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第十九讲：直线、平面平行的判定与性质
【考点梳理】
1、直线、平面平行判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
平面外一条直线与此平面
a⊄α，b⊂α，
判定定理 内的一条直线平行，则该
a∥b⇒a∥α
直线平行于此平面
一条直线和一个平面平
行，则过这条直线的任一 a∥α，a⊂β，
性质定理
平面与此平面的交线与该 α∩β＝b⇒a∥b
直线平行
2. 平面与平面平行判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
一个平面内的两条相
a⊂α，b⊂α，
交直线与另一个平面
判定定理 a∩b＝P，a∥β，
平行，则这两个平面
b∥β⇒α∥β
平行
两个平面平行，则其
α∥β，
性质定理1 中一个平面内的直线
a⊂α⇒a∥β
平行于另一个平面
如果两个平行平面同
时和第三个平面相 α∥β，α∩γ＝a，
性质定理2
交，那么它们的交线 β∩γ＝b⇒a∥b
平行
【典型题型讲解】
考点一：线面平行的判定及性质
【典例例题】
例1．（2022·广东佛山·高三期末）如图，四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，
，E是 的中点.
在线段 上找一点M，使得直线 平面 ，并说明理由；
例2.如图，在三棱锥 中， 和 均是边长为4的等边三角形． 是棱 上的点，，过 的平面 与直线 垂直，且平面 平面 ．
在图中画出 ，写出画法并说明理由；
【方法技巧与总结】
（1）可以拿一把直尺放在这条直线 位置（与 平齐），
（2）然后把直尺平行往平行平面 方向移动，直到直尺第一次落在平面 内停止，画出这条直线，
寻找是中位线或者平行四边形证明线线平行.
【变式训练】
1．（2022·广东·金山中学高三期末）如图，四棱锥 的底面 为直角梯形， ，且
为等边三角形，平面 平面 ；点 分别为 的中点．
证明： 平面 ；
2．（2022·广东揭阳·高三期末）如图，在四棱锥 中，底面 为梯形，，平面 平面 为棱 上的点，且 .
求证： 平面 ；
3．（2022·广东潮州·高三期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD， ，
，点E，F分别为CD，AP的中点．
(1)证明:PC//平面BEF；4.如图， ，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O
的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D， ， ， 为圆台的母线， ．
证明； 平面 ；
5．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台 中， ， ，四边
形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点．
求证： 平面 ；6.在如图1所示的等腰梯形 中， ，将它沿着两条高 折叠成如图2
所示的四棱锥 （ 重合），点 分别为线段 的中点．
证明： 平面 ；
7.如图所示，四棱锥 的底面 是直角梯形， ， 底
面 ，过 的平面交 于 ，交 于 （ 与 不重合）．求证： ；8.如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径 ，母线 ，M是PB的中
点，四边形OBCH为正方形．
设平面 平面 ，证明： ；
【典型题型讲解】
考点二：面面平行的判定和性质
【典例例题】
例1.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．
证明：平面BMN∥平面PCD；例2.四棱锥 的底面 是边长为2的菱形， ， 底面 ， ， ，
分别是 ， 的中点．
已知 ，若平面 平面 ，求 的值；
【方法技巧与总结】
证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于
这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
面面平行的定义可以推出线面平行，面面平行性质可以推出线线平行.
【变式训练】
1.在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为 ，点 ，
分别是棱 ， 的中点．求证：平面 平面 ．2.如图，在四棱柱 中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱 ， ， 的中
点．
证明：平面 平面 ；
3.如图，在正方体 中，E，F分别为棱 的中点．
求证：平面 平面BDF；4.在长方体 中， ，P为 的中点．
已知过点 的平面 与平面 平行，平面 与直线 分别相交于点M，N，请确定点M，N
的位置；
5.如图，在直棱柱 中，点E，F分别为 ，BC的中点，点G是线段AF上的动点．
确定点G的位置，使得平面 平面 ，并给予证明；6.如图，在直棱柱 中，点E，F分别为 ，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点
G的位置，使得平面 平面 ，并给予证明
【巩固练习】
1．已知长方体 中， ， ， ， 分别为棱 和 的中点， 为
长方体表面上任意一点．若 平面 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
2．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形 为正方形， 分别为 的中点，在此几何
体中，下面结论错误的是（ ）A．直线 与直线 异面 B．直线 与直线 异面
C．直线 平面 D．直线 平面
3．如图，在棱长为1的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内一动点（含
边界），若 平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点E，F分别是正方体ABCD－A B C D 的棱AB，AA 的中点，点M，N分别是线段D E与C F
1 1 1 1 1 1 1
上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
二、多选题
5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四
个正方体中，直线 与平面 平行的是（ ）A． B．
C． D．
三、填空题
6．三棱锥 中， ，过线段 中点E作平面 与直线 、 都平行，且分别交
、 、 于F、G、H，则四边形 的周长为_________．
7．如图所示， 为平行四边形 所在平面外一点， 为 的中点， 为 上一点，若 平面
，则 _______
四、解答题
8．如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ，
M，N分别为 ，AC的中点．求证： 平面 ；9．如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，直线 平面 ， 分别是 ， 的
中点．记平面 与平面 的交线为 ，求证：直线 平面
10.如图，直三棱锥 中， ， ， 是 边的中点，过
作截面交 于点 ．求证： ；11.如图，在正方体 中，点E在棱 上，且 ，点F是棱 上的一个动点．点
F在什么位置时， 平面 ，并说明理由．12.如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，点 为线段 上
的点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且在线段 上存在一点 ，使得 平面 ．请确定点 的位置．并证明
你的结论．
