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专题 6.6 余角和补角（2 大知识点 6 类题型）（知识梳理与题型分类
讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】余角和补角的定义
余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角
的余角．
补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
【知识点2】余角和补角的性质
（1）同角（等角）的余角相等；（2）同角（等角）的补角相等．
【要点提示】
(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一
个锐角的补角比它的余角大90°．
知识点与题型目录
【题型1】求一个角的余角......................................................1
【题型2】求一个角的补角......................................................3
【题型3】与余角、补角有关的计算..............................................5
【题型4】同(等)角的余(补)角相等的应用........................................7
【题型5】直通中考...........................................................10
【题型6】拓展延伸...........................................................11
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】求一个角的余角
【例1】（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）如图， 与 互余， 平分 ．
(1)若 ， 求 的度数．
(2)若 ， 用代数式表示 的度数．【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差；
（1）由角平分线的定义得 ，由互余的定义得 ，由角的和差，
即可求解；
（2）由互余的定义得 ，再由角平分线的定义即可求解；
理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键．
解：（1） 平分 ，
，
与 互余，
，
，
；
（2） 与 互余，
，
，
平分 ，
，
．
【变式1】（24-25七年级上·四川雅安·期中）若两个角和为90度，则这两个角互余．已知 ，，则 与 的关系是（ ）
A．互补 B．互余 C．和为钝角 D．和为周角
【答案】B
【分析】本题考查了互余，解题关键是掌握若两个角的和等于 ，即这两个角互余．
根据已知条件，得出 ，即可得到答案．
解：∵ ， ，
，
与 互余，
故选：B．
【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知 ， 与 互余，则 ．
【答案】
【分析】本题考查求一个角的余角，根据互余两角的度数之和为90度，进行求解即可．
解： ．
故答案为： ．
【题型2】求一个角的补角
【例2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知 ， 是 的平分线，过点O作
．
(1) 的补角是______， 的余角是______；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ； ， (2)
【分析】本题主要考查补角，余角的定义，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握性质定理是解题的
关键．
（1）根据补角，余角的定义即可得到答案；
（2）根据题意得到 ，再由角平分线的定义以及平行的性质即可得到答案．
解：（1）根据补角，余角的定义， 的补角是 ，是 的平分线，
，
故 的余角是 和 ；
（2） ，
．
，
，
，
，
，
是 的平分线，
．
，
，
．
【变式1】（2024·山东滨州·模拟预测）如图， 是直尺的两边， ，把三角板的直角顶点放在直
尺的 边上，若 ，则 的补角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、与三角板有关的角度的计算、求补角，先由平行线的性质得出
， ，求出 ，得出 ，即可得解．
解：如图：
∵ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的补角的度数是 ，
故选：B．
【变式2】（12-13七年级下·河南郑州·期中） 与 互余， 与 互补， ，那么
．
【答案】 /153度
【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题
的关键．
根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数．
解：∵ 与 互余， ，
∴ ，
∵ 与 互补，
∴ ．
故答案为： ．
【题型3】与余角、补角有关的计算
【例3】（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知 ， 与 互余，
平分 ．
(1)在图1中，若 ，则 _________， _________；
(2)在图2中，设 ，请探究α与β之间的数量关系．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分
析是解题的关键．（1）根据余角的定义可得： ，从而可得 ，然后利用角平分线的定义可得
，从而利用角的和差关系进行计算即可解答；
（2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答．
解：（1）∵ 与 互余，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（2） ，
理由：∵ 与 互余，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【变式1】（2024七年级上·湖南长沙·专题练习）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合
的图形共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B【分析】本题主要查了三角板中特殊角，余角的性质，补角的性质．根据三角板中特殊角，余角的性质，
补角的性质解答，即可求解．
解：左起第1个图形， ，正确；
左起第2个图形，根据同角的余角相等，可以得到 ，正确；
左起第3个图形，由图可知 ，所以 ，正确；
左起第4个图形，由图可知 ，显然 与 不相等，错误；
所以正确的个数有 个．
故选B．
【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）一个角的余角等于这个角的补角的 ，则这个角为 度．
【答案】
【分析】本题考查余角和补角的概念以及运用．设这个角的度数是 ，这个角的补角为 ，余角为
．根据“一个角的余角等于这个角的补角的 ”列方程求解即可．互为余角的两角的和为 ，互为
补角的两角之和为 ．解题的关键是能准确的从题中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．
解：设这个角的度数是 ，
依题意，得： ，
解得： ，
∴这个角为 度．
故答案为： ．
【题型4】同(等)角的余(补)角相等的应用
【例4】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直角三角板 的直角顶点O在直线 上， 平分
．
(1)比较 和 的大小，并说明理由；
(2)若 平分 ，求 的度数．【答案】(1) ；理由见解析 (2)
【分析】本题主要考查了角的比较大小和角平分线的性质，解一元一次方程，解决此题的关键是熟练运
用角平分线的性质及角的和差列出方程式．
（1）先说明 ，再说明 ，从而得出 ，再根据
，即可得到 ；
（2）设 ，则 ， ，列方程即可求得．
解：（1） ；理由如下：
，
，
平分 ，
，
，
，
．
（2）设 ，
平分 ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
．
【变式1】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，射线 是平角 的平分线，
，那么下列式子中错误的是( )A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查补角与余角的定义，熟练掌握补角和余角的定义是解决本题的关键．由射线 是
平角 的平分线，得 ，选项D不符合题意．根据同角的余角相等，得
， ，选项A不符合题意．同理可得 ，选项B不符合题意，
C中两角互余不能推断相等，选项C符合题意．
解：∵射线 是平角 的平分线，
．故选项D不合题意．
A、 ．
又 ，
．
故选项A不符合题意．
B、 ， ，
．
故选项B不符合题意．
C、 ，
∴ ．
无法证明 ．
故选项C符合题意．
故选：C．
【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图， ，则图中
三个角的数量关系是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了余角．解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余角相等．余角定义：如
果两个角的和等于90°，那么这两个角叫做互为余角．
由 ，得到 ，即得 ．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型5】直通中考
【例1】（2024·甘肃·中考真题）若 ，则 的补角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据和为 的两个角互为补角，计算即可．
本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．
解： 。
则 的补角为 ．
故选：D．
【例2】（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么
∠BAC的大小为【答案】135°/135度
【分析】根据三角板及其摆放位置可得 ，求解即可．
解： ，
，
故答案为：135°．
【点拨】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点
是解题的关键．
【题型6】拓展延伸
【例1】（20-21七年级上·广东深圳·期末）如图1，O为直线 上一点，过点O作射线 ，使
．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边 与射线 重合，如图2．
(1) ______；
(2)如图3，将三角板 绕点O逆时针旋转一定角度，此时 是 的平分线，求 的度数；
(3)将三角板 绕点O逆时针旋转，在 与 重合前，是否有某个时刻满足 ？如果
有，求此时 的度数；如果没有，请说明理由．
【答案】(1) (2) (3) 或
【分析】（1）根据 ， ，即得 ；
（2）根据 是 的平分线， ，得到 ，根据 ，即得
；
（3）当 在 内部，根据 ， ，得到 ，，根据 ，得到 ，即得 ；
当 在 外部，得到 ， 得到 ，即得
．
解：（1）∵ ， ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵ 是 的平分线， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）当 在 内部，如图1，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 在 外部，如图2， ，
∴ ，
∴ ．
故 的度数为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了平面内直角在直线上旋转．熟练掌握旋转性质，余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于90°，这两个角叫做互为余
角．
【例2】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）定义：从 （ ）的顶点出发，在角的内部作
一条射线，若该射线将 分得的两个角中有一个角与 互为补角，则称该射线为 的“好线”．如
图，点 在直线 上， 在直线 上方，且 ，射线 是 的“好线”；
(1)若 ，且 在 内部，则 ；
(2)若 恰好平分 ，请求出 的度数；
(3)若 是 的平分线， 是 的平分线，请画出图形，探究 与 的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1) ； (2) ； (3) 或 ．
【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题
的关键．
（ ）根据“好线”的定义即可求解；
（ ）根据“好线”和角平分线的定义求解即可；
（ ）分两种情况： 在 内部和 在 内部，进行解答即可求解．
解：（1）解：如图，
∵射线 是 的“好线”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；（2）解：如图， 平分 ，
∵射线 是 的“好线”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 恰好平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 或 ．
理由： 当 在 内部时，如图，
由（ ）可得， ，
设 ，则 ， ，
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在 内部时，如图，由（ ）可得 ，
设 ，则 ，
∵ 是 的平分线， 是 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
综上，当 在 内部时， ；当 在 内部时， ．
