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考
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学
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８４
８．２ 空间点、线、面的位置关系
§
续表
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
考点 空间点、线、面的位置关系 直线ａ与平
ａ α 没有公共点
１．平面的基本性质 面α平行 ⑩ ∥
名称 图形 文字语言 符号语言 用途
说明 直线ａ和平面α相交 直线ａ和平面α平行统称为
如果一条直 、
直线ａ在平面α外 记作ａ α．
线上的两个 证明 点在 ， ⊄
公理
１ 点在一个平 ①
Ａ
∈
ｌ，Ｂ
∈ 面 内
“
或
４．两个平面的位置关系
（基本事 ｌ，且Ａ α，Ｂ ”
面内 那么这 ∈ 线 在 面 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种
实 ） ， α ｌ α “ ：
２ 条直线在这 ∈ ⇒⊂ 内
” 位置关系 图形表示 符号表示 公共点
个平面内
确定一
公理 过 条 ② 直 线 不 上 在 的 一 Ａ 线 ， ⇒ Ｂ ， 有 Ｃ 且 不共 只 个 （１ 平 ） 判 面 定 ； 两 平 平 面 面 β α 平 与 行 α ∥ β 没有公共点
２ 有一个平面 （２）
（基本事 三点 有且 个 平 面
， α 使得 Ａ
实 ） 只 有 一 个 ， ∈ 重合
１ α Ｂ α Ｃ ； 有无数个公共
平面 ， ∈ ， 证明 平面α与
α （３） α β ｌ 点 且这些点
∈ 点
、
线共面 平面β相交 ∩ ＝ ，
共线
如果两个不 证明
（１）
重合的平面 三 点 共 注意 如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行
“
公理 有一个公共 Ｐ α，且 线 三线 （１） ，
３ ③ ∈ ”“ 那么这两个平面不一定平行 即使一个平面内有无数条直线
（基本事 点 那么它们 Ｐ β α β 共点 ；（２）
， ∈ ⇒ ∩ ”； 都与另一个平面平行 也不能推出这两个平面平行．
实 ） 有且只有一 ｌ，且Ｐ ｌ 确定两 ，
３ ＝ ∈ （２） ５．异面直线
条过该点的 平 面 的
公共直线 交线 定义 不同在任何一个平面内的两条直线．
（１） ：
性质 两条异面直线既不相交也不平行．
平行于同一 （２） ：
公理 若直线 ａ ６．异面直线所成的角
４ 条直线的两 ∥ 判定直线
（基本事 ｂ ｂ ｃ 则ａ
条直线 平 ， ∥ ， 平行
实 ） ④ ｃ
４ 行 ∥
说明 公理 基本事实 的推论
２（ １）
推论 经过一条直线和直线外一点 有且只有一个平面．
１ ，
推论 经过两条相交直线 有且只有一个平面．
２ ，
如图 直线ａ ｂ是异面直线 经过空间任一点Ｏ分别作直线
推论 经过两条平行直线 有且只有一个平面． ， ， ，
３ ，
２．空间两直线间的位置关系 ａ′
∥
ａ
，
ｂ′
∥
ｂ
，
我们把ａ′与ｂ′所成的锐角
（
或直角
）
叫做异面直线
ａ与ｂ所成的角 或夹角 ．
位置关系 共面情况 公共点个数 （ ）
特别地 当两条异面直线所成的角是直角时 称这两条异面
， ，
相交 在同一平面内 有且只有一个
⑤ 直线互相垂直．
平行 在同一平面内 零个 ( ]
⑥ 注意 异面直线所成的角的范围是 ，π 所以空间
异面 不同在任何一个平面内 零个 ０ ，
⑦ ２
两直线垂直有两种情况 异面垂直和相交垂直．
３．直线与平面的位置关系 ———
直线与平面的位置关系有且只有以下三种
：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线ａ在 有无数个
ａ α
平面α内 ⑧ ⊂ 公共点
直线ａ与平 有且只有
ａ α Ａ
面α相交 ⑨ ∩ ＝ 一个公共点
专
题
八
立
体
几
何
／
８５
考法一 平面的基本性质及其应用
例１ 已知空间四边形ＡＢＣＤ 如图
（
所示 Ｅ Ｆ分别是ＡＢ ＡＤ的中点 Ｇ Ｈ分
）， 、 、 ， 、
解析 取ＢＣ的中点Ｆ，Ａ Ｄ 的中点Ｇ，
别是ＢＣ ＣＤ 上的点 且 ＣＧ １ ＢＣ ＣＨ １ １
、 ， ＝ ， ＝ 连接ＤＦ、Ｂ Ｆ、ＤＢ 、ＤＧ、ＧＢ 、ＧＦ，
３
１ １ １
棱长为 的正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中，Ｅ为ＡＤ的中点，
１ ＤＣ．求证 ： ∵ ＢＥ ＤＦ ２ ，Ａ Ｅ ＧＤ， － １ １ １ １
３ Ｅ Ｆ Ｈ Ｇ四点共面 又 ∴ Ａ Ｅ ∥ ＢＥ １ Ｅ， ∥ ＤＧ ＤＦ Ｄ，Ａ Ｅ、ＢＥ 平面Ａ ＢＥ，ＤＧ、ＤＦ
（１） 三 、 直 、 线 、 ＦＨ ＥＧ ＡＣ共 ； 点． 平面Ｄ １ ＦＢ ∩ Ｇ， ＝ ∩ ＝ １ ⊂ １
（２） 、 、 ⊂ １
证明 （ ）如图所示，连接ＥＦ，ＧＨ． 过点Ｂ 且与平面 Ａ ＢＥ 平行的正方体的截面为四边
１ ∴ １ １
因为Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点， 形ＤＦＢ Ｇ，
１
ＤＦ ＦＢ Ｂ Ｇ ＤＧ ，
所以ＥＦ ∥ ＢＤ，且ＥＦ ＝ １ ＢＤ． ∵ ＝ １＝ １ ＝ ＝ ４＋１＝ ５
２ ＤＢ ，ＧＦ ，
１＝ ４＋４＋４＝２ ３ ＝２ ５－３＝２ ２
又因为ＣＧ １ ＢＣ，ＣＨ １ ＤＣ， 过点Ｂ 且与平面Ａ ＢＥ平行的正方体的截面面积为
＝ ＝ ∴ １ １
３ ３
Ｓ １ ＤＢ ·ＧＦ １ ，
所以ＧＨ ＢＤ，且ＧＨ １ ＢＤ，所以ＥＦ ＧＨ，且ＧＨ ２ ＥＦ， 菱形ＦＢ １ ＧＤ＝ １ ＝ ×２ ３×２ ２＝２ ６
∥ ＝ ∥ ＝ ２ ２
３ ３ 故选 ．
所以四边形ＥＦＨＧ为梯形，因此Ｅ、Ｆ、Ｈ、Ｇ四点共面． Ｃ
（ ）由（ ）可知四边形ＥＦＨＧ为梯形，
２ １
又因为ＧＨ ２ ＥＦ，所以两腰ＦＨ、ＥＧ延长必交于一点，记为
＝
３
Ｏ，即ＥＧ ＦＨ Ｏ．因为直线ＦＨ 平面ＡＣＤ，Ｏ ＦＨ，所以Ｏ 平
∩ ＝ ⊂ ∈ ∈
面ＡＣＤ，因为ＧＥ 平面ＡＣＢ，Ｏ ＥＧ，因此Ｏ 平面ＡＢＣ，
⊂ ∈ ∈
又因为平面ＡＣＤ 平面ＡＢＣ ＡＣ，且点Ｏ为平面ＡＢＣ与平
∩ ＝
面ＡＣＤ的公共点，由公理 可得Ｏ ＡＣ，所以ＦＨ、ＥＧ、ＡＣ交于同
３ ∈
一点，即三直线ＦＨ、ＥＧ、ＡＣ共点．
答案 Ｃ
方法总结 １．证明点共线问题的方法
：
公理法 先找出两个平面 然后证明这些点都是这两个
（１） ： ， 考法二 求异面直线所成的角
平面的公共点 再根据公理 证明这些点都在交线上．
， ３ 例２ 在三棱锥Ｓ ＡＣＢ中 ＳＡＢ ＳＡＣ ＡＣＢ °
同一法 选择其中两点确定一条直线 然后证明其余点 － ，∠ ＝∠ ＝∠ ＝９０ ，
（２） ： ，
也在该直线上． ＡＣ ＢＣ ＳＢ 则 ＳＣ 与 ＡＢ 所成角的余弦值为
＝２， ＝ １３， ＝ ２９，
２．证明线共点问题的方法 先证两条直线交于一点 再证明 ．
： ，
第三条直线经过该点． 解析 解法一：如图，分别取 ＡＣ，ＢＣ，
３．证明点 直线共面问题的方法 ＳＢ的中点Ｄ，Ｅ，Ｆ，连接ＤＥ，ＤＦ，ＥＦ，则ＥＦ
、 ：
纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平 ＳＣ，ＤＥ ＡＢ， ＤＥＦ或其补角即为异
（１） ： ， 、 ∥ ∥ ∴ ∠
面内． 面直线ＳＣ与ＡＢ所成角．过点Ｆ作ＦＧ ＡＢ
⊥
辅助平面法 先证明部分点 线确定平面α 再证明其余 交ＡＢ于点Ｇ，连接ＤＧ，易知 ＤＦＧ为直角
（２） ： 、 ， △
元素确定平面β 最后证明平面α β重合． 三角形．
， ，
经典例题教师用书
由题设可得 ＡＢ ，ＳＡ ，ＳＣ ， ＥＦ ，ＤＥ
例 （２０１８黑龙江哈师大附中三模，１１）棱长为 的正方 ＝ １７ ＝２ ３ ＝４ ∴ ＝２ ＝
２
体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｅ为ＡＤ的中点 过点Ｂ 且与平面Ａ ＢＥ １７，ＤＧ １３，ＦＧ ， ＤＦ ５ ．在 ＤＥＦ 中，由余弦定理
－ １ １ １ １ ， ， １ １ ＝ ＝ ３ ∴ ＝ △
平行的正方体的截面面积为 ２ ２ ２
（ ） ＤＥ２ ＥＦ２ ＤＦ２
的推论得， ＤＥＦ ＋ － １７．
Ａ．５ Ｂ．２ ５ Ｃ．２ ６ Ｄ．６ ｃｏｓ∠ ＝ ＤＥ·ＥＦ ＝ 解题导引 ２ １７
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解法二：如图，过点Ａ作ＡＤ ＢＣ，连 所以ＡＯ为ＰＡ在平面ＡＢＣＤ内的射影，所
接ＳＤ，ＤＣ，则四边形 ＡＤＣＢ 为平行四边 以 ＰＡＯ为ＰＡ与平面ＡＢＣＤ所成的角，即
∠
形， ＳＣＤ或其补角即为所求角．由题 ＰＡＯ °．因为ＰＡ ，所以ＯＡ ＯＢ ．
∴ ∠ ∠ ＝６０ ＝２ ＝ ＝１
可得，ＤＣ ＡＢ ，ＳＣ ，ＳＤ ，则 因为ＰＯ 平面ＡＢＣＤ，ＢＤ 平面ＡＢＣＤ，四
＝ ＝ １７ ＝４ ＝５ ⊥ ⊂
边形ＡＢＣＤ为正方形，所以ＰＯ ＢＤ，ＡＣ
ＳＣ２ ＤＣ２ ＳＤ２ ⊥ ⊥
ｃｏｓ∠ ＳＣＤ ＝ Ｓ ＋ Ｃ·Ｄ － Ｃ ＝ １７． ＢＤ，又因为 ＰＯ ∩ ＡＣ ＝ Ｏ，所以 ＢＤ ⊥ 平面
２ １７
解法三：如图，以Ａ为原点，以ＡＢ，ＡＳ所在直线分别为ｙ轴，
ＰＡＣ，因为ＯＥ
⊂
平面ＰＡＣ，所以ＢＤ
⊥
ＯＥ，所以
△
ＢＯＥ为直角三
ｚ轴，以垂直于 ｙ 轴，ｚ 轴的直线为 ｘ 角形，因为ＯＢ ＝ ＯＥ ＝１ ，所以 ∠ ＯＥＢ ＝４５ °，即异面直线ＰＡ与ＢＥ
轴，建立空间直角坐标系，则 Ｂ（ ，
所成的角为
４５
°．故选
Ｃ．
０
答案 Ｃ
， ）， Ｓ （ ， ， ），
１７ ０ ０ ０ ２ ３
æ ö 例 （２０２０ 皖南八校第一次联考，１５）在长方体 ＡＢＣＤ －
Ｃç １３， ４ ， ÷，
è２ ０ø Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ＢＣ ＣＣ ＡＤ Ｂ π 则直线ＡＢ 与ＢＣ 所成
１７ １７ １ １ １ １ ， ＝ １＝１，∠ １ ＝ ， １ １
æ ö ３
∴
→ＳＣ
＝è
ç
２
１３， ４ ，
－２ ３ø
÷，→ＡＢ 角的余弦值为 ．
１７ １７ 解题导引
＝ （ ０ ， １７ ， ０ ），设ＳＣ与ＡＢ所成的角为θ， ∵ →ＳＣ·→ＡＢ ＝４ ， ｜ →ＳＣ ｜｜ 由ＢＣ ＡＤ 得 ＤＡＢ 在 ＢＡＤ 中，利用 ＡＤＢ
→ＡＢ ， θ ｜ →ＳＣ·→ＡＢ ｜ １７． （ １ 或 ∥ 其补 １ 角 ∠ ）为所 １ 求 １ 的角 → Ｒｔ△ 求 １ 得ＡＢ的长 ｔａｎ∠ １
｜＝４ １７ ∴ ｃｏｓ ＝ ＝ ＝ ３
→ＳＣ →ＡＢ １７
｜ ｜｜ ｜ 在 ＡＢ Ｄ 中，利用余弦定理
△ １ １ 结论
答案 １７ → 的推论求得 Ｄ ＡＢ 的余弦值 →
∠ １ １
１７
方法总结 异面直线所成角的求解步骤 解析 如图， ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 为长方体，
： ∵ － １ １ １ １
１．几何法 平移法 求异面直线所成角的一般步骤 ＢＣ ＡＤ ， Ｄ ＡＢ（或其补角）为异面直线ＡＢ 与ＢＣ
（ ） ： ∴ １∥ １ ∴ ∠ １ １ １ １
所成的角．
ＡＢ 平面ＡＤＤ Ａ ，ＡＤ 平面ＡＤＤ Ａ ， ＡＢ ＡＤ ，
∵ ⊥ １ １ １⊂ １ １ ∴ ⊥ １
在 ＢＡＤ 中，ＡＤ ２ ２ ， ＡＤ Ｂ π，
Ｒｔ△ １ １＝ １ ＋１ ＝ ２ ∠ １ ＝
３
ＡＢ ＡＢ
ＡＤ Ｂ ， ＡＢ ．
∴ ｔａｎ∠ １ ＝ＡＤ ＝ ＝ ３ ∴ ＝ ６
１ ２
在 ＡＢ Ｄ 中，ＡＢ （ ）２ ２ ，ＡＤ ，Ｂ Ｄ
△ １ １ １ ＝ ６ ＋１ ＝ ７ １ ＝ ２ １ １ ＝
（ ）２ ２ ，
６ ＋１ ＝ ７
ＡＤ２ ＡＢ２ Ｂ Ｄ２
Ｄ ＡＢ １＋ １－ １ １ ２＋７－７ １４．
∴ ｃｏｓ∠ １ １＝ ＡＤ ·ＡＢ ＝ ＝
２ １ １ ２× ２× ７ １４
２．向量法求异面直线所成角
建立空间直角坐标系后 确定两异面直线各自的方向向量 异面直线ＡＢ 与ＢＣ 所成角的余弦值为 １４．
， ∴ １ １
１４
ａ ｂ
ａ ｂ 则两异面直线所成角θ满足 θ ｜ · ｜．
， ， ｃｏｓ ＝ ａ ｂ
｜ ｜｜ ｜
经典例题教师用书
例 （２０１８广东东莞模拟，６）在正四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ中 ＰＡ
－ ，
直线ＰＡ与平面ＡＢＣＤ所成的角为 ° Ｅ为ＰＣ的中点 则
＝２， ６０ ， ，
异面直线ＰＡ与ＢＥ所成的角为
（ ）
° ° ° °
Ａ．９０ Ｂ．６０ Ｃ．４５ Ｄ．３０
解题导引
取底面中心为Ｏ， ＯＥＢ（或其补角） 答案 １４
∠
并连接ＯＥ，ＯＰ → 为所求的角 → １４
证明 ＰＡＯ ° 在 ＥＯＢ中求出答案
∠ ＝６０ → △
解析 如图，连接ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，连接ＯＥ，ＯＰ．因为四边
形ＡＢＣＤ为正方形，所以Ｏ为ＡＣ的中点，
又因为Ｅ为ＰＣ的中点，所以ＯＥ ＰＡ，且ＯＥ １ ＰＡ ，
∥ ＝ ＝１
２
所以 ＯＥＢ（或其补角）是异面直线ＰＡ与ＢＥ所成的角．
∠
因为四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ为正四棱锥，Ｏ为正方形ＡＢＣＤ的中
－
心，所以ＰＯ 平面ＡＢＣＤ，
⊥
