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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 34 讲 空间直线、平面的垂直（精讲）
题型目录一览
①垂直性质的简单判定
②线面垂直的判定
③线线垂直的判定
④面面垂直的判定
一、知识点梳理
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
二、判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平
面内的两条相交直
判断定理
线都垂直，则该直
线与此平面垂直
两个平面垂直，则 _
在一个平面内垂直
面⊥面⇒线⊥面
于交线的直线与另 _a
一个平面垂直
_
一条直线与两平行
平面中的一个平面
平行与垂直的关系
垂直，则该直线与
另一个平面也垂直
_a _b
两平行直线中有一
条与平面垂直，则
平行与垂直的关系
另一条直线与该平
面也垂直三、性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
_a _b
垂直于同一平面的两
性质定理
条直线平行
文字语言 图形语言 符号语言
_
垂直于同一直线
垂直与平行的关系
的两个平面平行
如果一条直线垂
直于一个平面，
线垂直于面的性质 则该直线与平面
内所有直线都垂
直
四、平面与平面垂直
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．
（如图所示，若 ，且 ，则 ）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
五、判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一
个平面的垂线，
_
则这两个平面垂
直六、性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，则
一个平面内垂直于
交线的直线与另一 _
个平面垂直
性质定理
_a
【常用结论】
1.证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质 ；
⑦平行线垂直直线的传递性（ ）．
2.证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（ ）；
③面面垂直的性质（ ）；
平行线垂直平面的传递性（ ）；
⑤面面垂直的性质（ ）．
3.证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（ ）．
二、题型分类精讲
题型 一 垂直性质的简单判定策略方法
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【典例1】（单选题）若l为一条直线， 为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A． B．若
C． D．若
【答案】C
【分析】根据线面，面面，平行，垂直的性质与判定判断即可.
【详解】对A，若 可能相交也可能平行，故A项不正确；
对BD， 则可能有 ，故B，D项不正确；
对C， 则必有 ，故C项正确．
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．若 、 是两个不重合的平面，
①若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 ；
②设 、 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 ；
③若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 ；
以上说法中成立的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的判定定理判定
即可.
【详解】对于①，设 平面 ，且 ,
由直线与平面平行的判定定理可知 ， ，再由平面与平面平行的判定定理可知 ，则①正确；
对于②，设 、 交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，
则 、 可能垂直也可能不垂直，则②错误；
对于③，由直线与平面平行的判定定理可知 ，则③正确，
故选： .
2．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，有以下四个命题：
①若 ∥ ， ，则 ∥ ， ②若 ， ，则 ，
③若 ， ，则 ∥ ， ④若 ， ， ，则
其中正确的命题是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
【答案】A
【分析】对于①，由线面平行的判定定理分析判断，对于②，由面面垂直的判定定理分析判断，对于③，
由线面垂直的性质分析判断，对于④，举例判断
【详解】对于①，当 ∥ ， 时， ∥ 或 ，所以①错误，
对于②，当 ， 时，由面面垂直的判定定理可得 ，所以②正确，
对于③，当 ， 时，有 ∥ ，所以③正确，
对于④，当 ， ， 时，如图所示， ∥ ，所以④错误，
故选：A
3．已知 ， ， 是3条不同的直线， ， ， 是3个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则【答案】C
【分析】利用垂直于同一直线的两条直线的位置关系可判断A；利用面面垂直的性质可判断B；利用面面
垂直的判定可判断C；利用垂直于同一平面的两个平面的位置关系可判断D.
【详解】对于A，由 ， ，在同一个平面可得 ，在空间不成立，故A错误；
对于B，由面面垂直的性质定理知缺少“ ”，故B错误；
对于C，若 ， ，则 ，故C正确；
对于D，当三个平面 ， ， 两两垂直时，结论错误，故D错误.
故选：C.
4．设 ， ， 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】C
【分析】根据线面位置关系的性质定理与判定定理一一判定即可.
【详解】对于A，若 ， ,则 或 相交或 异面，错误；
对于B，若 ， ，则 或 相交，错误；
对于C，若 ， ，则 ，又 ，则 ，正确；
对于D，若 ， ，则 或 ，错误.
故选：C.
5．设 ， ， 是三条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则【答案】C
【分析】由线线垂直、线面平行、线面垂直、面面垂直的理论逐一判断即可求解.
【详解】对于A选项：不妨设 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，则有 ， ，但 与
不垂直，故A选项错误.
对于B选项：若 ， ，则 或 与 相交，即 与 不一定垂直，故B选项错误.
对于C选项：设 平面 且 ，若 ，则有 ，
又 ，所以 ，结合 、 平面 ，所以有 ，故C选项正确.
对于D选项：若 ， ，则 或 ，故D选项错误.
故选：C.
6．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据条件思考题中平面和直线所可能的各种情况，运用有关的定理逐项分析.
【详解】当 ， 时，可能有 ，但也有可能 或 ，故A选项错误；
当 ， 时，可能有 ，但也有可能 或 ，故选项B错误；
在如图所示的正方体 中，取 为 ， 为 ， 为平面 ， 为平面 ，这时满足 ， ， ，但
不成立，故选项C错误；
当 ， ， 时，必有 ，从而 ，故选项D正确；
故选：D.
7．下列命题中，不正确的是（ ）
A．夹在两个平行平面间的平行线段相等
B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
C．若直线 平面 ， ，则过点 且平行于直线 的直线有无数条，且一定在 内
D．已知m，n为异面直线， 平面 ， 平面 ，若直线 满足 ， ， ， ，则
与 相交，且交线平行于
【答案】C
【分析】利用面面平行的性质推理判断A；利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理判断B；利用线面
平行的性质判断C；利用反证法结合线面平行的性质推理判断D作答.
【详解】对于A，平面 平面 ，点 平面 ， 平面 ，且 ，
由 ，得点 共面，平面 平面 ，平面 平面 ，
而平面 平面 ，于是 ，因此四边形 是平行四边形，所以 ，A正确；
对于B，设平面 、 、 两两垂直，它们的交线分别为b、c、d，过平面 内点 的直线e、f分别满足 ， ，如图，
由 ， ， ，得 ，而 ，则 ，同理 ，
因此 ，又 ，从而 ，同理 ，
所以三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，B正确；
对于C，由直线 平面 ， ，得直线 与点 确定一个平面 ，令平面 与平面 的交线为 ，
显然 ，且 平面 ，直线 唯一，C错误；
对于D，假定 与 平行，由 平面 ，得 平面 ，又 平面 ，于是 ，
这与m，n为异面直线矛盾，即假设不成立，因此 与 相交，
由 平面 、 及 ，得 ，同理 ，在平面 内存在直线 ，
在平面 内存在直线 （ 均不为平面 与 的交线），
即有 ，于是 ，直线 平行于平面 与 的交线，所以直线 平行于平面 与 的交线，D正确.
故选：C
8．已知 ， ， 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且 ， ， ， ，则下
列命题错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】A选项，分 与 两种情况，由线面垂直得到面面垂直；B选项，得到 ，结合，可得 ；C选项，先得到 ，结合A选项可得 ，C错误；D选项，可得到 ，进
而得到 .
【详解】A选项，若 ，如图1，因为 ，所以 ，
若 ，如图2，因为 ， ，则 ，过直线 的平面 交平面 于直线 ，
则 ，故 ，因为 ，所以 ，
综上，若 ，则 ，A正确；
B选项，因为 ， ，所以 ，
因为 ，可得 ，B正确；
C选项，因为 ， ，所以 ，
由A选项可知 ，C错误；
D选项，因为 ， ，则 ，因为 ，所以 ，D正确.
故选：C二、多选题
9．已知 ， 为不同的直线， ， 为不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】ABC
【分析】通过分析不同情况下直线和平面的位置关系即可得出结论.
【详解】由题意，
A项, 设 所在平面 , , 只需 即满足题设, 故A错误；
B项，设 且 且 , 此时 ，B错误；
C项，当 ， ， 时， 可能垂直于 ，C错误；
D项，当 ， ， ，则 ，故D正确.
故选：ABC.
10．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】BC
【分析】根据空间中线面、面面位置关系判断即可.
【详解】因为 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，
对于A：若 ， ，则 或 或 或 与 相交（不垂直），故A错误；
对于B：若 ， ，则 ，故B正确；
对于C：若 ， ，则 ，故C正确；对于D：若 ， ，则 或 与 相交，故D错误.
故选：BC
11．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】ABD
【分析】利用线面平行性质、线面垂直的性质推理判断A；利用线面垂直的判定判断B；举例说明判断
C；利用面面垂直的判定判断D作答.
【详解】对于A，由 ，得存在过直线 的平面 与平面 相交，令交线为 ，则 ，
由 ， 内，得 ，因此 ，A正确；
对于B，由 ， ， ，得 ，B正确；
对于C，由于 ，令 ，当 时，有 ，此时 或 ，C错误；
对于D，由 ， ，得 ，D正确.
故选：ABD
12．已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
A．若 ， ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】ABC
【分析】由空间中线面位置关系可判断.
【详解】由 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，知：
在A中，若 ， ， ， ，则 与 相交或平行，故A错误；在B中，若 ， ， ，则 与 相交或平行，故B错误；
在C中，若 ， ， ，则 与 相交或平行，故C错误；
在D中，若 ， ， ，则由线面垂直，线线平行的性质可得 ，故D正确.
故选：ABC.
三、填空题
13．给出下列四个命题：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；
②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；
③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；
④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．
其中正确的命题共有 个．
【答案】2
【分析】根据线面垂直的定义，以及线面垂直的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】①中，根据线面垂直的判定定理，直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线与平面垂直，
所以①不正确；
②中，根据直线与平面垂直的定义知，若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直，
所以②正确；
③中，因为梯形的两腰在同一平面内，且不平行，所以两腰时相交直线，若直线垂直于梯形的两腰所在的
直线，可得直线垂直梯形底面所在的平面，所以这条直线垂直于两底边所在的直线，所以③正确；
④中，因为梯形的两底所在的直线相互平行，根据线面垂直判定定理，直线与这个平面不一定垂直，这条
直线不一定垂直于两腰所在的直线，所以④不正确.
故答案为：2.
14．已知 是两个不同的平面， 是平面 及 之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：
① ；② ；③ ；④ .
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .（用序号表示）
【答案】①③④ ②(或②③④ ①)【分析】已知①③④时，将 平移到相交位置，根据线面垂直的判定与性质以及直二面角的定义可推出
②；已知②③④时，根据直二面角的定义可推出①.
【详解】若 ， ， ，则 .
证明：过平面 和平面 外一点 ，作 ， 交 于 ，作 ， 交 于 ，
则 ， ， ，
显然 与 不平行，设 ，则 ， ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
延展平面 交 于点 ，连 ，则 ， ，
则 是二面角 的一个平面角，
因为 ， ，所以 ，同理有 ，
又 ，所以四边形 为矩形，则 ，
则平面 和平面 形成的二面角的平面角直二面角，故 ，
若 ， ， ，则 .
证明：因为 ，所以 与 所成的二面角为 ，
因为 ， ，所以直线 所成的角也为 ，即 .
若 ， ， ，则 与 相交或 或 .
若 ， ， ，则 与 相交或 或 .
故答案为：①③④ ②(或②③④ ①).
题型二 线面垂直的判定
策略方法 判定线面垂直的四种方法【典例1】如图，在正方体 中，E，F分别是棱 ， 的中点，求证： 平面
EAB．
【答案】见解析
【分析】通过证明 和 ，进而可得证.
【详解】
E，F分别是棱 ， 的中点，
在Rt△ 和Rt△ 中， ，
所以Rt△ Rt△ ，所以△ ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，又因为正方体 中， 平面 , 平面 ，
所以 ， 和 平面EAB内的两条相交直线，
所以 平面EAB.
【题型训练】
一、解答题
1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面
BDE. 证明：BD⊥平面PAC
【答案】证明见解析
【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理证明即可.
【详解】证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴PA⊥BD．同理由PC⊥平面BDE，可证得PC⊥BD．
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．
2．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是梯形， ，且 ， ， .
(1)若F为PA的中点，求证 平面PCD
(2)求证 平面PCD.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取PD中点E，连接EF、EC，可得 且 ，则四边形EFBC为平行四边形，则 ，根据线面平行的判定定理，即可得证
（2）根据三角形性质，可证 ，结合（1）可得 ，根据线面垂直的判定定理，即可得证
【详解】（1）取PD中点E，连接EF、EC，如图所示
因为E、F分别为PD、PA中点，
所以 ，且 ，
又因为 ，且 ，
所以 且 ，
所以四边形EFBC为平行四边形，
所以 ，
因为 平面PCD， 平面PCD，
所以 平面PCD
（2）因为 ，F为PA中点，
所以 ，则 ，
因为 ， 平面PCD，
所以 平面PCD.
3．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；(2)若点 是棱 的中点，求证： 平面 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】由 平面 ，且底面 为菱形，即可得到 平面 内的两条相交直线，则可证
得 平面 .
(2)由 分别为中点，可得到 ，则问题即可得以证明.
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又因为底面 是菱形，则
， ， 平面 ，所以 平面 .
（2）连接 ， 如图所示：
因为 分别为 的中点，则 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 .
4．如图,在四棱锥 中,底面ABCD为正方形, 底面ABCD, ,E为线段PB的中点,F为
线段BC的中点．
(1)证明: 平面PBC;
(2)求点P到平面AEF的距离．
【答案】(1)证明见解析(2) ．
【分析】(1)先根据 底面ABCD,得到 ,再根据 ,利用线面垂直的判定定理证明 平
面PAB,即 ,再根据一次线面垂直的判定定理证明 平面PBC;
(2)先根据长度及垂直关系得到 进而得到 的面积,再计算出 ,根据等体积法即可求得
点P到平面AEF的距离.
【详解】（1）证明:因为 底面ABCD, 平面ABCD,所以 ．
因为ABCD为正方形,所以 ,
因为 , 平面PAB, 平面PAB,所以 平面PAB,
因为 平面PAB,所以 ,
因为 ,E为线段PB的中点,所以 ,
又因为 , 平面PBC, 平面PBC,所以 平面PBC.
（2）由F是BC的中点．所以 ,
因为 底面ABCD, 平面ABCD,
所以 ,因为E为线段PB的中点,
所以 ,
由(1)知 平面PBC, 平面PBC,
所以 ,所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
由(1)知 平面PAB,所以 平面PAB,
设点P到平面AEF的距离为h,
则有 ,解得 ,所以点P到平面AEF的距离为 ．
5．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，
平面 平面 .证明： 平面
【答案】证明见解析
【分析】由面面、线面垂直的性质可得 ，且 ，根据线面垂直的判定即可证结论；
【详解】证明：由题设， ，又面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 面 ，而 面 ，则 ，
由 得： ，
又 ，则 平面 .
6．如图，在底面是矩形的四棱锥 中， 底面 ， ， 分别是 ， 的中点.
(1)若 ，求四棱锥 的体积；
(2)求证： 平面 .
【答案】(1)
(2)证明详见解析
【分析】（1）根据锥体的体积公式，即可求出结果；
（2）根据线面垂直的判定定理，即可证明 面 ，又由中位线定理，可得 ，进而证明出结果.
【详解】（1）解：∵在底面是矩形的四棱锥 中， 底面 ， ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵ 底面 ， 面 ，
∴ ，
又 ，∴ 面 ，
又 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∴ 平面 .
7．如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且
．
(1)求证： 平面PAC
(2)若M是PC的中点，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明 来证得 平面 .
（2）先求得三棱锥 的高，进而求得三棱锥 的体积.
【详解】（1）∵PA为圆柱母线，
∴ 平面ACB，
∵ 平面 ，∴ ，
∵AB为底面圆直径，∴ ，
∵ 平面APC， 平面APC， ，
∴ 平面PAC.
（2）∵ 平面APC，平面 平面APC，
∴ 平面ACM，BC为三棱锥 的高， ，
∵ ，M为PC中点，
∴ ， ， ，
∴ .
8．已知 的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证：
(1)BC⊥平面PAC；
(2)PB⊥平面AMN.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可证得PA⊥BC，BC⊥AC，再由线面垂直的判定定理即可证明.
（2）由线面垂直的判定定理和性质定理即可证明.
【详解】（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
∵ 是直角三角形，AB为斜边，∴BC⊥AC，
又AC∩PA=A，AC，PA 平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
（2）由（1）知BC⊥平面PAC，
∵AN⊂平面PAC，∴BC⊥AN，
又∵AN⊥PC，BC∩PC=C，BC，PC 平面PBC，∴AN⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，AM，AN⊂平面AMN，
∴PB⊥平面AMN.
9．如图，在三棱柱 中， 平面ABC，D，E分别为AC， 的中点， ，
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点D到平面ABE的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）通过证明 ， ，得证 平面 ．
（2）由 ，利用体积法求点D到平面ABE的距离．
【详解】（1）证明：∵ ，D，E分别为AC， 的中点，
∴ ，且 ，
又 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ，
又 ，且 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）∵ ， ， ，∴ ，
∴ ， ， ．
在 中， ， ，
∴ 边上的高为 ．
∴ ．
设点D到平面ABE的距离为d，
根据 ，得 ，解得 ，
所以点D到平面ABE的距离为 ．
10．如图四棱锥 中，四边形 为等腰梯形， ，平面 平面 ，
， ， ， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 在线段 上，且 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意结合余弦定理可求得 ，由勾股定理可证 ，结合线面垂直的判定定理
可证；
（2）根据题意结合面面垂直的性质定理可得 平面 ，利用锥体的体积公式运算求解.【详解】（1）∵四边形 为等腰梯形，且 ，
∴ ，
又∵ ，则 ，即 ，
∴ ，则 ，即 ，
又∵ ， ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）∵ ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
由题意可得： 为等腰直角三角形，则 ，
又∵ ，
∴三棱锥 的体积 .
11．如图所示,在长方体 中,AB=2,BC=2, ,M为棱 上一点．
(1)若 ,求异面直线 和 所成角的正切值;
(2)若 ,求证BM⊥平面 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由 ,则异面直线 和 所成角即为 ,根据线面垂直的性质定理可得
,再根据长度关系求得 中的各个长度,进而求得正切值即可;(2)根据 ,可得 为 中点,根据长度关系可知 ,再根据线面垂直的性质定理可得
,根据线面垂直判定定理即可证得结论.
【详解】（1）解:因为长方体 ,所以 ,
所以 是异面直线 和 所成的角,
因为在长方体 中, 平面 ,所以 ,
因为 , , , 为棱 上一点, ,
所以 ,
所以在直角三角形 中, ,
即异面直线 和 所成角的正切值为 ;
（2）证明:当 时, 为 中点,所以 ,
即有 ,所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 ．又 ,
平面 , 平面 ,
所以 平面 ．
12．如图，在三棱锥 中， 分别为 的中点， ，且 ， ．求
证： 平面 ．【答案】证明见解析.
【分析】由题可得 ，利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，进而可得 ，然后利
用线面垂直的判定定理即得.
【详解】∵在 中，D是AB的中点， ，
∴ ,
∵E是PB的中点，D是AB的中点，
∴ ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
13．如图，在四棱柱 中，底面ABCD为平行四边形， ，∠BAD=60°，平面
平面ABCD， ， ，E为 上的一点．(1)求证： 平面 ；
(2)若 平面BDE，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质，可得 平面 ，从而 ，结合 ，即可证明
平面 ；
（2）利用等体积法，求三棱锥 的体积转化为求三棱锥 体积的一半，即可求得本题答案.
【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ；
因为四边形ABCD为平行四边形，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 .
（2）如图，连接 交 于点 ，连接 ，因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 为 的中点，所以 为 的中点，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以在 中， ，
所以 ，
.
14．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 为棱 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用已知直三棱柱的结构特征，证明 平面 ，可得 ，再利用侧面矩
形 的结构特征，证明 ，可得 平面 ；（2）由（1）中的证明过程可得 ，计算数据代入
即可.
【详解】（1）因为 为直三棱柱，所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
因为 为棱 的中点， ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
因为 为棱 的中点，所以 .
又 ，所以 ，同理 ，所以 .
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 .
（2）因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以 .
由（1）知 平面 ，
所以 ，
即三棱锥 的体积为 .
15．如图，在三棱锥 中，侧面 底面 ，且 的面积为6．(1)求三棱锥 的体积；
(2)若 ，且 为锐角，求证： 平面 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质可得 面 ，即 为体高，利用棱锥体积公式求体积即可；
（2）由三角形面积公式可得 ，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求 ，易
知 ，再由线面垂直的性质得 ，最后应用线面垂直的判定证结论.
【详解】（1）面 面 ， ，面 面 ， 面 ，
所以 面 ，又 的面积为6，
所以三棱锥 的体积 .
（2）由题设 ，即 ，又 为锐角，
所以 ，
由 ，故 ，
所以 ，
由（1）知 面 ， 面 ，故 ，
， 面 ，故 平面 .
16．如图1，在五边形 中，四边形 为正方形， ， ，如图2，将 沿
折起，使得 至 处，且 .(1)证明： 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为4，求 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知易得 ，即可证明线面垂直；
（2）取 中点 ，连接 ，根据线面垂直的性质与判定可得 为四棱锥 的高，再根据四
棱锥体积求解即可.
【详解】（1）由题意得 ，则 ， ，
因为 ，则 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）取 中点 ，连接 ，由正方形 可得 .
又 平面 ，由（1）可得 .
又 ， 平面 ，则 平面 .
即 为四棱锥 的高.设 ，则 ， ， .
由（1）可得底面 为直角三角形，故 ，
解得 ，即 .
17．如图，在四棱锥 ，底面 为梯形，且 ， ，等边三角形 所在的
平面垂直于底面 ， .求证： 平面 ；
【答案】证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质，在结合线面垂直的判定定理，即可得出结论.
【详解】证明：如图所示，取 中点 ，连接 ，
是正三角形， 为 中点，
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 ，
又 平面 ， ，
，且 ， 平面 ，平面 ；.
18．如图，四棱锥 中，平面 平面 ， 为 的中点， 为 的中点，且
， ， ．证明： 平面
【答案】证明见解析
【分析】由几何性质，推导出 ，从而 平面 ，进而 ， 平面 ．连接
，则 ，则 ，得 ， ， 是平行四边形， ，由此能证明
平面 ．
【详解】证明：如图，
连接AF，
由题意知 为等腰三角形，
而 为 的中点，所以 ．
又因为平面 平面 ，且 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
而 平面 ，所以 ．
而 ， 平面 ，所以 平面 ．
连接 ，则 ， ，
而 ， ，所以 且 ，
所以 是平行四边形，因此 ，故 平面 ．
19．如图所示的长方体 中，底面 是边长为2的正方形，O为 与 的交点，
，M是线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析整理.
【详解】（1）连接 ，如图，
∵O、M分别是 、 的中点， 是矩形，则 ，且 ，
∴四边形 是平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）连接 ，
∵正方形 的边长为2， ，
∴ ， ， ，则 ，故 ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
由 为正方形可得： ，
， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，
∴ ，
， 面 ，
∴ 平面 .
20．在图1中， 为等腰直角三角形， ， ， 为等边三角形， 为AC边的中
点，E在BC边上，且 ，沿AC将 进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接
FO，FB，FE，OE，使得 .(1)证明： 平面ABC；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明：连接 ，在等边 中，得到 ，再由勾股定理证得 ，结合线
面垂直的判定定理，即可证得 平面 ；
（2）解法1：作 ，设点 到平面 的距离为 ，利用 ，列出方程，即可求解；
解法2、过A作 ，证得 平面OEF，得到 的长度即点 到平面 的距离，结合
，即可求解.
【详解】（1）证明：连接 ，因为 为等腰直角三角形，且 ，
所以 ， ，
在等边 中， ，且 .
又因为 ，所以 ，即 ，
因为 且 平面 ，所以 平面 .
（2）解法1：作 ，垂足为 ,
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
在直角 中， ，可得 ，
又因为 ，所以 ，设点 到平面 的距离为 ，由 ，可得 ，
即 ，解得 ，
即点 到平面 的距离为 .
解法2、过A作 ，垂足为 ，
由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 .
又由 ， ，所以 平面OEF，
所以 的长度即点 到平面 的距离，
在 中，因为 ， ， ，
所以 ，可得 ，
由 ，即 ，解得 ，
所以 ，即点 到平面 的距离为 .题型三 线线垂直的判定
策略方法
【典例1】如图，四棱锥 的底面是矩形， 平面 ，E，F分别 的中点，且
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得线面平行；
（2）结合线面垂直的判定定理来证得 平面 ，进而可证明线线垂直.
【详解】（1）设 是 的中点，由于 是 的中点，
所以 ,
由于 是 的中点，四边形 是矩形,
所以 .
所以 ,
所以四边形 是平行四边形,
所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 .（2）由于 平面 ，
平面 ，所以 ,
因为 , , 平面 ，
所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
因为 是 的中点,所以 ,
因为 , 平面 ,
以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 .
【题型训练】
一、解答题
1．如图，在四棱锥 中， 是边长为4的等边三角形，平面 平面 ， ，
， ， .
(1)证明； ；
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）取 中点 ，连接 ，通过线面垂直的办法证明线线垂直；
（2）根据等体积法转换， 的体积等价于求 的体积即可.
【详解】（1）
取 中点 ，连接 ，因为 是等边三角形，所以 .
因为 ， ，所以 .而 ，
所以 是等边三角形，则 ，又 ， 平面
所以 平面 ，又 平面 ，故 .
（2）由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
又 ，可知 平面 .
在 中，由余弦定理，有 .
解之可得 . 所以 ，
所以 .
2．如图，四棱锥 中，四边形ABCD为梯形， ， ， ，
， ，M，N分别是PD，PB的中点．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求证： ．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接 ，证明 ，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用勾股定理证明 ， ，从而可得 平面 ，即可得证.
【详解】（1）连接 ，
因为M，N分别是PD，PB的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 ；
（2）因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ．
3．如图，矩形 所在的平面与平面 垂直，且 .已知 .
(1)求证： ；
(2)求四棱锥 的表面积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由条件根据面面垂直性质定理证明 平面 ，由此可得 ，结合 根
据线面垂直判定定理证明 平面 ，由此可得结论；
（2）由条件依次求出各各面的面积相加即可.
【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ ，又 ，且 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ .
（2）因为 ，
所以矩形 的面积为2，
在 中， ， ，故 ，
故 的面积为 ；
和 的面积分别为 和 .
而 ， ， ，
故 边上的高为 ，
故 的面积为 ，
故四棱锥 的表面积为 .
4．如图，已知三棱柱 中， ， ， ， 是 的
中点， 是线段 上一点.(1)求证： ；
(2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ， ，利用 可证 ，从而可证 平面 ，进而可
证 ，从而可证 平面 ，利用线面垂直的性质即可证明；
（2）由（1）可得 平面 ，从而有 ，进而可知当 时， 最小，此时 面
积最小. 过 做 于 ，从而可得 平面 ，再根据锥体的体积公式即可求解.
【详解】（1）连接 ，
， 为 中点， .
又 ， ， ，且 .
，
， ，
又 ， ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， .
由已知 ， ， ，又 ， 平面 ， 平面 .
而 ， 平面 ， .
（2）由（1）可知 ， .
又 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 ， .
所以 ，又 在棱 上移动，
当 时， 最小，此时 面积最小.
在 中， ， ，则 ， ， .
在 中，过 做 于 ，则 ，
， 平面 ，于是可得 .
.
5．如图，在三棱柱 中，中， ， 在平面 上的射影为 的
中点．(1)证明： ．
(2)求多面体 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，得到 平面 ，证得 ， ，利用线面
垂直的判定定理，证得 平面 ，得到 ，进而证得 ；
（2）由柱体和锥体的体积公式，结合 ，即可求得多面体 的体积..
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
因为 在平面 上的射影为 的中点，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）解：因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以三棱柱 的体积 ，
且 ，
故多面体 的体积 .6．如图所示，在直四棱柱 中， ， ，且 是 的中
点.
(1)证明： ；
(2)若 ，求四棱柱 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，求出 、 ，即可得到 ，由线面垂直得到 ，即可证明
平面 ，从而得证；
（2）设 ，利用勾股定理表示出 、 、 ，再由 求出 ，最后根据柱
体体积公式计算可得.
【详解】（1）如图，连接 ， ， ， ， ，
， ，， ，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， .
（2）设 ，则由已知可得 ，
， ，
， ，即 ，
解得 （负值舍去）， ，
四棱柱 的体积 .
7．在三棱台 中， ， 分别是 ， 的中点， ， 平面 ，且
， ．
(1)求证： ；
(2)求三棱锥 的体积．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形、棱台、线面垂直的性质证四边形 为矩形，并求得相关线段的长度，
再证 得到 ，根据面面垂直的判定、性质证 平面 ，进而得到
，最后由线面垂直的判定和性质证结论.
（2）由 ，结合棱锥体积公式求体积即可.
【详解】（1）由 ， ，则 ， 是 的中点，即 ，
由 为棱台，易知 ，且 ，故 ，
又 ，且 ，故四边形 为平行四边形，
又 平面 ， 平面 ，则 ，
所以四边形 为矩形，又 ， 是 的中点，故 ，
在 中， 且 ，
所以 ，易得 ，则 ，
由 平面 ， 平面 ，则平面 平面 ，
由等腰三角形性质知 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， 面 ，则 面 ，
由 面 ，则 .
（2）由 ，由（1）知： 平面 ，
所以 .所以三棱锥 的体积为 .
8．如图，在梯形 中， ， ， ， 为边 上的点， ， ，
将 沿直线 翻折到 的位置，且 ，连接 ．
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 中点 ，由线面垂直判定和性质可证得 ；易证得四边形 为菱形，由此
可得 ，由线面垂直的判定和性质可得到结论；
（2）利用体积桥 可构造关于所求距离的方程，由此求得结果.
【详解】（1） ， ， ， ， ，
又 ， 为等边三角形；
取 中点 ，连接 ，
， 为 中点， ；， ， ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ；
， ， ，
四边形 为菱形， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， .
（2）由（1）知： 平面 ，
， ， ；
， ， ，
点 到线段 的距离 ， ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，解得： .
即点 到平面 的距离为 .
9．如图，在多面体 中，四边形 是边长为 的菱形， ， 平面 ，
平面 ， ．(1)证明： ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求实数 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由题意，可求出 、 、 的值，则可得出 ，故 ，再连接
，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，求出 的值，再根据 、 、 的勾
股关系，可得 ，又 ，可得 平面 ，进而得证 .
（2）由（1）的证明及对称性易知 ，则 ，得出 的值即可.
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
因为四边形 是边长为 的菱形， ，
所以 , 因为 ，
所以 ，所以 ．
连接 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，如图，则 ，所以 ． 因为 ，所以 ，
所以 因为 ，
所以 ，所以 ． 又 ，且 、 平面 ．
所以 平面 ． 又 平面 ，所以 ．
（2）解：由（1）的证明及对称性易知 ，
所以 ，
解得 ．
10．在直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为 和 的中点，
.
(1)证明： ；(2)求 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，证明 ∽ ，进而证得 ，再利用线面垂直的性质判定推
理作答.
（2）由（1）的信息，求出 长即可作答.
【详解】（1）在直三棱柱 中，由侧面 为正方形，得 ，
而 ， ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，即有 ，即 ， ，则 ，
因为 ，则 ， ，
由E，F分别为AC和 的中点，得 ，
于是 ，而 ，则 ∽ ，有 ，
又 ，即有 ，则 ，即 ，
由 ， 为 的中点，得 ，而 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， 平面 ，于是 平面 ，而 平面 ，则 ，因为 ， 平面 ，因此 平面 ，而 平面 ，
所以 .
（2）由（1）知 平面 ，则 长即为点 到平面 的距离，
在 中， ，则 ，
所以点 到平面 的距离 .
题型四 面面垂直的判定
策略方法 证明面面垂直的两种方法
【典例1】如图，已知 平面 ， 为矩形， 分别为 的中点.
(1)证明： ；
(2)若 ，求证：平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）平行四边形思想，平行线的传递性，线面垂直的判定定理和性质定理结合即可；（2）线面垂直性质定理，面面垂直的判定定理解决即可.
【详解】（1）设 为 的中点，连接 .
因为 分别为 的中点，
所以 ， .
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 .
因为 平面ABCD，
所以 .
又因为 ，且 平面
所以 平面 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
所以 .
又 平面 ， ，
所以 平面 ，
所以 .
又因为 平面
所以 平面 .
因为 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
【题型训练】
一、解答题
1．如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求 及三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，
【分析】（1）由 底面 ，可得 ，再结合 和线面垂直的判断可证得 平面
，再由面面垂直的判定定理可得结论，
（2）连接 ，可得 ，可证得四边形 是正方形，再利用棱锥的体积公式可求得结果.
【详解】（1）因为 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）连接 ，由（1）可知， 平面 ，
又 平面 ，故 ，
又四边形 是矩形，所以四边形 是正方形，所以 ．
所以2．如图，在底面为矩形的四棱锥 中， 底面ABCD．
(1)证明：平面 平面PCD．
(2)若 ， ，E在棱AD上，且 ，求四棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）由 ， ，证得 平面PAD，则有平面 平面PCD．
（2）由已知数据结合棱锥体积公式计算.
【详解】（1）证明：由四边形ABCD为矩形，得 ．
因为 底面ABCD， 平面ABCD，所以 ．
因为 ， 平面PAD，所以 平面PAD．
因为 平面PCD，所以平面 平面PCD．
（2）因为 ， ，所以 ，
因为直角梯形ABCE的面积 ．
所以 ．
3．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:(1) 平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1) 设 ,连接 ,根据中位线可得 ,再根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据 可得 ,根据四边形 为菱形,可得 ,再根据线面垂直的判断定理可得
平面 ,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.
【详解】（1）设 ,连接 ,如图所示:
因为O,E分别为 , 的中点,所以 ,
又因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ．
（2）连接 ,如图所示:
因为 , 为 的中点,所以 ,
又因为四边形 为菱形,所以 ,
因为 平面 , 平面 ,且 ,所以 平面 ,又因为 平面 ,
所以平面 平面 ．
4．如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 点在平面 内的射影为A，且
， 为 中点.
(1)证明： 平面
(2)证明：平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线线平行证线面平行；
（2）由线面垂直证 ，再证 平面 、平面 平面 .
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 .
因为 为 中点， 为 中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）因为 点在平面 内的射影为A，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
又在正方形 中， 且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
5．如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD， ，CD=2AB．
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)在侧棱PC上是否存在点M，使得 平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；点 是 的中点
【分析】（1）由PD⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可得 ，结合AD⊥CD，根据线面垂
直的判定定理可得 平面 ，根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ， ， ，根据中位线即可证明 ，再根
据线面平行的判定定理，即可证明结果.
【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）存在，当点 是 的中点时， 平面 ，证明如下：
如图，设 的中点为 ，连接 ， ， ，如图所示：
所以 是 的中位线，即 ，且 ，
因为 ， ，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
故当点 是 的中点时， 平面 .
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB
的中点．
(1)求证：EO 平面PDC；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明 ，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）先证明AC⊥平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可得证.
【详解】（1）∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，
∴O为BD中点，又E为PB的中点，∴ ，
∵ 平面PDC， 平面PDC，
∴ 平面PDC；
（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵ 平面 ，∴AC⊥平面PBD，
又 平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．
7．如图，在四棱锥 中， ，平面 平面ABCD，E，F分别为棱PD，AD
的中点， ．(1)求证：平面 平面PAD；
(2)若 ，求几何体PABCEF的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）得到四边形ABCF为平行四边形， ，从而得到 ，由面面垂直得到线面垂
直，进而得到面面垂直；
（2）作出辅助线，转化为两个三棱锥，分别求出这两个三棱锥的体积，相加即可
【详解】（1）因为F为AD的中点，所以 ，又 ，所以 ，
因为 ，所以四边形ABCF为平行四边形，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 平面ABCD，
所以 平面PAD，
又 平面CEF，所以平面 平面PAD．
（2）连接PF，因为 ，F为AD的中点，所以 ，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 平面PAD，
所以 平面ABCD，
因为 ，所以 ，所以在 中， ，又 ，
所以 ，
梯形 的面积为 ，
所以四棱锥 的体积 ．因为E为棱PD的中点，故三棱锥 的高为 ，
所以三棱锥 的体积 ，
故所求几何体的体积 .
8．如图，在 中， ， ，D是线段AC上靠近点A的三等分点，现将
沿直线BD折成 ，且使得平面 平面CBD.
(1)证明：平面 平面PCB；
(2)求点B到平面PCD的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形中的边角关系由余弦定理可求解 的长度，进而可得垂直关系，由面面垂
直的性质即可求解，
（2）利用等体积法即可求解.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得
，故 ,在 中， , ,所以
，
由于 ,故 ，所以 ,
由于平面 平面CBD，平面 平面 , 平面CBD, 所以 平面 ,
又 平面PCB,所以平面 平面PCB，
（2）由 平面 ， 平面 ,所以 ,
所以 ,
故在 中， ,则 ，
故 ,
设B到平面PCD的距离为 ，则由等体积法得 ,即
9．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， 为 的中点，
为线段 上的点，且 ．（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据题意可证明AE⊥平面PAB，即可证明平面 平面 ；
（2）根据三棱锥中 ，利用等体积即可求高.
【详解】（1）证明： 平面 ， ．
又底面 为正方形，
．
平面 平面 ，
平面 ．
平面 ，
．
为 中点
．
平面 平面 ，
平面 ．
又 平面 ，
平面 平面 ．
（2）解： ，
．又 ，
．
，
∴四棱锥 的高 ，
∴点 到平面 的距离为 ．
【点睛】证明面面垂直的主要方法
(1)利用判定定理： ．
(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．
(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面： ．
10．在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若 ， ， ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求四棱锥 的体积与表面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)体积为 ，表面积为
【分析】（1）作出辅助线，由等腰三角形三线合一得到 ，求出各边长，由勾股定理逆定理得到
，证明出线面垂直，得到面面垂直；（2）在（1）的基础上，得到 为四棱锥的高，由体积公式求出四棱锥的体积，得到△QAB和△QCD
均为直角三角形，△QAD和△QCB均为等腰三角形，求出四个三角形面积，求出表面积.
【详解】（1）取AD的中点为O，连接QO，CO．
因为 ， ，则 ，
而 ， ，故 ．
在正方形ABCD中，因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，
故 为直角三角形且 ，
因为 ， 平面 ，故 ⊥平面 ，
因为QO 平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD．
（2）取 中点 ，连接 ，
由（1）可知 为四棱锥 的高，且 ，
底面正方形ABCD的边长为2，
所以四棱锥 的体积 ，
由（1）可知平面QAD⊥平面ABCD，
又因为 ，AB 平面ABCD，平面QAD 平面 ，
所以AB⊥平面QAD，
又因为AQ 平面QAD，QD 平面QAD，
所以 ， ，故又 ， ，
故 ⊥ ，△QAB和△QCD均为直角三角形，△QAD和△QCB均为等腰三角形,
其中 ，
四边形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，
三角形 的面积为 ， ，
所以棱锥 的表面积为 ．
11．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡
除 中，底面 是边长为2的正方形， .
(1)证明：平面 平面 .
(2)求四棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）作出辅助线，由等腰三角形三线合一得到线线垂直，求出等腰梯形的高，得到
，故 ，进而证明出线面垂直，得到面面垂直；（2）根据比例关系得到 ，证明出线面垂直，求出 ，从而求出答案.
【详解】（1）分别取 和 的中点 ，连接 ，
因为底面 是边长为2的正方形， ，
所以 .
在梯形 中， ，
分别作 垂直于 ，垂足分别为 ，则 ，
故由勾股定理得 ，
所以 ，
易知 ，故 .
又 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）连接 .因为 ，所以四边形 的面积 ，
所以 .
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 .
因为 ，所以 ，即四棱锥 的体积为 .
12．在四棱锥 中， ， ， ， ， 为等边三角形，
．
(1)证明：平面 平面PBC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理得到 ，由勾股定理逆定理得到 ，找到 为二
面角 的平面角，且 ，得到平面 平面ABCD，进而由四边形ABCE为矩形得
到线面垂直，进而证明平面 平面PBC；
（2）作出辅助线，由等体积法求出点到平面的距离.
【详解】（1）证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，
易知 ， ， ，
在 中，由余弦定理得， ，
则 ，故 ，
由 ， ， ，同理可得 且 ，
故 为二面角 的平面角，
又 ，则 ，故 ，故平面 平面ABCD，
又CE与AB平行且相等，且 ，则四边形ABCE为矩形，故 ．又 平面ABCD，平面 平面 ，
故 平面PCD，又 平面PBC，则平面 平面PBC．
（2）连接AC，设C到平面PAB的距离为h，
由（1）得平面 平面PCD， ，由面面垂直的性质定理，同理可得 平面ABCD，
，即 ，
∵ ， ， ， ， 平面AEP，则 平面AEP，
又 ，故 平面AEP， 平面AEP，故 ，
故 ，故 ，解得 ．
13．如图，在四棱锥 中，底面四边形 为矩形，平面 平面 ， ，
， ，点 为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到 ，结合 得到 平面 ，得到
，结合 得到线面垂直，证明出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值.
【详解】（1）∵平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，
∴ .
又∵ ， ， ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ .
在 中， ， 为 的中点，
∴ ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴平面 平面 .
（2）作 于点 ，易知 平面 ，
在 中， ，
则 ， .
如图以 点为原点， ， 所在直线为 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
， .
由（1）知 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，解得 ，
取 ，则 ，得 ，
，
由题可知二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为
14．多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直， ，
， ．
(1)求证：平面 平面DEF；
(2)求该多面体的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1.
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得 平面ABCD，然后根据勾股定理及线面垂直的判定定理
可得 平面BEF，再根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据线面垂直的判定定理可得 平面ACEF，然后利用锥体的体积公式求解.
【详解】（1）如图，连接BD，设AC与BD交于点O，连接FO，EO．
因为平面 平面ACEF，平面 平面 ， ， 平面ACEF，
所以 平面ABCD,因为四边形ABCD是边长为 的正方形，所以 ．
在直角梯形ACEF中， ，O为AC的中点，
则 ，且 ．
又因为 ， ，所以四边形AFEO是边长为1的正方形，
所以 ，且 ，
所以 平面ABCD,因为 平面ABCD，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ．
又因为 ，BE, 平面BEF，
所以 平面BEF．
又因为 平面CDE，
所以平面 平面CDE；
（2）由（1）可知， ， ， 平面ACEF，
则 平面ACEF，
多面体ABCDEF可以视为四棱锥 和四棱锥 的组合体，
故其体积为 ．
