文档内容
考点 17 点、直线、平面之间的位置关系（核心考点讲与练）
一、 空间中的平行关系
1.平行直线
(1)平行公理
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
(2)基本性质4(空间平行线的传递性)
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(3)定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
平面外一条直线与此
a⊄α，b α，
平面内的一条直线平
判定定理
行，则该直线平行于
a∥b a∥α
⊂
此平面
⇒
一条直线和一个平面
a∥α，a β，
平行，则过这条直线
性质定理
的任一平面与此平面
α∩β＝b a∥b
⊂
的交线与该直线平行
⇒
3.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
一个平面内的两条相
a α，b α，a∩b＝P，
交直线与另一个平面
判定定理
平行，则这两个平面
a∥β，b∥β α∥β
⊂ ⊂
平行
⇒
两个平面平行，则其
性质定理 中一个平面内的直线 α∥β，a α a∥β
平行于另一个平面
⊂ ⇒如果两个平行平面同
α∥β，α∩γ＝a，
时和第三个平面相
交，那么它们的交线 β∩γ＝b a∥b
平行
⇒
二、空间中的垂直关系
1.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这
个平面互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与平面内的两条
判定定理 相交直线垂直，则这条直线与 l⊥α
这个平面垂直
⇒
如果在两条平行直线中，有一
推论1 条垂直于平面，那么另一条直 b⊥α
线也垂直于这个平面
⇒
如果两条直线垂直于同一个平
推论2 a∥b
面，那么这两条直线平行
⇒
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它
们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条
射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线 互相垂 直 ，就
称这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言如果一个平面过另一个平面的
判定定理 一条垂线，则这两个平面互相 α⊥β
垂直
⇒
如果两个平面互相垂直，那么
性质定理 在一个平面内垂直于它们交线 l⊥α
的直线垂直于另一个平面
⇒
1.异面直线的判定方法
2.求异面直线所成的角的三步曲
3．线面平行的证明方法
（1）定义法：一般用反证法；
（2）判定定理法：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过
程；
（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．
4．构造平行直线的常用方法
（1）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角
线的交点找中点，从而构建中位线；
（2）构建平行四边形：可以利用已知的平行关系(如梯形的上下底边平行)或构建平行关系(如构造两条直
线同时平行于已知直线)，从而构建平行四边形．应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行，
还可以利用交线判断已知平面内的直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有和交线平行的直线都
与已知直线平行，所有和交线相交的直线都与已知直线异面．
5.判定平面与平面平行的4种方法
（1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
（2）面面平行的判定定理(主要方法)；
（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
（4）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线
的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．
6.证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平
行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质． ⇒
7.利用判定定理证明平⇒面与平面垂直的一般方法
先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂
线不存在，则需通过作辅助线来证明
空间两直线位置关系的判定
1.（2021重庆市缙云教育联盟高三上学期9月月度质量检测）已知直线 ，平面 ， ，那么“
”是“ ”（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
求异面直线所成的角
1. (2021山东临沂模拟)如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异
面直线AP与BD所成的角为________．2.（2022河南省十所名校高三）如图，圆锥的底面直径 ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦
，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
1.（2021海南省三亚华侨学校高三10月月考）正方体ABCD－ABC D 中，E、F分别是BB，CC 的中点，
1 1 1 1 1 1
（1）证明：直线AE//平面DCC D
1 1
（2）求异面直线AE和BF所成角的余弦值.
2.（2022年高考数学一轮复习讲练测）如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，
EF的中点．求证：（1）BE∥平面DMF；
（2）平面BDE∥平面MNG.
直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
1.（2022河南省联考高三核心模拟卷）在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ， ， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积2.（2022年高考数学一轮复习考点微专题）如图所示，在四边形 中，
，将 沿 折起，使得平面 平面 ，
构成四面体 ，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
3.（2022年高考数学一轮复习讲练测）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，
∠BAD=90°．将 ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD．
△
求证：（1）CD⊥平面PBD．
（2）平面PBC⊥平面PDC．
平行与垂直的综合问题1. 如图，直三棱柱ABC﹣ABC 中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是BC，AB 的中点．
1 1 1 1
（1）证明：DE∥平面ACC A；
1 1
（2）若BB＝1，证明：C D⊥平面ADE．
1 1
1.（2019年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ））
设 ， 为两个平面，则 的充要条件是
A. 内有无数条直线与 平行
B. 内有两条相交直线与 平行
C. ， 平行于同一条直线
D. ， 垂直于同一平面
2.（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，点 为正方形 的中心，
为正三角形，平面 平面 是线段 的中点，则A. ，且直线 是相交直线
B. ，且直线 是相交直线
C. ，且直线 是异面直线
D. ，且直线 是异面直线
3.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
M为 的中点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ，求四棱锥 的体积．
一、单选题
1．（2022·山东聊城·二模）已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线 是底面所在平面内的一条直线，
则该直线 与母线所成的角的余弦值的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京丰台·二模）已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面 ， ，则下列结论中正确的是
（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
3．（2022·重庆八中模拟预测）已知三个平面 ， ， ，其中 ， ， ，且
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．b，c是异面直线 B． C． D．a与c没有公共点4．（2022·江西·二模（理））已知平面四边形ABCD中， ，现沿BD进
行翻折，使得A到达 的位置，连接 ，此时二面角 为150°，则四面体 外接球的半
径为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江西景德镇·三模（理））已知正方体 的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动
点，E、F分别是棱 、棱 的中点．若 平面BEF，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河北秦皇岛·二模）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
分别是 ， 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖南永州·三模）中国古代数学瑰宝《九章算术》记录形似“楔体”的“羡除”．所谓“羡除”，
就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形），两个不平行对面是三角形的五面体．如图，在羡除 中，四边形 是边长为2的正方形， ， 均为正三角形，
平面 ，且 ，则羡除 的体积为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·浙江嘉兴·二模）如图，已知正方体 的棱长为 ，则下列结论中正确的是
（ ）
①若 是直线 上的动点，则 平面
②若 是直线 上的动点，则三棱锥 的体积为定值
③平面 与平面 所成的锐二面角的大小为
④若 是直线 上的动点，则
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④二、多选题
9．（2022·辽宁葫芦岛·一模）如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满
足 平面ABC的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·辽宁沈阳·二模）在四棱锥 中，底面ABCD为梯形， ，则（ ）
A．平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
B．平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
C．平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行
D．平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行
11．（2022·广东惠州·一模）近年来，纳米晶的多项技术和方法在水软化领域均有重要应用.纳米晶体结构
众多，下图是一种纳米晶的结构示意图，其是由正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱
长均为n的几何体，则下列说法正确的有（ ）
A．该结构的纳米晶个体的表面积为
B．该结构的纳米晶个体的体积为
C．该结构的纳米晶个体外接球的表面积为D．二面角A−AA−B 的余弦值为
1 2 3 3
12．（2022·辽宁锦州·一模）如图，在直四棱柱 中， ， ， ，
，点P，Q，R分别在棱 ， ， 上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论正
确的是（ ）
A．任意点P，都有
B．存在点P，使得四边形APQR为平行四边形
C．存在点P，使得 平面APQR
D．存在点P，使得△APR为等腰直角三角形
13．（2022·江苏南通·模拟预测）已知正四棱柱ABCD－ABC D 的底面边为1，侧棱长为a，M是CC 的
1 1 1 1 1
中点，则（ ）
A．任意a＞0，AM⊥BD
1
B．存在a＞0，直线AC 与直线BM相交
1 1
C．平面ABM与底面ABC D 交线长为定值
1 1 1 1 1
D．当a＝2时，三棱锥B－ABM外接球表面积为3π
1 1
14．（2022·江苏泰州·模拟预测）在正四棱锥 中，点 分别是棱 上的点，且
， ， ，其中 ，则（ ）
A．当 时，平面 平面
B．当 ， ， 时， 平面C．当 ， ， 时，点 平面
D．当 ， 时，存在 ，使得平面 平面
15．（2022·广东广州·二模）如图，圆柱的轴截面 是正方形，E在底面圆周上， ，
F是垂足，G在BD上， ，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．直线 与直线 所成角的余弦值为
C．直线 与平面 所成角的余弦值为 ．
D．若平面 平面 ，则
16．（2022·广东茂名·二模）棱长为4的正方体 中，E，F分别为棱 ， 的中点
，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．当 时，平面 截正方体所得截面的周长为
C．直线FG与平面 所成角的正切值的取值范围是D．当 时，三棱锥 的外接球的表面积为
三、解答题
17．（2022·青海西宁·一模（文））如图，四棱锥 中 ， ， ，
平面CDP，E为PC中点．
(1)证明： 平面PAD；
(2)若 平面PAD， ，求三棱锥 的体积．
18．（2022·甘肃兰州·一模（理））已知四棱锥 中，底面 为菱形，点E为校PC上一点
（与P､C不重合），点M､N分别在棱PD､PB上，平面 平面 .
(1)求证： 平面 ；(2)若 为 中点， ， ， ，求二面角 的正弦值.
19．（2022·海南海口·模拟预测）如图所示的几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，两个锥体的底
面在同一平面内，BC是半圆锥底面的直径，D在底面半圆弧上，且 ，△ABC是等边三角形．
(1)证明： 平面SAC；
(2)若BC＝2， ，求直线CD与平面SAB所成角的正弦值．
20．（2022·山东潍坊·二模）如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点， ，
，PA⊥底面ABC，M是PB上的动点，且 ，N是PC的中点．(1)若 时，记平面AMN与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PBC的位置关系，并加以证明；
(2)若平面PBC与平面ABC所成的角为 ，点M到平面PAC的距离是 ，求 的值．
21．（2022·山东聊城·二模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， 是等边
三角形， ．
(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)若二面角 为30°， ，求直线 与平面 所成的角的正弦值．
22．（2022·江西·二模（理））如图所示，在多面体ABCDFE中，AB CD EF，平面
ABCD 平面ABEF，AB AD=AF 2EF 2CD，∠CDA ∠AFE 90°，M，N分别为线段BE，CE的中点.(1)求证：FA MN；
(2)求平面BDF与平面BEF所成锐二面角的余弦值.
