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题
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体
几
何
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８７
８．３ 直线、平面平行的判定和性质
§
２．性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
考点一 直线与平面平行的判定和性质 性 如果两个平面平
质 行 那么在一个平
类别 文字语言 图形语言 符号语言 定 面 ， 内的所有直线 α ∥ β且ａ ⊂ α
ａ β
一条直线与一个平面没有 理 都平行于另一个 ⇒ ∥
定 公共点 则称这条直线与这 ａ ∩ α ＝ ⌀⇒ ａ 平面
义 ， α １
个平面平行 ∥
两个平面平行 如
性 ，
如果平面外一条直线与此 果另一个平面与这
质
判 平面内的一条直线平行 那 ａ ｂ ａ α ｂ 两个平面相交 那 α β且γ α ａ
， ∥ ， ⊄ ， ⊂ 定 ， ∥ ∩ ＝ ，
定 么该直线与此平面平行 即 α ａ α 么两条交线平行 γ β ｂ ａ ｂ
（ ⇒① ∥ 理 ∩ ＝ ⇒ ∥
线线平行 线面平行 简记为 面面平行
⇒ ） （ “
２ 线线平行
一条直线与一个平面平行 ⇒ ”）
，
如果过该直线的平面与此平
性 ａ α ａ β α 性 如果两个平行平
面相交 那么该直线与交线 ∥ ， ⊂ ， ∩
质 ， β ｂ ａ ｂ 质 面中有一个垂直
平行 即线面平行 线线平 ＝ ⇒ ∥ α β且ｌ α
（ ⇒ 定 于一条直线 那么 ∥ ⊥
行 ， ｌ β
） 理 另一个平面也垂 ⇒⊥
直于这条直线
考点二 平面与平面平行的判定和性质 ３
１．判定定理 知识拓展 线线平行 线面平行 面面平行的相互转化
、 、
文字语言 图形语言 符号语言 判定定理
判定定理 判定定理
如果一个平面内 线线平行 线面平行 面面↓平行
判 的两条相交直线 ａ α ü
性质定理 性质定理
⊂ ï ↑
定 与另一个平面平 ｂ
⊂
α ïï 性质定理
定 行 那么这两个平 ａ ｂ Ｐý α β 利用线线平行 线面平行 面面平行的相互转化解决平行关
理 面
，
平行 简记为
②
ａ β
∩ ＝ ï⇒ ∥
系的判定时 一般遵
、
循从 低维
、
到 高维 的转化 即从 线线平
（ ∥ ï ， “ ” “ ” ， “
线面平行 面面 ｂ β þ 行 到 线面平行 再到 面面平行 而应用性质定理时 其顺
１ “ ⇒ ∥ ” “ ”， “ ”； ，
平行 序正好相反．在实际应用中 判定定理和性质定理一般要相互结
”） ，
合 灵活运用．
，
判
如果两个平面同
定
垂直于一条直线 ｌ α}
定 ， ⊥ α β
那么这两个平面 ③ ｌ β ⇒ ∥
理 ⊥
平行
２
判
定 平行于同一个平
α β}
定 面的两 个 平 面 ∥ α γ
β γ ⇒④ ∥
理 平行 ∥
３
A
版
高
考
数
学
／
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若一条直线在两平行平面外 且与其中一平面平行 则
（２） ， ，
这条直线与另一平面平行．
例２ 如图所示 正方体 ＡＢＣＤ
考法 直线与平面、平面与平面平行的证明方法 ， －
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｍ Ｎ 分别是 Ａ Ｂ Ａ Ｄ 的中
例１ 如图 在四棱锥Ｅ ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＣＤ ＣＤ ＡＢ 点 点 １ Ｅ １ １ Ｆ分 １ 别 ， 是 ， Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ 的 １ 中 １ 点 ， ． １ １
， － ， ∥ ， ＝２ ， ， ， １ １， １ １
Ｆ为棱ＤＥ的中点．证明 ＡＦ 平面ＢＣＥ． 求证 四边形ＢＤＦＥ为梯形
： ∥ （１） ： ；
求证 平面ＡＭＮ 平面ＥＦＤＢ．
（２） ： ∥
解题导引
证明 证法一：如图，取ＣＥ的中点Ｍ，连接ＦＭ，ＢＭ．
点Ｆ为ＤＥ的中点，Ｍ为ＣＥ的
∵
中点， ＦＭ ＣＤ且ＦＭ １ ＣＤ．
∴ ∥ ＝
２
ＡＢ ＣＤ，且ＣＤ ＡＢ， ＦＭ
∵ ∥ ＝２ ∴ ∥
ＡＢ且ＦＭ ＡＢ， 四边形 ＡＢＭＦ 为平
＝ ∴
行四边形， ＡＦ ＢＭ． ＡＦ 平面 证明 （ ）连接Ｂ Ｄ ． 在 Ｂ Ｄ Ｃ 中，Ｅ，Ｆ分别是Ｂ Ｃ ，
∴ ∥ ∵ ⊄ １ １ １ ∵ △ １ １ １ １ １
ＢＣＥ，ＢＭ 平面 ＢＣＥ， ＡＦ 平
⊂ ∴ ∥ Ｃ Ｄ 的中点， ＥＦ Ｂ Ｄ 且ＥＦ １ Ｂ Ｄ ，又知四边形ＢＤＤ Ｂ
面ＢＣＥ． １ １ ∴ ∥ １ １ ＝ １ １ １ １
２
证法二：如图，在平面 ＡＢＣＤ 内，分别延长 ＣＢ，ＤＡ，交于点
为矩形， ＢＤ Ｂ Ｄ ， ＥＦ ＢＤ且ＥＦ １ ＢＤ． 四边形ＢＤＦＥ
Ｎ，连接ＥＮ． ∴ １ １ ∴ ∥ ＝ ∴
２
为梯形．
（ ）连接ＦＭ，在 Ａ Ｂ Ｄ 中，Ｍ，Ｎ分别为Ａ Ｂ ，Ａ Ｄ 的中
２ △ １ １ １ １ １ １ １
点， ＭＮ Ｂ Ｄ ．由（ ）知，ＥＦ Ｂ Ｄ ， ＭＮ ＥＦ．
∴ ∥ １ １ １ ∥ １ １ ∴ ∥
在正方形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中，Ｆ 为 Ｃ Ｄ 的中点，Ｍ 为 Ａ Ｂ 的中
１ １ １ １ １ １ １ １
点， ＦＭ Ａ Ｄ ，又 四边形ＡＤＤ Ａ 为正方形， ＡＤ Ａ Ｄ ，
∴ １ １ ∵ １ １ ∴ １ １
ＦＭ ＡＤ， 四边形ＡＤＦＭ为平行四边形． ＡＭ ＤＦ．
∴ ∴ ∴ ∥
∵ ＡＢ ∥ ＣＤ，ＣＤ ＝２ ＡＢ， ∴ Ａ为ＤＮ的中点． 又 ∵ ＡＭ ∩ ＭＮ ＝ Ｍ，ＡＭ，ＭＮ ⊂ 平面ＡＭＮ，ＤＦ ∩ ＦＥ ＝ Ｆ，ＤＦ，ＦＥ
又Ｆ为ＤＥ的中点， ＡＦ ＥＮ， 平面ＥＦＤＢ， 平面ＡＭＮ 平面ＥＦＤＢ．
∴ ∥ ⊂ ∴ ∥
ＥＮ 平面ＢＣＥ，ＡＦ 平面ＢＣＥ， ＡＦ 平面ＢＣＥ． 方法总结 平面与平面平行的判定方法
∵ ⊂ ⊄ ∴ ∥ ：
证法三：如图，取ＣＤ的中点Ｇ， 定义法 两个平面没有公共点．
（１） ：
连接ＡＧ，ＧＦ， 点Ｆ为ＤＥ的中点， 判定定理法 一个平面内的两条相交直线分别平行于另
∵ （２） ：
ＦＧ ＣＥ， 一个平面．
∴ ∥
ＦＧ 平面 ＢＣＥ，ＣＥ 平面 转化为线线平行 若平面α内的两条相交直线与平面β
∵ ⊄ ⊂ （３） ：
ＢＣＥ， ＦＧ 平面ＢＣＥ． 内的两条相交直线分别平行 则α β．
∴ ∥ ， ∥
ＡＢ ＣＤ，ＡＢ ＣＧ， 利用平行平面的传递性 若α β β γ 则α γ．
∵ ∥ ＝ （４） ： ∥ ， ∥ ， ∥
四边形 ＡＢＣＧ 是平行四边 垂直于同一条直线的两个平面平行．
∴ （５）
形， ＡＧ ＢＣ， 证明两个平面的法向量共线．
∴ ∥ （６）
ＡＧ 平面ＢＣＥ，ＢＣ 平面ＢＣＥ， ＡＧ 平面ＢＣＥ． 经典例题教师用书
∵ ⊄ ⊂ ∴ ∥
又ＦＧ ＡＧ Ｇ，ＦＧ 平面ＡＦＧ，ＡＧ 平面ＡＦＧ， 例 （２０１８ 江西南昌二中月考，１９）在直三棱柱 ＡＢＣ
∩ ＝ ⊂ ⊂ －
平面ＡＦＧ 平面ＢＣＥ． Ａ′Ｂ′Ｃ′中 ＢＡＣ ° ＡＢ ＡＣ ＡＡ′ 点Ｍ Ｎ分别为Ａ′Ｂ ∴ ∥ ，∠ ＝９０ ， ＝ ＝ ２， ＝１， ，
ＡＦ 平面ＡＦＧ， ＡＦ 平面ＢＣＥ． 和Ｂ′Ｃ′的中点．
∵ ⊂ ∴ ∥
方法总结 １．利用直线与平面平行的判定定理．使用该定 证明 ＭＮ 平面Ａ′ＡＣＣ′
（１） ： ∥ ；
理时 应注意定理成立时所满足的条件． 求三棱锥Ａ′ ＭＮＣ的体积．
， （２） －
２．利用面面平行的性质定理 把面面平行转化为线面平行．
，
已知直线在一平面之内 若两平面平行 则该平面内的
（１） ， ，
所有直线与另一平面无公共点 推得线面平行．
，
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解题导引
解析 （ ）证法一：连接ＡＢ′，ＡＣ′， 解析 （ ）证明：由题意得，ＤＤ ＢＢ ，ＤＤ ＢＢ ，
１ １ １∥ １ １＝ １
因为三棱柱ＡＢＣ Ａ′Ｂ′Ｃ′为直三棱柱，所以Ｍ为ＡＢ′的中点． 故四边形ＤＤ Ｂ Ｂ为平行四边形，所以Ｄ Ｂ ＤＢ．
－ １ １ １ １∥
又因为Ｎ为Ｂ′Ｃ′的中点，所以ＭＮ ＡＣ′，又ＭＮ 平面Ａ′ＡＣＣ′， 又Ｄ Ｂ 平面 ＡＤ Ｂ ，ＤＢ 平面 ＡＤ Ｂ ，所以 ＤＢ 平面
∥ ⊄ １ １⊂ １ １ ⊄ １ １ ∥
ＡＣ′ 平面Ａ′ＡＣＣ′，所以ＭＮ 平面Ａ′ＡＣＣ′．证法二：取Ａ′Ｂ′的中 ＡＤ Ｂ ． （ 分）
⊂ ∥ １ １ ２
点Ｐ，连接ＭＰ，ＮＰ．又因为Ｍ，Ｎ分别为Ａ′Ｂ和Ｂ′Ｃ′的中点，所以 由题意可知ＡＢ ＤＣ，Ｄ Ｃ ＤＣ，Ｍ为Ｄ Ｃ 的中点，则Ｄ Ｍ
∥ １ １∥ １ １ １
ＭＰ ＢＢ′，ＮＰ Ａ′Ｃ′，易知ＡＡ′ ＢＢ′，所以ＭＰ ＡＡ′． ＡＢ且Ｄ Ｍ ＡＢ ，所以四边形 ＡＢＭＤ 为平行四边形，所以
∥ ∥ ∥ ∥ ∥ １ ＝ ＝１ １
因为ＭＰ 平面Ａ′ＡＣＣ′，ＡＡ′ 平面Ａ′ＡＣＣ′， ＢＭ ＡＤ ．又ＢＭ 平面ＡＤ Ｂ ，ＡＤ 平面ＡＤ Ｂ ，所以ＢＭ 平
⊄ ⊂ ∥ １ ⊄ １ １ １⊂ １ １ ∥
所以ＭＰ 平面Ａ′ＡＣＣ′，同理，ＮＰ 平面Ａ′ＡＣＣ′． 面ＡＤ Ｂ ． （ 分）
∥ ∥ １ １ ４
又ＭＰ ＮＰ Ｐ，因此平面ＭＰＮ 平面Ａ′ＡＣＣ′． 又由于ＢＭ，ＢＤ相交，所以平面ＡＢ Ｄ 平面ＢＤＭ． （ 分）
∩ ＝ ∥ １ １∥ ６
又ＭＮ 平面ＭＰＮ，因此ＭＮ 平面Ａ′ＡＣＣ′． （ ）由题意，以Ｄ为坐标原点，分别以Ｄ→Ａ，Ｄ→Ｃ，Ｄ→Ｄ 方向为ｘ
⊂ ∥ ２ １
（ ）连接ＢＮ，由题意知Ａ′Ｎ Ｂ′Ｃ′，因为平面Ａ′Ｂ′Ｃ′ 平面 轴、ｙ轴、ｚ轴的正方向建立空间直角坐标系，则 Ｄ （ ， ， ），
２ ⊥ ∩ １ ０ ０ ４
Ｂ′ＢＣＣ′ Ｂ′Ｃ′，平面Ａ′Ｂ′Ｃ′ 平面Ｂ′ＢＣＣ′，
＝ ⊥ Ｃ（ ， ， ），Ａ（ ， ， ），Ｂ（ ， ， ）．则Ａ→Ｄ （ ， ， ），Ａ→Ｂ （ ，
０ ２ ０ １ ０ ０ １ １ １ ４ １＝ －１ ０ ４ １＝ ０
所以Ａ′Ｎ 平面ＮＢＣ．又Ａ′Ｎ １ Ｂ′Ｃ′ ， ， ）．
⊥ ＝ ＝１ １ ４
２ {Ａ→Ｄ ·ｎ ，
故Ｖ Ｖ １ Ｖ １ Ｖ １ ． 设平面ＡＢ Ｄ 的法向量为ｎ （ｘ，ｙ，ｚ），则有 １ ＝０ 即
Ａ′ － ＭＮＣ＝ Ｎ － Ａ′ＭＣ＝ Ｎ － Ａ′ＢＣ＝ Ａ′ － ＮＢＣ＝ １ １ ＝ Ａ→Ｂ ·ｎ ，
２ ２ ６ １ ＝０
例 （２０１９ 吉林长春四模，１８） 已知四棱柱 ＡＢＣＤ { ｘ ｚ ，
－ － ＋４ ＝０ 令ｚ ，则ｎ （ ， ， ）， （ 分）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ＤＤ 平面 ＡＢＣＤ ＡＤ ＤＣ ＡＤ ＡＢ ＤＣ ＡＤ ｙ ｚ ． ＝１ ＝ ４ －４ １ ９
１ １ １ １ ， １⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ＝２ ＝ ＋４ ＝０
ＡＢ ＡＡ 点Ｍ为Ｃ Ｄ 的中点．
２ ＝２， 求 １ 证 ＝４ 平 ， 面ＡＢ Ｄ １ 平 １ 面ＢＤＭ 又Ｃ→Ｄ １＝ （ ０ ， －２ ， ４ ）， （ １０ 分）
（１） 求直线 ： ＣＤ 与 １ 平 １ 面 ∥ ＡＢ Ｄ 所成 ； 角的正弦值． 设直线 ＣＤ １ 与平面 ＡＢ １ Ｄ １ 所成的角为 θ，则 ｓｉｎ θ ＝
（２） １ １ １ Ｃ→Ｄ ·ｎ
１ ２ １６５． （ 分）
｜
Ｃ→Ｄ
１｜
·
｜
ｎ
｜
＝
５５
１２
