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§7.4 空间直线、平面的平行
考试要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平
判定
面内的一条直线平行，那么 ⇒a∥α
定理
该直线与此平面平行
一条直线与一个平面平行，
性质 如果过该直线的平面与此平
⇒a∥b
定理 面相交，那么该直线与交线
平行
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直
判定
线与另一个平面平行，那么这
定理 ⇒β∥α
两个平面平行
两个平面平行，如果另一个平
性质
面与这两个平面相交，那么两
定理 ⇒a∥b
条交线平行
常用结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( × )(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
教材改编题
1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )
A．直线a上有无数个点不在平面α内
B．直线a与平面α内的所有直线平行
C．直线a与平面α内无数条直线不相交
D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
答案 D
解析 因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都
不相交．
2．已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是( )
A．若a∥α，b⊂α，则a∥b
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b⊂α，则a∥α
D．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α
答案 D
解析 若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，A错；
若a∥α，b∥α，则a∥b或异面或相交，B错；
若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错；
若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对．
3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为
______．
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中
点，求证：
(1)PB∥平面ACF；(2)EF∥平面PAB.
证明 (1)如图，连接BD交AC于O，连接OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，
又∵F是PD的中点，∴OF∥PB，
又∵OF⊂平面ACF，PB⊄平面ACF，
∴PB∥平面ACF.
(2)取PA的中点G，连接GF，BG.
∵F是PD的中点，
∴GF是△PAD的中位线，
∴GF綉AD，
∵底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点，
∴BE綉AD，∴GF綉BE，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF∥BG，
又∵EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，
在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
教师备选
如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点
F，求证：四边形BCFE是梯形．
证明 ∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD.
∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形．思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面
确定交线．
跟踪训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF
的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证
明你的结论．
(1)证明 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，
所以AM∥OE.
又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)解 l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－ABC 中，过BC的平面与上底面ABC 交于GH(GH与
1 1 1 1 1 1
BC 不重合)．
1 1
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，AB 的中点，求证：平面EFA∥平面BCHG.
1 1 1
证明 (1)∵在三棱柱ABC－ABC 中，
1 1 1
∴平面ABC∥平面ABC ，
1 1 1
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面ABC ＝HG，
1 1 1
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为AB，AB的中点，AB 綉AB，
1 1 1 1
∴AG綉EB，
1
∴四边形AEBG是平行四边形，∴AE∥GB.
1 1
∵AE⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
1
∴AE∥平面BCHG.
1
又∵AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面EFA，
1 1 1
∴平面EFA∥平面BCHG.
1
延伸探究 在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，AB 的中点”变为“点D，D
1 1 1
分别是AC，AC 上的点，且平面BC D∥平面ABD”，试求的值．
1 1 1 1 1
解 如图，连接AB交AB 于O，连接OD .
1 1 1
由平面BC D∥平面ABD，
1 1 1
且平面ABC ∩平面BC D＝BC ，
1 1 1 1平面ABC ∩平面ABD＝DO，
1 1 1 1 1
所以BC ∥DO，则＝＝1.
1 1
又由题设＝，
所以＝1，即＝1.
教师备选
如图，在三棱柱ABC－ABC 中，E，F，G分别为BC ，AB，AB的中点．
1 1 1 1 1 1 1
(1)求证：平面AC G∥平面BEF；
1 1
(2)若平面AC G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
1 1
证明 (1)∵E，F分别为BC ，AB 的中点，
1 1 1 1
∴EF∥AC ，
1 1
∵AC ⊂平面AC G，EF⊄平面AC G，
1 1 1 1 1 1
∴EF∥平面AC G，
1 1
又F，G分别为AB，AB的中点，
1 1
∴AF＝BG，
1
又AF∥BG，
1
∴四边形AGBF为平行四边形，
1
则BF∥AG，
1
∵AG⊂平面AC G，BF⊄平面AC G，
1 1 1 1 1
∴BF∥平面AC G，
1 1
又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，
∴平面AC G∥平面BEF.
1 1
(2)∵平面ABC∥平面ABC ，平面AC G∩平面ABC ＝AC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面AC G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，
1 1
则AC ∥GH，得GH∥AC，
1 1
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
思维升华 证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，
β∥γ⇒α∥γ)．
跟踪训练2 如图，四棱柱ABCD－ABC D 的底面ABCD是正方形．
1 1 1 1
(1)证明：平面ABD∥平面CDB；
1 1 1
(2)若平面ABCD∩平面CDB＝直线l，证明：BD∥l.
1 1 1 1
证明 (1)由题设知BB 綉DD ，所以四边形BBDD是平行四边形，所以BD∥BD.
1 1 1 1 1 1
又BD⊄平面CDB，BD⊂平面CDB，
1 1 1 1 1 1
所以BD∥平面CDB.
1 1
因为AD 綉BC 綉BC，
1 1 1 1
所以四边形ABCD 是平行四边形，
1 1
所以AB∥DC.
1 1
又AB⊄平面CDB，DC⊂平面CDB，
1 1 1 1 1 1
所以AB∥平面CDB.
1 1 1
又因为BD∩AB＝B，BD，AB⊂平面ABD，
1 1 1
所以平面ABD∥平面CDB.
1 1 1
(2)由(1)知平面ABD∥平面CDB，
1 1 1
又平面ABCD∩平面CDB＝直线l，
1 1
平面ABCD∩平面ABD＝直线BD，
1
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD－ABC D 中，四边形BDD B 为平行四边形，
1 1 1 1 1 1
所以BD∥BD，所以BD∥l.
1 1 1 1
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图，在正方体ABCD－ABC D 中，P，Q分别为对角线BD，CD 上的点，且＝＝.
1 1 1 1 1
(1)求证：PQ∥平面ADDA；
1 1(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面ADDA？请给出证明．
1 1
(1)证明 连接CP并延长，与DA的延长线交于M点，如图，连接MD ，因为四边形ABCD
1
为正方形，
所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，
所以＝＝，
又因为＝＝，
所以＝＝，
所以PQ∥MD .
1
又MD ⊂平面ADDA，PQ⊄平面ADDA，
1 1 1 1 1
故PQ∥平面ADDA.
1 1
(2)解 当的值为时，能使平面PQR∥平面ADDA.如图，
1 1
证明如下：
因为＝，
即＝，
故＝.
所以PR∥DA.
又DA⊂平面ADDA，PR⊄平面ADDA，
1 1 1 1
所以PR∥平面ADDA，
1 1
又PQ∥平面ADDA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，
1 1
所以平面PQR∥平面ADDA.
1 1
教师备选
如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求
证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
思维升华 证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题
的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
跟踪训练3 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边
形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，
平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，
又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
(2)解 设EF＝x(0<x<4)，
由(1)知EF∥AB，
∴＝＝，
与(1)同理可得CD∥FG，
∴＝，
则＝＝＝1－，
∴FG＝6－x.
∴四边形EFGH的周长
L＝2＝12－x.
又∵0<x<4，∴8<L<12，
故四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
课时精练
1．(2022·宁波模拟)下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α
答案 D
解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能
相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．
2．(2022·呼和浩特模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一
个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
答案 D
解析 对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不正确；
对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不正确；
对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不正确；
对于D，如图，在直线b上取点B，过点B和直线a确定一个平面γ，交平面β于a′，
因为a∥β，所以a∥a′，
又a′⊄α，a⊂α，所以a′∥α，
又因为b∥α，b∩a′＝B，b⊂β，a′⊂β，所以β∥α.
3．(2022·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AM＝2MA ，BN＝2NB ，过MN作一
1 1 1 1 1
平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥EB
B．AB∥NE
1 1
C．四边形MNEF为平行四边形
D．四边形MNEF为梯形
答案 D
解析 由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，
故A错误；
由于B ，N，E三点共面，B∈平面BNE，A∉平面BNE，故AB ，NE为异面直线，故B
1 1 1 1 1 1 1
错误；
∵在平行四边形AABB中，AM＝2MA ，
1 1 1
BN＝2NB ，
1
∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，
∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，
∴MN∥EF，∴EF∥AB，
显然在△ABC中，EF≠AB，
∴EF≠MN，
∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．
4．(2022·杭州模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，
PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S ∶S 等于( )
△A′B′C′ △ABC
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
答案 D
解析 ∵平面α∥平面ABC，
∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，
∴S ∶S ＝(PA′∶PA)2，
△A′B′C′ △ABC
又PA′∶AA′＝2∶3，
∴PA′∶PA＝2∶5，
∴S ∶S ＝4∶25.
△A′B′C′ △ABC
5．(多选)(2022·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，
F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是( )答案 AC
解析 对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，
DE⊂平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；
对于B，如图，取正方体所在棱的中点G，连接FG并延长，交AB延长线于H，则AB与平
面DEF相交于点H，故B错误；
对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B，DF与该对角线平行，
∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．
6．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－ABC D 内灌进一些水，固定容器一边
1 1 1 1
AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是(
)
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜程度的不同，AC 始终与水面所在平面平行
1 1
D．当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值
答案 AD
解析 根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的
公共边都互相平行)，结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持
不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为AC ∥AC，AC⊂平面ABCD，
1 1
AC ⊄平面ABCD，所以AC ∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，AC 不
1 1 1 1 1 1平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，
所以棱柱AEH－BFG的体积V为定值，又V＝S ·AB，高AB不变，所以S 也不变，即
△AEH △AEH
AE·AH为定值，故D正确．
7．考查①②两个命题，①⇒l∥α；②⇒l∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可
以使其构成真命题(其中l，m为直线，α为平面)，则此条件为__________．
答案 l⊄α
解析 ①由线面平行的判定定理知l⊄α；②由线面平行的判定定理知l⊄α.
8.如图所示，在正四棱柱ABCD—ABC D 中，E，F，G，H分别是棱CC ，C D ，DD，
1 1 1 1 1 1 1 1
DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件
______，就有MN∥平面BBDD .(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可
1 1
能情况)
答案 点M在线段FH上(或点M与点H重合)
解析 连接HN，FH，FN(图略)，
则FH∥DD ，HN∥BD，
1
∴平面FHN∥平面BBDD ，只需M∈FH，
1 1
则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面BBDD .
1 1
9．如图，在正方体ABCD－ABC D 中，E，F，G，H分别是BC，CC ，C D ，AA 的中点，
1 1 1 1 1 1 1 1
求证：
(1)BF∥HD ；
1
(2)EG∥平面BBDD；
1 1
(3)平面BDF∥平面BDH.
1 1
证明 如图．(1)取BB的中点M，
1
连接HM，MC ，易证四边形HMC D 是平行四边形，
1 1 1
∴HD ∥MC .
1 1
又MC ∥BF，
1
∴BF∥HD .
1
(2)取BD的中点O，连接OE，OD ，
1
则OE綉DC.
又DG綉DC，
1
∴OE綉DG.
1
∴四边形OEGD 是平行四边形，
1
∴EG∥DO.
1
又DO 平面BBDD，EG⊄平面BBDD，
1 1 1 1 1
∴EG∥ ⊂平面BB
1
D
1
D.
(3)由(1)知BF∥HD ，由题意易证BD∥BD.
1 1 1
又BD，HD 平面BDH，BF，BD 平面BDF，且BD∩HD ＝D，DB∩BF＝B，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴平面BDF∥ ⊂平面B 1 D 1 H. ⊂
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，
PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明 (1)如图，连接EC，
因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BC∥AE，BC＝AE，
所以四边形ABCE是平行四边形，
所以O为AC的中点．
又因为F是PC的中点，
所以FO∥AP，因为FO 平面BEF，
AP⊄平面⊂BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，
所以FH∥PD，
因为PD 平面PAD，FH⊄平面PAD，
所以FH⊂ ∥平面PAD.
又因为O是BE的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，
因为AD 平面PAD，OH⊄平面PAD，
所以OH⊂ ∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，FH，OH 平面OHF，
所以平面OHF∥平面PAD.⊂
又因为GH 平面OHF，
所以GH∥ ⊂平面PAD.
11．(多选)已知α，β是两个平面，m，n是两条直线．下列命题正确的是( )
A．如果m∥n，n⊂α，那么m∥α
B．如果m∥α，m⊂β，α∩β＝n，那么m∥n
C．如果α∥β，m⊂α，那么m∥β
D．如果α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，那么m⊥β
答案 BC
解析 如果m∥n，n⊂α，那么m∥α或m⊂α，故A不正确；
如果m∥α，m⊂β，α∩β＝n，那么m∥n，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故B
正确；
如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故C正确；
缺少m⊂α这个条件，故D不正确．
12．(2022·福州检测)如图所示，正方体ABCD－ABC D 中，点E，F，G，P，Q分别为棱
1 1 1 1
AB，C D，DA，DD，C C的中点，则下列叙述中正确的是( )
1 1 1 1 1 1A．直线BQ∥平面EFG
B．直线AB∥平面EFG
1
C．平面APC∥平面EFG
D．平面ABQ∥平面EFG
1
答案 B
解析 过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA ，BC的中点)，连接AB，BQ，AP，
1 1
PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；
∵AB∥HE，AB⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，
1 1
∴AB∥平面EFG，故B正确；
1
AP⊂平面ADD A，HG⊂平面ADD A，延长HG与PA必相交，故C错误；
1 1 1 1
易知平面ABQ与平面EFG有交点Q，故D错误．
1
13．(多选)(2022·临沂模拟)如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点(不含端点)，
将△ABE沿AE翻折，使得二面角 B－AE－D为直二面角，得到图 2所示的四棱锥 B－
AECD，点F为线段BD上的动点(不含端点)，则在四棱锥B－AECD中，下列说法正确的有(
)
图1 图2
A．B，E，C，F四点不共面
B．存在点F，使得CF∥平面BAE
C．三棱锥B－ADC的体积为定值
D．存在点E使得直线BE与直线CD垂直
答案 AB
解析 对于A，假设直线BE与直线CF在同一平面上，所以E在平面BCF上，又因为E在折前线段BC上，BC∩平面BCF＝C，所以E与C重合，与E异于C矛盾，
所以直线BE与直线CF必不在同一平面上，即B，E，C，F四点不共面，故A正确；
对于B，如图，当点F为线段BD的中点，
EC＝AD时，直线CF∥平面BAE，证明如下：
取AB的中点G，连接GE，GF，
则EC∥FG且EC＝FG，
所以四边形ECFG为平行四边形，
所以FC∥EG，又因为EG⊂平面BAE，
则直线CF与平面BAE平行，故B正确；
对于C，在三棱锥B－ADC中，因为点E的移动会导致点B到平面ACD的距离发生变化，
所以三棱锥B－ADC的体积不是定值，故C不正确；
对于D，过D作DH⊥AE于H，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，
所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE，
若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH⊂平面AECD，
且DC⊂平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，
与△ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直，故D
不正确．
14．如图，在长方体ABCD－ABC D 中，AD＝DD ＝1，AB＝，E，F，G分别是AB，
1 1 1 1 1
BC，C D 的中点，点P在平面ABCD内，若直线DP∥平面EFG，则线段DP长度的最小
1 1 1 1
值是________．
答案
解析 如图，连接DA，AC，DC.
1 1
因为E，F，G分别为AB，BC，C D 的中点，
1 1所以AC∥EF，又EF⊄平面ACD ，AC⊂平面ACD ，
1 1
则EF∥平面ACD .
1
同理可得EG∥平面ACD ，又EF∩EG＝E，
1
EF，EG⊂平面EFG，
所以平面ACD ∥平面EFG.
1
因为直线DP∥平面EFG，
1
所以点P在直线AC上．
在△ACD 中，易得AD＝，AC＝2，CD＝2，
1 1 1
所以 ＝××＝，
故当DP⊥AC时，线段DP的长度最小，最小值为＝.
1 1
15．(2022·合肥市第一中学模拟)正方体ABCD－ABC D 的棱长为1，点M，N分别是棱
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BC，CC 的中点，动点P在正方形BCC B(包括边界)内运动，且PA∥平面AMN，则PA 的
1 1 1 1 1
长度范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 取BC 的中点E，BB 的中点F，连接AE，AF，EF，
1 1 1 1 1
取EF的中点O，连接AO，如图所示，
1
∵点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中棱BC，CC 的中点，
1 1 1 1 1
∴AM∥AE，MN∥EF，
1
∵AM∩MN＝M，AE∩EF＝E，AM，MN⊂平面AMN，AE，EF⊂平面AEF，
1 1 1
∴平面AMN∥平面AEF，
1
∵动点P在正方形BCC B(包括边界)内运动，
1 1
且PA∥平面AMN，
1
∴点P的轨迹是线段EF，
∵AE＝AF＝＝，
1 1
EF＝＝，∴AO⊥EF，
1
∴当P与O重合时，PA 的长度取最小值AO，
1 1
AO＝＝，
1
当P与E(或F)重合时，PA 的长度取最大值AE或AF，AE＝AF＝.
1 1 1 1 1
∴PA 的长度范围为.
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16．如图，正方体ABCD－ABC D 中，棱长为a，M，N分别为AB ，AC 上的点，AN＝
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AM.
(1)求证：MN∥平面BBC C；
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(2)求MN的最小值．
(1)证明 如图，作NE∥AB 交BC 于点E，作MF∥AB交BB 于点F，连接EF，
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则NE∥MF.
∵NE∥AB，∴＝.
1 1
又MF∥AB，∴＝，
∵AC ＝AB，AN＝AM，
1 1 1 1
∴C N＝BM.
1 1
∴＝，
又AB＝AB，∴NE＝MF.
1 1
∴四边形MNEF是平行四边形，∴MN∥EF，
又MN⊄平面BBC C，EF 平面BBC C，
1 1 1 1
∴MN∥平面BB 1 C 1 C. ⊂
(2)解 设BE＝x，∵NE∥AB，
1 1 1
∴＝.
又∵MF∥AB，∴＝，
∵AN＝AM，AC ＝AB＝a，
1 1 1 1
BC ＝BB＝a，BE＝x，
1 1 1 1∴＋＝＋，
∴＋＝1，
∴BF＝a－x，
1
从而MN＝EF＝
＝
＝，
∴当x＝时，MN的最小值为a.
