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专题18 空间向量在立体几何中的应用（角和距离）
【练基础】
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
2．（2023·全国·高三专题练习）下图为正三棱柱 的一个展开图，若A， ， ，D， ， 六点在同
一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖北黄冈·高三校考期中）平行六面体 中，
，则 与底面 所成的线面角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，O为BD中点且 ，将平面ABD沿对角线BD翻折至二
面角 为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（ ）A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点P到直线
的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）正方体 棱长为 ，动点 在线段 上（含端点），以下结论不
正确的为（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．过 ， ， 三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形
C．当点 和 重合时，三棱锥 的外接球体积为
D．直线 与面 所成角的正弦值的范围为
7．（2022·河南省直辖县级单位·统考二模）如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C
为底面圆上一点，且 ， ，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何
体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，
， ， ， 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，
则图中异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·云南·统考模拟预测）如图，在正方体 中，E､F､G分别为 的中点，则
（ ）A． B． 与 所成角为
C． D． 平面
10．（2023·全国·模拟预测）已知四棱锥 的顶点都在一个表面积为 的球面上， 平面ABCD，底
面ABCD是正方形， ，则（ ）
A．
B．
C．直线PC与直线AB所成角的大小为
D．直线PC与平面PAB所成角的大小为
11．（2023·山东威海·统考一模）在棱长为1的正方体 中，点P满足 ，
， ，则( )
A．当 时， 的最小值为
B．当 时，有且仅有一点P满足
C．当 时，有且仅有一点P满足到直线 的距离与到平面ABCD的距离相等
D．当 时，直线AP与 所成角的大小为定值
12．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 为
棱 的中点； 为棱 上的动点（含端点），过点A､ ､ 作三棱柱的截面 ，且 交 于 ，则（ ）A．线段 的最小值为 B．棱 上的不存在点 ，使得 平面
C．棱 上的存在点 ，使得 D．当 为棱 的中点时，
三、填空题
13．（2023·广东江门·统考一模）已知直线l过点 ，且直线l的一个方向向量为 ，则坐标原点
O到直线l的距离d为___________.
14．（2023·上海·统考模拟预测）正方体 的边长为1，点 分别为 边的中点， 是侧
面 上动点，若直线 与面 的交点位于 内（包括边界），则所有满足要求的点 构成的图形
面积为__________.
15．（2022·湖南永州·统考一模）在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 为等腰梯形，为等边三角形， ，则四棱锥 的外接球球心 到平面
的距离是___________.
16．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣ABC D 中，点E
1 1 1 1
为棱CD的中点，点F为底面ABCD内一点，给出下列三个论断：
①AF⊥BE；
1
②AF＝3；
1
③S ADF＝2S ABF.
△ △
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中， ，且 ，底面ABCD是边长为2的
菱形， ．
(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若 ，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
18．（2023·山东泰安·统考一模）在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为6的正方形， ，， ， ，点P，Q分别在棱GD，BC上，且 ， ，
.
(1)证明： 平面ABCD；
(2)设H为线段GC上一点，且三棱锥 的体积为18，求平面ACH与平面ADH夹角的余弦值.
【提能力】
一、单选题
19．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， 平面ABC， 是边长为2的正三角形，
，E，F分别为MA，MC的中点，则异面直线BE与AF所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
20．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考一模）如图，在直二面角 中， 是直线 上两点，点
∴
，点 ，且 ， ， ，那么直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图所示，正方体 中，点 为底面 的中心，点 在
侧面 的边界及其内部移动，若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·全国·高三专题）如图正方体 ，中，点 、 分别是 、 的中点， 为正方形
A B C D
1 1 1 1
的中心，则（ ）A．直线 与 是异面直线 B．直线 与 是相交直线
C．直线 与 互相垂直 D．直线 与 所成角的余弦值为
23．（2021·山西吕梁·统考一模）如图正三棱柱 的各棱长相等， 为 的中点，则异面直线 与
所成的角为（ ）
A． B． C． D．
A B C D
24．（2022·浙江·高三专题）已知正方体 的棱长为2，点E，F在平面 1 1 1 1内，若 ，，则下列选项中错误的是（ ）
A．点E的轨迹是圆的一部分 B．点F的轨迹是一条线段
C． 的最小值为 D． 与平面 所成角的正弦值的最大值为
25．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 中， ．现将 沿
折起，当二面角 处于 过程中，直线 与 所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体 中， ，点 在线段 上，
平面 过线段 的中点以及点 、 ，现有如下说法：
（1） ，使得 ；
（2）若 ，则平面 截长方体 所得截面为平行四边形；（3）若 ， ，则平面 截长方体 所得截面的面积为
以上说法正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
27．（2022·全国·模拟预测）已知正方体 中， ， ， 分别为棱AB，BC的中点，过点
E，F作正方体的截面，则下列说法正确的是（ ）
A．若截面过点 ，则截面周长为
B．若点 是线段 上的动点（不含端点），则 的最小值为
C．若截面是正六边形，则直线 与截面垂直
D．若截面是正六边形，S，T是截面上两个不同的动点，设直线 与直线ST所成角的最小值为 ，则
28．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考期末）如图，在平行四边形 中，
， 分别为 的中点，沿 将 折起到 的位置（ 不在平面
上），在折起过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．若 是 的中点，则 平面
B．存在某位置，使
C．当二面角 为直二面角时，三棱锥 外接球的表面积为
D．直线 和平面 所成的角的最大值为
29．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）如图，在棱长为 的正方体中，下列结论成立的是（ ）A．若点 是平面 的中心，则点 到直线 的距离为
B．二面角 的正切值为
C．直线 与平面 所成的角为
D．若 是平面 的中心，点 是平面 的中心，则 面
30．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， ， ， 为 的中点，
点 是线段 上的点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点 ，使得直线 与 所成的角是
C．当点 是线段 的中点时，三棱锥 外接球的表面积是D．当点 是线段 的中点时，直线 与平面 所成角的正切值为 ．
三、填空题
31．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为
的中点，若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为______．
32．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体 中，点P是对角线 的动点（点P与
不重合），则下列结论正确的有___________.①存在点P，使得平面 平面 ；
②存在点P，使得 平面 ；
A B C D
③ 分别是 在平面 1 1 1 1，平面 上的正投影图形的面积，对任意的点P都有 ；
④对任意的点P， 的面积都不等于 .
33．（2023·全国·高三专题练习）如图所示， 是棱长为 的正方体， 、 分别是下底面的棱
、 的中点， 是上底面的棱 上的一点， ，过 、 、 的平面交上底面于 ， 在 上，
则异面直线 与 所成角的余弦值为___________．
34．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱 的中点，
Q为正方形 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是______．①若 平面 ，则动点Q的轨迹是一条线段
②存在Q点，使得 平面
③当且仅当Q点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大
④若 ，那么Q点的轨迹长度为
四、解答题
35．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，且
， ， 是 的中点，点 在 上，且 ．(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
36．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ，
， ，侧面 是等腰三角形， .
(1)求证： ；
(2)若侧面 底面 ，侧棱 与底面 所成角的正切值为 ， 为侧棱 上的动点，且
.是否存在实数 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ？若存在，求出实数 若
不存在，请说明理由.
37．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，
， 于F.(1)证明：平面 平面 ；
(2)当 ， ，二面角 的余弦值为 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
38．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，四棱台 的下底面和上底面分别是边 和 的正方形，
侧棱 上点 满足 .
(1)证明：直线 平面 ；
(2)若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
