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§7.4 空间直线、平面的平行
考试要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平
判定
面内的一条直线平行，那么 ⇒a∥α
定理
该直线与此平面平行
一条直线与一个平面平行，
性质 如果过该直线的平面与此平
⇒a∥b
定理 面相交，那么该直线与交线
平行
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直
判定
线与另一个平面平行，那么这
定理 ⇒β∥α
两个平面平行
两个平面平行，如果另一个平
性质
面与这两个平面相交，那么两
定理 ⇒a∥b
条交线平行
常用结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( × )(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
教材改编题
1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )
A．直线a上有无数个点不在平面α内
B．直线a与平面α内的所有直线平行
C．直线a与平面α内无数条直线不相交
D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
答案 D
解析 因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都
不相交．
2．已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是( )
A．若a∥α，b⊂α，则a∥b
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b⊂α，则a∥α
D．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α
答案 D
解析 若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，A错；
若a∥α，b∥α，则a∥b或异面或相交，B错；
若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错；
若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对．
3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为
______．
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中
点，求证：
(1)PB∥平面ACF；(2)EF∥平面PAB.
证明 (1)如图，连接BD交AC于O，连接OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，
又∵F是PD的中点，∴OF∥PB，
又∵OF⊂平面ACF，PB⊄平面ACF，
∴PB∥平面ACF.
(2)取PA的中点G，连接GF，BG.
∵F是PD的中点，
∴GF是△PAD的中位线，
∴GF綉AD，
∵底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点，
∴BE綉AD，∴GF綉BE，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF∥BG，
又∵EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，
在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
教师备选
如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点
F，求证：四边形BCFE是梯形．
证明 ∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD.
∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形．思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面
确定交线．
跟踪训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF
的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证
明你的结论．
(1)证明 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，
所以AM∥OE.
又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)解 l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－ABC 中，过BC的平面与上底面ABC 交于GH(GH与
1 1 1 1 1 1
BC 不重合)．
1 1
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，AB 的中点，求证：平面EFA∥平面BCHG.
1 1 1
证明 (1)∵在三棱柱ABC－ABC 中，
1 1 1
∴平面ABC∥平面ABC ，
1 1 1
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面ABC ＝HG，
1 1 1
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为AB，AB的中点，AB 綉AB，
1 1 1 1
∴AG綉EB，
1
∴四边形AEBG是平行四边形，∴AE∥GB.
1 1
∵AE⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
1
∴AE∥平面BCHG.
1
又∵AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面EFA，
1 1 1
∴平面EFA∥平面BCHG.
1
延伸探究 在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，AB 的中点”变为“点D，D
1 1 1
分别是AC，AC 上的点，且平面BC D∥平面ABD”，试求的值．
1 1 1 1 1
解 如图，连接AB交AB 于O，连接OD .
1 1 1
由平面BC D∥平面ABD，
1 1 1
且平面ABC ∩平面BC D＝BC ，
1 1 1 1平面ABC ∩平面ABD＝DO，
1 1 1 1 1
所以BC ∥DO，则＝＝1.
1 1
又由题设＝，
所以＝1，即＝1.
教师备选
如图，在三棱柱ABC－ABC 中，E，F，G分别为BC ，AB，AB的中点．
1 1 1 1 1 1 1
(1)求证：平面AC G∥平面BEF；
1 1
(2)若平面AC G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
1 1
证明 (1)∵E，F分别为BC ，AB 的中点，
1 1 1 1
∴EF∥AC ，
1 1
∵AC ⊂平面AC G，EF⊄平面AC G，
1 1 1 1 1 1
∴EF∥平面AC G，
1 1
又F，G分别为AB，AB的中点，
1 1
∴AF＝BG，
1
又AF∥BG，
1
∴四边形AGBF为平行四边形，
1
则BF∥AG，
1
∵AG⊂平面AC G，BF⊄平面AC G，
1 1 1 1 1
∴BF∥平面AC G，
1 1
又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，
∴平面AC G∥平面BEF.
1 1
(2)∵平面ABC∥平面ABC ，平面AC G∩平面ABC ＝AC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
平面AC G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，
1 1
则AC ∥GH，得GH∥AC，
1 1
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
思维升华 证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，
β∥γ⇒α∥γ)．
跟踪训练2 如图，四棱柱ABCD－ABC D 的底面ABCD是正方形．
1 1 1 1
(1)证明：平面ABD∥平面CDB；
1 1 1
(2)若平面ABCD∩平面CDB＝直线l，证明：BD∥l.
1 1 1 1
证明 (1)由题设知BB 綉DD ，所以四边形BBDD是平行四边形，所以BD∥BD.
1 1 1 1 1 1
又BD⊄平面CDB，BD⊂平面CDB，
1 1 1 1 1 1
所以BD∥平面CDB.
1 1
因为AD 綉BC 綉BC，
1 1 1 1
所以四边形ABCD 是平行四边形，
1 1
所以AB∥DC.
1 1
又AB⊄平面CDB，DC⊂平面CDB，
1 1 1 1 1 1
所以AB∥平面CDB.
1 1 1
又因为BD∩AB＝B，BD，AB⊂平面ABD，
1 1 1
所以平面ABD∥平面CDB.
1 1 1
(2)由(1)知平面ABD∥平面CDB，
1 1 1
又平面ABCD∩平面CDB＝直线l，
1 1
平面ABCD∩平面ABD＝直线BD，
1
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD－ABC D 中，四边形BDD B 为平行四边形，
1 1 1 1 1 1
所以BD∥BD，所以BD∥l.
1 1 1 1
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图，在正方体ABCD－ABC D 中，P，Q分别为对角线BD，CD 上的点，且＝＝.
1 1 1 1 1
(1)求证：PQ∥平面ADDA；
1 1(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面ADDA？请给出证明．
1 1
(1)证明 连接CP并延长，与DA的延长线交于M点，如图，连接MD ，因为四边形ABCD
1
为正方形，
所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，
所以＝＝，
又因为＝＝，
所以＝＝，
所以PQ∥MD .
1
又MD ⊂平面ADDA，PQ⊄平面ADDA，
1 1 1 1 1
故PQ∥平面ADDA.
1 1
(2)解 当的值为时，能使平面PQR∥平面ADDA.如图，
1 1
证明如下：
因为＝，
即＝，
故＝.
所以PR∥DA.
又DA⊂平面ADDA，PR⊄平面ADDA，
1 1 1 1
所以PR∥平面ADDA，
1 1
又PQ∥平面ADDA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，
1 1
所以平面PQR∥平面ADDA.
1 1
教师备选
如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求
证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
思维升华 证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题
的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
跟踪训练3 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边
形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，
平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，
又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
(2)解 设EF＝x(0
