胶脱开;以后小物块a振动
0 0
的振幅和周期分别为A和T,则A A (填“>”、“<”或“=”),T T (填
0 0
“>”、“<”或“=”)。
答案 <(3分) <(2分)
解析 当物块向右通过平衡位置时,脱离前:
1
振子的动能E = (m+m
)v2
k1 2 a b 0
1
脱离后振子的动能E = m
v2
k2 2 a 0
由机械能守恒可知,平衡位置处的动能等于最大位移处的弹性势能,因此脱离后振子振幅
√m
变小;由弹簧振子的周期T=2π 知,脱离后周期变小。
k
11.[2014重庆理综,11(2),6分]一竖直悬挂的弹簧振子,下端装有一记录笔,在竖直面内放
置有一记录纸。当振子上下振动时,以速率v水平向左匀速拉动记录纸,记录笔在纸上留
下如图所示的图像。y 、y 、x 、2x 为纸上印迹的位置坐标。由此图求振动的周期和
1 2 0 0
振幅。
2x y - y
0 1 2
答案
v 2
解析 设周期为T,振幅为A。
2x y - y
由题意得T= 0 和A= 1 2 。
v 2
12.[2020浙江7月选考,17(2),4分]某同学用单摆测量重力加速度,
①为了减少测量误差,下列做法正确的是 (多选);
第6页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
A.摆的振幅越大越好
B.摆球质量大些、体积小些
C.摆线尽量细些、长些、伸缩性小些
D.计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处
②改变摆长,多次测量,得到周期平方与摆长的关系图像如图所示,所得结果与当地重力加
速度值相符,但发现其延长线没有过原点,其原因可能是 。
A.测周期时多数了一个周期
B.测周期时少数了一个周期
C.测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D.测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
答案 ①BC ②C
√ l
解析 ①用单摆周期公式T=2π 测重力加速度,首先单摆要符合简谐运动,故单摆的最
g
大摆角不超过5°,故摆的振幅不能太大,选项A错误;为减小空气阻力带来的误差,摆球质
量应大些,体积应小些,选项B正确;在用单摆测周期时不计摆线的质量,故摆线尽量细些,
为使摆动过程摆长不变,伸缩性小些,摆线长些可以减小测量误差,选项C正确;计时的起、
止位置选在摆球运动的最低点处,误差小,故选项D错误。
√ l 4π2
②由单摆周期公式T=2π 得T2= ·l,其中l为摆长,即摆线长度与摆球半径之和,如果
g g
t
摆长测量正确,无论测周期时是多数还是少数一个周期,由T= 知都会导致T值变化,从
n
而导致g值变化,与题中g值不变相悖,故选项A、B错误;如果周期测量正确,由题图可知,
第7页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
4π2
图线对应的物理公式应为T2= ·(l+r),故测摆长时直接将摆线的长度作为了摆长,选项
g
C正确,D错误。
考点二 机械波
1.(2018北京理综,16,6分)如图所示,一列简谐横波向右传播,P、Q两质点平衡位置相距
0.15 m。当P运动到上方最大位移处时,Q刚好运动到下方最大位移处,则这列波的波长
可能是( )
A.0.60 m B.0.30 m C.0.20 m D.0.15 m
答案 B 本题考查机械波的相关知识。由题意知,P位于波峰时,Q位于波谷,故两点平
λ 0.30
衡位置间距0.15 m= +nλ(n=0,1,2,…),所以波长λ= m(n=0,1,2,…),当n=0时,λ=0.30
2 1+2n
m,故选项B正确。
规律总结 机械波传播方向上两质点平衡位置间距与波长的关系
平衡位置间距
{
nλ(n=0,1,2,…)→同相点
Δx= λ
(2n+1) (n=0,1,2,…)→反相点
2
2.(2018浙江4月选考,16,2分)(多选)两列频率相同、振幅均为A的简谐横波P、Q分别
沿+x和-x轴方向在同一介质中传播,两列波的振动方向均沿y轴。某时刻两波的波面如
图所示,实线表示P波的波峰、Q波的波谷;虚线表示P波的波谷、Q波的波峰。a、b、c
为三个等间距的质点,d为b、c中间的质点。下列判断正确的是( )
A.质点a的振幅为2A
第8页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
B.质点b始终静止不动
C.图示时刻质点c的位移为0
D.图示时刻质点d的振动方向沿-y轴
答案 CD 由题可得频率相同的P波和Q波在同一介质中相遇时发生干涉,由于实线表
示P波的波峰、Q波的波谷;虚线表示P波的波谷、Q波的波峰,故a、c两质点为减弱点,
b质点为加强点。由于两波振幅均为A,故a、c两点振幅为零,始终静止不动,b质点振幅
为2A,做简谐运动,故A、B错误,C正确;由波动方向与振动方向关系可知,该时刻d质点
在P波上沿-y轴方向运动,在Q波上沿-y轴方向运动,故质d质点沿-y轴方向振动,故D
正确。
3.[2017课标Ⅲ,34(1),5分](多选)如图,一列简谐横波沿x轴正方向传播,实线为t=0时的
波形图,虚线为t=0.5 s时的波形图。已知该简谐波的周期大于0.5 s。关于该简谐波,下列
说法正确的是 。
A.波长为2 m
B.波速为6 m/s
C.频率为1.5 Hz
D.t=1 s时,x=1 m处的质点处于波峰
E.t=2 s时,x=2 m处的质点经过平衡位置
答案 BCE 本题考查机械波图像。
由题图可知,该波波长λ=4 m,选项A错误;T>0.5 s,则由题图知波在0.5 s内沿x轴正方向
3 3 2 1 λ
传播的距离为 λ,传播时间t= T=0.5 s,T= s,频率f= =1.5 Hz,选项C正确;波速v=
4 4 3 T T
3
=6 m/s,选项B正确;1 s= T,t=1 s时,x=1 m处的质点处于波谷,选项D错误;2 s=3T,t=2 s
2
时,x=2 m处的质点经过平衡位置,选项E正确。
第9页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
4.(2017天津理综,5,6分)手持较长软绳端点O以周期T在竖直方向上做简谐运动,带动绳
上的其他质点振动形成简谐波沿绳水平传播,示意如图。绳上有另一质点P,且O、P的
平衡位置间距为L。t=0时,O位于最高点,P的位移恰好为零,速度方向竖直向上,下列判
断正确的是( )
A.该简谐波是纵波
B.该简谐波的最大波长为2L
T
C.t= 时,P在平衡位置上方
8
3T
D.t= 时,P的速度方向竖直向上
8
答案 C 由题意知绳上的质点在竖直方向上振动,波水平向右传播,故该波为横波,选项
1
A错误;t=0时刻,P点在如图所示位置时,波长最大,则 λ=L,λ=4L,选项B错误;t=0时,P在
4
T 3
平衡位置且向上振动,当t= 时,P在平衡位置上方,选项C正确;当t= T时,P处于从最高
8 8
点向平衡位置运动过程中,故速度方向向下,选项D错误。
5.[2016课标Ⅰ,34(1),5分](多选)某同学漂浮在海面上,虽然水面波正平稳地以1.8 m/s的
速率向着海滩传播,但他并不向海滩靠近。该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过
身下的时间间隔为15 s。下列说法正确的是( )
A.水面波是一种机械波
B.该水面波的频率为6 Hz
C.该水面波的波长为3 m
D.水面波没有将该同学推向岸边,是因为波传播时能量不会传递出去
E.水面波没有将该同学推向岸边,是因为波传播时振动的质点并不随波迁移
第10页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
答案 ACE 水面波是一种机械波,传播过程中各质点只在平衡位置上下往复运动,不随
波的传播而迁移,因此水面波不会将该同学推向岸边,故D错,A、E均正确。由题意可知
15 5 1 5
该波的周期T= s= s,频率f= =0.6 Hz,波长λ=vT=1.8× m=3 m,故B错、C正确。
9 3 T 3
6.[2016课标Ⅲ,34(1),5分](多选)由波源S形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播。
波源振动的频率为20 Hz,波速为16 m/s。已知介质中P、Q两质点位于波源S的两侧,且
P、Q和S的平衡位置在一条直线上,P、Q的平衡位置到S的平衡位置之间的距离分别
为15.8 m、14.6 m。P、Q开始振动后,下列判断正确的是 。
A.P、Q两质点运动的方向始终相同
B.P、Q两质点运动的方向始终相反
C.当S恰好通过平衡位置时,P、Q两点也正好通过平衡位置
D.当S恰好通过平衡位置向上运动时,P在波峰
E.当S恰好通过平衡位置向下运动时,Q在波峰
v 15.8 3 14.6 1
答案 BDE 由波速公式v=λf得λ= =0.8 m,L = λ=19 λ,L = λ=18 λ,由
f SP 0.8 4 SQ 0.8 4
波动的周期性,采用“去整留零”的方法,可在波形图上标出S、P、Q三点的位置,如图
所示,由图可知,P、Q两点的运动方向始终相反,A项错误,B项正确;S在平衡位置时,P、
Q一个在波峰,一个在波谷,C项错误;当S恰通过平衡位置向上运动时,P在波峰,Q在波谷,
反之则相反,故D、E项正确。
7.(2016天津理综,7,6分)(多选)在均匀介质中坐标原点O处有一波源做简谐运动,其表达
π
式为y=5 sin ( t),它在介质中形成的简谐横波沿x轴正方向传播,某时刻波刚好传播到
2
x=12 m处,波形图像如图所示,则( )
第11页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
A.此后再经6 s该波传播到x=24 m处
B.M点在此后第3 s末的振动方向沿y轴正方向
C.波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向
D.此后M点第一次到达y=-3 m处所需时间是2 s
π 2π
答案 AB 由波源振动表达式可知ω= s-1,而ω= ,所以T=4 s,由波形图知λ=8 m,波
2 T
λ
速v= =2 m/s,Δx=v·Δt=12 m,故A项正确;经过Δt'=3 s,波向前传播的距离为
T
Δx',Δx'=v·Δt'=6 m,画出这一时刻的波形图如图中虚线所示,由图可知,M点振动方向沿y
轴正方向,B项正确;
在波的传播过程中,各质点的起振方向都与波源的起振方向相同,可得波源起振方向沿y
轴正方向,C项错误;此时M点在y=3 m处且沿y轴负方向振动,第一次到达y=-3 m处所
T
用时间小于 ,故D项错误。
2
规律总结 根据波的传播方向判断质点振动方向的方法:顺着波的传播方向看,处在上坡
处的质点向下振动,处在下坡处的质点向上振动,即“上坡下,下坡上”。
8.(2016四川理综,6,6分)(多选)简谐横波在均匀介质中沿直线传播,P、Q是传播方向上相
距10 m的两质点。波先传到P,当波传到Q开始计时,P、Q两质点的振动图像如图所示。
则( )
A.质点Q开始振动的方向沿y轴正方向
B.该波从P传到Q的时间可能为7 s
C.该波的传播速度可能为2 m/s
D.该波的波长可能为6 m
第12页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
T
答案 AD 由图可知,t=0时质点Q处于平衡位置,t= 时运动至波峰,故其起振方向沿y
4
2
轴正方向,A正确;仍由图可知,T=6 s,质点Q比质点P到达同一振动状态晚了Δt=nT+
3
1
T=(6n+4)s(n=0,1,2,…),此即为该波从P传到Q所需的时间,当Δt=7 s时n= ,故B错误;由
2
Δx 10 1 60
v= = m/s知,当v=2 m/s时n= ,故C错误;再由λ=vT= m知,当n=1时λ=6
Δt 6n+4 6 6n+4
m,故D正确。
9.(2015北京理综,15,6分)周期为2.0 s的简谐横波沿x轴传播,该波在某时刻的图像如图
所示,此时质点P沿y轴负方向运动。则该波( )
A.沿x轴正方向传播,波速v=20 m/s
B.沿x轴正方向传播,波速v=10 m/s
C.沿x轴负方向传播,波速v=20 m/s
D.沿x轴负方向传播,波速v=10 m/s
λ 20m
答案 B 由质点P沿y轴负方向运动,可知波沿x轴正方向传播,波速v= = =10
T 2.0s
m/s,B项正确。
10.(2015天津理综,3,6分)图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图,a、b两质点的横坐
标分别为x=2 m和x =6 m,图乙为质点b从该时刻开始计时的振动图像。下列说法正确
a b
的是( )
A.该波沿+x方向传播,波速为1 m/s
B.质点a经4 s振动的路程为4 m
C.此时刻质点a的速度沿+y方向
第13页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
D.质点a在t=2 s时速度为零
答案 D t=0时,b质点向+y方向运动,根据“下坡上”可判定波沿-x方向传播,A错误;a
总是与b的振动方向相反,t=0时,a向-y方向运动,C错误;经过4 s,a回到平衡位置,路程为
1 m,B错误;t=2 s时,a处于波谷,速度为零,D正确。
11.[2015海南单科,16(1),4分](多选)一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时刻的波
形如图所示,质点P的x坐标为3 m。已知任意振动质点连续2次经过平衡位置的时间间
隔为0.4 s。下列说法正确的是 。
A.波速为4 m/s
B.波的频率为1.25 Hz
C.x坐标为15 m的质点在t=0.6 s时恰好位于波谷
D.x坐标为22 m的质点在t=0.2 s时恰好位于波峰
E.当质点P位于波峰时,x坐标为17 m的质点恰好位于波谷
1
答案 BDE 任意振动质点连续两次通过平衡位置的过程所用时间为半个周期,即
2
1 λ
T=0.4 s,T=0.8 s,f= =1.25 Hz,选项B正确;由题图知:该波的波长λ=4 m,波速v= =5 m/s,
T T
选项A错误;
3
画出t=0.6 s时波形图如图所示,因15 m=3λ+ λ,故x坐标为15 m的质点与x=3 m处
4
的质点振动情况一样,即在平衡位置向下振动,选项C错误;
1
画出t=0.2 s时波形图如图所示,因22 m=5λ+ λ,故x=22 m处的质点与x=2 m处的质点振
2
动情况一样,即在波峰位置,选项D正确;
第14页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
1
因质点P与x=17 m处质点平衡位置间距离Δx=14 m=3λ+ λ,故两质点振动步调相反,选
2
项E正确。
12.(2014天津理综,5,6分)平衡位置处于坐标原点的波源S在y轴上振动,产生频率为50
Hz的简谐横波向x轴正、负两个方向传播,波速均为100 m/s。平衡位置在x轴上的P、
Q两个质点随波源振动着,P、Q的x轴坐标分别为x =3.5 m、 x =-3 m。当S位移为负
P Q
且向-y方向运动时,P、Q两质点的( )
A.位移方向相同、速度方向相反
B.位移方向相同、速度方向相同
C.位移方向相反、速度方向相反
D.位移方向相反、速度方向相同
100 3 1
答案 D 该波的波长λ=v/f= m=2 m,3.5 m=λ+ λ,3 m=λ+ λ,此时P、Q两质点的位
50 4 2
移方向相反,但振动方向相同,选项D正确。
13.[2014山东理综,38(1),4分](多选)一列简谐横波沿直线传播。以波源O由平衡位置开
始振动为计时零点,质点A的振动图像如图所示,已知O、A的平衡位置相距0.9 m。以
下判断正确的是 ( )
A.波长为1.2 m
B.波源起振方向沿y轴正方向
C.波速大小为0.4 m/s
D.质点A的动能在t=4 s时最大
Δx 0.9m
答案 AB 由图可知波源起振后3 s质点A开始振动,故波速大小v= = =0.3
Δt 3s
m/s,C错误;由图知波的周期即质点A的振动周期T=4 s,故该波的波长λ=vT=1.2 m,A正
第15页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
确;因介质中各质点的起振方向与波源的起振方向相同,故由图知B正确;由图知t=4 s时
质点A处于正向最大位移处,此时质点A的速度为零、动能为零,故D错误。
14.[2013课标Ⅰ,34(1),6分,0.511](多选)如图,a、b、c、d是均匀媒质中x轴上的四个质
点,相邻两点的间距依次为2 m、4 m和6 m。一列简谐横波以2 m/s的波速沿x轴正向
传播,在t=0时刻到达质点a处,质点a由平衡位置开始竖直向下运动,t=3 s时a第一次到
达最高点。下列说法正确的是( )
A.在t=6 s时刻波恰好传到质点d处
B.在t=5 s时刻质点c恰好到达最高点
C.质点b开始振动后,其振动周期为4 s
D.在4 s<t<6 s的时间间隔内质点c向上运动
E.当质点d向下运动时,质点b一定向上运动
a 12m
答案 ACD 波由a到d匀速传播,v=2 m/s,t= = =6 s,A项正确。第一个波峰在
v 2m/s
ac 6m
t =3 s时产生于a点,再经t = = =3 s到达c点,共计t=t +t =6 s,B项错误。a点从
1 2 v 2m/s 1 2
3
向下起振至到达最高点用时3 s,可知 T=3 s,即T=4 s,则b点的振动周期也为4 s,C项正
4
ac T
确。波经t = =3 s到达c点,说明此时c点开始从平衡位置向下振动,再经 =1 s,共计4
2 v 4
T
s到达最低点,再经 =2 s可到达最高点,故在4 s<t<6 s的时间内点c向上运动,D项正确。
2
1 1 1
因λ=v·T=8 m,而db=10 m=1 λ,并不是 λ或 λ的奇数倍,故E项说法错误。
4 2 2
考查点 波的传播、波长、周期与波速
解题关键 ①理解a质点开始振动的方向就是波源开始振动的方向,也是波传到任何一
质点时质点开始振动的方向。
②通过a质点振动情况判定出振动周期T,再利用波速v求出波长λ=vT。
第16页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
15.(2013上海单科,14,3分)一列横波沿水平绳传播,绳的一端在t=0时开始做周期为T的
简谐运动,经过时间t(3T/4<t<T),绳上某点位于平衡位置上方的最大位移处。则在2t时,
该点位于平衡位置的( )
A.上方,且向上运动 B.上方,且向下运动
C.下方,且向上运动 D.下方,且向下运动
3
答案 A 由题可知, T<t<T,所以平衡位置上方的最大位移处质点再运动t时间,该质点
4
应在平衡位置上方,且向上运动,故只有A项正确。
16.[2018课标Ⅲ,34(1),5分](多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播,在t=0和t=0.20 s时的
波形分别如图中实线和虚线所示。已知该波的周期T>0.20 s。下列说法正确的是
。
A.波速为0.40 m/s
B.波长为0.08 m
C.x=0.08 m的质点在t=0.70 s时位于波谷
D.x=0.08 m的质点在t=0.12 s时位于波谷
E.若此波传入另一介质中其波速变为0.80 m/s,则它在该介质中的波长为0.32 m
答案 ACE 本题考查机械振动和机械波的综合应用。由图像可知,该波的波长λ=16
Δt 0.20s
1
cm=0.16 m,选项B错误;Δt=nT+ T(n=0,1,2,…),可得T= 1>0.20 s,即 1 >0.20 s,解
2 n+ n+
2 2
λ 0.16 3
得n=0,T=0.40 s,波速v= = m/s=0.40 m/s,选项A正确;Δt =0.70 s=T+ T,即从t=0
T 0.40 1 4
3
时刻开始到t=0.70 s时刻,x=0.08 m的质点振动了T+ T,则可知t=0.70 s时,该质点位于
4
第17页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
3 1
波谷,选项C正确;Δt =0.12 s= T< T,则x=0.08 m的质点在t=0.12 s时位于平衡位置和
2 10 2
波峰之间的某一位置,选项D错误;机械波传入另一介质中,其周期不变,则波长
λ'=v'T=0.32 m,选项E正确。
T
17.[2019课标Ⅰ,34(1),5分](多选)一简谐横波沿x轴正方向传播,在t= 时刻,该波的波形
2
图如图(a)所示,P、Q是介质中的两个质点。图(b)表示介质中某质点的振动图像。下列
说法正确的是 。
A.质点Q的振动图像与图(b)相同
B.在t=0时刻,质点P的速率比质点Q的大
C.在t=0时刻,质点P的加速度的大小比质点Q的大
D.平衡位置在坐标原点的质点的振动图像如图(b)所示
E.在t=0时刻,质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大
答案 CDE
解析 本题考查了机械振动及机械波图像的综合应用,考查了学生的综合分析能力,体现
了物理观念中运动与相互作用的素养要素。
T
由图(b)可知,在 时刻,该质点处于平衡位置且向y轴负方向运动,再从图(a)中利用“上
2
T
下坡法”,结合波沿x轴正方向传播可知,在 时刻,质点Q在平衡位置且向y轴正方向运
2
动,平衡位置在原点处的质点在平衡位置且向y轴负方向运动,所以A选项错误,D选项正
确。分析可知,在t=0时刻,质点P位于波谷,此时质点P的速率为0,加速度最大,位移大小
最大,但质点Q在平衡位置,速率最大,加速度为0,位移为0,所以B选项错误,C和E选项
均正确。
第18页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
18.[2014课标Ⅰ,34(1),6分,0.571]图(a)为一列简谐横波在t=2 s时的波形图,图(b)为媒质
中平衡位置在x=1.5 m处的质点的振动图像,P是平衡位置为x=2 m的质点。下列说法正
确的是 。
A.波速为0.5 m/s
B.波的传播方向向右
C.0~2 s时间内,P运动的路程为8 cm
D.0~2 s时间内,P向y轴正方向运动
E.当t=7 s时,P恰好回到平衡位置
答案 ACE
λ
解析 由图(a)可知,波长λ=2 m,由图(b)可知周期T=4 s,则波速v= =0.5 m/s,A正确。t=2
T
s时,x=1.5 m处的质点振动方向向下,则波向左传播,B错。0~2 s时间内P质点运动的路
t
程s = ×4A=8 cm,C项正确。0~2 s内P质点向y轴负方向运动,D项错。t=0时P质点位
P T
T
于正向最大位移处,故P质点达到平衡位置的时刻为t=(2n+1) (n=0,1,2…),则n=3时,t=7
4
s,P恰好回到平衡位置,E项正确。
19.[2014课标Ⅱ,34(1),5分](多选)图(a)为一列简谐横波在t=0.10 s时刻的波形图,P是平
衡位置在x=1.0 m处的质点,Q是平衡位置在x=4.0 m处的质点;图(b)为质点Q的振动图
像。下列说法正确的是( )
A.在t=0.10 s时,质点Q向y轴正方向运动
B.在t=0.25 s时,质点P的加速度方向与y轴正方向相同
C.从t=0.10 s到t=0.25 s,该波沿x轴负方向传播了6 m
第19页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
D.从t=0.10 s到t=0.25 s,质点P通过的路程为30 cm
E.质点Q简谐运动的表达式为y=0.10 sin 10πt(国际单位制)
λ
答案 BCE 由图(a)得λ=8 m,由图(b)得T=0.2 s,所以v= =40 m/s。由图(b)知,在t=0.10
T
s时,质点Q通过平衡位置向y轴负方向运动,A错误。结合图(a),由“同侧法”判得波沿
x轴负方向传播,画出t=0.25 s时的波形图,标出P、Q点,如图,此时P点在x轴下方,其加
速度向上,B正确。Δt=0.25 s-0.10 s=0.15 s,Δx=v·Δt=6 m,C正确。P点起始位置不在平衡
2π
位置或最大位移处,故D错误。由图知A=0.10 m,ω= =10π rad/s,所以Q点简谐运动表
T
达式为y=0.10 sin 10πt(国际单位制),E正确。
20.(2014安徽理综,16,6分)一简谐横波沿x轴正向传播,图1是t=0时刻的波形图,图2是
介质中某质点的振动图像,则该质点的x坐标值合理的是( )
A.0.5 m B.1.5 m C.2.5 m D.3.5 m
答案 C 由图2知,t=0时刻此质点相对平衡位置的位移约为-0.15 m,且振动方向向下,
图1中符合此要求的点在2~3 m 之间,故C正确。
21.(2014北京理综,17,6分)一简谐机械横波沿x轴正方向传播,波长为λ,周期为T。t=0时
刻的波形如图1所示,a、b是波上的两个质点。图2是波上某一质点的振动图像。下列
说法中正确的是( )
A.t=0时质点a的速度比质点b的大
B.t=0时质点a的加速度比质点b的小
第20页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
C.图2可以表示质点a的振动
D.图2可以表示质点b的振动
答案 D 由图1可知,t=0时,a在正向最大位移处,v=0,加速度最大;b在平衡位置,速度最
大,加速度为0,且振动方向沿y轴负向,图2可以表示质点b的振动,选项A、B、C都错
误,选项D正确。
22.(2013福建理综,16,6分)如图,t=0时刻,波源在坐标原点从平衡位置沿y轴正向开始振
动,振动周期为0.4 s,在同一均匀介质中形成沿x轴正、负两方向传播的简谐横波。下图
中能够正确表示t=0.6 s时波形的图是( )
答案 C 介质中各质点开始振动的方向与振源起振的方向相同,C正确,A、B、D错误。
23.(2013天津理综,7,6分)(多选)一列简谐横波沿直线传播,该直线上平衡位置相距9 m的
a、b两质点的振动图像如图所示,下列描述该波的图像可能正确的是( )
λ nλ
答案 AC 根据a、b两质点的振动图像可知其间距应为 的奇数倍,即 =9 m,n=1、
4 4
36 36 36
3、5…,那么波长λ的可能值是:36 m、12 m、 m、 m、4 m、 m等。综上可知
5 7 11
答案为A、C。
24.(2012大纲全国,20,6分)(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播,图(a)是t=0时刻的波
形图,图(b)和图(c)分别是x轴上某两处质点的振动图像。由此可知,这两质点平衡位置之
间的距离可能是( )
第21页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
1 2 4
A. m B. m C.1 m D. m
3 3 3
答案 BD 由题图(a)知波长λ=2 m,由(b)、(c)振动图像知在t=0时刻一质点(P)在波峰,
A
另一质点(Q)在平衡位置下 处,且振动方向沿y轴负方向,因此两质点在波形图上的分
2
1 1 2 4
布若如图甲所示,则这两质点平衡位置之间的距离x= λ+ λ= λ= m,D项正确;若如图
2 6 3 3
1 1 1 2
乙所示,则x= λ+ λ= λ= m,B项正确。
4 12 3 3
25.(2014大纲全国,18,6分)(多选)两列振动方向相同、振幅分别为A 和A 的相干简谐横
1 2
波相遇。下列说法正确的是( )
A.波峰与波谷相遇处质点的振幅为|A -A |
1 2
B.波峰与波峰相遇处质点离开平衡位置的位移始终为A +A
1 2
C.波峰与波谷相遇处质点的位移总是小于波峰与波峰相遇处质点的位移
D.波峰与波峰相遇处质点的振幅一定大于波峰与波谷相遇处质点的振幅
答案 AD 两列振动方向相同的相干波相遇叠加,在相遇区域内各质点仍做简谐运动,
其振动位移在0到最大值之间,B、C项错误。在波峰与波谷相遇处质点振幅为两波振幅
之差,在波峰与波峰相遇处质点振幅为两波振幅之和,故A、D项正确。
思路分析 波峰与波峰相遇点是加强点,波峰与波谷相遇点是减弱点。加强点与减弱点
位置都是确定的。加强点振幅是A +A ,不是位移一直保持A +A ;减弱点振幅是|A -A |,
1 2 1 2 1 2
不是位移一直是|A -A |。
1 2
易错警示 加强点的位移也有为零的时候,所以不能说加强点位移一定大于减弱点位移。
第22页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
26.[2015江苏单科,12B(1)](多选)一渔船向鱼群发出超声波,若鱼群正向渔船靠近,则被鱼
群反射回来的超声波与发出的超声波相比( )
A.波速变大 B.波速不变 C.频率变高 D.频率不变
答案 BC 超声波的波速由介质决定,介质不变,则波速不变,B项正确;当鱼群向渔船靠
近时,由于多普勒效应,被鱼群反射回来的超声波频率高于波源发出的频率,C正确。
27.[2020课标Ⅲ,34(1),5分]如图,一列简谐横波平行于x轴传播,图中的实线和虚线分别
为t=0和t=0.1 s时的波形图。已知平衡位置在x=6 m处的质点,在0到0.1 s时间内运动
方向不变。这列简谐波的周期为 s,波速为 m/s,传播方向沿x轴
(填 “正方向”或“负方向”)。
答案 0.4 10 负方向
解析 平衡位置在x=6 m处的质点在0到0.1 s时间内运动方向不变,则质点从最大位移
1
处向下运动 个周期,得周期T=0.4 s;
4
λ
由图像可知波长λ=4 m,由v= 得波速为10 m/s;
T
1 1
由题意知波传播 个周期,实线波形向左平移 个波长与虚线波形重叠,故波沿x轴负方
4 4
向传播。
28.[2018课标Ⅱ,34(1),5分]声波在空气中的传播速度为340 m/s,在钢铁中的传播速度为
4 900 m/s。一平直桥由钢铁制成,某同学用锤子敲击一下桥的一端发出声音,分别经空气
和桥传到另一端的时间之差为1.00 s。桥的长度为 m。若该声波在空气中的波
长为λ,则它在钢铁中的波长为λ的 倍。
245
答案 365
17
解析 本题考查声波的传播。
第23页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
x x
设桥长为x,则有 - =1.00 s,解得:x=365 m。波在不同介质中传播时,
340m/s 4 900m/s
v v 245
钢
频率不变,由λ= ,有λ = λ= λ。
f 钢 v 17
气
关联知识 机械波的传播特点
机械波在不同介质中传播时,其频率只决定于波源的振动频率,与介质无关;传播速度与
介质有关。
29.[2017江苏单科,12B(2)]野生大象群也有自己的“语言”。研究人员录下象群“语
言”交流时发出的声音,发现以2倍速度快速播放录音时,能听到比正常播放时更多的声
音。播放速度变为原来的2倍时,播出声波的 (选填“周期”或“频率”)也变
为原来的2倍,声波传播速度 (选填“变大”、“变小”或“不变”)。
答案 频率 不变
解析 受迫振动的频率等于驱动力的频率,故播放速度变为原来的2倍时,播出的声波的
频率也变为原来的2倍。声波的传播速度取决于传播的介质,故速度不变。
30.[2018江苏单科,12B(3)]一列简谐横波沿x轴正方向传播,在x=0和x=0.6 m处的两个
质点A、B的振动图像如图所示。已知该波的波长大于0.6 m,求其波速和波长。
答案 2 m/s 0.8 m
解析 由图像可知,周期T=0.4 s
由于波长大于0.6 m,由图像可知,波从A到B的传播时间Δt=0.3 s
Δx
波速v= ,代入数据得v=2 m/s
Δt
波长λ=vT,代入数据得λ=0.8 m
31.(2016课标全国Ⅱ,34(2),10分)一列简谐横波在介质中沿x轴正向传播,波长不小于10
cm。O和A是介质中平衡位置分别位于x=0和x=5 cm处的两个质点。t=0时开始观测,
第24页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
1
此时质点O的位移为y=4 cm,质点A处于波峰位置;t= s时,质点O第一次回到平衡位
3
置,t=1 s时,质点A第一次回到平衡位置。求
(ⅰ)简谐波的周期、波速和波长;
(ⅱ)质点O的位移随时间变化的关系式。
答案 见解析
解析 本题考查波速、波长与周期的关系。
(ⅰ)设振动周期为T。由于质点A在0到1 s内由最大位移处第一次回到平衡位置,经历
1
的是 个周期,由此可知
4
T=4 s①
1
由于质点O与A的距离5 cm小于半个波长,且波沿x轴正向传播,O在t= s时回到平衡
3
2
位置,而A在t=1 s时回到平衡位置,时间相差 s。两质点平衡位置的距离除以传播时间,
3
可得波的速度
v=7.5 cm/s②
利用波长、波速和周期的关系得,简谐波的波长
λ=30 cm③
(ⅱ)设质点O的位移随时间变化的关系为
(2πt )
y=A cos +φ ④
T 0
将①式及题给条件代入上式得
{ 4=Acos φ
0
(π )⑤
0=Acos +φ
6 0
解得
π
φ = ,A=8 cm⑥
0 3
质点O的位移随时间变化的关系式为
第25页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
(πt π)
y=0.08 cos + (国际单位制)⑦
2 3
(πt 5π)
或y=0.08 sin + (国际单位制)
2 6
方法点拨 机械波中的各质点都在做简谐运动,简谐运动位移与时间的关系式为y=A
2π
sin(ωt+φ)或者是y=A cos(ωt+φ),式中ω= ,把数学中的三角函数知识与物理中的简谐运
T
动知识结合起来,就能够顺利得出结果。
32.[2015课标Ⅰ,34(2),10分]甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿x轴正向和负向
传播,波速均为v=25 cm/s。两列波在t=0时的波形曲线如图所示。求
(ⅰ)t=0时,介质中偏离平衡位置位移为16 cm的所有质点的x坐标;
(ⅱ)从t=0开始,介质中最早出现偏离平衡位置位移为-16 cm的质点的时间。
答案 (ⅰ)x=(50+300n)cm,n=0,±1,±2,… (ⅱ)0.1 s
解析 (ⅰ)t=0时,在x=50 cm处两列波的波峰相遇,该处质点偏离平衡位置的位移为16
cm。两列波的波峰相遇处的质点偏离平衡位置的位移均为16 cm。
从图线可以看出,甲、乙两列波的波长分别为
λ =50 cm,λ =60 cm①
1 2
甲、乙两列波波峰的x坐标分别为
x =50+k λ ,k =0,±1,±2,…②
1 1 1 1
x =50+k λ ,k =0,±1,±2,…③
2 2 2 2
由①②③式得,介质中偏离平衡位置位移为16 cm的所有质点的x坐标为
x=(50+300n)cm,n=0,±1,±2,…④
(ⅱ)只有两列波的波谷相遇处的质点的位移为-16 cm。t=0时,两波波谷间的x坐标之差
为
第26页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
λ λ
Δx'=[50+(2m +1) 2]-[50+(2m +1) 1]⑤
2 1
2 2
式中,m 和m 均为整数。将①式代入⑤式得
1 2
Δx'=10(6m -5m )+5⑥
2 1
由于m 、m 均为整数,相向传播的波谷间的距离最小为
1 2
Δx '=5 cm⑦
0
从t=0开始,介质中最早出现偏离平衡位置位移为-16 cm的质点的时间为
Δx '
t= 0 ⑧
2v
代入数据得t=0.1 s⑨
评分标准 第(ⅰ)问6分,①式2分,②③式各1分,④式2分;第(ⅱ)问4分,⑤⑦⑧⑨式各1
分。
解后反思 该题难度较大,解答过程中要注意数学知识在物理学中的应用,尤其是对于通
式的表达。同时该题要求学生具有较强的计算能力。
33.[2015课标Ⅱ,34(2),10分]平衡位置位于原点O的波源发出的简谐横波在均匀介质中
沿水平x轴传播,P、Q为x轴上的两个点(均位于x轴正向),P与O的距离为35 cm,此距
离介于一倍波长与二倍波长之间。已知波源自t=0时由平衡位置开始向上振动,周期
T=1 s,振幅A=5 cm。当波传到P点时,波源恰好处于波峰位置;此后再经过5 s,平衡位置
在Q处的质点第一次处于波峰位置。求:
(ⅰ)P、Q间的距离;
(ⅱ)从t=0开始到平衡位置在Q处的质点第一次处于波峰位置时,波源在振动过程中通
过的路程。
答案 (ⅰ)133 cm (ⅱ)125 cm
解析 (ⅰ)由题意,O、P两点间的距离与波长λ之间满足
5
OP= λ①
4
波速v与波长的关系为
λ
v= ②
T
在5 s的时间内,波传播的路程为vt。由题意有
第27页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
λ
vt=PQ+ ③
4
式中,PQ为P、Q间的距离。由①②③式和题给数据,得
PQ=133 cm④
(ⅱ)Q处的质点第一次处于波峰位置时,波源振动的时间为
5
t =t+ T⑤
1 4
T
波源从平衡位置开始运动,每经过 ,波源运动的路程为A。由题给条件得
4
T
t =25× ⑥
1 4
故t 时间内,波源运动的路程为
1
s=25A=125 cm⑦
34.[2013山东理综,37(1)]如图所示,在某一均匀介质中,A、B是振动情况完全相同的两个
波源,其简谐运动表达式均为x=0.1 sin (20πt)m,介质中P点与A、B两波源间的距离分别
为4 m和5 m,两波源形成的简谐横波分别沿AP、BP方向传播,波速都是10 m/s。
①求简谐横波的波长。
②P点的振动 (填“加强”或“减弱”)。
答案 ①1 m ②加强
解析 ①设简谐波的波速为v,波长为λ,周期为T,由题意知
T=0.1 s①
由波速公式
λ
v= ②
T
代入数据得
λ=1 m③
②|Δs|=BP-AP=5 m-4 m=1 m
因Δs=λ,所以P点为加强点
第28页共29页北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A
版
35.[2012山东理综,37(1)]一列简谐横波沿x轴正方向传播,t=0时刻的波形如图所示,介质
中质点P、Q分别位于x=2 m、x=4 m处。从t=0时刻开始计时,当t=15 s时质点Q刚好
第4次到达波峰。
①求波速。
②写出质点P做简谐运动的表达式(不要求推导过程)。
答案 ①v=1 m/s ②y=0.2 sin (0.5πt) m
解析 ①设简谐横波的波速为v,波长为λ,周期为T,由图像知,λ=4 m。由题意知
3
t=3T+ T①
4
λ
v= ②
T
联立①②式,代入数据得
v=1 m/s③
②质点P做简谐运动的表达式为
y=0.2 sin (0.5πt) m④
36.[2012江苏单科,12B(3)]地震时,震源会同时产生两种波,一种是传播速度约为3.5 km/s
的S波,另一种是传播速度约为7.0 km/s的P波。一次地震发生时,某地震监测点记录到
首次到达的P波比首次到达的S波早3 min。假定地震波沿直线传播,震源的振动周期为
1.2 s,求震源与监测点之间的距离x和S波的波长λ。
答案 1 260 km 4.2 km
解析 设P波传播时间为t,则x=v t,x=v (t+Δt)
P S
v v
P S
解得x= Δt,代入数据得x=1 260 km
v -v
P S
由λ=v T,解得λ=4.2 km。
S
第29页共29页
